私立大学入試における合格最低点決定問題
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(2) 第52巻. 1.は. 日本 の 私 立 大 学 に お い て は,ご. 第2号. じ. め. に. く一 部 の 大 学 を 除 き,入 学 試 験 は 複 数 回 行 わ れ て い る。. 複 数 回 の 入 学 試 験 を 行 う理 由 は,い. ろ い ろ 存 在 す る が,受 験 生 に と っ て も大 学 側 に と っ て. も,一 定 の メ リ ッ トが あ り,今 後 も こ の制 度 は存 続 す る と思 わ れ る。 と こ ろで,複 数 回 の 入 試 を 実 施 す れ ば,そ の 都 度 合 格 最 低 点 を決 定 しな け れ ば な らな い。 しか し合 格 最 低 点 を 決 定 す る に 当 た って は,い ろ い ろ 重 要 な 問 題 を 含 ん で い る。 本 論 文 で は,こ の 問 題 につ い て 考 察 す る と同 時 に,そ の 解 決 方 法 につ い て も言 及 す る。. 2.問. 題. の. 背. 景. 日本 の 私 立 大 学 に お い て は ご く一 部 の大 学 を 除 い て 複 数 回 の入 学 試 験 が 行 わ れ て い る。 こ の制 度 の 受 験 生 に と って の メ リ ッ トは,入 学 試 験 の 回数 が 多 け れ ば多 い ほ ど,自 分 の ミス に よ る失 敗 を 回 復 で き る チ ャ ンス が 増 え,自 分 の 希 望 す る大 学 に 入 る可 能 性 が 高 ま る 事 で あ る。 し か し,そ の た め に は 受 験 料 と い う コ ス トを 払 う必 要 が あ る。 一 方 大 学 側 に と って は,入 学 試 験 の 回 数 が 多 い ほ ど,大 学 が 求 め る受 験 生 を 獲 得 で き る可 能 性 が 増 え , ま た,一 般 的 に は受 験 者 数 が 増 え る こ と に よ り,受 験 料 収 入 が 増 え る。 つ ま り双 方 に と っ て 一 定 の メ リ ッ トが 存 在 す る こ と に な る。 複 数 回 の入 学 試 験 を 設 定 した場 合,実 施 大 学 は そ の 都 度,合 格 最 低 点 を 決 定 す る が,こ の 決 定 方 法 に よ って は,色 々 な 問 題 が 生 じ る可 能 性 が あ る。 例 え ば ,最. も単 純 な 場 合 と し. て,前 期 と後 期 の2回 入 試 を 行 う場 合 を 考 え る と以 下 の よ うな 問 題 が 考 え られ る。. 2.1前. 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 高 く設 定 しす ぎ た 場 合 の 問 題. 大 学 側 と して は,出 来 るだ け 学 力 の 高 い 学 生 に 来 て ほ し いが,前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を あ ま り高 くす る と,そ こ で合 格 す る学 生 は学 力 が 高 い た め,よ. り高 い レベ ル の大 学 に 合 格. す る可 能 性 が 高 く,そ の 結 果,合 格 者 の 中 で 実 質 的 に 入 学 す る学 生 の 割 合 が 減 少 す る。 そ うな る と,手 続 き者 数 が 当 初 予 定 して いた 人 数 よ り少 な くな る確 率 が 増 加 す る。 この 場 合 に は,後 期 の入 試 で,定 員 と手 続 き 率 を 睨 み な が ら合 格 最 低 点 を決 定 す る こ と に な る。 この 場 合 の 問 題 は,前 期 入 試 で入 学 手 続 き を す る受 験 生 が 減 少 し,そ れ を 補 う た め,後 期 入 試 の合 格 者 を 増 加 さ せ る と,結 果 と して 後 期 入 試 の合 格 最 低 点 が 前 期 入 試 の 合 一194(456)一.
