情報工学専攻 中村竜也 Tatsuya Nakamura

修士論文要旨 (2007 _年度 )

リーマン正規座標系を用いた色空間の均等化と色再現方式への応用 Construction of Uniform Color Spaces Using Geodesic Grids and

Application to Color Reproduction.

情報工学専攻 中村竜也 Tatsuya Nakamura

1 はじめに

半導体技術や画像処理技術,通信技術そして精密加 工技術の進歩により,画像関連デバイスは近年著しく 進化している. デジタルカメラや,ディスプレイ,プリ ンタなどでは,色再現域の拡大,通信機能の搭載,モバ イル化など, 高画質化だけでなく, ユーザーの利用環 境に合わせた多機能化、複合化が加速しており、扱う 色情報はさまざまな機器間でのやり取りのニーズが生 まれている.

異なる機器間での情報のやり取りでは,個々のデバ イスにおいてそれぞれ固有の色再現域や色再現特性を 持つことが知られており,そのため同じ画像データを 扱っても,デバイスが異なれば出力される色の見えも 大きく異なるという問題が起こる. そこで、共通の標 準色空間を設定し、各デバイスの色再現特性に基づい て色情報のやり取りを統一的に行うことで,異なるデ バイス間における色の差異を最小化することが出来る.

この標準色空間は、普通人の色知覚特性を反映した 色空間、つまり主観色差が色ベクトルの距離に等しい 空間を使われており、均等色空間と呼ばれている. し かし,均等化色空間の構築は難しく、現在知られている 均等化色空間は近似的なものが多い. また、均等色空 間に基づくデバイスの色再現特性に関しても、現在主 に使われているデバイスプロファイルでは、単調関数 による線形近似を用いてることが知られている. 従っ て、カラーマネージメントに使われるこれらの均等色 空間に基づいた色変換と処理方法は、高精細化が求め られる画像メディア処理においてその精度は不十分で ある.

そこで,本研究では、まず色空間のリーマン空間と しての幾何学特性に着目し, 色弁別閾値楕円によって 表される局所計量に基づき、測地線座標系を構成する ことで,均等色空間の構築法を示す. さらに,デバイス における色再現特性の構築法に本手法を適用し、より 厳密な色再現特性の構築法を示す.

2 均等色空間

均等色空間とは，空間中の色ベクトル間の距離によっ て表される色差が，知覚的な色差と等しくなるように 作成した空間であり、UCS(uniform color space)とも 呼ばれる. 均等色空間は,色再現において非常に重要で あるため今まで多くの方式が提案されてきた．

CIE(国

際照明委員会)はこれらを整理統合して,現在では次の

L

^∗

a

^∗

b

^∗

(CIELAB)

均等色空間と

L

^∗

u

^∗

v

^∗

(CIELUV)

均 等色空間を勧告している．CIELUV均等色空間では

(1)

式，CIELAB均等色空間では

(2)

式で示す三次元

直交座標を用いる．ただし，明度に対応する

L

^∗は両 色空間で同一のものが用いられる．

L

^∗

= 116 ( Y

Y

_n

)

¹₃

− 16

u

^∗

= 13L

^∗

(u

⁰

− u

⁰_n

) (1) v

^∗

= 13L

^∗

(v

⁰

− v

⁰_n

)

a

^∗

= 500 {( X

X

n

)

¹₃

− ( Y

Y

n

)

¹₃

}

b

^∗

= 200 {( Y

Y

n

)

¹₃

− ( Z

Z

n

)

¹₃

}

(2)

ここで

u

⁰

, v

⁰ は

CIE 1976 UCS

色度図で定められ た色度座標，X

, Y , Z

は対象とする物体の三刺激 値,

X

n

, Y

n

, Z

n は完全拡散反射面の三刺激値であり,

Y

n

= 100

と規格化されている.

また,CIELAB色空間,CIELUV色空間における

2

つの 物体色間の色差

∆E

ab

,∆E

abはそれぞれ次式で与えら れる.

