ユーク リッ ドの互除法の一般化について

上越数学教育研究,第

号,上越教育大学数学教室,1

年,pp.

ユーク リッ ドの互除法の一般化について

岩 崎 浩

1

は じめに

本稿 ではユー ク リッ ドの互除法の一般化に ついて述べ る｡ユー ク リッ ドの互除法が

つ の数 の最 大公約 数 を扱 い,そ の繰 り返 しに よって n個の整数の最大公約数 を扱 うのに対 して,本稿 で述べ るユー ク リッ ドの互除法の 一般化 は,原理的にみて n個の整数の最大公 約数 をそのまま扱 うところに特徴がある｡ I

この よ うなユー ク リッ ドの互除法の一般化 を取 り上 げ る意図は,主に次の二つである｡

‑つは,この一般化が,ある文脈か らみれば 非常に 自然であるにも関わ らず,余 り知 られ ていない とい うことである｡も う一つは,こ の‑般化 が,‑ 数学的関係それ 自体‑の興味や その関係 と応用可能性 との関連,一般化の方 法な ど,数学の幾つかの性格 を例証 している か らであ る｡ しか も,その内容 を理解す るの に特別 な予備 知識 をほ とん ど必要 としない｡

したがって,小 ･中学校の教師を志望 してい る学生や,現職 の小 ･中学校の教師が,数学 についての適切 な理解 を得 るのに少 しでも役 立ち うるのではないか と思 ったか らである｡

そ して,この よ うな教材 を豊富に用意す るこ とは,教員養成系学部の重要な仕事の一部で ある と考 えるか らである｡平林 (

は次 の よ うに述べ てい る

0

そ うした大学の卒業生が′ ｣ ､ 学校の教師になっ た とき, どのような問題が起こるで しょう か｡おそらく日常の授業実践については,先 輩の諸先生がいろいろな面で親切に指導 し て くださるで しょうか ら,授業技術の点で

は,外見的にも著 しい進歩が見られるよう になるでしょう｡しか し,そうした技術面で まじめに努力される方ほど,おそらくどう にもならない一種の虚無感に陥られるかも しれない と思います｡た とえば,子 どもに こんなことを教えて何になるのか,子 ども はこんなことをどうしても知 らなくてはな らないのか,といった問題については,敬 育技術は何 も教えてくれないからです｡

ここで述べ られてい る問題は,同氏が述べ るよ うに,教育技術の問題ではない｡む しろ, 思想性 の問題 である｡この間題 を解決す るの は容易ではない｡ しか し,同氏 も述べ る とお り,その第一歩は,数学及び私がメタ知識 と 呼び たい ところの,数学 と人 間性 との関係 の適切な理解 に,できる限 り具体的に,アプ

ローチす ることである｡

平林

は,このアプ ローチ として教 師 自らが ｢ 数学す る

ことを挙げてお り,こ のよ うな教師 自らが数学す る体験

｢ 数学的体 験

･のための幾つかの教材 を提供 してい る｡

同氏 はまた

｢ 理学部 の数学 は歯 のたたない ステーキであ り,教育学部の数学は肉の入 ら ないスープである｡｣ とい うある外 国の雑誌 か らの一文 を引用 し,これまでの教員養成系 学部では,世界的にみても,上の問題 にアプ ローチす るのに適 した教材が積極的に提供 さ れてこなかった と述べ,このよ うな教材の開 発 の必要性 を示唆 してい る｡

1

これは,上越数学教育研究会や ∑会で,子ども

たちに数学を指導する上での最も基本的な方法として

重視されてきた考え方でもある

｡

本稿の試みも,教師志望の学生や現職の先 生方に とって,数学及びそれ と人間性 との関 連について反省 した り,理解を深めるのに少 しでも貢献 しうるよ うな教材を提供 しよ うと い う一つの努力である｡

2

ユーク リッ ドの互除法の幾つかの意味 ユーク リッドの互除法は,ユーク リッ ド原 論第

巻命題

にあるよ うに

,最大公約数 を求める一つの アル ゴリズム として 最 もよ く知 られている｡一方,忘れてはならないの は,ユーク リッドの互除法の歴史的意味であ り,それは,無理数性 を認識す る道具 として の意味である｡無理数性は,正五角形の一辺 とその対角線 との間に兄いだされた ともいわ れている｡この無理数性の認識を支えている のがユーク リッ ドの互除法である｡2 量の間 J に通約量 ( 共通のもの さし)が存在す る場合 には,ユーク リッドの互除法は有限回で終了 す る｡正五角形の一辺 とその対角線の場合に は,ユーク リッドの互除法が果て しなく続 く ことがわかる

