である直方体 が，直交座標系

[

例

右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体 が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺をそろえて置かれている．

点

は直方体の頂点であり，点

は辺の中点，点

は辺上の点 とする．

A

B

C D

4 2

O

x

y z

2 E

(1)

ベクトル

BC

と

BD

を成分で表しなさい．

(2)

ベクトル

BD

と向きが逆で大きさが

のベクトル

の

成分をそれぞれ求めなさい．

(3)

原点

を始点とし，点

を終点とするベクトル

OF

が次の式

−→OF =−−→

OB + 2−→

OC +t (

2−→

OB−2−→

OC )

, −∞< t <∞ (ex1.1)

で表される時，点

の集合は

平面上の直線となる．この直線を図示しなさい．

点

を辺の上で動かすと，あるところで線分

と線分

が交わった．このときの交点

を以下の手順で求め よう．

(4)

点

の位置はまだわからないので，その

座標を未知数

とする．このときベクトル

OA

とベクトル

−→AC

を成分で表しなさい．

(5)

図より，

BE

と

BD

は同じ向きを向いているので，未知数

を用いて

−→BE =b −→

BD (ex1.2)

と表せる．同様に，

AE

と

AC

は同じ向きを向いているので，未知数

を用いて

−→AE =c−→

AC (ex1.3)

と表せる．ベクトル

OE

は

OB +−→

BE

とも表せるし，

OA +−→

AE

とも表せるので，等式

−→OB +−→

BE =−→

OA +−→

AE (ex1.4)

が成り立つ．等式

から

を求めなさい．

(6)

点

の座標を求めなさい．

[

答

各点の座標は

A: (2,0, a), B : (2,2,0), C: (0,4,0), D: (0,0,2) (ex1.5)

となる．

(1)

−→BC = (0,4,0)−(2,2,0) = (−2,2,0), (ex1.6)

−→BD = (0,0,2)−(2,2,0) = (−2,−2,2). (ex1.7)

(2)−→

BD

と向きが逆で，同じ大きさのベクトル

は

BD = (2,2,−2)

となる．~a の大きさは

|~a|=√

2²+ 2²+ (−2)²= 2√

3

なので，

~ u= 1

|~a| ~a= 1 2√

3 (2,2,−2) = ( 1

√3, 1

√3,− 1

√3 )

(ex1.8)

となる．以上より

の

成分は

√3

，y 成分は

√3

，z 成分は

√3

となる．

(3)

−−→

OB + 2−→

OC = (−2,6,0)，2−→

OB−2−→

OC = (4,−4,0))

より

−→OF = (−2 + 4t ,6−4t ,0) (ex1.9)

となる．点

の座標を

とすると

x=−2 + 4t , y= 6−4t , z= 0 (ex1.10)

となる．この直線は点

と点

を通り，下図のようになる．

x y

-1 1 2 3 4 5

-1 1 2 3 4 5

尚，

を消去した

と

の関係式は

y= 4−x (ex1.11)

となる．

(4)

−→OA = (2,0, a), (ex1.12)

−→AC = (0,4,0)−(2,0, a) = (−2,4,−a). (ex1.13)

(5)

−→OB +−→

BE = −→

OB +b−→

BE = (2,2,0) +b(−2,−2,2) = (2−2b ,2−2b ,2b), (ex1.14)

−→OA +−→

AE = −→

OA +c−→

AC = (2,0, a) +c(−2,4,−a) = (2−2c ,4c , a−ac) (ex1.15)

なので，等式

より連立方程式

2−2b = 2−2c , (ex1.16)

2−2b = 4c , (ex1.17)

2b = a−ac (ex1.18)

が得られる．この連立方程式から未知数

を求める．

(ex1.16)

から，b

が得られる．これを

に代入して

が得られる．これを

に 代入して

が得られる．以上より

a= 1, b=1

3, c= 1

3. (ex1.19)

となる．

(5) (ex1.14)

あるいは

に

を代入して，点

の座標は

3, 4 3, 2

3 )