∆E

ab

= √

(∆L

^∗

)

²

+ (∆a

^∗

)

²

+ (∆b

^∗

)

²

(3)

∆E

uv

= √

(∆L

^∗

)

²

+ (∆u

^∗

)

²

+ (∆v

^∗

)

²

(4)

ただし

∆L

^∗

= L

^∗₁

− L

^∗₂

(5)

∆a

^∗

= a

^∗₁

− a

^∗₂

, ∆b

^∗

= b

^∗₁

− b

^∗₂

(6)

∆u

^∗

= u

^∗₁

− u

^∗₂

, ∆v

^∗

= v

^∗₁

− v

^∗₂

(7)

である．

前記の

2

種の色空間のほかに日本工業規格

(JIS)

で は,アダムス-ニッカーソン

(Adams-Nickernson)

色空 間とハンター

(Hunter)

色空間も色差を求めるために, 参考として定めている．また,染料業界では広く使わ れ,英国

BS 6923

に採用された

CM C(l : c)

色差式も,

JIS

では参考として定められている．このように,い くつもの均等色空間が提案されていることは,いまだ 完全な均等性が実現されていないことの反映である．

実際,CIEで勧告している

CIELAB

色空間と

CIELUV

色空間はかなりの不均等性を残している．

図

1: CIELUV

における

MacAdam

楕円

図

2: CIELAB

における

MacAdam

楕円

図

3: CIELUV

における等 彩度線

図

4: CIELAB

における等 彩度線

3 局所均等性と大域均等性

均等性には局所的均等性と大域的均等性の

2

種類が 考えられる．局所的均等性とは色空間中の微小距離と 知覚的な色差が等しくなることで，局所的均等色空間

では

MacAdam

の楕円などの弁別楕円が全て真円とな

る空間になる．図

1，図 2

がそれぞれ

CIELUV

均等 色空間，CIELAB均等色空間における

MacAdam

楕 円である．図

1

の

CIELUV

均等色空間の方が楕円が 円に近く，局所均等性に優れていると言える．

大域的均等性とは色空間中比較的遠く離れた二点間 の距離と知覚的な色差が等しくなることで，大域的均 等色空間では等彩度線が同心円となる．図

3，図 4

が それぞれ

CIELUV

均等色空間，CIELAB均等色空間 におけるマンセル表色系の等彩度線である．図

4

の

CIELAB

均等色空間の方が等彩度線が同心円に近く，

大域均等性に優れていると言える．現在知られている

UCS

は近似な物が多く,大域的かつ局所的に均等化さ れた色空間の構築には至っていない．

4 均等色空間と色再現

仮に均等色空間を構築することができれば, デバイ スに依存しない色再現方式は,図

5

のように実現可能 となる.

デバイス１の色空間を

C

1

,

デバイス

2

の色空間を

C

2

,

均等色空間を

U

とすると,デバイス１のプロファ イルを写像

p

₁

: C

₁

−→ U ,

デバイス

2

のプロファイ ルを写像

p

₂

: C

₂

−→ U

とすると, デバイス

1

からデ バイス

2

への色再現写像は

f : C

1

−→ C

2 

c

1

7−→ c

2

= f (c

1

) = p

⁻₂¹

◦ p

1

(c

1

) (8)

として実現できる.

従って,ここでは,任意の色空間

C

_iから

U

への写像 の構成が重要である. 以下では, この写像を均等化写 像という. 均等化写像はプロファイル写像に等しいが, 厳密に求めることが難しく,現在使用されているプロ

ファイル写像は,たとえば三つの単調関数のテンソル 積で表すなど,近似的なものがほとんどである.