｡無理数は, 日常的に有用 なもの として生起 しない数であ り,む しろ, 理論的に異常なもの として生起する｡その異 常 さは,論理によっては じめて認識 しうるも のである｡学校数学では取 り上げられないが, 無理数 は, この意味でも陶冶価値 を有 し

, ユーク リッ ドの互除法は,この無理数の存在

を最も具体的に認識するための一つの思考の 道具であるOユーク リッドの互除法がこのよ うな道具た りうるのは,次節でも述べ るが, そのアル ゴリズム自体に素因数分解など,過 約量の存在 を仮定 していないか らである｡

文部省 の指導書によれ ば,最大公約数 は, 小学校第

学年の内容の中の ｢ 数 と計算

に おいて,特に,整数についての理解 を深める もq )として位置づけられている｡一方,中学 校 では この用語は出てこない

2

中学校においては,最大公約数は取 り扱われてお らず,関連す る内容 としては,第

学年の学習内容で

算数での最大公約数の取 り扱 いをみ る と

『最大公約数及び最小公倍数 を形式的に求め ることに偏 ることなく,具体的な場面に即 し て取 り扱 う程度 とす るよ う配慮す る必要があ る｡

となっている｡これ を受 けて,教科書

10)

でも,例 えば,

の用紙 に同 じ大きさの正方形の紙 をす き間なくならべ る とい う場面を設定 し, うめることができる一 番大きい正方形の一辺の長 さを求める問題が 取 り上げ られている｡そ して,最大公約数を 求める方法 としては,

と

のそれぞれの 約数 を全て書き出 し,公約数 を○で囲み,そ の中で最大のものを選ぶ とい う方法である｡

このよ うに,最大公約数を 日常生活 との関 連で考えている限 り,ユーク リッドの互除法 をあえて用い る必要性 は出て こない よ うに 思われ る｡実際,ユーク リッドの互除法の実 用的意味が生 じて くるのは,む しろ,よ り大 きな数の最大公約数を求める必要がある場合 や,それを̲ コンピュータで機械的に求める必 要が生 じた場合に限 られて くる｡このことが 最大公約数 を取 り上げてい るに も関わ らず, 歴史的及び実用的意味をもったユークリッド の互除法が小学校で積極的に取 り扱われない 一つの理由になっているよ うに思われ る｡

しか し,小 学校 算 数 はそれ 自身 完結 し た もの で は な く,中学 校 数 学 の 準備 とみ な され る現在 の状 況 にお い て は,小 学 校 段 階 にお い て も, 日常 生 活 との 関連 ,す なわ ち,数 や 図形 を生活 に役 立つ 問題 解 決 の道 具 として だ けで な く,それ 以 上 に, それ 自身興味ある対象 として 考 えてい ける ように指導す ることが必要になってきている｡

ある ｢ 多項式の因数分解｣の中に 自然数の素因数分解 が位置づけ られている｡そ して , ｢ 多項式の因数分解

の意味を理解す るためのモデル として,自然数の素因

数分解が位置づけられている程度 である｡これを受け

て,教科書でも,最大公約数に関す る記述はな く,秦

数や素数の求め方などを取 り上げる程度にとどめてい

る｡これ らは,多項式の因数分解を自然数の因数分解

をモデル として理解す るのに必要最小限の内容である

̲

例 えば, 中学校数学 の一つの特徴 である

｢ 論証

には, フアン ･ヒ‑ レの学習水準の 理論が典型的に例証 しているよ うに,数や図 形 を問題解決の道具 としてだけではなく,そ れ 自身興味ある対象 として考えることが要求 ･

され る｡

本稿で取 り上げるユーク リッドの互除法の 一般化 も,問題解決の道具 としてよりも,む しろ,ユー ク リッ ドの互除法の背景にある数 の関係そのもの‑の関心に由来 している｡実 用的な観点だけでなく,最大公約数やそれ を 求めるプ ロセスそのもの‑ 目を向けよ うとし た とき,ユー ク リッドの互除法は,それ 自身

として興味ある関係 を含んでいるように思わ れ る｡この関係 は本学数学 コースのある学部 生によって兄いだ された関係であるが,私 自 身 に とって も興味深い一つの発見であった｡

3

ユー ク リッ ドの互除法の一般化

ユー ク リッ ドの互除法は,最大公約数を求 めるきわめて合理的な方法である｡このこと は次の最大公約数の求め方 と比較す るとわか

りやす い｡

2 142 30̲ ̲

3 斗 21 ̲1 ̲ 早.