(ex1.20)

であることがわかる．

【注】１つの等式

から

つの未知数

が求まるのは奇妙に感じるかもしれないが，(ex1.4) はベ

クトルの間の等式なので，実際にはベクトルの各成分が等しいという

つの等式をまとめて表してい

ることになる．

[

例

図

に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である 直方体が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺をそろえて置 かれている．点

は辺の中点であり，点

の座標を

とする．ただし

の中の数値は点の座標を示す．この とき，次の問に答えなさい．

(1)

線分

と 線分

の間の角度を

，線分

と 線分

の間の角度を

，とするとき，cos(θ

と

をそれぞれ 求めなさい．また，

と

はどちらが大きいかを答えなさい．

(2)−→

AC×−→

AB

と

AD×−→

AC

を計算しなさい．

D

C

4 2

2 A

O

B

図

(3)

３角形

の面積を求めなさい．

(4)

点

を含む平面の方程式を求めなさい．

(5)

図

の点

を含む平面によって，空間は

つの領域に区切られる．次の

点

について，それぞれ，点

と同じ領域に入っているか，点

と違う領域に入っているか，あるいは，ちょうど

この平面上にあるかを判定しなさい．

[

答

この座標系について各点の座標は

B : (0,4, 1)

，

となる．

(1) −→

AB = (−1,3,0), −→

AC = (1,3,1), −→

AD = (−1,−1,1) (ex2.2)

より，以下を得る：

−→AB·−→

AC = −1×1 + 3×3 + 0×1 = 8,

−→AC·−→

AD = 1×(−1) + 3×(−1) + 1×1 =−3, (ex2.3)

|−→

AB| = √

(−1)²+ 3²+ 0²=√

10, |−→

AC|=√

1²+ 3²+ 1²=√ 11,

|−→

AD| = √

(−1)²+ (−1)²+ 1²=√

3. (ex2.4)

これより

cos(θ₁) =

−→AB·−→

AC

|−→

AB||−→

AC| = 8

√110, cos(θ₂) =

−→AC·−→

AD

|−→

AC||−→

AD| =− 3

√33 (ex2.5)

が得られる．0

で

は

の単調減少関数であり，cos(θ

なので，

θ1<π

2 < θ2. (ex2.6)

従って，θ

の方が大きい．

(2) −→

AC×−→

AB = (−3, −1,6), −→

AD×−→

AC = (−4, 2,−2). (ex2.7) (3)

4ACD

の面積

AD×−→

AC|=1 2

√(−4)²+ 2²+ (−2)²= 1 2

√24 =√

6. (ex2.8)

(4) −→

AC×−→

AB = (−3,−1, 6)

は点

を含む平面に直交するベクトルとなる. 平面上の任意の点

の座 標を

とすると

AP

と

AC×−→

AB

は直交するので

AP·(−→

AC×−→

AB )

= (x−1, y−1, z−1)·(−3,−1,6) =−3x−y+ 6z−2 (ex2.9)

が成り立つ．従って平面の方程式は

3x+y−6z=−2 (ex2.10)

となる．(式

を定数倍した式でも構いません．)

【注】平面の方程式は一般に

ax+by+cz=d (ex2.11)

と書けるの．点

の座標を式

に代入した方程式

a+b+c =d (ex2.12)

4b+c =d (ex2.13)

2a+ 4b+ 2c =d (ex2.14)

を満たすように未知数

を決めてもよい．

(5)

−→AD = (−1,−1,1), −→

AE = (7, 0,3), −→

AF = (−2,12,1),

−→AG = (−3,4,6), −→

AH = (−6,−7,−8) (ex2.15)

より

−→AD·(−→

AC×−→

AB )

= 10, −→

AE·(−→

AC×−→

AB )

=−3, −→

AF·(−→

AC×−→

AB )

= 0,

−→AG·(−→

AC×−→

AB )

= 41, −→

AH·(−→

AC×−→

AB )

=−23 (ex2.16)

