柔軟構造体のシステム同定とロバスト制御系の設計
著者 阿部 将英, 谷口 大樹, 岩原 光男, 長松 昭男
出版者 法政大学情報メディア教育研究センター
雑誌名 法政大学情報メディア教育研究センター研究報告
巻 21
ページ 35‑39
発行年 2008‑03‑31
URL http://doi.org/10.15002/00002998
http://hdl.handle.net/10114/1512
柔軟構造体のシステム同定とロバスト制御系の設計
System Identification and Robust Control for Flexible Structures
阿部 将英１） 谷口 大樹１） 岩原 光男１） 長松昭男１）
Masahide Abe, Daiki taniguchi, Mituo Iwahara, Akio Nagamatu
１）法政大学大学院工学研究科機械工学専攻
This paper deals with a vibration control system for a flexible three-stor y structure with H-infinity controller and surface bonded PZT (lead zirconium titan ate) patches. The plant transfer function is identified by Time Based Prediction Error Method. As a reference model, plant frequency responses given by Experimental Modal Analysis are used to improve the performance of the identified function. We designed H-infinity robust controller based on the identified plant. We implemented the control system by software and hardware to evaluate the performance. The experiments result in significant decays of two modes with our control system.
The decay of first mode is 22 dB and the second mode is 15 dB. And, this system is applied using the finite element method.
Keyword : H-infinity robust controller, flexible, identified function, Finite element method
1. 1. 緒 言
近 年 、機 械 構造 物 は軽 量 化が 進 み、ま た高 層 ビ ル な ど の 建 造 物 は 長 大 化 が 進 み そ れ ぞ れ 柔 軟 化 傾 向に あ る。そ の結 果 、外 乱 によ り 振動 が 容 易 に 励起 さ れる た め、作 業効 率 の低 下 ばか り で な く 安全 性 を脅 か す原 因 とな っ てい る 。こ の 振 動 を 抑 制 す る た め に 現 在 ア ク テ ィ ブ 制 振 技 術 の 実 用化 研 究が 盛 んに 行 われ て いる 。 本 研 究で は 、コ ン ピュ ー タシ ミ ュレ ー ショ ン 及 び 制 御実 験 を通 し て、柔 軟構 造 物に お ける 振 動 制 御 問 題 に つ い て H∞ 制 御 の 適 用 性 を 検 討 し た 。
2. 制 御 対 象 構造 物
本 研 究 の 制 御 対 象 構 造 物 は ア ル ミ ニ ウ ム の 三 階 建 て構 造 物と し た。構造 物 の概 要を Fig.1 に 、 緒 元を Table.1 に 示 す 。
3. モ デ ル 化 及び 制 御系 設 計 3.1 実 験 に よる シ ス テム 同 定
本 研 究 で は 実 験 に よ る シ ス テ ム 同 定 に よ り モ デ ル を 構 築 し た 。 入 力 信 号 は Ｍ 系 列 信 号 2 ) を 用 い た。ま た、シ ステ ム 同定 に は予 測 誤差 法 を 用 い た。Fig.2 に シ ス テ ム同 定 実験 の 結果 を
Fig.1 Plant
Table.1 Dimensions of Plant
Symbol Value
[mm]
500 140 2.6 1.5 107 30
L l
h1
h2
x1
x2
36
Copyright © 2008 Hosei University 法政大学情報メディア教育研究センター研究報告 Vol.21 示 す 。 50Hz ま で の 周 波 数応 答 関 数 が モ デル 化