固 7 5

図

と

の最大公約数の求め方 ( 1 ) この求 め方は,

と

の公約数 を適 当に 見当をつ けていき,それ らをかけるとい う方 法である｡ この方法は一見便利だが,目安で 公約数 とな る数 の見 当をつ けなけれ ばな ら ないので,例 えば,

と

の よ うな

数の最大公約数 をこの方法で求めるのは難 し いであろ う｡なぜ な ら これ ら

数の素因数 分解 は,それぞれ,

で表 さ れ,目安で見当をつけるには大きい素数の積 になってい るか らである｡

ユーク リッドの互除法の特徴は,与えられ た

数に対 して,このよ うな素因数分解 を前 提 としない (しな くて よい) ところにある｡

ユーク リッドの互除法が,前節でも述べたよ うに,

つの量の間に通約量が存在す るか ど うかを確認す る手段 とな りうるのは,正に, この特徴 によるもの といえるであろ う｡

それでは,ユーク リッドの互除法 とは どの よ うな方法なのか

と

の最大公約数 を ユーク リッドの互除法で求めなが ら,具体的 に述べ ることに しよ う｡

42‑3 0 × 1 +

3 すく を 霜 丁

1 すご 鼓 宕 一

･;:2･:i

図

と

の最大公約数の求め方

図

は

と

の最大公約数 をユークリッ ドの互除法 で求めてい る ところを表 してい る｡除数 と余 りをそれぞれ被除数 と除数に置 き換えて,余 りが Oになるまで繰 り返 してい る｡別の見方 をすれば,余 りで除数が割 り切 れ るか どうかを常にチェックしているともみ れ る｡そ して,余 りで除数がちょうど割 り切 れた とき,その余 り( 当該の式では除数になっ ている)の数が最大公約数である｡

今の場合 6が最大公約数であることがわか る｡まず, 6 が

と

の 公約数であること は,図

の

式

式, (

式 を逆にた どる ことで確認 で きる

｡また,最大であること は,

よ りも大きな

と

の公約数が存在 す るとして,( i )式

式,

式 をこの順 に た どれば,不合理が生 じ,そのような公約数 は存在 しない ことがわかる｡

今,仮に6 よりも大きな

と

の公約数

があった とす る

式をみれば

は,左辺で ある

を割 り切るのだか ら,右辺

も

り切 るQ ところが,

は,

と

の公

3

この証明はほとんど明らかなので省略する｡

約数であるゆえ 30 を割 り切 るのだか ら,1

を割 り切 らねばな らない｡同様 に,

式 を みれば ,x は左辺である 3 0 を割 り切 り,右辺 の

を割 り切 るのであるか ら,x は

り切 ることになる｡ ところが,xは, 6 よ り も大きい整数であったか ら,このことは不合 理である

これ が もっとも素朴 なユー ク リッ ドの互 除法の理解 であろ う｡図

の系列 は,例 え ば,

式か ら始まった とみれ ば, 30 と

の最大公約数 を求め るユー ク リッ ドの互除 法 とみれ る し

式か ら始まった とみれ ば,1

の最大公約数 を求めるユー ク リ ッ ドの互除法 ともみれ る｡つま り,この考え で図

をみれば,ユー ク リッ ドの互除法は,

とい うよ うに,

｢ 減少 してい く同 じ公約数 をもった整数の組 I J の系列｣ としてみることができる

｡ この系 列の同値性 を保証す るのが次の補題である｡

補講

( ユーク リッ ドの互除法 ) Z を整数 全体の集合 とす る

l

,た だ し,

とす る｡ これ に対 して,

lを

で整除 した ときの商を

余 り を

lとす る｡数式を用いて表現すれば,

,

(1)

