後期 期末試験（ 2月　4日）類題と解答（ kimatsu-14-1

微積分

I (2014

年度前期)

期末試験類題

(理工学部共通)

1 次の関数の n 次導関数 (n は自然数) を求めよ。 《基本》

(1) x2 ₍₂₎√_{x (3)} 1

x (4) e

x _{(5) log|x| (6) sin x (7) cos x} 《標準》

(8)√2x + 1 (9) 1

2x + 1 (10) e

2x _{(11) log|1 − x| (12) sin 2x} 《応用》

(13) (x + 2)ex (14) x2sin x (15) cos2x (16) sin x sin 2x (17) x− 4 x2_{+ x}− 2 2 次の関数にマクローリンの公式を適用して x4の項まで求めよ。但し剰余項は R5としてよい。 《基本》 (1) ex (2) sin x_|{z} EMaT2013 年問 2 改題 (3) cos x (4)√1 + x (5) 1 1 + x (6) log(1 + x)| {z } EMaT2011 年 問 2 《標準》 (7) _|{z}2x EMaT2006 年 問 3 (8) e−x(1 + e2x) (9) sin 2x (10) √ 1 1− x (11) √ 2x + 1 (12) log|1 − x| 《応用》 (13) (x + 2)ex | {z } EMaT2005 年 問 1-3 (14) sin2x (15) x− 4 x2_{+ x}− 2 (16) e x_{sin x (17)} sin x 1− x | {z } EMaT2013 年問 2 3 次の極限を求めよ。 《基本》 (1) lim x→0 sin 3x x (2) limx→0 1− cos x x2 (3) lim_x→0 log(1 + x) x (4) limx→0 e−x− 1 x 《標準》 (5) lim x→+∞ ex x2 | {z } EMaT 2006 年問 1-1 (6) lim x→+∞ x log x (7) limx_→0 x2 e2x− 1 − 2x (8) lim_x→0 sin x− x x3 (9) lim_x→0 1−x₂2 − cos x x4 (10) lim x_→0 (x + 1) log(x + 1)− x x2 | {z } EMaT2009 年 問 1 (11) lim x_→0 log(cos x) x2 | {z } EMaT2007 年 問 1(2) (12) lim x_→+0x log x (13) limx_→0 tan−1x− x x3 《応用》 (14) lim x→0 x− sin x cos x x3 (15) lim_x→0 2 cos−1x + 2x− π x3 (16) lim_x→+0x x _{(17) lim} x→0 e2x_{− 1 + 2x − 3x}2 x3 4 (i) 《標準》次の関数の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ，グラフの概形を描け。 (1) y = x3_{− x (2) y = x}4_{− 5x}2_{+ 4 (3) y = xe}−x _{(4) y = e}−x2₂ (5) y = x x2_{+ 1} (6) y = x √ 1 + x2 (ii) 《標準》次の関数の増減，凹凸，与えられた区間における最大値，最小値を調べ，グラフの概形を描け。 但し (5) では x 軸との交点の座標を求めなくてもよい。 (1) y = x log x (x > 0) (2) y = exsin x (−π ≦ x ≦ π) (3) y = x +√1− x2 ₍−1 ≦ x ≦ 1) _{(4) y = x}√₁− x2 ₍−1 ≦ x ≦ 1) | {z } 国家公務員 II 種試験改題 (5) y = x−2 sin x (−π ≦ x ≦ π)   5 《標準》次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。但し，k は実数の定数とする。 (1) x3+ k = 0 (2) x3− 4x2+ 6x = x + k (3) x = ex (4) x = cos x (5) x4−4 3x 3_{− 4x}2_{+ k = 0} | {z } 労働基準監査官採用試験

