130206g004

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第５学年

算数科学習指導案

１ 単元名

「単位量あたりの大きさ」

２ 単元の目標

○ 身の回りの事象や自分の経験と関連づけながら、二つの量の割合としてとらえられる数量の比べ方・表し方を進んで考えようとしたり、そのよさに気付いたりする。（関心・意欲・態度） ○ 異種の２量の割合でとらえられる数量について、数直線を用いながら一方を単位量にそろえたときのもう一方の大きさで比べたり表したりすることができる。（数学的な考え方） ○ 異種の２量の割合でとらえられる数量の関係を表した数直線をもとに、単位量あたりの大きさを求めることができる。（技能） ○ 単位量あたりの考え方を使った比べ方や表し方を理解することができる。（知識・理解）

３ 本単元について

単位量あたりの大きさで表される量は、これまで学習してきた長さ、重さ、面積、体積・容積、角の大きさ、時間等の加法性のある量ではなく、いわゆる内包量と呼ばれる、異種の２量の割合で表される量である。本単元では、このような異種の２量の組み合わせでしかとらえられない量があるということ、そして、それは一方の量を単位量としてそろえ、他方の量の大きさで比べたり表したりすることができることをとらえさせることがねらいである。尚、この学習は、資料に含まれる量が均等に存在すると見なす「平均の考え」、一方が２倍、３倍になったら他方の量も２倍、３倍になるという「比例関係」が前提となってくる。

４ 本学級の児童について

本学級の子どもたちに、以下のような実態調査を行った。【問１】は、こみ具合について、感覚的なとらえ方ではなく、広さ（面積）と人数の関係で決まるということに着目できているかを問う問題である。①Ｃ、②ＡとＢと正答できたのはわずか 10 ％である。誤答としては、Ｃを一番にあげていない子どもが10人もいた。これは、偏りなど感覚的なものに惑わされて、散らばりを均等に見なし、広さ（面積）と人数という２つの量から決めることが十分にできていないものと考える。そこで、本単元では、●の図表現で視覚的に表しながら、均等にみなして考えるという「平均の考え」を丁寧に扱っていきたい。【問２】は、比例関係の考えが理解できているかを問う問題である。式の正答率は①100 ％、② 85％、③85％と、どれも85％を超えていた。これは、低学年の時から乗法・除法の場面を、比例関係をもとにした１組の数直線で考えていくという、本校の学びの積み上げによるものと考える。そこで、本単元においても、それらの学びを数直線で上手くつないでいくようにしたい。量分離量（物の個数など）連続量外延量（長さ、面積、体積・容積、重さなど）内包量率（濃度など同種の２量の割合）度（速度、密度など異種の２量の割合）【単位量あたりの大きさ】【問1】同じ広さの体育館Ａ、Ｂ、Ｃで子どもたちが遊んでいます。（●で一人です）どの体育館がこんでいるか、こんでいる順をいいましょう。〈正答率〉10％（2人）誤答例…①Ｂ②Ｃ③Ａ（10人） …①Ｃ②Ｂ③Ａ（2人） …①Ｃ②Ａ③Ｂ（6人）【問2】ある店では、3mの布を540円で売っています。 ① この布1mのねだんは何円ですか。〈正答率〉式100％（20人）答え100％（20人） ② この布15m買うと代金は何円になりますか。〈正答率〉式85％（17人）答え85％（17人） ③ この布900円分買うと布は何mになりますか。〈正答率〉式85％（17人）答え70％（14人）体育館Ａ体育館Ｂ体育館Ｃ（実施日：平成25年9月30日（月）対象那珂川町立岩戸小学校5年1組20名）