となる｡この とき

と

の公約数全体 の集合は

lと

lの公約数全体の集合 と 一致す るOしたがって

lと

の最大公 約数 は

と

lの最大公約数に等 しい｡

α1

と

の公約数全体の集合 を

で表 し

と

lの公約数全体の集合を

で表す ことにす ると,

(α1,α2)‑ (α²,rl) (2)

4

ここで用いた証明方法は,ユー ク リッ ド原論第

巻 命題 2の証明 と本質的に同 じ考 え方を用いてい る｡

5

これ を図式的に表現 したのが図

である｡

6α1

と

の最大公約数 を

と表す ことがあ るが, ここでは

1と

の 公約数全体の集合 を表す ことにす る｡

が成 り立つ｡

それでは,まず Ⅰ段階 として,集合

か らどんな要素を取ってきても,その要素が 集合

｡ 2 , r l )の要素であることを示そ う｡

∀x∈ (a

l

とす る.xは

lと

の公約 数であるか ら , x はもちろん

の約数 であ るOこれ を‑ 以下,記号 搾 使って x

と表現 す ることに しよ う

x

を示す ため には,後 ,可r lであることを示せばよい ｡r l

は式

を変形す ると,

r

l

と表せ る

l

だか ら

lx

を満 たす

∈Z が存在す る｡ これ らを

式に代入すれば,

rl‑kx‑lxq1‑I(k‑1ql) (4)

この式

は x l r lを示 しているoよって

(α2,γ1)

が示 された｡

逆に,第 Ⅰ Ⅰ段階 として,集合

か ら どんな要素を取ってきても,その要素が集合

の要素であることを示そ う｡

∀y∈ (a2,rl)

とす る

は

と

lの公約 数 であるか ら, もちろん

であ る

(a

l

を示すためには,あ と

lを示せ ば よい

なので

X

を満 たす m

が存在す る｡ これ らを式 ( 1 )に代入す ると,

a1

‑

+

この式

は

lを示 している｡よって

(a',a2)

が示 されたOゆえに

式が成 り立 つ ことが示 された｡

3.2

一般化のアイデ ィア とその証明

ユーク リッドの互除法の一般化についての

証明に入る前に,本稿で問題に しているユー

ク リッドの互除法の一般化 とは何を意味 して

いるのか とい うことと,それ を考えるに至っ た文脈について述べてお くことにす る｡

ユーク リッ ドの互除法は,上で述べてきた よ うに,基本的には

つの数に対するアル ゴ リズムである｡それ を

つ以上の数について 考えることは自然なことである｡しか し,例 えば,3 つの数に対 しては,ユーク リッドの 互除法を

回適用すればその最大公約数は求 まる｡ したがって,実用的観点か らみれ ば, これまで述べてきたユーク リッドの互除法で 十分である｡実際,

つの数に対 して,ユー ク リッ ドの互除法を2 回適用す るとい うアイ デ ィアは,ユーク リッ ド原論の第 7巻命題 3 の方法

そのものである｡この方法は

個 以上の整数の場合にも原論第

巻命題

の原 理 を繰 り返す ことで対処 しうることを示唆 し ているか ら,ここであえてユークリッドの互 除法を一般化す るとは一体 どうい うことなの か説明 しなければな らないであろ う｡

本稿 で取 り上げよ うとす るユークリッドの 互除法の一般化は,このよ うな実用的な観点 か ら生まれたものではない｡む しろ,アル ゴ リズムの形式性か ら生まれたもの,その形式 性の背後にある数の関係そのもの‑の関心か

ら生まれたもの といえるものである｡

これ を説明す るために,ユークリッドの互 除法のアル ゴリズムを次のよ うに図式化 して み よ う｡

α1 α2

図

ユークリッドの互除法の図式化 この形式を拡張 して

つの整数に適用す ることを考えることは自然なことである｡そ の際,問題 となるのが第

番 目の数をどのよ うに決 めるかである

つの整数の場合には

2

つの整数の うち大きい整数 を小 さい整数で

割

った時の余 りであった｡3 つの整数の場合, これに対応す る数は何か?