6 次の不定積分を求めよ。 《基本》 (1) ∫ xndx (n̸= −1) (2) ∫ 1 xdx (3) ∫ exdx (4) ∫ sin xdx (5) ∫ cos xdx (6) ∫ 1 cos2_xdx (7) ∫ 1 1 + x2dx (8) ∫ 1 √ 1− x2dx 《標準》 (9) ∫ (2x3− 3x + 3)dx (10) ∫ x√xdx (11) ∫ 1 3 √ x2dx (12) ∫ dx 2x + 1 (13) ∫ (2x + 1)10dx (14) ∫ e−2xdx (15) ∫ sinx 2dx (16) ∫ x cos(x2)dx (17) ∫ log x x dx (18) ∫ ex 1 + exdx (19) ∫ tan xdx (20) ∫ x x2_{+ 2}dx (21) ∫ dx x2_{+ 2} (22) ∫ dx x +√x (23) ∫ x sin xdx (24) ∫ log xdx (25) ∫ (x− 2)e3xdx (26) ∫ x− 4 x2_{+ x}− 2dx (27) ∫ 1 1 + cos xdx | {z } EMaT2006 年 問 1-4 (28) ∫ sin2xdx (29) ∫ x2cos xdx (30) ∫ eaxsin xdx | {z } EMaT2012 年 問 4 (a̸= 0) (31) ∫ x x2− 4x + 13dx (32) ∫ cos x cos 2xdx 《応用》 (33) ∫ dx sin 2x (34) ∫ dx √ x2_{+ 1} | {z } EMaT2005 年 問 1-2 改題 (35)∫ √1− x2_{dx (36)} ∫ log(x2+ 1)dx | {z } EMaT2010 年 問 3 (37) ∫ sin−1xdx (38) ∫ cos−1xdx (39) ∫ tan−1xdx | {z } EMaT2003 年 問 1-3 (40) ∫ 2x(x + 1) (x− 1)2_(x2_{+ 1)}dx | {z } EMaT2011 年 問 3 7 (1) 《基本》y = xeax が恒等的に y′′− 2√2y′+ 2y = 0 を満たすように，定数 a を定めよ。 (2) 《標準》y = e√x+ e−√xが恒等的に xy′′+ ay′= 1 4y を満たすように，定数 a を定めよ。

(3) 《標準》y = sin(4 sin−1x) が恒等的に (1− x2)y′′− xy′+ ay = 0 を満たすように，定数 a を定めよ。

8 《標準》次の不等式が与えられた区間で成り立つことを示せ。 (1) x > 1 で x5+ 4 > 5x (2) x > 0 で log(1 + x) > x 1 + x (3) x > 0 で 2x > sin 2x (4)−1 < x < 1 で cos−1x > 1− x (5) x > 0 で tan−1x > x 1 + x2 (6) 任意の実数 x で ex≧ 1 + x +x 2 2! + x3 3!(等号成立条件も求めよ) 9 (1)《標準》直円柱の表面積が 96π であるとき，体積の最大値を求めよ。但し直円柱の表面積とは 底面と上面と側面の面積の合計である (国家公務員 II 種試験)。 (2)《標準》半径 a(a > 0) の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ (国家公務員 II 種試験)。 (3)《標準》中心角 θ が 0 < θ < π で面積 1 の扇形の、周長の最小値を求めよ。但し π = 3.14· · · である。

