第 11 回　解析 A 演習解答 (7/16 前半クラス )

第

11

A

(7/16

)

学科 学籍番号 名前 得点

次の関数の導関数を求めよ．講義中に出てきた初等関数の微分公式は証明なしに自由に用いてよい．

1. y=e^3xcos 2x

（解答）

y^′ = 3e^3xcos 2x+e^3x·(−sin 2x)·2

=e^3x(3 cos 2x−2 sin 2x)

2. y= tan⁻¹ 1 x

（解答）

y^′ = 1 1 +(₁

x

)2 ·( 1 x

)_′

= 1

1 + _x¹2

·(

− 1 x²

)

=− 1 x²+ 1

3. y=x^x12 (x >0)

（解答）両辺の対数をとると logy= logx^x12 = logx

x² であるから，両辺を x で微分して

y^′ y =

1

x ·x²−logx·2x

x⁴ = 1−2 logx x³

よって

y^′ =y· 1−2 logx

x³ =x^x12−3(1−2 logx)

1. 次の関数の n 次導関数 y⁽ⁿ⁾ を求めよ．

(1) y =e^2x

（解答）

y⁽ⁿ⁾= 2ⁿe^2x

(2) y =xe^2x

（解答）

(x)^(k) = 0 (k=2) であるから

y⁽ⁿ⁾ =

∑n

k=0

nC_k(x)^(k)(e^2x)^(n−k)

=x(e^2x)⁽ⁿ⁾+n(x)^′(e^2x)⁽ⁿ⁻¹⁾

=x·2ⁿe^2x+n·1·2ⁿ⁻¹e^2x

= 2ⁿ⁻¹(2x+n)e^2x

2. 平均値の定理とはどのような定理か？その仮定と 結論を述べよ．

（解答）

関数f(x)は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で 微分可能であるとする．このとき

f(b)−f(a)

b−a =f^′(c), a < c < b を満たす cが存在する．

3. 次の関数の導関数を求めよ．

y = 2 sin⁻¹√

x (0< x <1)

（解答）

y^′ = 2· √ 1 1−√

x²

·(√ x)^′

= 2· √ 1

1−x · 1 2√ x

= √ 1 x−x²

第

11

A

(7/16

)

学科 学籍番号 名前 得点

次の関数の導関数を求めよ．講義中に出てきた初等関数の微分公式は証明なしに自由に用いてよい．

1. y= tan³x

（解答）

y^′ = 3 tan²x·(tanx)^′

= 3 tan²x· 1 cos²x

= 3 tan²x cos²x

2. y=xsin 1

x (x̸= 0)

（解答）

y^′ = sin 1

x +xcos 1 x ·(

1 x

)_′

= sin 1

x +xcos 1 x ·(

− 1 x²

)

= sin 1 x − 1

x cos 1 x

3. y=x^logx (x >0)

（解答）両辺の対数をとると

logy= logx^logx = (logx)²

であるから，両辺を x で微分して y^′

y = 2 logx· 1

x = 2 logx x

よって

y^′ =y· 2 logx

x = 2x^logx−1logx

1. 次の関数の n 次導関数 y⁽ⁿ⁾ を求めよ．

(1) y =e^2x

（解答）

y⁽ⁿ⁾= 2ⁿe^2x

(2) y =xe^2x

（解答）

(x)^(k) = 0 (k=2) であるから

y⁽ⁿ⁾ =

∑n

k=0

nC_k(x)^(k)(e^2x)^(n−k)

=x(e^2x)⁽ⁿ⁾+n(x)^′(e^2x)⁽ⁿ⁻¹⁾

=x·2ⁿe^2x+n·1·2ⁿ⁻¹e^2x

= 2ⁿ⁻¹(2x+n)e^2x

2. 平均値の定理とはどのような定理か？その仮定と 結論を述べよ．

（解答）

関数f(x)は閉区間[a, b]で連続，開区間(a, b)で 微分可能であるとする．このとき

f(b)−f(a)

b−a =f^′(c), a < c < b を満たす cが存在する．

3. 次の関数の導関数を求めよ．

y = 2 cos⁻¹√

x (0< x <1)

（解答）

y^′ = 2· √ −1 1−√

x²

·(√ x)^′

=−2· √ 1

1−x · 1 2√ x

=−√ 1 x−x²