(3) 私立大 学入試 にお け る合格最低 点決定 問題(大 村) 格 最 低 点 を下 回 る確 率 が 増 加 す る こ とで あ る。 後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 が 前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 下 回 る こ とが お こ る と,結 果 と して は,意 に 反 して,全 体 的 に 見 た 入 学 者 の 学 力 レ ベ ル の低 下 を 招 くこ と に な る。 つ ま り,入 学 学 生 の 学 力 レベ ル を 上 げ る た め に,前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 上 げ 過 ぎ る と, 定 員 を 満 た す た め に,後 期 試 験 の 合 格 最 低 点 を下 げ ざ る を え な い事 態 が 発 生 す る こ とが あ り,結 果 と して 全 体 の 学 力 レベ ル が 下 が る 可 能 性 が 出 て くる。. 2.2前. 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を低 く設 定 しす ぎ た 場 合 の 問 題. しか し前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 低 く設 定 しす ぎ る と,合 格 者 の 中 で,実 質 的 に 入 学 す る 学 生 の 割 合 は 増 加 す る が,出 来 るだ け 学 力 の 高 い 学 生 に来 て ほ しい とい う大 学 側 の 希 望 が 満 た さ れ る確 率 が 減 少 す る。 ま た そ の 試 験 が 特 に前 期 入 試 の場 合 に は,公 表 さ れ る合 格 最 低 点 が 低 い場 合 に は,大 学 の 世 間 的 な 評 価 が 下 が る た め,そ の 後 の 入 試 で,良. い学生 が集. ま り に く くな る こ と が考 え られ る。 前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 低 く設 定 しす ぎ る事 は,結 果 と して 学 力 の 高 い受 験 生 に そ っぽ を 向 か れ て し ま う と い う マ イ ナ ス の ス パ イ ラル を 引 き 起 こす 可 能 性 が あ る た め,前 期 入 試 の合 格 最 低 点 を 低 め に設 定 しす ぎ る事 は 大 学 に と っ て 避 け るべ き入 試 戦 略 で あ る。. 2.3本. 当 の問題. 従 って, ①. 前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 高 く設 定 しす ぎ て,結 果 と して,募 集 定 員 と後 期 入 試 の 受 験 者 数 と の関 係 か ら,後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を か え っ て 低 下 させ ざ る を 得 な い状 態 に しな い こ と。. ②. 逆 に,前 期 入 試 の合 格 最 低 点 を 低 く設 定 しす ぎ て,実 質 的 に入 学 して くれ る学 生 の 数 は増 加 す るが,学 力 面 で 希 望 す る水 準 が 保 て な い と い う事 を 避 け る こ と。. と い う2つ の 条 件 を 満 た す よ うな,前 期 及 び後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を設 定 す る方 法 を 見 つ け る こ とが 本 当 の 問 題 で あ る。. 2.4入. 学 生 の学力 とは. こ こ で は,学 力 は あ る 程 度 試 験 問 題 が 適 切 で あ れ ば,そ の 点 数 で 測 定 可 能 で あ る と考 え る。 従 って,入 学 試 験 の 点 数 は 重 要 な 指 標 で あ り,高 い に越 した こ とは な い 。 そ こ で 入 学 者 全 体 の学 力 を評 価 す る と き,何 を も って 入 学 者 全 体 の 学 力 とす る か と い う事 が 問 題 に な 一195(457)一.
(4) 第52巻 る が,単. 第2号. に全 体 の平 均 点 だ け で は な く,入 試 の 合 格 最 低 点 の 持 つ意 味 が 大 き い と考 え られ. る。 つ ま り,一 部 の 学 生 が 高 い点 数 で 入 学 して き て も,他 の 一 部 の 学 生 の入 試 の 点 数 が あ ま り高 くな け れ ば,入 学 後 の 授 業 レベ ル を下 げ ざ るを 得 な くな り,教 育 上 の 問 題 とな る と い う こ とで あ る。. 3.問. 題 の定 義 とモデ ル. こ の 問 題 を 解 決 す るた め の モ デ ル を 以 下 の よ う に考 え る。. 3.1問. 題 の定義. 現 実 問 題 と して は,単 科 大 学 は別 と して,一 般 的 に は 学 部 別 に 入 試 が 行 わ れ て い る の で, 考 え る範 囲 は 学 部 とす る。(場 合 に よ って は学 科 と読 み替 え て も良 い。) 目的 は,現 在 の 学 部 の状 況 を 前 提 に して,あ. る学 部 に 入 学 す る学 生 全 体 の 学 力 レベ ル を. 最 高 にす る た あ の,前 期 入 試,後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 決 め る方 法 を 求 め る こ とで あ る。 (入 学 す る学 生 全 体 の 学 力 レベ ル を 上 げ る とい う問 題 は,正 攻 法 と して は,大 学 あ る い は 学 部 の 世 間 で の 評 価 を 高 め,受 験 生 が あ こ が れ る大 学,あ. こ が れ る学 部 に す れ ば,入 学 し. た い 学 生 が 増 加 して,結 果 的 に入 学 生 の 学 力 レベ ル が 上 が る こ と に な る。 た だ こ の方 法 は,仮. に実 行 し う ま く出 来 た と して も,最 低4∼5年. で も な く当然 必 要 で あ るが,と. は か か る。 こ の よ うな 努 力 は言 う ま. りあ え ず の 問 題 は,前 期 入 試 と後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 の 設. 定 が 適 切 で な い た め,本 来 な ら入 学 して く る学 生 全 体 の 学 力 レベ ル を も っ と高 くで き るに もか か わ らず,そ 前 期 入 試,後. う は な っ て い な い と い う状 況 を改 善 す る と い う問 題 設 定 と す る。). 期 入 試 の 合 格 最 低 点 の 決 定 を う ま く行 う こ と に よ り,現 在 の 大 学 あ る い は. 学 部 の 状 況 を 前 提 に して,入 学 者 の学 力 を あ る程 度 上 げ る こ とが 出来 る可 能 性 が あ り,そ の 方 法 を 考 え る と い う こ とで あ る。 言 い換 え る と,現 在 の大 学 あ る い は 学 部 の 状 況 を 前 提 に して,入 学 す る学 生 の 全 体 と して の 成 績 レベ ル を 最 高 に す る前 期 入 試,後. 期入 試 の合格. 最 低 点 を 決 め る方 法 を求 め る こ とで あ る。 これ は,前 期 入 試 と後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 を 同 じ レベ ル に な る よ う に す る こ と で も あ り,当 然 な が ら,入 学 定 員 を 満 た す とい う条 件 を満 足 しな け れ ば な らな い。. 3.2前 (1)入. 提 条件 学 す る学 生 の 学 力 レベ ル は入 学 試 験 の 点 数 に反 映 さ れ る もの とす る。 -196(458)一.
