規準化準極値統計量の
岬様漸近分布について＊
松 縄
規 §1序 一L次元連続型分布（p．d．f．f（x），C．d．f．F（x））からの大きさNの無作為 標本紅基づく規準化準極値統計鼠の（β）d−型の一・様漸近分布を誘導し，従来 の極限理論紅於る結果との関連に．ついての若干の検討を行なうこ．とが本小論の 目的である。 筆者等〔2，3〕は〝／Ⅳ→0，（Ⅳ→∝）の下で何らの規準化を行なわない 場合のlower n extremesなどのl（B）d−型のl一様漸近分布を｝導出した。その 結果およびそこで用いた手法を援用するこ．とに．より，元の分布からの順序統計 畠を適当に．規準化して得た規準化（準）極値統計量の漸近分布をかなり∴見通し よく誘導することが可能である。この内，第〝番規準化最小値に．ついては，形 が固定の場合，それが〃→…でpI・Oper・な分布に．（β）d一塑収束するための十 分条件を〔2〕で与えており，これはSmirnOV〔4〕の法則収束に．基づく結果 の部分的な拡張となっている。そこで本稿では，他の場合（α）〝＝〝（Ⅳ）の場 合の normalizedlower n extremes，（b）nが固定された場合のnormalized n extremes 或いは対応する normalized upper extremesなどの（B）a一塾 −・様漸近分布の導出を試みよう。そのために．§2でいくつかの補題を準備す る。§3では規準化準極値統計鼠のprimitiveな漸近分布および元の分布型 （F（x），f（x））のtai1−Shapesを考慮したかなり広い対象を含む規準化準極 値統計量の（β）d一型漸近分布族を構成し，種々な場合についてその十分条件 を与える。これ等の結果を§4で用い，SmiI・nOVの定理を（α），（∂）などの ＊ 昭和49年鹿又部省科学研究費による研究の一部分である。香川大学経済学部 研究年報14 j974 ＿J5ゴー 場合へ拡張できる事が示される。 §2 準備 本節では以下の議論で必要となる仮定，若干申記号および補題を準備する0 2．1仮定 ダ（∬）はsteadilyincT・eaSingであるとする。即ちノ旬）の SupPQrtが i．方：ノ■（．方）＞0〉＝（α，β） で与えられるものとする。ただしここにα，βはextended realnumbersであ る。 2．2 記号
ズ＊〝，1＜ズ＊∬，2く…くⅩ＊〝，ⅣはC．d．f．F（め，p．d．f．ノー（∬）に・従う母集団から
の大きさⅣの無作為標本から得られる順序統計藍とし， X＊N，ゐ＝（X＊N，l，”・・，X＊N，n）はn＝n（N）lowerextremes， Y＊N，n＝（X＊N，N−n．1，・・0，X＊N，N）はm＝m（N）uppeIeXtremeS，豆＊加，幻＝（疫＊〝バ，・・・，度＊〝，殉）はそのp．d．f．が
（2・1）クさ γ〟（、琉）＝講話exp卜脾（∬柁）増価）・
（αく方＊1＜…く∬＊稚くβ） で与え．られる形＝ゴ乃（Ⅳ）次元確率ベクトルとする。ただしここに が循＝（．方＊1，…，．方＊殉）， （2・2）〝 岬，k）＝毒訂。ik−1e．1れ（烏：pOSitiveinteger）
である。吏紅㌢＊Ⅳ，殉＝（克＊〃，〝一耽＋1，…・，度＊Ⅳ，〃）はそのp．d．f．が
規準化準極値統計遼の「ニ様漸近分布庭ついて 一諾β汐⊥ 品卸＊仇）＝諸訪印卜Ⅳ｛1こF（γ筆1）〉〕鰍γ苧ブ） （αく．γ＊1＜…く．γ＊m＜β） （2．3） で与えられる研＝沼（Ⅳ）次元確率ベクトルとする。ただしここ．に・〝＊刑㍉＝（．γ＊1， …，．γ＊仇）である。 いま，伽（＞0），∂〟；伽＞0，d〝を適当に選ばれる規準化定数とし，前述 の各確率ベクトル紅射し次の様に変換されたものを以下の議論の対象とする： あ，搾＝（ズ＊Ⅳ，犯−み〝，犯）／伽， 右，％＝＝（ズ＊〝，花⊥陥，乃）／ゐ〟， yⅣ，勒＝（ア＊〃，肌−dⅣ，仇）／C〟， 軋，刑＝（ダ＊∬，仇−dⅣ，叩）／旬 （2．4） ＼・・し ここに．みⅣ，氾＝（み〃，…，∂〃），dⅣ，批＝ （ん，‥巾，dⅣ）を表す。