【 略 解 】 1 (1) f′(x) = 2x, f′′(x) = 2、n = 3, 4,· · · で f(n)_{(x) = 0 (2)} 1· (−1) · (−3) · · · (−2n + 3) 2n x 1 2−n (3) (−1) n_n! xn+1 (4) e x ₍₅₎ (−1) n−1_{(n− 1)!} xn (6) sin(x + nπ 2 ) (7) cos(x + nπ 2 ) (8) 1· (−1) · · · (−2n + 3)(2x + 1)12−n (9) (−2) n_n! (2x + 1)n+1 (10) 2 n_e2x ₍₁₁₎₋(n− 1)! (1− x)n (12) 2nsin(2x +nπ 2 ) (13) (x + n + 2)e x _(14){x2_{− n(n − 1)} sin}(_{x +}nπ 2 ) − 2nx cos(x + nπ 2 ) (15) 2n−1cos ( 2x +nπ 2 ) (16)1 2 { cos ( x +nπ 2 ) − 3n_cos(_{3x +}nπ 2 )} (17) (−1)nn! ( − 1 (x− 1)n+1+ 2 (x + 2)n+1 ) 2 (1) 1 + x +x 2 2 + x3 6 + x4 24+ R5 (2) x− x3 6 + R5 (3) 1− x2 2 + x4 24+ R5 (4) 1 +1 2x− 1 8x 2 + 1 16x 3₋ 5 128x 4 + R5 (5) 1− x + x2− x3+ x4+ R5 (6) x− x2 2 + x3 3 − x4 4 + R5 (7) 1 + x log 2 +(log 2) 2 2 x 2₊(log 2) 3 6 x 3₊(log 2) 4 24 x 4_{+ R} 5 (8) 2 + x2+ x4 12+ R5 (9) 2x− 4 3x 3_{+ R} 5 (10) 1 +x 2+ 3 8x 2₊ 5 16x 3₊ 35 128x 4_{+ R} 5 (11) 1 + x− 1 2x 2₊1 2x 3₋5 8x 4_{+ R} 5 (12)−x − x2 2 − x3 3 − x4 4 + R5 (13) 2 + 3x + 2x2+5 6x 3₊1 4x 4_{+ R} 5 (14) x2− 1 3x 4_{+ R} 5 (15) 2 + x 2 + 5 4x 2₊7 8x 3₊17 16x 4_{+ R} 5 (16) x + x2+1 3x 3_{+ R} 5 (17) x + x2+ 5 6x 3₊5 6x 4_{+ R} 5 3 (1) 3 (2) 1 2 (3) 1 (4) −1 (5) +∞ (6) +∞ (7) 1 2 (8)− 1 6 (9) − 1 24 (10) 1 2 (11)−1 2 (12) 0 (13)− 1 3 (14) 2 3 (15)− 1 3 (16) 1 (17) +∞ 4 (i) (1) f′(x) = 3x2− 1，f′′(x) = 6x，x 軸との交点 x = 0,±1，y 軸との交点は原点 x −√1 3 0 1 √ 3 f′(x) + 0 − − − 0 + f′′(x) − − − 0 + + + f (x) ↗, ∩ 2 √ 3 9 (極大) ↘, ∩ 0(変曲) ↘, ∪ − 2√3 9 (極小) ↗, ∪ (2) f′(x) = 4x3− 10x，f′′(x) = 12x2− 10，x 軸との交点 x = ±1, ±2，y 軸との交点 y = 4 x − √ 5 2 − √ 5 6 0 √ 5 6 √ 5 2 f′(x) − 0 + + + 0 − − − 0 + f′′(x) + + + 0 − − − 0 + + + f (x) ↘, ∪ −9₄(極小) ↗, ∪ 19₃₆(変曲) ↗, ∩ 4(極大) ↘, ∩ 19₃₆(変曲) ↘, ∪ −9₄(極小) ↗, ∪ (3) f′(x) = (1− x)e−x，f′′(x) = (x− 2)e−x， lim

x→−∞f (x) =−∞， limx→+∞f (x) = 0，x,y 軸との交点は原点 x 1 2 f′(x) + 0 − − − f′′(x) − − − 0 + f (x) ↗, ∩ 1 e(極大) ↘, ∩ 2 e2(変曲) ↘, ∪ (4) f′(x) =−xe−x22 ，f′′(x) = (x2− 1)e− x2 2 ， lim x_→±∞f (x) = 0，x 軸との交点無し，y 軸との交点 y = 1 x −1 0 1 f′(x) + + + 0 − − − f′′(x) + 0 − − − 0 + f (x) ↗, ∪ √1 e(変曲) ↗, ∩ 0(極大) ↘, ∩ 1 √ e(変曲) ↘, ∪