(5) 私立 大学入試 におけ る合格 最低 点決定 問題(大 村) この 仮 定 に対 して は異 論 が あ る か も しれ な い。 例 え ば,た. ま た ま調 子 が 悪 い と き に試 験. を 受 け れ ば 得 点 は低 くな る可 能 性 が あ る とい う よ う な 事 で あ る 。 しか し,全 員 が 調 子 が 悪 い と言 う こ と は 普 通 あ り得 ず,そ. の よ うな 学 生 の 割 合 は通 常 十 分 に低 い と考 え られ る。. ま た,学 力 が 試 験 で 測 れ る か と い う議 論 も あ ろ う。 しか し,多 くの 人 の 経 験 か ら,問 題 が 適 切 で あ り さえ す れ ば,試 験 は学 力 を 測 定 す る 手 段 と して は適 切 で あ る と い う こ と が 言 え る。 ま た,試 験 の 点 数 と い う も の は,多. くの 場 合,短. 多 くの人 が経 験 して い る。 そ うで あ る が 故 に,特. 期 間 で は 一 定 の レベ ル を 保 つ 事 は. に受 験 生 に お い て は,そ の レベ ル を少 し. で も上 げ よ う と努 力 す る の で あ る し,勉 強 す れ ば 自分 で 学 力 の 変 化 が 分 か り,分 か らな か った こ とが 分 か る よ うに な っ た とい う勉 強 の 喜 び も感 じ るの で あ る 。 ②. 入 学 試 験 は,前 期 と後 期 の2回. とす る。. こ の論 文 で は,入 学 試 験 は前 期 と後 期 の2回. とす る が,そ れ は議 論 の 見 通 しを 良 くす る. た め の単 純 化 で あ り,試 験 回 数 が 増 え て も考 え 方 は 同 じで あ る。 ③. 前 期 入 試 と後 期 入 試 の 問題 の難 易 度 は 同 じ とす る。. 問 題 の 難 易 度 は ほ ぼ 同 じ に な る よ う に調 整 され て い る とす る。 (4)本 論 文 で 考 慮 の 対 象 とす る学 部 は,更 に 受 験 生 の 選 好 度 が 高 い競 合 大 学(学 部)が あ り,受 験 生 が そ の 大 学(学 部)に. も合 格 した 場 合 は,そ の 選 好 度 が 高 い競 合 大 学 に. 入 学 す る もの とす る。 (5>試 験 の 得 点 が高 い学 生 ほ ど,合 格 して も選 好 度 が よ り高 い競 合 大 学(学 部)に. 入学. す る確 率 が 高 くな る と仮 定 す る。 ⑥. 試 験 得 点 の 確 率 分 布 は,測 定 可 能 とす る。. 試 験 得 点 の度 数 分 布 表 は,各 試 験 ご と に作 成 可 能 で あ り,ヒ ス トグ ラ ム を 作 成 で き る。 つ ま り,確 率 分 布 は そ の 都 度 知 る こ と が 出来 る。 (7)受. 験 生 の 試 験 得 点 と そ の 大 学(学. 部)に 入 学 す るか ど うか の 確 率(手. 続 き率)は. 測. 定 可 能 とす る。 手 続 き 率 は,そ の 年 の 入 試 が 終 わ らな い と分 か ら な い 。 しか し昨 年 の 得 点 毎 の 手 続 き率 は,知 る こ とが 出 来 る。 問 題 は,今 年 の 得点 毎 の 手 続 き率 が,昨 年 と同 じ形 に な る か ど う か は分 か らな い とい う こ と で あ る。 ど ち らか と い う と,変 わ る と考 え る の が 正 しい 可 能 性 が強 い 。 例 え ば,受 験 生 が 減 少 し,受 験 生 の 選 好 度 が よ り高 い 競 合 大 学(学 部)が. 入 りや. す くな れ ば,昨 年 と 同 じ点 数 の 受 験 生 の 手 続 き率 は減 少 す る こ とが 考 え られ る 。 しか し,そ れ は,昨 年 度 の 手 続 き率 の デ ー タ が あ れ ば,そ れ を 基 に,今 年 の 手 続 き率 の 数 値 と そ の 分 布 を 仮 定 す る こ と に よ り,そ れ ぞ れ の 仮 定 の場 合 に どの よ うな 結 果(入 学 者 一197(459)一.