α1 α2 α3 ;? ;

図

番 目の数は何か7

今, この

つの整数 を

,た だ し,

とし

を

で整除 し た ときの余 りを rl

を

で整除 した とき の余 りを

とす る｡結論か らいえば, この 第

番 目の整数は

+

^になる｡

3 つの整数

をそれぞれ ,42, 30, 2 4 とおいて,例証 してみよ う｡

図

ユークリッドの互除法の図式化

この場合

となった ときの

の 位置にある数

が求める最大公約数である｡

それでは,ユーク リッ ドの互除法の拡張,

つの整数の場合の証明をす ることにす る｡

図5 で示 したこのアル ゴリズムはまだ検討の 余地を残 している｡このことは後で述べるこ とに して,このアル ゴリズムを支えている原 理,つま り,上で述べた,

個の整数か ら成 る同値な組の減少す る系列が,3 個の場合に も構成可能であることを示す ことにす る｡そ して,このアイディアをn個の整数の場合に 一般化す ることを試みることにす る｡

補語

つの整数の場合 ) Z を整数全体

の集合 とす る

l

, た

だ し

≧ α3 ｡ これ に対 して,

を

で整除 した ときの商 を

lとす る

を

で整除 した ときの商 を q 2,余 りを

とす るO数式 を用 いて 表 現すれ ば,

al ‑ a2ql+rl,

(q

l ,

≦

a2 ‑ a3q2+r2,

(q2

,

≦

となる｡この とき,

lと

の和

l+

を 考 え る｡この とき

の公約数全 体の集合 は

,

の公約数全体の 集合 と一致す る｡al , a

の公約数全体 の集合 を

で表 し

,

r12

の公約数全体 の集合 を

l+ r2) で表す こ とにす る と,

(a

l

,

が成 り立つ｡ したがって

の最 大公約数 は

,

の最大公約数 に等 しい｡

この補題 を証明す る前に,い くつかの簡 単 な変形規則 とで もい うべ きものを導入 してお くこ とにす る｡

命題2.1a

,

C∈Z に対 して,

(

a,

a

a

が成 り立っ｡

命題2.2

a

∈Zに対 して,

, b )‑ (

が成 り立つ ｡ a

の公約数全体の集合は, a, a の公約数全体の集合 と同 じなので明らかで ある.同様に,

βをそれぞれ特定のいく つかの整数の公約数全休の集合 とすると,

(A,B)‑(B,A)

が成 り立っ. したがって,順序に関係 な' ( 入れ換えることができる｡

命窺 2.3

a,

a,

a

が成 り立っ.なぜなら ,

a,

とする と

a

Cであるから

a

がいえる｡ゆえに ,x ∈( ( a , a ) , ( b , C ) ) ｡逆に,

∀y∈((

a

とすると

a

(b,C)

だか ら

a

cであるOゆえに, y

a,

が成 り立つO

命題2.

4A, β , Cをそれぞれ特定のいくつかの整 数の公約数全体の集合 とす る｡この とき, A =Cなら

( A, B)‑ ( C, B)

が成 り立つ｡公約数の集合 として同 じもの を代入 しているので明らか｡

命題2.5

a

∈Zに対 して,

b )

, b )

が成 り立つ｡なぜなら ,

a

とす ると,

であるか ら

b‑a:fとなるe,f

∈Zが存在する

xf

の両辺からaを引き ,

を代入すれ

‑

とな る｡ゆえに

｡ したがって, 3 :

a

で ある｡逆に ,Vy ∈( a

とすると ,yl a

である

ら ,

∈

となる｡ゆえに,

｡ したがって,y

である｡

それ で は,補題

の証 明 をす る こ とに しよ う.

l , a

とす る｡ この とき,

∈

, α) す なわ ち,

,

を 示す｡

命題

よ り,

(a

l

l

よって

l

o したがって,

x∈(a2,a3) (10)

補題

よ り

,

式か ら

(α2

, rl )とな るか ら,

xlrl

( l l ) 補題 1より

｡

式か ら

(α3,r2)

となるか ら,

こ 申 2

よ り,

可(rl,r2)

( 1 3 ) したがって,rl‑Xi

が存在す る.辺々加 える と

xj‑I(i

+

｡ ゆえに,

こ申

1 +

が成 り立つ｡

(10),(14)

よ り,

x∈(a2,a3,rl+r2)

( 1 5 ) 逆 に,

+

とす る｡

(α2,α3,rl+r2)

は,上述の変形規則 を用いれ ば次のよ うに変形す ることができる｡

( 命題

よ り,

(a2,a3,rl+̲r2)芦 ((a2,a3),rl+r2) (16)