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場面 ② 場面 ①

５ 単元計画

第１時第２時子どもたちがそれぞれの部屋で遊んで右のように、子どもがシートのいます。どの部屋がこんでいると言え上にのっています。あ、い、うますか。のうち、一番こんでいるのはどれでしょう。意・こみ具合を比べる場面だ。・あといは、シートの枚数(面積)が同じなので、人数が多いあがこんでいる。識・こみ具合は、部屋の広さと人数の両方が関係・いとうは、人数が同じなのでシートの枚数(面積)が少ないうがこんでいる。すしているな。・人数もシートの枚数も違うあとうはどちらがるこんでいると言えるのかな。【Ａ部屋とＢ部屋】【シート１枚（１㎡）あたりの人数で比べる】固まっていようが散らばっていようが、同じ部屋の広さに同じ人数道が遊んでいるのでこみ具合は同じ。【Ｂ部屋とＣ部屋】あ…シート１枚（１㎡）あたり５人→15÷３広さが同じで、人数がＣの部屋のう…シート１枚（１㎡）あたり６人→12÷２具方が多いので、Ｃの部屋がこんでいると言える。 ※１人あたりの面積は、教師側から提示する。【Ｃ部屋とＤ部屋】【１人あたりの面積で比べる】化人数が同じで、広さがＤの部屋の方がせまいので、Ｄの部屋がこんでいると言える。 ※ＡとＢ、ＢとＣ、ＣとＤという順で比較させあ…１人あたり３÷15で0.2㎡ていく。う…１人あたり２÷12で約0.17㎡自・こみ具合は、人数と広さの両方に関係した。・人数と面積が違っても、１㎡あたりの人数や、覚・部屋の広さが同じなら人数が多い方がこんで１人あたりの面積でこみ具合は比べられた。すいる、同じ人数ならせまい方がこんでいると・１㎡あたりの人数で比べると大きい方、１人あたりの面る言える。積で比べると小さい方がこんでいることになる。Ｅの部屋は、１２畳の広さで、１０人が遊んで１㎡あたりの人数で比べることを、これまでのいます。他の部屋とこみ具合を比べましょう。数直線で表せないでしょうか。道具Ｃ部屋とＤ部屋を比べると、人数が２倍になっ化ているけど、その分、広さも２倍になっているこれは、同じこみ具合と考えてよい。納・同じ広さな人数が多い方、同じ人数ならせま・こみ具合は、１㎡あたりの人数や１人あたり得い方がこんでいると言えた。の面積で表すと比べることができた。す・人数が２倍でも、広さも２倍になっていたら・こみ具合も、これまでの数直線で表し、比べる同じこみ具合と言えた。ることができる。あうあう人数面積０１３（人） □ １５０ _{□×３＝１５} ×３ ×３１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎡）【あ】人数面積０１２（人） □ １２０ _{□×２＝１２} ×２ ×２１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎡）【う】ううあああいうＡの部屋（６畳）Ｂの部屋（６畳）Ｃの部屋（６畳）Ｄの部屋（３畳）Ａの部屋（６畳）Ｂの部屋（６畳）Ｂの部屋（６畳）Ｃの部屋（６畳）Ｃの部屋（６畳）Ｄの部屋（３畳）

Ｃの

部屋

（６畳）

Ｅの

部屋

（12畳）

(3)

あ

第３時第４時４㎡の花だんには32個の球根を、６㎡の花だんに右の表は大阪市と横浜市は、45この球根を植えました。どちらの花だんがの人口と面積を表していこんでいると言えますか。ます。２つの市のこみ具合を調べましょう。・同じこみ具合を比べる場面だ。・同じこみ具合だけど、市のこみ具合の場面だ。・１㎡あたりの球根の数で比べられそうだ。・面積を１㎢でそろえて比べたらよさそう。・２組の数直線で表し、比べられそう。・数直線の１つ分の大きさが□でその大きさを比べたらよい。 □×４＝32 □＝32÷４ □×222＝2525153 □＝2525153÷222 １㎡あたり８こ答え１㎢あたり11375人 □×６＝45 □＝45÷６ □×437＝3605951 □＝3605951÷437 １㎡あたり６こ答え１㎢あたり8252人・やっぱり２組の数直線で、１㎡あたりの球根の・市の人の混み具合も、面積を１㎢にそろえ、数を求め、花だんのこみ具合を比べることがで１㎢あたりの人数の多さで比べられた。きた。・１㎢あたりの人口で表した国や都道府県、市町村の人のこみ具合を人口密度というのだな。６両に720人乗っている電車と、８両に920人乗っている電車が次の５つの県の人口密度を求めましょう。あります。どちらの電車がこんでいると言えますか。（小数第一位を四捨五入して整数で）１㎢あたり1398人１㎢あたり383人 □×６＝720 □＝720÷６＝120 １両あたり720人１㎢あたり337人 □×８＝920 □＝920÷８＝115 １両あたり115人１㎢あたり1011人愛知県 □×5164＝7218350 □＝7218350÷5164 奈良県 □×3691＝1414970 □＝1414970÷3691 広島県 □×8479＝2859300 □＝2859300÷8479 福岡県 □×4979＝5031870 □＝5031870÷4979 ・１㎡あたりの球根の数、１両あたりの人数でこ・やっぱり、１㎢あたりの人口を１つ分の大きみ具合を比べることができた。さにして、こみ具合を比べることができた。・やっぱり、いろいろな場面のこみ具合も、数直・人口密度を表すと、いろいろな県のこみ具合線で表すことができた。を比べることができる。人口（人）面積（㎢）大阪市２５２５１５３２２２横浜市３６０５９５１４３７人口（人）面積（㎢）愛知県７２１８３５０５１６４奈良県１４１４９７０３６９１広島県２８５９３００８４７９福岡県５０３１８７０４９７９人口面積０１ 222 （人） □ 2525153 ０ □×222＝2525153 ×222 ×222 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎢）【大阪市】人口面積０１ 437 （人） □ 3605951 ０ □×437＝3605951 ×437 ×437 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎢）【横浜市】個数面積０１４（個） □ ３２０ _{□×４＝３２} ×４ ×４１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎡）【４㎡の花だん】個数面積０１６（個） □ ４５０ _{□×６＝４５} ×６ ×６１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（㎡）【６㎡の花だん】人数両数０１６（人） □ 720 ０ _{□×６＝720} ×６ ×６１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（両）【６両の電車】人数両数０１８（人） □ 920 ０ _{□×８＝920} ×８ ×８１つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（両）【８両の電車】