(6) 第52巻 数)と. な る か は,ケ. 3.3各 (1)前. ー ス ス タ デ ィ と して 求 め る こ と が 出 来 る。. 種 変数 期 入 試 ㈹ と後 期 入 試(B)の み を 考 え,受. 試 と 後 期 入 試 を 合 わ せ た 定 員 をNfと ・(2)入. 第2号. 験 者 数 を そ れ ぞ れNa,Nbと. す る。 前 期 入. す る。. 学 試 験 の 得 点 を 前 期 ・後 期 そ れ ぞ れXa. ,Xbと. す る 。 な お,点. 数 は 標 準 化 し て,. 100点 満 点 と す る 。 (3)入. 学 試 験 の 得 点 の 確 率 密 度 関 数 を 前 期 ・後 期 そ れ ぞ れfa(x),fb(x)と. の 確 率 密 度 関 数 を グ ラ フ で 書 く と,例 れ い な 形 に な る と は 限 ら な い が,そ. 図1得. え ば 次 の よ う に な る 。(常. に この 図 の よ う に き. れ は 分 析 に は 影 響 は な い 。). 点 の確 率密度関数 の イメー ジ. (4)入 学 試 験 の 得 点 の 標 本 平 均 を 前 期 ・後 期 そ れ ぞ れXa,Xbと. す る。. (5)入 学 試 験 の 得 点 の 標 本 標 準 偏 差 を前 期 ・後 期 そ れ ぞ れSa,Sbと (6)前. す る。 得 点. す る。. 期 入 試,後 期 入 試 の 手 続 き率 は単 調 減 少 関 数 と し,前 期 ・ 後 期 そ れ ぞ れGa(Xa). Gb(Xb)と. ,. す る。 単 調 減 少 関 数 とす るの は,試 験 点 数 の 高 い受 験 生 ほ ど,よ り選 好 度. の 高 い大 学 に流 れ る 可 能 性 が 高 い と想 定 で き るか らで あ る。 ま た前 期 と後 期 で は,受 験 生 の 状 況 が 違 うた め,手 続 き 率 の 関 数 形 が 違 う可 能 性 が あ る。 手 続 き 率 の 分 布 は,例 え ば 次 の 図2の. よ う に な る。(こ の 分 布 の 形 も種 々考 え ら れ る が. 分 析 に は影 響 を 与 え な い。) (7)前 期 入 試 及 び 後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 をXpと は,例 え ば 前 期 入 試 で 合 格 最 低 点 をXpよ. す る。 合 格 最 低 点 を 同 じ とす る理 由. り高 い 点 数 に設 定 す れ ば,定 員 を 満 たす 必. 要 性 か ら,も う一 方 の 後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 は 必 ずXpよ 一198(460)一. り低 くせ ざ る を 得 な くな.