となる．これより点

が平面に対して点

同じ側，点

と

が逆側に位置することがわかる．また，点

はちょうど平面上にある．

【注】点

の座標を式

の右辺に代入して，その値の正負から判断してもよい．

f(x, y, z) =−3x−y+ 6z−2 (ex2.17)

とすると

f(0,0,2) = 10, f(8,1,4) =−3, f(−1,13,2) = 0,

f(−2,5,7) = 41, f(−5,−6,−7) =−23 (ex2.18)

より，点

は点

と同じ領域に属し，点

と

は異なる領域に属することがわかる．また点

はちょ

うど平面上にある．

[

例

図

に示すように，辺の長さがそれぞれ

およ び

である直方体が，直交座標系

のそれぞれの 軸に

辺をそろえて置かれている．点

は直 方体の頂点であり，点

は辺の中央にある．また，

点

の座標を

とする．ただし

の中の数値は点の座標を示す．このとき，次の問に 答えなさい．

(1)

線分

を

辺とする平行

面体の体 積を求めなさい．

D

C

4 2

2

O A

B

E

図

(2)

一定の速度で運動している点

が図の点

を時刻

に通過し，時刻

に点

を通過した．任意の 時刻

の点

の位置ベクトル

(

xP(t), yP(t), zP(t) )

を求めなさい．

(3)

点

が

点

を含む平面を横切る時刻を求めなさい．(平面を表す方程式は

の

で求めました．

点

が 点

に最も近づく時刻を求めなさい．

次に，図

に示すように，点

にスポットライトがある場合を考えよう．このスポットライトは，点

からベクトル

(

1,1, −1 )

に向かう直線との角度が

6

以下の領域に，円錐状に広がる光を発しているとする.

z= 0

の位置にある床の，このスポットライトによって照らされる領域の境界線を表す式を，次の手順で求めよう．

(5)

点

が境界線上にあるとすると，

SP

と

の間の角度は

6

なので，

−→SP·~c

|−→

SP| |~c| = cos (π

6 )

=

√3

2 (ex3.1)

という関係式が成り立つ．点

の座標を

とし，式

を整理して，x と

の間に成り立つ関 係式を求めなさい．

S

P

図

[

答

この座標系について各点の座標は

B : (0,4, 1)

，

となる．

(1) −→

AB = (−1,3,0), −→

AC = (1,3,1), −→

AD = (−1,−1,1) (ex3.3)

より，平行

面体の体積は

¯¯¯−→

AD·(−→

AC×−→

AB)¯¯¯=|(−1,−1,1)·(−3,−1, 6)|=|10|= 10, (ex3.4)

あるいは

AB·(−→

AD×−→

AC)¯¯¯=|(−1,3,0)·(−4, 2,−2)|=|10|= 10, (ex3.5)

などより，10 となる．

(2)

一定の速度で動く点の位置ベクトルは，~a，

を定数のベクトルとして

~

r(t) =t~a+~b (ex3.6)

と表される．(線形代数・演習

の資料

を参照．パラメータ

を時刻と考える．) 問題の条件，

−→OD =~r(0) =~b , −→

OE =~r(2) = 2~a+~b , (ex3.7)

より

~a=1 2

(−→

OE−−→

OD )

= (1,2,−1), ~b=−→

OD = (0,0,2) (ex3.8)

が得られるので，時刻

での点

の位置ベクトルは

~

rP(t) = (t ,2t ,2−t) (ex3.9)

と表される．

(3)

平面を表す方程式は

より次式となる：

3x+y−6z+ 2 = 0. (ex3.10)

時刻

に点

が平面を横切るとすると，(ex3.9) を

に代入して

0 = 3xP(t1) +yP(t1)−6zP(t1) + 2 = 3t1+ 2t1−6(2−t1) + 2 = 11t1−10 (ex3.11)

より，点

が平面を横切る時刻

は

11

となる．

(参考)