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あ

第５時（本時）第６時 30Ｌのガソリンで360㎞走る自動車Ａと、40Ｌのガ１ｍあたりの重さが 60 ｇの針金があります。ソリンで500㎞走る自動車Ｂがあります。同じガソこの針金4.2 ｍの重さは何ｇですか。リンの量では、どちらの自動車の方が長く走ることができますか。・同じガソリンの量でどちらが長く走れかを比べ・単位量あたりの大きさがわかっている場面にる場面に変わった。変わった。・ガソリンを１Ｌにそろえて比べたらよさそう。・数直線では、いくつ分の大きさが□になりそ・今日も１つ分の大きさが□でその大きさで比べられそう。う。 □×30＝360 □＝360÷30 60×4.2＝□ □＝252 答えガソリン１Ｌあたり12㎞走る。答え 4.2ｍの重さは252ｇ ※追加場面花壇に１㎡あたり0.4㎏の肥料をまきます。１２㎡の花壇では、肥料を何㎏使いますか。 □×40＝500 □＝500÷40 答えガソリン１Ｌあたり12.5㎞走る。・ガソリンの量を１Ｌにそろえ、１Ｌあたりで走・数直線では、いくつ分の大きさが□だった。る道のりで比べられた。・単位量あたりの大きさがわかっていて、いく・こみ具合と同じように、数直線では、１つ分のつ分の大きさを求める場面だった。大きさを□にして、その大きさで比べられた。 35Ｌのガソリンで385㎞走る自動車Ｃがあります。この車は、かべにペンキをぬります。１Ｌのペンキで、かべを3.3 ㎡ぬれると同じガソリンの量で自動車Ｂより長く走ることはできますか。すると、16.5㎡のかべをぬるには、何Ｌのペンキがいりますか。 □×35＝385 □＝385÷35 3.3×□＝16.5 □＝16.5÷3.3 答えガソリン１Ｌあたり11㎞走る。答え 16.5㎡ぬるには、５Ｌのペンキがいる。１㎥あたりの人数 ※追加場面１㎢あたりの人数単位量あたりの大きさ１Ｌのガソリンで 12 ㎞走る自動車があります。この自１Ｌあたりで走れる道のり動車が528㎞走るには何Ｌのガソリンがいりますか。・こみ具合だけではなく、他の場面でも、単位量・数直線では、いくつ分が□になった。あたりの大きさで比べることができた。・単位量あたりの大きさがわかっていて、いく・数直線の１つ分の大きさが□になり、その□のつ分を求める場面だった。大きさで比べることができた。・単位量あたりの大きさは、いろいろな場面で使える。道のり使用量０１ 30 （㎞） □ 360 ０ _{□×30＝360} ×30 ×30 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ａ】道のり使用量０１ 40 （㎞） □ 500 ０ _{□×40＝500} ×40 ×40 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ｂ】重さ長さ０１ 4.2 （ｇ） 60 _□ ０ _{60×4.2＝□} ×4.2 ×4.2 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（m）面積かさ０１ □ （㎡） 3.3 16.5 ０ _{3.3×□＝16.5} ×□ ×□ １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）道のり使用量０１ 35 （㎞） □ 385 ０ _{□×35＝380} ×35 ×35 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ｃ】