( 補題

命題

. 4)よ り,

(α2,α3,rl+r2)‑ ((α3,rl),rl+r2) (1

7

( 命題

よ り,

(α2,α3,rl+r2)‑ (α3,(rl,rl+r2) (18)

( 命題

よ り,

(α2,α3,rl+r2)‑ (α3,(rl,r2)) (19)

( 命題

よ り,

(α2,α3,rl+r2)‑((α3,rl),(rl,r2)) (20)

したがって,y∈ (

｡ よっ て,沖 1また,補題

から

｡

なので,y∈(

｡よって,yl a2 ｡補題 1よ

り(

l ) ｡ ゆえに

l

す なわち,yl

定理 ( 一般化

を整数全体の集合 とす る.

任意の n個の整数 に対 して,すなわち, 例えば,a l

,ただ

し

≧ ‑･≧ anとし

lを

で整除 した ときの余 りを

を

で 整除 した ときの余 りをr

を a nで整除 した ときの余 りを r

1とす る｡ この とき,｣ ‰̲1‑ rl+r

‑

‑1 ; ( n

と表せば,

(a

l

, ･

･

が成 り立っ｡ したがって,a l

, ･

の最大公約数は

｡

, ･ ･

の 最大公約数に等 しい｡

n(≧2)

に関す る帰納法で証明す る.

(i)n‑2

の とき,つま り,

つの整数に対 し て,式

)は次のよ うになる｡

(al,a2)‑(a2,R

l )

ここで,

l

1であるか ら,これは既に 証明 した補題

( ユーク リッドの互除法)に 他な らない. したがって,n=2 の とき,式

は成 り立つ｡

(ii)n

‑kの とき,つま り,k個の整数に対 し て,式

)は成 り立つ と仮定す る｡す なわ ち,

r

･ ･ ･ +r k

lと表せば,

(a

l

, ･

, ･

(23)

が成 り立つ と仮定す る｡

この とき,n=k+1の ときも成 り立つ こ とを示す｡すなわち,

十･ ‑

と表せば,

(a

l

, ‑

･ ･ ･

が成 り立つ ことを示す｡

今,簡単のために

l

, ･ ･ ･

と し,

･

としてお くこと にす る｡

まず 第 Ⅰ段階 として 証 明す べ き こ とは ,

∀x

∈

とす る と必ず

とな るこ とで あ る｡ そ のた めには,

を示せ ば十分 で あ るOなぜ な ら,

と

の違いは

と

の ところだ けであ ることに注意す る と

とい うこ と自体 によって,本来示 さなけれ ば な らない諸関係 である

,

が既 に示 され てい ることになってい るか らで あるOつ ま り,残 りの関係 可 ^{Rkが成 り立っ こ}

とさえ示せ ば,x は,

を構成 してい る

個 の整数すべての約数であることを示す こと ができるので, ∬∈ y が示せ るとい うことで あ る｡

まず,

を帰納法の仮定を用いて変形す る と,す なわ ち,命題

. 4を使 って,

の 中の 一 都 の整数 の組

l , a

･ ･ ･

を

式 が示 唆す るその組 と全 く同 じ公約数 を もつ整数の 組

, ‑･

lで置 き換 える と,

X‑ (a2,a3

, ･ ‑

I

したが って,

可Rk̲1 (26)

Rk

は,定義 か ら

R

‑ R

また

は,ak を

で

った ときの余 り で あ るか ら,補

ユー ク リッ ドの互除法) よ り,

(a

た

が成 り立 つ

なの で, 当然 ,x

(

ak

)で ある｡ したがって

式 よ り,

I

o Lたが って,

rlri.

(26),(27),129)

か ら,

(29)

(30)