(7) 私立 大学入試 におけ る合格最 低点 決定 問題(大 村). 図2手. 続 き率のイ メー ジ. り,入 学 者 の最 低 学 力 が下 が るか らで あ る。 仮 に そ うな った 場 合 に は,入 学 者 間 の 学 力 レベ ル の 差 が 広 が り,授 業 が し に く くな る と と もに,結 果 的 に低 い レベ ル に授 業 を 合 わ せ ざ る を 得 ず,教 育 効 果 と い う点 で 問題 が 生 ず る可 能 性 が 強 い。. 3.4モ. デル. 前 期 入 試 の 手 続 き率 の 分 布,後 期 入 試 の 受 験 者 数,後 期 入 試 の 得 点 分 布 と手 続 き率 の 分 布 を 推 定 し(こ れ らは,過 去 の デ ー タ を も とに,当 該 年 の 状 況 を勘 案 して 推 定 す る。),前 期 及 び 後 期 入 試 の入 学 手 続 き 者 数 合 計 が,定 員Nfを 試 の 合 格 最 低 点Xpを,前. 満 た す よ うな,前 期 入 試 及 び後 期 入. 期 試 験 の 合 格 点 を 決 定 す る時 点 で 決 め る。 この た め に は,複 数. の 仮 定 に基 づ くケ ー ス ス タ デ ィ を行 い,そ の 他 の 分 析 も実 施 の上,総 3.4.1前. 合 的 に決 定 す る。. 期 入 試 の 入 学 手 続 き者 数. 前 期 入 試 の 合 格 最 低 点 をXpと. し,前. 期 入 試 の受 験 者 数 をNaと. す る。. 前 期 入 試 の 合 格 者 数 は,. Na・. ,」'fa(x)dx(1) Xp. 但 し,fa(x)は,前. 期 入 試 得 点 の 確 率 密 度 関 数 で あ る。. 手 続 き 率 を 考 え る と,入. Na・. 学 手 続 き者 数 は. ∫fa(x)・Ga(x)dx(2) Xp. 但 し,Ga(x)は,前. 期 入 試 の 各 点 数 で の 手 続 き 率 で あ る 。(つ. よ っ て 違 う と仮 定 し て い る 。) -199(461)一. ま り手 続 き 率 は,得. 点 に.
(8) 第52巻 3.4.2後. 第2号. 期 入 試 の 入 学 手 続 き者 数. 後 期 入 試 の 合 格 最 低 点 をXpと. し,後. 期 入 試 の 受 験 者 数 をNbと. す る。. 後 期 入 試 の 合 格 者 数 は,. Nb・ffb(x)dx(3) Xp. 但 し,fb(x)は,後. 期 入 試 得 点 の確 率 密 度 関 数 で あ る。. 手 続 き 率 を 考 え る と,入. 学 手 続 き者 数 は. Nb・ffb(x)・Gb(x)dx(4) Xp. 但 し,Gb(x)は,後. 期 入 試 の 各 点 数 で の 手 続 き率 で あ る。. 3.4.3入. 学 手 続 き者 数 合 計. 故 に,入. 学 手 続 き者 数 合 計 は. Na・ffa(x)・Ga(x)dx十Nb・ffb(x)・Gb(x)dx XpXp. =Nf(5). と な る 。 但 し,Nfは 3.4.4合. 定 員 で あ る。. 格 最 低 点Xp. 上 記(5)式 に お い て,Na,fa(x),Ga(x)更. に,Nb,fb(x),Gb(x),Nfに. 前 期 試 験 終 了 時 に は,Na,fa(x)は. 分 か っ て お り,Ga(x)更. は 推 定 値 が 分 か っ て い る の で,Xpは. 求 め ら れ る。. 但 し,Xpは. に,Nb,fb(x),Gb(x),. 前 期 入 試 が 終 わ っ た と き に 決 定 す る 必 要 が あ る の で,後. fb(x),Gb(x)及. び,前. 期 のGa(x)は,昨. つ い て は,. 期 の 数 値 で あ るNb,. 年 度 迄 の 実 績 数 値 を 見 て,今. 年 度 の値 を推定. す る 以 外 に 方 法 は な い 。 当 然 今 年 度 の 状 況 を 勘 案 し て 推 定 す る 事 に な る が,こ い て は 本 論 文 で は 述 べ ず,別 3.4.5Xpの. の 機 会 とす る。. 求 め方. 上 記(5)式 に お い て,得 こ と は 考 え に く く,ま な い が,そ. の 方 法 につ. 点 の 確 率 密 度 関 数 で あ るfa(x),fb(x)は,き た,近. れ 以 外 で は,数. と し て で は な く,離. 似 す る と し て も正 規 分 布 で あ れ ば,数. れ いな数式 にな る 式 的 に 解 け る か も しれ. 式 的 に 解 け る か ど う か は 分 か ら な い 。 しか し,連. 散 型 確 率 変 数 と し て 取 り 扱 え ば,シ. られ る。 -200(462)一. 続 型確 率変数. ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ りXpを. 求め.