さて，ここでいくつかの補題を準備しでおこう。次の結果は後で或るタイプ
の分布間のだ−エ情報鼠の計算に．その・一・部分が必要となるが，いくつかの分布
のモ−メソトやF桓beI・の情報量の計算に於ても有用であるので関連する結果 もー・托して掲げておく。補題2．1α，み，グ，dを非負の整数とする。との時次の等式が成立す
る。′＝′（α，∂・C，d）＝イ；．γα（β−y）わ（1一々ー7りC（叶γ）dヰγ
（2．5） 〔h（㌢・g＋ゐ）〕・タ＝官主羞。（−1）…（言）（亨）r（か→）（折1）
（γ才＋∂）α＋1 ここに．，r（●）（・）はポリガンマ関数を表す。 特に．d＝0 の場合に．はーJ∂逐一・ 香川大学経済学部 研究年報14 ユタ74 r（α十1） （2．6） f…′（α，∂，C） ′α十1 ＆（∂，C；γ） である。また，∂＋と≡〃→∞のときぐ／〃→0ならば近似的に （2・7）
′〒註r∫α（∂，C；γ）・㌫（♂，Ⅳ），（炬∞）
となる。ただし，ここ紅（2・8）∫α（み，C；γ）＝差。（−1）闇（去刊ル）−（α・1；，
（2・9）㌫（d，Ⅳ）＝差よ−1）酔d−グ（…1）（1ふⅣ）ブ
である。実際に．は〃およぴdが小さな非負整数値である場合が屡々登場する ので，以下に有用と思われるいくつかを列挙しておく： β0（∂，C；グ）＝β（∂ル，C＋1）， ∫1・（∂ノ，C；γ）＝−β（∂ル，C＋1）〔￠（∂ル）−￠（∂／r＋け1）〕， （2．10）い
2（ゐ，C；r）＝÷β（∂′り＋1）
×〔￠／（占ル）−〆（み／r＋C＋1）十〈￠（みル）−￠（∂／r＋イ＋1））2」， 箭（1，Ⅳ）＝−γ−1nⅣ．n（1，Ⅳ）＝1−γ−ln〃； rl（2，Ⅳ）＝汀2／6−L2γ＋γ2−2（1−γ）1nⅣ＋（1nⅣ）2， 箭（2，Ⅳ）＝打2／3十2つ′才一6γ＋2−2ト2γ＋3）1nⅣ＋2（1nⅣ）g （2．11） となる。ただし，ここに．B（・，・）はBeta関数，γはEuler定数（0．57721566…）， ￠（・），￠／（・）はそれぞれディ・ガンマおよびトリ・ガンマ関数であり，特に．烏 を自然数とする時規準化準痕値統計蓮の一億漸近分布紅ついて ーヱ55− i・−1 ￠（鳥）＝−γ＋∑1／g， ￡ヲ1 た一1 ￠l（ゐ）＝汀2／6−∑1／よ2 慮＝i （2．12） で与えられる。 証明 公式（2．5）ほ啓換検分を実行する事により直ち紅得られる。ここで は（2．10）の誘導法のみ触れておく。 いま．芳（＞−1）なる任意の実数を考え．，ぐに潤する数学的帰納法を適用す れば 血 （2・13）孟（−1）￡（か（方＋1＋よ）＝r（け1）イ （∫＋1）…（∫ 手市 なる恒等式を容易紅確め得る。上式の両辺を．方で逐次偏微分して・ガ＝＝’あルと置 けば所要の（2．10）の各公式が容易に・得られる。 禰題2、2 烏＝ゐ（Ⅳ）→∞，（Ⅳ→∞）かつ
（2・14）無意〒〟，（0≦〝＜1）
ならば，次が成立する：（2．15） γ（∬，点）→0，（Ⅳ→∞）
証明 （2．2）K．於て被硫分関数が平均kのGamma密度関数である事KI注
意し，Chebycheffの不等式を用いれば （2．16） 1−γ（〃，ゑ）く Ⅳ2（1−ゑ／Ⅳ）2 が従う。よって（2．14），（2．16）から（2・15）を得各9一郎裕一 香川大学経済学払 研究年報14 J974 補題2．5 （i）乃／ル→0ならば
（2．17） ズ＊〝，花∼度＊〟，花，（β）。（Ⅳゥ∞），