(5) f′(x) = 1− x 2 (x2_{+ 1)}2，f ′′_{(x) =}2x(x2− 3) (x2_{+ 1)}3 ， lim_x→±∞f (x) = 0，x,y 軸との交点は原点 x −√3 −1 0 1 √3 f′(x) − − − 0 + + + 0 − − − f′′(x) − 0 + + + 0 − − − 0 + f (x) ↘, ∩ −√3 4 (変曲) ↘, ∪ − 1 2(極小) ↗, ∪ 0(変曲) ↗, ∩ 1 2(極大) ↘, ∩ √ 3 4 (変曲) ↘, ∪ (6) f′(x) = 1 (x2_{+ 1)}3₂，f ′′_{(x) =−} 3x (1 + x2₎5₂， limx→±∞f (x) =±1(複号同順)，x,y 軸との交点は原点 x 0 f′(x) + + + f′′(x) + 0 − f (x) ↗, ∪ 0(変曲) ↗, ∩

(ii) (1) f′(x) = log x+1，f′′(x) = 1 x， limx→+0f (x) = 0， limx→+∞f (x) = +∞，最大値無し，最小値 m = f ( 1 e ) =−1 e， x 軸との交点は x = 1(x = 0 は定義域で無いので原点は交点ではない) x +0 1 e +∞ f′(x) −∞ − 0 + + f′′(x) +∞ + + + + f (x) 0 ↘, ∪ m = −1 e(極小, 最小) ↗, ∪ +∞ (2) f′(x) =√2exsin ( x +π 4 ) ，f′′(x) = 2excos x，最大値 M = f ( 3π 4 ) =e 3π 4 √ 2，最小値 m = f ( −π 4 ) =−e −π 4 √ 2 ， x 軸との交点 x = 0,±π，y 軸との交点は原点 x −π −π₂ −π₄ π₂ 3π₄ π f′(x) − − − − 0 + + + 0 − − f′′(x) + + 0 − − − 0 + + + + f (x) 0 ↘, ∩ −e−π2(変曲) ↘, ∪ m =−e− π√4 2 (極小, 最小) ↗, ∪ e π 2(変曲) ↗, ∩ M =e 3π 4 √ 2(極大, 最大) ↘, ∩ 0 (3) f′(x) = 1−√ x 1− x2，f ′′_{(x) =−} 1 (1− x2₎3₂，最大値 M = f ( 1 √ 2 ) =√2，最小値 m = f (−1) = −1，x 軸 との交点 x =−√1 2，y 軸との交点 y = 1 x −1 √1 2 1 f′(x) +∞ + 0 − −∞ f′′(x) −∞ − − − −∞ f (x) m =−1(最小) ↗, ∩ M =√2(極大, 最大) ↘, ∩ 1 (4) f′(x) = 1− 2x 2 √ 1− x2，f ′′_{(x) =} x(2x2− 3) (1− x2₎3₂ ，最大値 M = f ( 1 √ 2 ) = 1 2，最小値 m = f ( −√1 2 ) =−1 2，x 軸と の交点 x = 0,±1，y 軸との交点 y = 0 x −1 −√1 2 0 1 √ 2 1 f′(x) −∞ − 0 + + + 0 − −∞ f′′(x) +∞ + + + 0 − − − −∞ f (x) 0 ↘, ∪ m = −1₂(極小, 最小) ↗, ∪ 0(変曲) ↗, ∩ M =1₂(極大, 最大) ↘, ∩ 0 (5) f′(x) = 1− 2 cos x，f′′(x) = 2 sin x，最大値 M = f (π) = π，最小値 m = f (−π) = −π，x 軸との交点 x = 0,±α(f (_π 3 ) < 0 < f (_π 2 ) なので π 3 < α < π 2 であるが一般に方程式 x = 2 sin x を解く事は出来ないので α の値は特に明示しなくてもよい。)，y 軸との交点は原点 x −π −π₃ 0 π₃ π f′(x) + + 0 − − − 0 + + f′′(x) 0 − − − 0 + + + 0 f (x) m =−π(変曲, 最小) ↗, ∩ √3−π₃(極大) ↘, ∩ 0(変曲) ↘, ∪ −√3 +π₃(極小) ↗, ∪ M = π(変曲, 最大)