(9) 私立 大学入 試 におけ る合格 最低点 決定 問題(大 村). 4.分. 析. 例. 3.4.5で述 べ た よ うに,得 点 の 確 率 密 度 関 数 で あ るfa(x),fb(x)を,連 して で は な く,離 散 型 確 率 変 数 と して 取 り扱 って,シ. 続型確 率変 数 と. ミュ レー シ ョ ン に よ りXpを. 求め ら. れ る。 離 散 型 確 率 変 数 と して 取 り扱 う た め に は,入 試 得 点 の 度 数 分 布 表 を 作 成 し,各 階 級 毎 に相 対 度 数 を 求 め て そ の 数 値 を用 い れ ば よ い。 ま た,手 続 き率 も,入 試 得 点 の度 数 分 布 表 を作 成 しそ の 各 階 級 毎 に求 め れ ば よ い 。 な お,3.4.4で 述 べ た よ う に,後 期 入 試 の 数 値 で あ る 受 験 者 数Nb,得 fb(x),手. 続 き率Gb(x)及. 点 の確 率密 度 関数. び,前 期 入 試 の手 続 き 率Ga(x)は,昨. 年 度 の 実 績 数 値 を見 て,. 今 年 度 の 状 況 を勘 案 して 値 を 推 定 す る以 外 に方 法 は な い が,こ. こ で は そ れ らが 推 定 で き た. と して 解 を 求 め て み る。 こ の 例 で は,手 続 き率 を 最 も簡 単 な 形,す. な わ ち 直 線 近 似 と し,前 期 入 試,後. 期入 試 と. も に 同 一 と して い る。 言 う ま で もな く,前 期 入 試,後 期 入 試 は受 験 生 に と っ て状 況 が 違 う た め,手 続 き率 の 形 が 違 う と思 わ れ る が,本 論 文 で は,解 が 計 算 可 能 で あ る と言 う こ と を 示 す こ と に主 眼 を起 き,手 続 き率 の 形 の 分 析 は他 の 機 会 と した い 。 次 の 表1は,入. 試 の受 験 者 数 と定 員 の 前 提 条 件 で あ る。. 表1計. 算例 の入 試受験 者数 と定員 の前 提条件. 前期 入試100点. 満点 受 験者数1,300. 後期入試100点. 満点 受験者数600. 全体の定員[=30C〔]. 次 の 表2-1aは,シ と し た 場 合 の,手 probabilityと. ミ ュ レ ー シ ョ ン の 表 の 内 容 で あ り,cc右. の列 は当該 階級以 上 を合格. 続 き 率 を 考 慮 し た 場 合 の 入 学 す る 学 生 数 で あ る 。 ま た,cumulative. は累 積 確 率 で あ る。. 次 の 表2-1bは,Excel上. で 作 成 し た 前 期 入 試 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン シ ー トで あ る 。. 計 算 例 の 入 試 受 験 者 数 は,前. 期1,300人,後. 期600人. る 。 言 う ま で も な く こ の 数 値 は 単 な る 例 で あ り,特. -201(463)一. と し,定. 員 は 合 計300人. 別 な意 味 は な い 。. 一. で 計 算 して い.
(10) 第52巻. 表2-1a前. 第2号. 期 入 試 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン シ ー トの 項 目 この階級. この階級. 首記の受. を合 格 と 以 上 を 合 験 者 数 の cumula-probabiし tiveIityof手. 続 き. probab-inter一. た場合. 格 と した. の残 存 率. 場合 の残. 学 す る学. 存 率(受. 生 数. 率(受. 験 者. ilityval全. 体 を1験. fromtoZと. 者全体. す る)を1と. (:XL)(:XU)階. 場 合 に入. す. 級 値XU(ofXU)る) 表2-lb前. 匝 麺](入. 期 入 試 の シ ミ ュ レー シ ョ ン. 力). ∵ 」 Z=(X一. 撫. μ)/σ. 轡蘭. 激_圃 cumul-proba一 ativebility手. 続 き. proba-ofin一. こ の階 級. こ の 階級. 首 記 の 受. を 合 格 と. 以 上 を合. 験 者 数 の. した場 合. 格 と した. 場 合 に 入. の 残 存 率. 場 合 の残. 学 す る学. 存 率(受. 生 数. 率(受. bilityterval全. 験 者 体 を1験. frQmtoZと. 者 全 体. す る)を1と. す. :XL:XUiXUofXUる) 10∼52.55-3.7500.0000.0001 26∼107.510-3.3330. .0000.0000.500650 .0000.oaoO.9470.0000.500650. 311∼1512.515-2.9170.0020.0010.8950.0010. .500649. 416∼2017.520-2.5000.0060.0040,8420. .0040.498648. 521∼2522.525-2.0830.0190.0120. .7890.0100.495643. 626∼3027530-1.6670.0480.0290 731∼3532.535-1.2500 836∼4037。540-0. .7370.0220.485630 .1060.0580.6840。0400. .463602. .8330.2020.0970.6320.0610.424551. 941∼4542.545-0.4170.33801360.5790. .0790.363472. 1046∼5047.5500.0000.5000.1620. .5260.0850.284369. 1151∼5552.5550.4170.6620 1256∼6057.5600. .1620.4740.0770.199259 .8330.7980.1360.4210.0570.122159. 1361∼6562.5651.2500.8940.0970.3680. .0360.06585. 1466∼7067.5701.6670.9520.0580 1571∼7572.5752.0830 1676∼8077.5802.5000 1781∼8582.5852. .3160.0180.02938 .9810.0290.2630.0080.01114 .99400120.2110.003a. .0035. .9170.9980.0040.1580.0010.0011. 1886∼9087.5903.3331.0000.0010. .1050.0000.0000. 1991∼9592.5953.7501.0000.0000. .0530.0000.0000. 2096∼10097.51004.1671.0000. .0000.0000.0000.0000 合 計1.0000.500. -202(464)一.
