広義積分

解析学２ No.8 2006.12.26

4.

広義積分

有界でない関数の積分

広義積分(1)

¶ ³

関数y=f(x)がa5x < bで連続であり, lim

ε→+0

∫ b−ε a

f(x)dxが存在するとき,

また,

関数y=f(x)がa < x5bで連続であり, lim

ε→+0

∫ b a+ε

f(x)dx が存在するとき,

関数y=f(x)は区間[a, b]で広義積分可能という.

また,この極限値を ∫ b a

f(x)dx と表わし,区間[a, b]における関数y=f(x)の広義積分という.

a bb - e y = f ( x )

関数y =f(x)がa5x < c,c < x5bで連続であり,積分区間[a, c], [c, b]で広義積分可能である とき, 関数y=f(x)は積分区間[a, b]で広義積分可能という.

また, これらの和

∫ c a

f(x)dx+

∫ b c

f(x)dxを

∫ b a

f(x)dxと表わし, 積分区間[a, b]における関数 y=f(x)の広義積分という.

a bc

µ ´

例題9 関数y= 1

√xは,区間[0,2]で広義積分可能であることを示し,

∫ 2 0

√1

xdxの値を求めなさい.

9

解析学２ No.8 2006.12.26

4.

広義積分

有界でない関数の積分

問題25 広義積分

∫ 4 2

√ 1

x−2dxを計算しなさい.

問題26 広義積分

∫ 1 0

√ 1

1−x²dxを計算しなさい.

問題27 広義積分

∫ 1

−8

x⁻¹³dxを計算しなさい.

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