よって,x

次 に,第 Ⅰ Ⅰ段階 として,逆 に, Vy∈Y と す る と必ず

となる こ とを示 す｡ そ の ためには,上で述べ たの とち ょうど同 じ理 由 か ら ,y l

lを示せ ば十分 であ るこ とがわか る であろ うOそ して,扉α1 を示す ためには,結 局,yt

lを示せ ばよい ことも示唆 され るであ ろ う｡ なぜ な ら,y ∈Y であ るか ら,y桓2 で あ り,補題 1か ら(

｡

)が成 り立 つ こ とがわかってい るので,この関係 を用 い る と

l , a2 )であること,す なわち,y桓1 を示す こ とがで きるか らであ るo

帰納法の仮定によ り

個 の整数 に対 して 定理 は成 り立 ってい る

ので,

(a2,a3

, ･ ･

‑ (a3,a4,

‑

+r 3+ ‑ +

が成 り立つO

この 関係 を γ に適 用す る と,す なわ ち, 命 題 2 . 4 を使 って ,

の 中 の 一 部 の 整 数 の組

,

+1を

式 が 示 唆 す る そ の組 と全 く同 じ公 約 数 を もつ 整 数 の 組

｡,

+ r 3+ ‑ + rkで置 き換

える と,

Y

7

定理は.

式そのものではなく

式が示唆

する関係の成立を主張していることに注意｡その関係

とは

個の整数があって,それを大きい順番に並

べ替える｡大きい整数をその次に大きい整数でわり算

を次々に行 う

値の整数の場合

をすることになるOその結果生じるn‑ 1個の余りの

合計をR

すると

個の整数の公約数全体の集合

と,この集合から最大の数を余りの合計

で置き

換えた集合の公約数全体の集合は一致する』という

ことである｡したがって,ここでの帰納法の仮定であ

る

式は,任意の

個の整数に対して,それら

の間に

式とともに示されている関係が成立し

てさえいれば

式は成立するという意味であるO

言うなれば,式そのものは,定理の一つの具体的表現

であり,一つの例であるということである｡

‑

, ･ ･

+

+･ ･ ･ +

, R

(32)

ここで

式の後半の式の中の関係

r 3

‑･ +r k , Rkに注 目す ると,

十

‑

であるか ら,

･ ･

と おけば

+

+‑ +

, R

は,A

+ ^A

と書 くことができる｡ これ を命題

を用い て変形す ると,

(A,rl

+

となる｡すなわち

式の後半の式の中の 関係が示唆す る公約数全体の集合

+

+

‑

. +

, R

は ,( A

)と等 しいO したがっ て,命題

を適用 して

式の後半の式 の中の関係

+r 3+ ･ ･ ･+

を

で 置き換 えると,

Y

, ･

i , 4

式は,沖 1であることを示 している｡

4

このユークリッドの互除法の一般化は,そ の意味や実用的な観点か ら生まれた とい う よりも,形式性,とりわけ,ユークリッドの 互除法を図

のよ うな図式でそのアイディア を表現 したことが契機 となっていた｡ユーク リッドの互除法のアイディアを図式で表現す ることによって,形式が先行 し,ユークリッ

ドの互除法が持っているもともとの意味か ら 離れる結果 とな り,その図式の中にある関係 そのものが問題 となった といえそ うである

rl

+r 2を第

番 目の数 にす るとい うよ うな アイディアは,意味を考えている間には思い もつかないか もしれない｡

本稿 でみてきたよ うに,ある文脈を与えれ ば,非 常に 自然で興味深い と思われ るこの ユーク リッドの互除法の一般化が,これまで あま り周 題にされてこなかった とすれば,そ の理由を考えることは,数学 と人間性 との関

連を考える上で役立つよ うに思われ る｡それ は,数学的関係 とその応用可能性 との関係で あ り,おそ らく,この一般化が,最大公約数 を求めるとい う実用的な 目的に とって,従来 のユークリッドの互除法の繰 り返 しの適用以 上の効果をもっているようには思われないか らであろ う｡逆に,それ 自身興味深い とい う だけでは知識 として生き残 るには少 し弱いの かもしれない｡

ユークリッドの互除法の場合は,余 りが必 ず除数よりも小 さくなるので,最初の

数が 与えられたときに大小の関係を意識 してさえ いれば後は大小関係 を気にす る必要はない｡

ところが,ここで述べてきたユークリッドの 互除法の一般化の場合には,出てきた余 りを 足す とい う操作をす るので,この和が除数 よ りも大きくなって しま うとい うことが起こり うるのである｡例えば,

つの整数

を例に とって考えてみ よ う｡

α1 α2

α 3 r l +r 2

4 83 顎 電 4 i 2 o j‑ 2 8

3 42 0 2 8;