で き て い る こ と を 確 認 で き る 。 ま た Table.2 に イ ン パ ル ス ハ ン マ に よ る 打 撃 試 験 と の 固 有 振 動 数 の比 較 を示 す 。 1 次 モー ド 、 2 次 モー ド に お け る 固 有 振 動 数は ほ ぼ 同 じ にな っ た が 、 3 次 モ ー ドで は 10.5Hz ピ ー クの 位 置が ず れて い る 。こ のこ と より 、本研 究 では 2 次モ ー ドま で の ピ ー ク を 低 減 す る こ と を 目 的 と し た 制 御 設 計 を 試み た 。
3.2 制 御 系 設計
本 研 究 で は 、H∞ 制 御 理 論 3 )を 用 い て 2 次 モ ー ド ま で の 制 振 を 目 的 に し た 制 御 系 を 設 計 し た 。 ま た 、 3 次 モ ー ド 以 降 に つ い て は ロ バ ス ト 安 定 を 考 慮 し た 。
H ∞ 制 御 理 論 は ス モ ー ル ゲ イ ン 定 理 を 用 い る こ と で ロ バ ス ト 安 定 化 問 題 を 陽 に 扱 う こ と が 可 能 で 、 感 度 最 適 化 や 外 乱 抑 圧 問 題 な ど に 有 効 で あ る 。 抑 え た い 物 理 量 を 入 力 外 乱 や 観 測 雑 音 と し て モ デ ル 化 す る こ と で 、 外 乱 抑 圧 問 題 を 定 式 化 す る こ と が 可 能 で あ る 。 今 回 は Fig.3 の よ う に 一 般 化 プ ラ ン ト を 構 成 し 制 御 系 設 計 を 行 っ た 。 ま た 、 簡 素 化 の た め 1 入 力 1 出 力 と す る 。
ま ず 、振 動 制 御 を 外 乱 抑 圧 問 題 と し て と ら え 、 制 御 対 象 の 入 力 端 に 加 わ る 外 乱wを 出 力 端z1 で 抑 圧 す る 。 す な わ ち 、
が 可 能 な 限 り 小 さ い に 対 し て 成 立 す る よ う に 設 計 を 行 う 。 こ れ に よ り 、 ア ク チ ュ エ ー タ に よ っ て 加 え ら れ た 外 乱 が 最 上 階 の 変 位 に 極 力 影 響 を 与 え な い 制 御 系 と な る こ と が 期 待 さ れ る 。 な お 、WMは 重 み 関 数 、Prは シ ス テ ム 同 定 に よ り 導 出 し た 制 御 対 象 の 伝 達 関 数 、 K は コ ン ト ロ ー ラ と す る 。
外 乱 抑 圧 制 御 と 共 通 のwを 用 い 、 z2へ の パ ス で 入 力 端 に お け る 乗 法 的 誤 差 を 求 め る こ と で 、 ロ バ ス ト 安 定 性 を 評 価 し た 。 見 積 も っ た 乗 法 的 誤 差 mに 対 し 、
) ( ) (j Wm j
m ，
を 満 た すWmを 用 い て 、wか ら
z
2ま で の H∞ ノ ル ム を 1 未 満 と す れ ば 、
が 満 た さ れ 、 ロ バ ス ト 安 定 性 が 確 保 で き る 。 本 研 究 で は 試 行 錯 誤 の 結 果 、 以 下 の 重 み 関 数 を 設 定 し た 。
1 004 . 0
1 . 12
WM s
2000 ) 90 ( 5 . 2
s
Wm s
こ の 制 御 系 を 用 い て 制 御 実 験 を 行 っ た 。 Fig.2 Frequency Response of Identified
0 10 20 30 40 50
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10
Frequency [Hz]
Magnitude [dB]
Experimental Data Identified Model
Fig.3 Block Diagram of Control System
Table.2 Comparison between Experimental Peak Frequency
Experimental peak frequency[Hz]
Identified peak frequency[Hz]
First mode 11.5 11.9
Second mode 36.5 36.9
Third mode 65.6 55.1
K P W P
r M r
1 (1)
(2)
(3)
(4)
1 r 1
r
m PK
K W P
4. 実 シ ス テ ム へ の 適 用
Fig.4 に 示 す 制 御 ル ー プ を 組 み 、 実 際 に 制 御 実 験 を 行 っ た 。
