付 録
A
回転群
A.1
群の定義
群G = A, B,C,···とは次の条件を満たす元A, B,··· の集合である。 (1)群の二つの元A, Bに対し積ABが存在し、これもまた群に属すること。 (2)結合則： (AB)C = A(BC)が成立する。 (3)単位元1が存在し、全ての元Aに対し、1A = A1 = A (4)全ての元Aに対し、逆元A−1が存在し、A−1A = AA−1= 1 特にAB = BAが成立するものを可換群(アーベル群)と呼ぶ。並進演算や２次元平面での回転が該当す る。AB, BAのとき、非可換群(非アーベル群)と言う。3次元の回転やSU (N), N≥ 2などがある。群が 連続パラメターの解析関数であるとき、リー(Lie)群と言う。リー群に対してはどの元も A(θ1,θ2··· ,θn) = exp(i n∑
i=1 θiFi) (A.1) と書ける。Fiをリー群の生成子と呼ぶ。我々に関心があるのはコンパクト・リー群である。コンパクトと はパラメターの変数領域が空間の有限体積内に閉じるものをいう。例えば2次元空間の回転は0≤θ≤ 2π であり、コンパクトである。ローレンツ群−1 < v < 1あるいは−∞<η<∞で非コンパクト群の例であ る。 群の表現： 群の任意の元に対し行列U (A)演算子が対応し U (A)U (B) = U (AB) U (A−1) = U−1(A) U (1) = 1(単位行列) であるとき、この行列の集合を群Gの表現と呼ぶ。この行列の演算するベクトル空間を表現空間、次元 (n)を表現の次元と言う。 例１ 回転群SO(N)： 実変数xi(i = 1∼ N)を座標に持つN次元空間において、長さL = q ∑N i=1x2i を 不変に保つ全ての線形変換はO(N)群を作る。その中で連続パラメターがゼロの極限で無変換になるも の、すなわち行列式が１であるものをSO(N)群という。この時の独立変数の数は n(n− 1) 2 である。例２ SU(N)： Special Unitary Group
複素変数ui(i = 1∼ N)を座標に持つN次元複素空間において、長さL = q ∑N i=1|ui|2を不変に保つ全て の線形変換でかつ行列式が1であるもの。この時の独立変数の数はn(n− 1)である。任意のSU(N)変換 行列はN× Nのユニタリー行列で表せ、N2− 1個の変数θiと無軌跡のエルミートFiを使って U = exp à i N
∑
i=1 θiF i ! 、 Tr[Fi] = 0, [Fi, Fj] = i fi jk (A.2)と表せる* 1) 。。FiはSU(N)群の生成子であり、fi jkを構造関数という。生成子の決め方は一義的ではな いが、SU (2)ではパウリ行列Fi=τ2i、SU(3)ではゲルマンの行列Fi=λ2i を採用するのが普通である。 なお、エルミート行列は可換でない限り行列を作らない。
A.2
回転演算子
量子力学におけるローレンツ変換演算子を導くために、まず良く知られた３次元回転演算子を復習す る。回転により座標は変換を受ける。３次元回転の一般形は r′≡ x′ y′ z′ = [Ri j] x y z = Rr (A.3) 回転は長さr = px2+ y2+ z2は変えないから、 r′2= r′Tr′= rTRTRr = r2= rTr (A.4a) ∴ RTR = 1 (A.4b) すなわちRは3X3直交行列である。 回転により座標と同じ変換をする３組の変数をベクトルと言い、V = (Vx,Vy,Vz)の様に書く。一例と してz軸回りの角度θの回転は Vx′ Vy′ Vz′ = cosθ sinθ 0 −sinθ cosθ 0 0 0 1 Vx Vy Vz ↔ V′= Rz(θ)V (A.5) ただし、これは座標軸を回転する受動的回転である。ベクトルそのものを動かす能動的回転は、θ→ −θ として得られる。どちらの見方を採用しても物理的内容は同じである。微少角δθだけの受動的回転は Rz(δθ) = 1 + iSzδθ Sz= 1 i dRz dθ ¯ ¯ ¯θ=0= 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 (A.6) と書ける。有限角の回転は微少角回転の積み重ねで得られる。 Rz(θ) = lim n→∞δθ∏