平面上の任意の点を表す位置ベクトル

を

つのパラメータ

を用いて

~

r=−→OA +q−→AB +s−→AC = (1−q+s ,1 + 3q+ 3s ,1 +s) (ex3.12)

と表すこともできる．点

が時刻

に平面を横切るという条件

すなわち

t1 = 1−q+s (ex3.13)

2t1 = 1 + 3q+ 3s (ex3.14)

2−t1 = 1 +s (ex3.15)

を

についての連立方程式と考えて

を求めてもよい．(このとき，q

となります．)

(4) −→

AP =~r_P(t)−−→

OA = (x_P(t)−1, y_P(t)−1, z_P(t)−1) = (t−1,2t−1,1−t) (ex3.16)

なので，点

と点

の間の距離の

乗

¯¯¯~rP(t)−−→

OA¯¯¯²= (t−1)²+ (2t−1)²+ (1−t)²= 6t²−8t+ 3 = 6 (

t−2 3

)2

+1

3 (ex3.17)

を

の関数と考えて，最小値を与える

を求めればよい．関数が最小となる時刻を

とすると

で微 分係数が

となるので，式

を

で微分して

0 = 12t2−8 (ex3.18)

より，時刻

3

で点

は点

に最も近づくことがわかる．

(参考)~rP(t)−−→

OA

と

DE

が直交するという条件から最も近づく時刻を求めてもよい；

“

~

rP(t2)−−→OA”

·−→DE = 12t2−8 = 0 → t2= 2 3.

上の条件と

の

についての微分が

という条件が一致するのは以下のようにわかる：

0 = d

dt

˛˛

˛~rP(t)−−→OA˛˛˛²= d dt

““~rP(t)−−→OA”

·“

~

rP(t)−−→OA””

= d“

~

rP(t)−−→OA”

dt ·“

~

rP(t)−−→

OA” +“

~

rP(t)−−→

OA”

·d“

~

rP(t)−−→OA” dt

= 2 d“

~

rP(t)−−→OA”

dt ·“

~

rP(t)−−→OA”

= 2~a·“

~

rP(t)−−→OA”

=−→DE·“

~

rP(t)−−→OA”

. (ex3.19)

(5) −→

SP = (x , y ,−2) (ex3.20)

なので，(ex3.1) は

x+y+ 2

√3√

x²+y²+ 4 =

√3

2 (ex3.21)

となる．両辺を

乗した式

(x+y+ 2)² 3(x²+y²+ 4) = 3

4 (ex3.22)

を整理して，x と

の間に成り立つ関係式

5x²−8xy+ 5y²−16x−16y+ 20 = 0 (ex3.23)

が得られる．

(参考)2

次式

は，中心が

2)

にあり，長半径が

3，短半径が2√

3

で，長半径が

方向の楕円を表

している．(線形代数・演習

の資料

を参照．) なお，円錐面と平面が交わってできる曲線は円錐曲線と呼ばれ，楕

円，放物線，双曲線のいずれかになる．

.

(1) 4

つの力

と

が物体に働いてつりあっている．

F~₄

を求めよう．大きさが最大の力と最小の力はそれぞれどれ？

(2)

図

に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺 をそろえて置かれている．点

は直方体の頂点，

点

は

にある面の中央にある．また，点

の座 標を

とする．ただし

の中の数値は点 の座標を示す．このとき，次の問に答えなさい．

(2-1)

点

から 点

に向かう単位ベクトル

，~

，

~

uC

，~

，~

をそれぞれ求めなさい．

(2-2)

点

にある物体に，点

に向かって大きさ

11 N

の 力

が働いているとき，

を成分で表しなさい．

D

C

4 2

2 A

O E B

図

(2-3)

点

にある物体を点

に向かって大きさ

の力

で引っ張る．さらに点

に向けて大きさ

の力

で，点

にむけて大きさ

の力

で，点

にむけて大きさ

11 N

の力

で，

点

にむけて大きさ

11 N

の力

で引っ張る．力がつりあって物体が静止する場合に

，f

，f

を求めなさい．

[

例

なめらかな平面

と

からなる三角柱形の斜面が水平面上に固 定されている．図

に示すように，質量

と

の物体を糸で つないで斜面

と

上に置くとつりあって静止した．このとき，

斜面の長さの比，AC/BC を以下の手順で求めよう．

(1)