（ii）椚／〃→0 ならば （2・18） y＊〟，仇丁子＊〟・仇，（勒（ル→∞）・証明ほ補題2．2を用いて打【エ情報患′（ズ＊〟，柁：度＊〝，乃）→0，（Ⅳ・→∞）
を示せばよい。この際確率積分変換を行なった後，補選2．1の公式を用いれば
計算が楽である0詳細は略す？ 次に算2節で草本的女鹿割を演ずる補題を掲げておこう。（Cf．Ikeda−Mat−sunawa〔1〕，I；eⅡふa2．2）占
いま確率変数列 〈＆〉，〈y〃〉（Ⅳ＝1，2，…）ほ，各州「に．ついて，可測空間 （凡再」‰）上に．分布しているものとし，しかもこの空間上のケイiniteな測度 仇Ⅴに．関して絶対連続であると仮定する。ただし凰Ⅳは任意に与え．られた抽象 空間を，βⅣほ」㍍の部分集合からなるグーfieldを表す。更に．，各Ⅳに．つい て，ズⅣ，YNはRNの或る可測部分集合AN上でFLNに．よってdominateされ ているものとし，ノー＊〝，g＊Ⅳを‰，yⅣの抑に関する密度関数で，4Ⅳ上 で正値を取るものとする。なお，AⅣの外部では＆，yⅣは仰に．よって dominateされなくてもよい。 補選2．4次の二つの条件（写・I9） 〆㌦（A〝）→ト（〃→…），
および（2・20）′＊（＆‥y可。ん′＊〝1n諜拓→0
，（恥…）が同時に満されているならば動んyⅣ，（β）d（恥∞）が成立する。
規準化準極値統計量の−・様漸近分布について 一郎7− §5 規準化準極値統計量の一様漸近分布族
本節では∴耳Ⅳ，花および、ァⅣ，仇の−・様漸近分布を導出す急ことを試みる。結
論的紅言えば，上の確率変数の一−・様漸近分布としてそれぞれ私，花および
アⅣ，勒を考え得る。しかしこれ等は無条件で各々の漸近分布となり得るわけではない。以下ではその為の条件（準極値統計藍のDomainofattractionの条
件）を与える事が中心課題である。なお，注意すべき事は筆者等（Matsunawa一 Ikeda〔3：））が既に扱って来たズ＊〃，彿およびy＊〃，例の−・様漸近分布を与え る際に，はDomainofattractionの条件という問題は表面にほ現われ蒔かった○ すなわち，この種の話題ほ規準化された確率変数の漸近分布あるいは極限分布 の理論に特有の問題と言える。 さて，ここで （．方1，」‥‖，．方ル）＝．￡よ＝（ぷ＊れ−あ〟，れ）／伽， （γ1，…，．γ例）＝〝耽＝（〝＊肌−d〝，m）／伽 と置けば，（2．4）の如く規準化されたズⅣ，几およびアⅣ，mのp．d．f．はそれ ぞれ 」VJさ．【．、、、，＿．．ご 如（よれ）＝て節二膏汀・・〔卜F（裾池＋∂〃）〕∬一犯口伽ノ（微動十h）， 乞コ1
（0＝F（α）くF（伽．芳1＋∂Ⅳ）＜…＜F（伽．方循十∂〝）＜F（β）＝1），ウれ 和知溝）＝意・〔F（和ク1＋∂〃）〕∬一佃n伽ノ■（鋸グ湖）， 7之1
（0＝F（α）くF（叫γ1＋∂〃）く‥・くF（伽．γm＋∂Ⅳ）くF（β）＝1） （3．1） （3．2）と与えられる。また，対応する ズふ，佗，ア〃，勒のp．d．f．はそれぞれ
Ⅳ乃 expト肝（触方花十呵真伽ノて裾汗叫 （3．3） 如（・℃几）＝ γ（Ⅳ，〝）ー才5ざ− 香川大学縫済学部 研究年報14 J974 （3・4） みれ）＝品expトゲ｛卜F（伽・γ1・∂〃）｝〕 m ・口伽ノて叫γグ＋みⅣ）， ナビl セ与えら叫る。ただし，（3・3），（3・4）の定義域はそれぞれ（3．1）および（3．2） と同⊥・である。 さて，〝／〃→0（〃→∞）のとき∂〃，花…瓜Ⅳ／ルー0かつ
〈入〟〉（Ⅳ＝1，2，…・）が存在する。（例えば入Ⅳ＝ノ市布などが考え得る）。同
様に〃→∞のとき椚／ル→0ならば』〝，肌＝∽伽／ル→0，抑→∞となる実数 列（〝〃〉（Ⅳ＝1，2，…）が存在する。／＼ そこで，ズふ，乃を領域