⁝/ ⁝/ ⁝/ ソ 46/ 3 2 2 1 1

図

並べ換えが必要な例

この場合には,図

の最初の段の余 りの和

が,その同 じ段の整数

よ りも大きくなって しまっている｡したがって,

段 目において大きい順に並べ換 えて ( 命題

,

段 目か ら新 たにユー ク リッ ドの互除 法の一般化の原理を適用すればよい｡

さらに,一般化の準備 として行った補題

の証明や幾つかの命題 には,その後の定理

に とって無駄 な ことも含 まれ てい る し,ほ と ん ど自明に思われ る｡ しか し,形式的 な変形 を しよ うとした とき,少 な くとも,私 自身が その意味に返 り,変形の前後で同値関係 が保 持 され てい るか ど うかを確認 した事柄 であっ た｡一方, このよ うな反省 によって,今 まで 気づか なかった重要 な関係 を意識す ることに な った｡例 えば,命題

として定式化 した 関係 はその一例であるOこれ は,ある意味で, ユー ク リッ ドの互除法の特殊化 である ともい える し,

数 の最大公約数 は

数 の差の約数 である とい うきわめて単純 な関係 をも示唆 し てい る8 ｡

ユー ク リッ ドの互除法は除法であるが,こ の除法 を累差 と解釈すれ ば,命題

の減数 と差の関係 は,ユー ク リッ ドの互除法 にお け る除数 と余 りの 関係 に対 応 して1､る｡ そ し て,命題

はユー ク リッ ドの互除法の途 中 の段階であ り,この段階において も上 で述べ た よ うな同値性 が保 たれ てい るとい うことで あ る. この関係 に気づ くことは,証明におい て必要 であっただけではな く,私 に とっては, 数 に対す る感覚 が よ り豊かになってい ること を実感 し うるものであ った｡

例 えば, この関係 に気 づいていれ ば,286 と

の最大公約数 は

の差である

の約数 であ る ともみれ る し,28

最大公約数 と等 しい ともみれ る｡2 の約数 は

と2 であ る｡286と28

が偶数 であるか ら, 最大公約数は

であることが一瞬 に してわか

るか らである

8

ある整数論のテキスト

では

として表現されているoここで

, a )はa

の最大 公約数を表している｡これは勿論,本稿で述べた命題

と同値であるが,この表現の方が,ここで述べた 差の関係を明確に表現しているといえようO

9

別の

として,例えば

8と

の 最大公約数について考える場合でも,同様に,その差 を考えると

であり,最大公約数の候補は

の約数で ある1と

に限られるOところが

で割り切れない ことは明らかであるから,結局,これらは互いに寮で あることがわかる

このユT ‑ク リッ ドの互除法の一般化 が中学 校 における ｢ 課題学習｣な どの生徒 たちのた めの教材 として仕 立て直す ことが可能 であも か ど うかはまだ検討 してい ない｡ これ は今後 の課額 とし,できれ ばゼ ミの学生や院生,敬 学教 育の 自主サー クル であ る ∑ 会 の先 生方

と一緒 に考 えてい きたい と思 ってい るO

引用文献

1)

平林‑栄

.算数指導が楽 しくなる′ ト 学校教師の数学体験.黍明書房,1

2)

古藤 怜!上越数学教育研究会 ∑会

算数 ･数学科における

の指導.東 洋館出版社.

3)

ユ⊥クリッ ド

･ユークリッ ド原論 ( 辛

.共立出版,1

貢.

4)

珊永昌音･ 伊東俊太郎･ 佐藤徹

. 数学の 歴史 1ギ リシャの数学.共立出版,47

5)

平林一栄

算数教育における数学史 的問題 ‑ ｢

に関連 して‑.皇拳館大草 講演叢書第七十五韓,3

6)

岩崎 浩

具体的教材 ( 題材)の陶冶 価値を検討することの意味 : 非通約量 ( 無理 数)の発見に対するプラ トンの見解.一般教 科教育学研究会編,一般教科教育学序説,大 学教育出版.

7) 文部省(1989).

中学校指導書 数学鼠 大阪 書籍,1

8) 川口

延 他

.中学校数学

学校図書.

9) 文部省(1989).

小学校指導書 算数編.大阪 書籍,21

10)‑松 信 他(1995).

小学校算数

年下.学校

ll)

ユークリッ ド(

前掲書.

12)山本芳彦 (1996).

教諭入門

岩波講座 現代 数学‑の入門

岩波書店,1

13)山本芳彦(1996).同掲書.20鼠