ま ず 、 1 階 部 分 に 取 り 付 け ら れ て い る ピ エ ゾ ア ク チ ュ エ ー タ か ら 3 秒 間 、 M 系 列 信 号 に よ る 外 乱 を 発 生 さ せ る 。 そ の 後 、 セ ン サ に よ り 3 階 に お け る 外 乱 を 計 測 し 、 A/D 変 換 器 を 介 し て こ れ ら の 情 報 を LabVIEW4 )で 取 り 込 む 。 LabVIEW 内 に は MATLAB に よ っ て あ ら か じ め 計 算 さ れ た H∞ 制 御 器 が 組 み 込 ま れ て お り 、 制 御 信 号 を 発 生 す る 。 こ の 信 号 を D/A 変 換 器 ・ パ ワ ー ア ン プ を 経 て 、 1 階 部 分 の ピ エ ゾ ア ク チ ュ エ ー タ に 送 る こ と で 、制 振 力 を 発 生 す る 。 実 験 結 果 を 以 下 に 示 す 。
Fig.5(a)は 時 間応 答 波形 、Fig.5(b)は 周 波数 応 答 波 形で あ る。Fig.5(a)よ り 時 間応 答 にお け る 制 振 効 果 が 確 認 で き る 。ま た Fig.5(b)よ り 11Hz 付 近 の ピー ク レベ ルは 22dB、36Hz 付 近 の ピ ー ク レベ ル は 15dB 低 減 して い るこ と がわ か る 。以 上の こ とよ り 、非 制 御時 に 比べ 制 御時 の 応 答 が 改善 さ れて お り、そ の制 振 効果 を 確認 で き る 。
また、モデル化において無視した高次のモードが フィードバック制御により不安定となるスピルオー バ現象も見られなかった。このことから、H∞制御に よるロバスト安定化の効果を確認することができる。
5. FEM モデルを利用した制御系設計
前章まででは実験的アプローチ、システム同定法 により制御対象モデルを導出し制御系設計を行った 結果を示してきた。本章では解析的アプローチによ り制御対象モデルを導出し制御系設計を行なう方法 について簡単に示す。簡略化のため、制御対象構造 物としては前章まで使ってきた構造物の側面のみを 使用し、センサーにはレーザードップラー振動計を 使用した。
5.1 制御対象構造物
制御対象構造物を Fig.6 に、緒元を Table.3 に示 す。制御対象構造物として、システム同定からの制 御で利用した構造物を利用した。ただし、簡単化の ため今回は Fig.6 のように 1 枚の板を制御対象構造 物とした。
Fig.4 Configuration of Control System
0 0.5 1 1.5 2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Time [s]
Voltage [v]
(a) Time Response
W/O Control W Control
0 10 20 30 40 50
-110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30
Frequency [Hz]
Gain [dB]
(b) Frequency Response
W/O Control W Control
Symbol Value [mm]
500
1.5
2 30 x
L
h2
Fig.6 Plant
Table.3 Dimensions of Plant
Fig.5 Measured Frequency Response
with Closed-Loop System Fig.7 FEM Model
38
Copyright © 2008 Hosei University 法政大学情報メディア教育研究センター研究報告 Vol.21 5.2 運動方程式によるモデル化
制御対象構造物においては有限要素法により 45 要素に分割し、モード解析により 3 自由度まで低減 した数式モデルを利用した。有限要素モデルの作成 には、Altair Hyper Mesh を使用し、モード解析に は MSC Nastran を利用した。作成したモデルと実験 値の固有周波数を Table.4 に示す。
Table.4 より一次及び二次は近い値になっている ことがわかる。３次モードについては若干異なるも のの誤差は 5%以内に収まっている。
5.3 制御系設計
制御系設計を Fig.8 に示す。ここでも 3-2 とﾄ同様 に外乱抑圧問題やロバスト安定化問題を考慮し設計 した。
5.4 実システムへの適用
求まった制御器を利用して LabVIEW によりプログ ラミングし Fig.9 に示す制御システムを構成した。
まず、1 階層部分に取り付けられているピエゾア クチュエータにより 3 秒間の外乱(M 系列信号)を発 生させる。その後構造体の振動はレーザードップラ ー振動計により検出され A/D 変換器を経て LabVIEW