図

5:

色再現方式

5 均等色空間の構築方法

本研究では色空間のリーマン空間における局所均等 性と大域均等性の同一性

[4]

を利用し,局所的に均等化 を行い,局所的かつ大域的に均等な色空間を構築する．

前述のように,均等色空間の構築が困難である要因 は,均等化写像の構成にある. 実際に,ある点の近傍に おける局所的均等化は簡単であるが,各点の近傍同士 における均等化の結果を,大域的に統合することは難 しい. 具体的には,均等化写像の局所線形近似を簡単 にまとめることができるが,大域的に各色ベクトルの 均等化空間における像を推定する有効な方法が知られ ていない. そこで,リーマン空間において局所情報で あるリーマン計量より,大域的な測地線が一意的に定 まることを利用して,リーマン正規座標系を構築する ことで,均等化写像を推定する方法を用いる. 具体的 に,局所情報である

MacAdam

楕円を単位円に修正す るようなリーマン計量を求め,それをもとに測地線を 算出し大域的に均等な色空間を構築する．それによっ て局所的かつ大域的に均等な色空間を構築することが できる．

しかし,リーマン空間上では色差などの計算が煩雑 で,感覚的にもわかりにくい．そこで均等色空間はユー クリッド空間と微分同型である事を利用して,測地線 を直線に移るよう写像

f

を求めることで,リーマン空 間からユークリッド空間への写像を求めることが可能 である．またその写像を用いて

MacAdam

楕円を変 換することで本手法の有効性を検証することも可能で ある．

6 色空間の幾何学

二点

(u

₁

, u

₂

)

および

(u

₁

+ du

₁

, u

₂

+ du

₂

)

間の距離

ds

の平方がリーマン計量

G(u)

を用いて

ds

²

= du

^T

G(u)du (9)

= g

11

du

1

du

1

+ 2g

12

du

1

du

2

+ g

22

du

2

du

2

で与えられるような空間をリーマン空間といい，色空 間はリーマン空間であるといえる．

ここでリーマン計量

G

は，以下のように定義され る. 例えば, MacAdam楕円より以下の式によって求 められる．

G =

( g

11

g

12

g

21

g

22

)

g

11

= b

²

cos

²

θ + a

²

sin

²

θ a

²

b

²

g

₁₂

= g

₂₁

= − 2 sin θ cos θ(a

²

− b

²

) a

²

b

²

g

22

= b

²

sin

²

θ + a

²

cos

²

θ a

²

b

²

ただし，

a，b，θ

はそれぞれ弁別楕円の長軸，短軸，傾 きである．

7 測地線

リーマン空間中にある二点を結ぶ曲線

x

ⁱ

(t)

が長さ の極小値を与える曲線であるとき, つまり二点間の最 短距離であるとき,このような曲線をリーマン空間の 測地線と呼ぶ. ユークリッド空間では測地線が直線と なる．

リーマン空間中にある曲線

x

ⁱ

(t)

が測地線であるた めには,関数

x

ⁱ

(t)

は以下の式を満たす必要がある．

d

²

x

ⁱ

ds + Γ

ⁱ_jk

dx

^j

ds

dx

^k

ds = 0 (10)

となる. 記号

Γ

ⁱ_jkはクリストッフェルの記号

(Christof- fel symbol)

といい,

Γ

ⁱ_jk

= 1 2 g

^iα

( ∂g

_αj

∂x

^k

+ ∂g

_αk

∂x

^j

− ∂g

_jk

∂x

^α

)

(11)

である. 測地線は弁別閾値楕円より求められたリーマ ン計量によって決定される．

8 CIELUV 色空 間 に お け る リ ー マ ン 正 規座標系の構築

CIELUV

色空間上の任意の点でリーマン計量

G

を

求めるため，25点の

MacAdam

楕円のデータの補間 を行い,リーマン計量

G

を算出し測地線を求めた．図

6

が均等色空間のリーマン正規座標系を表している．

測地線の始発点は標準光源

D65（0,0）を採用した．

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100

-150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300

v*

u*

図

6: CIELUV

色空間におけるリーマン正規座標系

9 均等化写像推定

均等色空間はユークリッド空間と微分同型であるこ とが知られている．そのことから,図

7

のように測地 座標の測地線が直線に,すべての等距離線が同心円に なるような写像を求めることで完全な均等色空間への 均等化写像が求められる．測地座標の格子座標を用い て,均等化写像を最小

2

乗法を用いて算出した．

図

8

では均等化写像によって

MacAdam

楕円は単位円 に変換されることが確認され,本手法の有効性が検証 された.

f

図

7:

リーマン空間からユークリッド空間への座標変換

図

8: CIELUV

色空間における

MaAdam

楕円の均 等化

10 色再現特性構築への応用

色再現特性の構築には先に述べたとおり、デバイス ごとの色空間から均等色空間への写像

(デバイスプロ

ファイル)が重要である. そこで、色空間の均等化と 同様の手法を用い、各デバイスの色空間におけるリー マン正規座標系を求め、均等色空間との写像

(デバイ

スプロファイル)を求めることにより、より厳密な色 再現特性を構築することができる.