斜面

上にある物体には，鉛直下向きの重力

，糸の方 向の 張力

，斜面から物体にはたらく斜面に垂直な向き の 垂直抗力

がはたらく

な 摩擦力 もはたらくが，ここでは面がなめらかで摩擦はない とする。y 軸を水平方向に，z 軸を鉛直上向きにとり，2 つの物 体が

平面内にあるように座標系をとる．(x 軸は紙面に垂直上 向きとなる．) 重力を成分で表すと

~

w1= (0,0,−m1g) (ex4.1)

となる．斜面

と水平面との角度を

とする．また，張力の大 きさを

，垂直抗力の大きさを

とするとき，

と

を成 分で表しなさい．

(2)

力のつりあいの条件

を用いて，f

と

を

と

で表しなさい．

(3)

同様に，斜面

上にある物体にはたらく，重力

，糸の張力

，斜面からの垂直抗力

を成分で表しなさい

し，斜面

と水平面との角度を

とする．また，張力の大きさ を

，垂直抗力の大きさを

とする．

1

m m₂

A B

C

D

図

1

m

A

C

θ

Fr1

N1

r

wr1 z y

図

y

2

m

B C

wr2

F2

r

N2

r

z φ

図

力のつりあいの条件

を用いて，f

と

を求めなさい．

(5)

糸にはたらく張力の大きさが同じであること

と，関係式

CD = AC sin(θ) = BC sin(φ) (ex4.2)

から

を

と

で表しなさい．

[

答

(1)

F~4=−F~1−F~2−F~3=

(−1,−3,−5 )

. (ex4.3)

|F~₁|=√

14, |F~₂|=√

6, |F~₃|=√

5, |F~₄|=√

35 (ex4.4)

なので，大きさが最大の力は

，最小の力は

となる．

(2)

この座標系について各点の座標は

(2-1)

−→EA = (

1,−1, 0 )

, −→

EB =

(−1,1,−1 )

, −→

EC = (

1,1,1 )

,

−→ED =

(−1,−3,1 )

, −→

EO =

(−1,−3,−1 )

(ex4.5)

となる．点

から点

および

に向かう単位ベクトル

，~

，~

はそれぞれ

~ u_A =

−→EA

|−→

EA| = 1

√2 (

1,−1,0 )

, ~u_B=

−→EB

|−→

EB| = 1

√3

(−1, 1,−1 )

,

~ uC =

−→EC

|−→

EC| = 1

√3 (

1,1,1 )

, ~uD=

−→ED

|−→

ED| = 1

√11

(−1,−3,1 )

,

~ u_O =

−→EO

|−→

EO| = 1

√11

(−1, −3,−1 )

(ex4.6)

となる．

(2-2)

F~O= 2√

11~uO=

(−2,−6,−2 )

. (ex4.7)

(2-3)

点

から点

および

に向かう力をそれぞれ

，

，

，

および

とすると

√2 (

1, −1,0 )

, F~_B =f_B ~u_B = f_B

√3

(−1,1,−1 )

, F~C = fC ~uC=√fC

3 (

1,1,1 )

, F~D=√

11~uD=

(−1,−3,1 )

F~O = 2√

11~uO=

(−2,−6,−2 )

(ex4.8)

となる．力のつりあいの条件

F~A+F~B+F~C+F~D+F~O=











−3 +√^fA

2+^fC√^−fB 3

−9−^√fA₂+^fC√^+fB 3

−1 +^fC√^−fB 3











=









 0 0 0











(ex4.9)

より，f

，f

，f

についての連立方程式

√2 +fC−fB

√3 = 3, −fA

√2+fC+fB

√3 = 9, fC−fB

√3 = 1 (ex4.10)

が得られる．