内に取り込む。LabVIEW 内にはあらかじめ MATLAB に より計算されたコントローラがプログラミングされ ており、受け取ったデータに対する制御信号を発生 させる。出力された制御信号は D/A 変換器を経て電 圧信号としてパワーアンプに送り出し、ピエゾアク チュエータに送ることで、制振力を発生する。本実 験では 500[Hz]により制御信号を発生させる。
5.5 実験結果
以下の Fig.9 に実験結果を示す。
Fig.10 は、制御信号を発生した後の時間応答およ び、周波数応答のグラフである。Fig.10(a)より制御 信号発生後は非制御時に比べ、制御時の応答が大幅 に改善されており制振効果が確認できる。Fig.10(b) より周波数応答において、１次は 12dB 低減している が、３次では 11dB 悪化している。これはモデル化時 点での数式モデルにおいて３次モードでのずれが 原因だと考えられる。しかし、モデル誤差及びモデ ル化の際に無視した高次モードがフィードバック制 御により不安定になるスピルオーバ現象はおきてい ない。このことからロバスト安定化の効果を確認す ることができる。
Table.4 Compare of natural frequency
＋
＋
WM
Wm
Pr
K
z1
z2
u y
w
＋
＋
WM
Wm
Pr
K
z1
z2
u y
w
Experimental peak frequency[Hz]
Identified peak frequency[Hz]
First mode 5.4 5.4
Second mode 30.1 30.5
Third mode 86.6 81.2
Fig.8 Block Diagram of Control System
Actuator Amp
Controller K(s) A/D
Converter
LabVIEW
D/A Converter Laser Doppler
vibrograph
Actuator Sensor
Actuator Amp
Controller K(s) A/D
Converter
LabVIEW
D/A Converter Laser Doppler
vibrograph
Actuator Sensor
Fig.9 Configuration of Control System
0 2 4 6 8 10
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Time [s]
Voltage [v]
W/O Control W Control
(a) Time Response
0 20 40 60 80 100
-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
Frequency [Hz]
Gain [dB]
W/O Control W Control
(b) Frequency Response Fig.10 Measured Frequency Response
with Closed-Loop System
6. 結 論
[1] シ ス テ ム同 定 によ っ て、 2 次 振動 数 まで の モ デ ル を得 る こと が でき た 。
[2] 柔 軟 構 造体 に おい て H∞制 御 にお け る制 振 効 果 及 びロ バ スト 安 定性 を 確認 し た。
[3] 有 限 要 素 法 に よ り 数 式 モ デ ル を 導 出 し 、制 御 設 計 を 行 っ た 。
[4] 解 析 的 ア プ ロ ー チ か ら 得 た モ デ ル を 利 用 し 、H
∞ ロ バ ス ト 制 御 を 適 応 し た 。
参 考 文 献
[1] 長松昭男 モード解析入門 (1993)
[2] 足立修一 制御のためのシステム同定 (1996) [3] 西村秀和 平田光男 MATLAB による制御系設計
(1998)
[4] ロバート・H・ビショップ
LabVIEW プログラミングガイド (2005) [5] V.Sethi and G.Song
Multimode vibration control of a smart model frame structure
Smart Mater. Struct,15,437-479(2006) [6] 片山徹 システム同定 (2004)
[7] 梶原逸朗
モード解析による構造系と制御系の最適設計に 関する研究
[8] 片山徹 システム同定 (2004) [9] 渡辺亨
現代制御・ポストモダン制御の基礎と適用事例 第三回夏の学校「制御系設計の基礎から応用ま で」 (2005)
[10] MSC NASTRAN 2001 日本語オンラインマニュアル, MSC Software, 2001
[11] MSC NASTRAN 2004 リリースガイド, [12] MSC Software, 2004