(11) 私 立大学入試 にお ける合格 最低 点決定 問題(大 村) 例 え ば,表2-1bか. ら,51点 以 上 を 合 格 と した 場 合 は,259人. の 学 生 が 入 学 す る と計 算 さ. れ て い る。 ま た,手 続 き率 は最 も単 純 な 直 線 近 似 で あ り,計 算 可 能 で あ る こ と を 示 す た め だ けの も の で あ り,実 際 の推 定 値 で は な い こ とに 注 意 され た い 。 次 の 表2-2は,Excel上. で 作 成 した 後 期 入 試 の 入 学 者 と,前 期 ・ 後 期合 計 の入学 者数 の シ. ミュ レー シ ョ ン シ ー トで あ る。 こ の 表 の右 端 は前 期 入 試 と後 期 入 試 の合 計 した入 学 者 数 で. 表2-2後. 期 入試 と合 計入学 者数 の シミ ュレー シ ョン. (入力). 一. 轡 灘[51 12 Z=(X一. 一. μ)/σ. 轡團i蜀_. L麟1次. 受験者数 一[:600. 分 布 表1モ. デル. cumulat-probabi一. 手 続 き. iveprob-lityof率 ・bili七yinte「val験. こ の 階. この 階. 首 記 の. 首 記 の. 級 を合. 級 以 上. 受 験者. 受 験 者. 格 と し. を合 格. 数 の場. 数 の 場. た場 合 の残 存. と した 場 合 の. 合 に入 学 す る. 合 に入 学 す る. 率(受. 残 存 率. 学 生 数. 学 生 数Xp者. 者 全(受 体 を1者. fromtoZと. す. :XL:XU,XUofXUる)す. 験(前 全 体+後 を1と る). 10∼52.55-3.83311111・0.0001,0000.0000.489294943.70943.7 26∼107.510-3.4170.000320.0000.9470.0000.489294943.56943.5 311∼1512.515-3.0000.001350.0010.8950.00iO.489294943。011943 416∼2017.520-2.5830,004890。0040.8420.0030,488293940.916940.9 521∼2522.525-2.1670.015130.0100.789!11:0.485291934.221934.2 626∼3027.530-1.7500.040060.0250.7370.0180,477286916.626916.6 731∼3532.535-1.3330.091210.0510.6840.0350.459275877.731877.7 836∼4037,540-0.9170.179660.0880.6320.0560.424254805236805.2 941∼4542.545-0.5000.308540.1290.5790.0750.368221692.341692.3 1046∼5047.550-0.0830.466790.1580.5260.0830.293176545.146545.1 1151∼5552.5550.3330,630560.1640.4740.0780.210126384.6053.89579300 1256∼6057.560a.7soO.773370.1430.42111.10.13279238.556238.5 1381∼6562.5651.1670.878330.1050.3680.0390.07243128.061128 1466∼7067.5701.5830.943330.0650.slsO.0210.0342058.566584.5 1571∼7572.5752.0000.977250.0340.2630.0090.013822.471223.8 1676∼8077.5802.4170.992170.0150.2110.0030.00437.076704.4 1781∼8582.5852.8330.997700.0060,1580.0010.00111.881176.5 1886∼9087.5903.2500.999420.0020.1050.0000.00000.3860.33 19191^-95192.59513.66710.9998810.00010.05310.0000.00010jlO.OI9110.038 2096∼10097.51004.0830.9999811!10.0000.000111100.0960 合 計0.999980.489. 203(465). 期. 期). 入 学 数.