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６ 本時

平成２５年１０月９日（水）５校時

７ 本時のねらい

異種の２量の割合でとらえられる数量を比較するという状況・場面において、１㎡、１㎢あたりの人数でこみ具合を比べた経験をもとに、一方の量を単位量にそろえ、他方の大きさで比べるという比べ方を数直線を使って説明することができる。

８ 本時の展開

算数知を生み出す活動気づき１本時の状況・場面を把握し、めあてをつかむ。気づき① 意識する【状況・場面①】【発問①】・比べるところは同じ。 30Ｌのガソリンで360㎞走る自動車Ａと、40Ｌのガソリンで500 ・２つの量が関係しているこ㎞走る自動車Ｂがあります。同じガソリンの量では、どちらのとは同じ。自動車の方が長く走ることができますか。・こみ具合を比べる場面から、同じガソリンの量でど【発問①】「これまでの問題場面と同じところ、変わったところちらが長く走れかを比べるはどこですか。」場面に変わった。【発問②】【発問②】「これまでの、こみ具合を比べた場面での学びは使え・１㎡や１㎢にそろえたようそうですか？どんな学びが使えそうですか。」に、今日も１Ｌあたりにそ [ペア交流] ろえる考えが使えそう。・これまでの数直線でできそう。１つ分の大きさが□でその大きさで比べられそう。めあてガソリンの量をそろえて、どちらの自動車が長く走ることができるか、数直線を使って比べよう。２単位量あたりの大きさを数直線をもとに表し、説明する。 ○ １Ｌあたりのガソリンで走れる道のりを比較する状況・場面①を数直線に表し、自分の考えをつくる。 □×30＝360 □＝360÷30＝12 自動車Ａは、ガソリン１Ｌあたり12㎞走ることができる。道のり使用量０１ 30 （㎞）

□

360 ０ _□×_30＝360 ×30 ×30 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ａ】

(6)

気づき② 自覚する【発問③】・ガソリン１Ｌあたりで走る道のりで比べられた。・数直線では、１つ分の大きさを□にして、その大きさで比べられた。 □×40＝500 □＝500÷40＝12.5 ・ガソリン１Ｌあたりで走れ自動車Ｂは、ガソリン１Ｌあたり12.5㎞走ることができる。る道のりは、自動車Ａが12 答え自動車Ｂの方が同じガソリンの量で長く走ることができる。㎞、自動車Ｂが12.5㎞で、 ○ つくった考えを数直線を使って説明する。Ｂの方が同じガソリンの量【発問③】「数直線を使ってどんな考えをつくりましたか。」で長く走ることができる。 [ペア交流] ○ 他の自動車Ｃとも比較する状況・場面②を数直線に表し、本時の学びを深める。【状況・場面②】 35Ｌのガソリンで385㎞走る自動車Ｃがあります。この車は、同じガソリンの量で自動車Ｂより長く走ることはできますか。気づき③ 納得する【発問⑥】「状況・場面①と同じような考えでできそうですか。」【発問⑥】・１Ｌにそろえて考えれば、同じように比べられそう。【発問⑦】・こみ具合だけでなく、他の２つの量が関係している場面でも、単位量あたりの大 □×35＝385 □＝385÷35＝11 きさで考えると、比べるこ自動車Ｃは、ガソリン１Ｌあたり11㎞走ることができる。とができた。答え自動車Ｂより長く走ることはできない。・場面が変わっても、これま ○ 単位量あたりの大きさについてまとめる。での数直線がやっぱり使えた。１㎥あたりの人数・数直線の１つ分の大きさが１㎢あたりの人数単位量あたりの大きさ □になり、その□の大きさ１Ｌあたりで走れる道のりで比べることができた。【発問⑦】「今日の場面①②をやってみてどんなことがわかりましたか。」３単位量あたりの大きさで比べたことを意識しながら、本時の場面を整理し，まとめをつくる。まとめ・こみ具合だけでなく、２つの量が関係する他の場面でも、単位量あたりの大きさで比べることができた。・数直線の１つ分の大きさが□になり、その□の大きさで比べることができた。道のり使用量０１ 40 （㎞）

□

500 ０ _{□×40＝500} ×40 ×40 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ｂ】道のり使用量０１ 35 （㎞）

□

385 ０ _{□×35＝380} ×35 ×35 １つ分の大きさいくつ分の大きさ１つ分いくつ分（Ｌ）【自動車Ｃ】