=θ/n(1 + iJzδθ) n= exp[iS zθ] (A.7) Szをz軸回りの回転の生成子(generator)と言う。同様にx軸ｙ軸回りの回転生成子を定義する。生成子 はエルミートである。 Sx= 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 Sy= 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 Sz= 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 (A.8) * 1) exp[iλλλ· n(θ2)] = exp[iQ]と書けばU†= exp[−iQ]であるからユニタリーであることは明らか。Tr[U] = Tr[S−1US]であること
を使い、Sを使ってUを対角化し固有値をηiすれば、det U =∏iηi= exp (∑ilogηi) = eTr(log U)= eiTr[Q]となるので、Tr[Q] = 0
これら回転の生成子は次の交換関係を充たす。 [Si, Sj] = iεi jkSk εi jk= +1 i jkが123の偶置換の時 −1 i jkが123の奇置換の時 (A.9) εi jkをO(3)群の構造定数と呼ぶ。これは軌道角運動量演算子 L = r× p = −i(xi∂j− xj∂i) xi= (x, y, z) (A.10) と同じ交換関係であるので、S = (Sx, Sy, Sz)も角運動量演算子と呼ぶ。軌道角運動量が座標変数に演算す る演算子であるのに対し、Sはベクトルの成分に演算する演算子であり、固有もしくはスピン角運動量 と呼ぶ。全角運動量は J = L + S (A.11) 回転は三つのパラメター、回転軸方向nと回転角θ(あるいは三つのオイラー角でも良い)で指定できる。 行列Rは９個の変数を持つが直交条件(A.4b)は６個の制限を与えるのである。結局、回転群O(3)の性 質は３個の生成子とその交換関係(構造定数)を指定することによりほぼ定まることになり、演算子は R(n,θ) = expiJ·nθ (A.12) と表現できる。
A.3
SU(2)
群
U (2)変換の対象となる2次元複素空間の基底ベクトル(スピノールと言う)を ψ= " ξ1 ξ2 # (A.13) と書くと。2× 2のユニタリー行列で表せる。SU (2)変換はさらにユニモジュラー(det U = 1)である。変 換によりスピノール成分は ψ → ψ′= Uψ すなわち " ξ′ 1 ξ′ 2 # = " a b c d #" ξ1 ξ2 # (A.14) の様に変換する。条件 U−1= U† および detU = 1 (A.15) を入れると U = " a b −b∗ a∗ # , |a|2+|b|2= 1 (A.16) と書き直せて独立なパラメターは３個となる。演習問題A.1 式(A.16)を参照して、 " −ξ∗2 ξ∗ 1 # = " 0 −1 1 0 #" ξ∗ 1 ξ∗ 2 # =−iσ2ψ∗ (A.17) がψ= " ξ1 ξ2 # と同じ変換をすることを示せ。 ******************************************: 一般にN次元ユニタリー、ユニモジュラー行列は、N2− 1個の独立なパラメターを持ちλλλ(λi; i = 1∼ N2− 1)を無軌跡のエルミート行列とし、回転角θと回転軸n (n2= 1)をパラメターとして U = exp · iλλλ· n (θ 2) ¸ (A.18) と言う形に表すことができる。 ******************************************: N = 2の場合無軌跡エルミート行列は３個あり、パウリ行列λi=σiにとることができるので、ユニタ リー変換の一般式は U = exp h iσσσ 2·θθθ i = cosθ 2+ sin θ 2 iσσσ· n (A.19) と書ける。si=σi/2はSU (2)群の生成子であり、かつ交換関係 [si, sj] = iεi jksk (A.20) を充たすからSU (2)生成子は回転群O(3)の生成子と全く同じ交換関係を充たし密接に結びついている ことが判る。