(12) 第52巻. 第2号. あ り,例 え ば 定 員 が300人 の場 合 に,手 続 き率 を 考 慮 した 上 で,53.89579点. 以 上 を 合 格 とす. れ ば 丁 度300人 が 入 学 す る と計 算 され て い る。 現 実 問 題 で は,小 数 点 の 得 点 は な い の で,53 点 以 上 が 合 格 と な る。(54点 以 上 と した 場 合 は 入 学 者 は300人 を 下 回 る) 表2-2で のXpの. 計 算 は,直 線 近 似 の 補 間 法 を 用 い て い る。 例 え ば,こ の表 で51点 以 上 を. 合 格 と す る と,約385人. が 入 学 し,56点 以 上 を 合 格 と す る と約239人 が 入 学 す る の で(言. ま で もな く手 続 き率 を考 慮 した 数 値),そ. れ で は300人 を 入 学 さ せ る に は 何 点 以 上 を合 格 さ. せ る と よ い か を 直 線 近 似 の 補 間 で 計 算 して い る。 具 体 的 に は,2次 低 点,縦 軸 に入 学 者 数 を取 り,合 格 最 低 点X1点 人 入 学 す る と き,X1点. とX2点. う. でY1人. 元 平 面 で横 軸 に合 格 最. 入 学,合 格 最 低 点X2点. でY2. の 間 に あ るX点 で はY人 入 学 す る とす れ ば,. (X2-X1):(Y1-Y2)_(X-X1):(Y1-Y)(6). 図3補. が 成 り立 つ の で,XとYの ま た,Excelの 次 の 図4は. 間法(直 線近似). 関 係 が 求 め られ る。. ゴ ー ル シー キ ング の 機 能 を 使 え ば,同 様 の 計 算 が 可 能 で あ る。. こ の 計 算 例 の場 合 の,手 続 き率 を 考 慮 した 合 格 最 低 点 と入 学 者 数 を 表 して い. る。 こ の 図4よ. り,こ の 計 算 例 の前 提 条 件 で は,こ. の グ ラ フ の 曲 線 を右 に移 動 さ せ る事 が. 大 学 の 経 営 に 寄 与 し,ま た そ の た め に は手 続 き率 の 向 上 が 重 要 で あ り,そ の 向 上 の 為 に は, 大 学 の 世 間 で の 評 価 が 重 要 で あ る こ と も理 解 で き る。. -204(466)一.
(13) 私立 大学入試 におけ る合格 最低点決 定 問題(大 村). 図4合. 5.結. (1)こ. 格 最低点 と入学者 数. 論. と. 考. 察. の論 文 で は,前 期 入 試 と後 期 入 試 の 試 験 が ほ ぼ 同 じ難 易 度 で あ る と して計 算 して. い る。 こ の 仮 説 は 入 試 の現 実 を 見 れ ば,問 題 な い と思 わ れ る。 但 し,受 験 生 の質 は前 期 入 試 ・後 期 入 試 で 変 化 す る が,そ れ は こ の分 析 に は影 響 を 与 え な い。 (2>Xpは. 前 期 入 試 が 終 わ っ た と き に決 定 す る必 要 が あ る の で,後 期 入 試 に な らな い と. 判 明 しな い 後 期 入 試 受 験 者 数Nb,後 手 続 き率Gb(x)及. 期 入 試 得 点 の 確 率 密 度 関 数fb(x),後. び,前 期 入 試 の 手 続 き率Ga(x)は,前. 期入 試 の. 年 度 以 前 の 実 績 数 値 を知 っ. た 上 で,今 年 度 の 状 況 を 勘 案 して 値 を 推 定 す る こ と に な る。 この 具 体 的 な 方 法 につ い て は 本 論 文 で は 述 べ ず,別. の 機 会 と した い。. (3)(2)の 推 定 の 問 題 は 別 途 考 え る必 要 が あ る が,他 の 方 法 と して は,妥 当 と考 え られ る 前 提 条 件 を い くつ か 求 め,そ れ ぞ れ の場 合 に つ い て シ ミュ レ ー シ ョ ン を行 う の も一 つ の 方 法 で あ る。 (4>更. に,場 合 に よ って は,モ. ンテ カ ル ロ シ ミ ュ レー シ ョ ンを 行 う こ と も選 択 肢 と して. 考 え られ る。 (5)本 論 文 は 方 法 論 を 述 べ た も の で あ り,こ の方 法 を 実 際 に使 う に は 実 際 の デ ー タ を 収 集 の 上,十 分 な 調 査 ・分 析 が 必 要 で あ る こ とは 言 う ま で もな い。 (6)本. 論 文 で 述 べ た シ ミ ュ レー シ ョ ン シ ー トを 用 い れ ば,前 期 入 試 と後 期 入 試 で 合 格 最 205(467)一.
(14) 第52巻 低 点 が 違 っ て よ い 場 合 の,そ. 第2号. れ ぞ れ の 入 試 の 合 格 最 低 点 を 求 め る こ と も で き,前. 試 の 合 格 最 低 点 が 後 期 入 試 合 格 最 低 点 に 与 え る影 響 を 知 る こ と も出 来 る 。. 参. [1]1.ガ. ッ トマ ン/S.S.ウ. 考. 文. 献. ィ ル ク ス,工 科 系 の た め の統 計 概 論,培. 一206(468)一. 風 館,昭. 和51年. 期入.
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