リーマン計量

色再現において、各デバイスごとの色弁別楕円を測 定することは困難である. そこで、下記のようなリー マン幾何の特性を用いてリーマン計量を推定する.

リーマン空間での点

y

とユークリッド空間での点

x

の間において

y = f (x)

という関係が成り立つとき、yの近傍での微小距離は 写像

f

のヤコビアン

Df

を用いて

dy

²

= dx

^T

Df

^T

Df dx (12)

で与えられる.

したがって式

(9)

と式

(12)

により、リーマン計量は 以下のように定められる.

G = (Df )

^T

Df (13)

11 リーマン正規座標系の構築

本研究では、色再現に用いるデバイスを分光分布測 定の簡便さの観点より、異なるメーカーのインクジェッ トプリンタ

2

種、EPSON製

PM-970C、CANON

製

MP790

を対象として用いた.

使用したプリンタそれぞれにおける

CIELAB

色空 間上でのリーマン正規座標系を図

9,10

に示す.

図

9: PM970C

の

CIELAB

色空間におけるリーマン正 規座標系

図

10: MP790

の

CIELAB

色空間におけるリーマン正 規座標系

12 評価

構築したリーマン正規座標系を用いて式

(8)

より, 色再現写像を構築し,図

11

に対し色変換を行うことに よって, 異なるプリンタ間の色再現を行った. 変換後 のカラーターゲットをプリンタで出力し,測色するこ とで, 再現性の向上が確認できた.

図

11:

評価に用いたカラーターゲット

図

12: PM970C

と

MP790

による出力画像の比較

図

13: PM970C

における

MP790

の色再現結果

図

14: CIELAB

色空間における

MP790

と

PM970C

の色再現前および色再現後の比較

13 結論

本研究では,リーマン空間における局所等長と大域 等長の同一性に着目し,リーマン正規座標系を導入す ることで, CIELUV色空間における均等色空間の構築 および異なるプリンタ間の色再現特性の構築を行った.

まず, CIELUV色空間における均等色空間の構築につ いては, リーマン正規座標系を用いて均等化写像を導 出し, MacAdam楕円に適用することで, 楕円を単位 円に修正し,本手法によって求めた均等化写像による 均等色空間の大域均等化および局所均等化の効果を確 認することができた. また,色再現特性の構築につい ては,測色データを基にリーマン正規座標系を構築す ることで,均等色空間への各デバイスごとの均等化写 像を導出した. さらに, 式

(8)

により色再現写像を求 め, 評価画像に対し適用することで, 本手法による色 再現への応用の効果を確認した. 今後の課題としては, リーマン計量の算出, リーマン正規座標系の構築, 均 等化写像の推定などにおける数値計算の精度向上,高 速化があげられる.

参考文献

[1] D.L.MacAdam, Visual sensitivities to color differ- ences in daylight , Journal of the Optical Society of America, vol.32, pp. 247, 1942.

[2]

阿部 昌人

,

池田 宏明

,

檜垣 泰彦

,

村松 祐一郎

,

最小 弁別楕円を基礎にした色差評価の一方式

,

テレビジョ ン学会技術報告

, Vol. 14, No. 16, pp. 7-12, 1990.

[3] H. Akima, A method of univeriate interpolation that has the accuracy of a third-degree polynomial , ACM Trans. Math. Softw. , Vol. 17, No. 3, pp. 341- 366, Sept. 1991.

[4] J. Chao, I. Osugi, M. Suzuki “On definitions and

construction of Uniform color spaces” Proceeding

of The Second European Conference on Colour in

Graphics, Imaging and Vision (CGIV2004) Aachen,

Germany, April 5-8, 2004.