O(3)群との関係を見るためにスピノール成分の積Hi j=ξiξ∗j(i, j = 1∼ 2)の変換性を考慮 してみよう。Hi jを2× 2のエルミート行列の成分と見なせば、独立なパラメターは4個であるので、パ ウリ行列で展開できる。 H = a1 + b·σσσ= a1 + " bz bx− iby bx+ iby −bz # = A + B (A.21) この行列はSU (2)変換で H → H′= UHU†= A′+ B′= a′1 + b′·σσσ (A.22) の様な変換を受ける。
A′= a′1 = UAU†= Ua1U†= a1 ∴ a′= a (A.23)
なので係数aはSU(2)不変量である。実際、aを式(A.21)から抽出するために両辺のトレース(軌跡)を
とると
2a = Tr[H] =ξ1ξ†1+ξ2ξ†2=|ξ1|2+|ξ2|2=ψ†ψ (A.24)
は確かにSU (2)不変量である。またBの部分は変換により行列式の値が変わらないことに着目すると
すなわち式(A.21)で定義したb = (bx, by, bz)はSU (2)変換によりO(3)変換に従うベクトルとして振る舞 うことが判る。実際bの各成分が正しくVの変換式(A.5)に従うことを示そう。bxを抽出するために式 (A.21)の両辺にσxを掛けてトレースをとり、Tr[σ2x] = 2, Tr[σx] = Tr[σxσy] = Tr[σxσz] = 0を考慮すれば bx= 1 2Tr[σxH] = 1 2(σx, i j)ξjξ † i =ξ † i(σx, i j)ξj=ψ †σ xψ 同様に by=ψ†σyψ, bz=ψ†σzψ (A.26) これにSU (2)変換を施す。z軸回りの回転は式(A.19)でn = (0, 0, 1)として bx → b′x=ξ′†σxξ′=ξ†U†σxUξ (A.27) =ξ† µ cosθ 2− sin θ 2iσz ¶ σx µ cosθ 2+ sin θ 2iσz ¶ ξ (A.28) σzσxσz=−σx, σzσx= iσy等を入れれば
b′x= cosθbx+ sinθby (A.29a) 同様にして
b′y=−sinθbx+ cosθby (A.29b)
b′z= bz (A.29c) となり、b =ψ†σσσψは確かにO(3)のベクトルとして振る舞うことが示された。 演習問題A.2 スピノールの合成 ２つの独立なスピノールξ= " ξ1 ξ2 # とξ= " η1 η2 # をスピン1/2を持つ粒子と考えるとき s =ξ1η2√−ξ2η1 2 v : vx=ξ2η2√−2ξ1η1 vy=ξ1η1√+2 iξ2η2 vz=ξ1η2√+2ξ2η1 (A.30) はそれぞれスカラーおよびベクトル、すなわちスピン0と1の粒子として振る舞うことを示せ。 以上の議論からスピノール " ξ1 ξ2 # に対するSU (2)演算とベクトル x y z に対するO(3)演算とは対応し ていることが判った。 U = eiσσσ·θθθ/2= cosθ 2+ sin θ 2 iσσσ· n ⇔ R = e iJ·θθθ (A.31) しかし、上式で判るようにSU (2)では4π回転して元に戻るのに対し、O(3)では2π回転で元に戻る。
2π∼ 4πではU→ −Uであるがともに同じO(3)回転に対応し、SU (2)⇔ O(3)は 1 : 2 対応となってい
る。O(3)は整数スピンの粒子しか扱えないのに反し、SU (2)群はスピン1/2および反奇数の粒子群を表
現できるのはこの差に起因する。基本粒子のクォークがスピン1/2の粒子であること、中性子の結晶に
よる干渉実験で実際に4π回転で元に戻ることが示されるなど種々の実験事実は、我々を取り巻く実際の
空間ではSU (2)が真の回転演算に対応することが判る。また、図A.1のような簡単な実験により実際に
図A.1: SU(2)トポロジーの図示： 4π回転後紐はステップ3-8を実行することによりほぐすことができ
る。2π回転ではほぐすことがでない。C.W. Misner, K.S.Thorne and J.A Wheeler, Gravitation (W.H Freeman