5 (1) 1 つ (2) 3 つ (50 27 < k < 2)，2 つ (k = 50 27, 2)，1 つ (k < 50 27又は k > 2) (3) なし (4) 1 つ (5) 4 つ (0 < k < 5 3)，3 つ (k = 0, 5 3)，2 つ (k < 0 又は 5 3 < k < 32 3 )，1 つ (k = 32 3 )，なし (k > 32 3 ) 6 （積分定数略）(1) 1 n + 1x

n+1 _{(2) log|x| (3) e}x _{(4)− cos x (5) sin x (6) tan x (7) tan}−1_x

(8) sin−1x(=− cos−1x) (9) 1 2x 4₋3 2x 2_{+ 3x (10)} 2 5x 2√_{x (11) 3}√3_{x (12)} 1 2log|2x + 1| (13) 1 22(2x + 1) 11 ₍₁₄₎₋1 2e −2x _{(15)−2 cos}x 2 (16) 1 2sin(x 2_{) (17)} (log x)2 2 (18) log(1 + e x₎ (19)− log | cos x| (20) 1 2log(x 2_{+ 2) (21) √}1 2tan −1(_√x 2 ) (22) 2 log(√x + 1) (23)−x cos x + sin x (24) x log x− x (25) 3x− 7

9 e 3x _{(26) 2 log|x + 2| − log |x − 1|} (27) tanx 2 (28) x 2 − sin 2x 4 (29) (x 2_{− 2) sin x + 2x cos x} (30) e ax a2_{+ 1}(a sin x− cos x) (31) 1 2log(x 2_{− 4x + 13) +}2 3tan −1(x− 2 3 ) (32) 1 2sin x + 1 6sin 3x (33) 1

2log| tan x| (34) log(x + √ x2_{+ 1) (35)}1 2(x √ 1− x2_{+ sin}−1_{x) (36) x log(x}2 + 1)− 2x + 2 tan−1x (37) x sin−1x +√1− x2 _{(38) x cos}−1_x−√₁− x2 _{(39) x tan}−1_x−1

2log(1 + x 2₎ (40)− 2 x− 1+ log|x − 1| − 1 2log(x 2 + 1)− tan−1x 7 (1) a =√2 (2) a = 1 2 (3) a = 16 8 (1) f (x) = x5− 5x + 4 とおき x > 1 で f′(x) = 5(x4− 1) > 0、f(1) = 0 より x > 1 で f(x) > 0。 (2) f (x) = log(1 + x)− x 1 + x とおき x > 0 で f ′_{(x) =} x (1 + x)2 > 0、f (0) = 0 より x > 0 で f (x) > 0。 (3) f (x) = 2x− sin 2x とおき x > 0 で f′(x) = 2(1− cos 2x) ≧ 0、f(0) = 0 より x > 0 で f(x) > 0。 (4) f (x) = cos−1x + x− 1 とおき f′(x) = −1 + √ 1− x2 √ 1− x2 < 0、f (1) = 0 より−1 < x < 1 で f(x) > 0。 (5) f (x) = tan−1x− x 1 + x2 とおき x > 0 で f ′_{(x) =} 2x2 (1 + x2₎2 > 0、f (1) = 0 より x > 0 で f (x) > 0。 (6) ex= 3 ∑ k=0 xk k! + R4で剰余項は R4= x4 4!e θx_{≧ 0(0 < θ < 1) である。等号成立は x = 0 のみ。} 9 (1) 128π (2) 4 √ 3π 9 a 3 _{(3) 4}