れれ＝‡・r花10＝F（α）＜F（αⅣ∬1・占〝） 上でそのp．d．f．が Ⅳ乃 expト吼（・方乃）〕・真如（方す） ／＼ （3．5） 如（∬沌）＝ γ（Ⅳ，邦） と一激する邦＝乃（Ⅳ）次元確率ベクトルとしよう。ただし上式中のG〃（．わ， g〝（．わ（≧0，≒0）は（補題2．4との関連に於て必要となる）次の条件 （3・6）J■。Ⅳ，花
谷〟（ぷ循）れ≦1 を満す任意に．与えられた可測関数とする。／＼ 同様に．rⅣ，仇を領域
β「，仇＝（〝仇l千−れ訊くダ（伽柚）く…＜ダ（叫γれ・∂〃）くダ（β）＝1〉
土でp．d．f．が規準化準極値統計畳の一様漸近分布紅ついて −J59− Ⅳ用 expト・Ⅳ｛卜勒1）〉〕真机”） ′ヽ （3．7） 和（〝m）＝ γ（Ⅳ，沼） と一致する〃堰＝＝ク乃（Ⅳ）次元確率ベクレレとする。ただし，私（プ），ゐ〃（．γ） （≧0，≒0）は （3・8）J■βⅣた㊥m油仇≦1 を満す任意に．与えられた可測関数とする。 とこで集合エ，凡才を次の様に．定義する：
エ…エ（・方心，循）＝（れ0≦ア（伽方減）≦8〃・乃〉，
肱≡〟（．γ：れm）＝（両1−れ仇≦ダ（伽…Ⅳ）≦1〉・
以上の設定の下で次の諸結果を樽る。 定理3．1（i）形2／〃→0（Ⅳ→∞）かつ可測関数G〃（一わ，g〝（．わが条 件（3．6）および，〃」＞∞で−11／ダ（裾＋∂Ⅳ）→0，
F（触方＋∂〟） （3．9） ／ダ（紬頼∂〝）→0 伽．′（伽方＋∂〝） を満すならば ／＼ （3．10） ズⅣ，花∼茸Ⅳ，花，（β）d（ル→…） が成立する9J974 香川大学経済学部 研究年報14 ーIJび0 （ii） 研2／Ⅳ→0（ル→∞）かつ可測関数払「（．γ），ゐ〃（．γ）が条件（3・8） および，Ⅳ→あゃ 1Jト．、・ ＿＿ 1−F（伽．γ＋みⅣ）
／（1−F（町γ＋み〃））→0，
／（1−F（動け＋あ〃））→0 （3．11） ー、−‡主∴∴
二 を満すならば ／＼（3．12） アⅣ，仇∼アⅣ，m，（β）d（ル→∞）
が成立する。 証明 （i）のみ証明する。（芦・4）の各変換は明らかにnOn−Singularでぁるから，好一⊥情報量紅関して′（弟，花：鬼Ⅳ，乃）＝′（ズ＊〝，花：度＊〃，乃）が成立し
ている。よって補題2．3からズⅣ，花∼羞，几，（β）d（Ⅳ→…）が従う。従って我
々は定理の条件下で ／＼ なる事を示せばよい事に．なる。まず領域A〃，籠が度Ⅳ，花の漸近主領域である事を示そう。
（3・14）イ。Ⅳ，至〃（・r％）れ
Ⅹpト脾（…花＋∂〃）〕・ゑ伽ノ■（紬方汁∂〟）れL「 e
￣ γ（Ⅳ，形）． ．＼’▼拘 †−ごexp〔一脾（紬抽）〕 ・F花￣1（伽∬乃＋毎）dF（伽∬れ＋∂Ⅳ） Ⅳ乃？（Ⅳ，〝）r（〝）
規準化準極値統計鼻の山・様漸近分布について 一朗汀− JJi ．＼・ p￣甘▲￣1d′ 0 J′ γ（Ⅳ，循）r（〝） 1 ・．．†〕i＼ 」ヾ
（1一議−．／㌶ヤⅧ）
と計算される。ただしここ．紅．ん＝（α−みⅣ）／伽，紬＝〔ダ￣1（∂〝；乃）−∂Ⅳ〕／伽で あり，F￣1はFの逆関数を表す。さて，ここで平均nのGamma分布に・Markovの不等式を適用すれば
こ・J（3・15）7古イ循スヱ￣￡捌く意＝▲た→0，（炬…）
であるから（3．14），（3．15）から（3・16）み畑，籠）＝」〝，れ茅〝（ガ籠）れ→1（〃→∞），
すなわち，A〝，循は晶，循の漸近主領域である。
よって補題2．4から，（3．10）の証明は（3・17）′碩，免‥嵐，乃）＝
方〝（一項nれ→0・（恥∞）J。Ⅳ，伯
を示せば十分である。 ところで乃2／Ⅳ→0（Ⅳ→∞）の時（〝入∬）2／ル→0かつ九．Ⅳ→…（Ⅳ→…）とな る実数列 〈九〃〉（Ⅳ＝1，2，n・）が明らか紅存在するから （3．18） Ⅳ8Ⅳ，花ど〃→0，（Ⅳ→∞） が成立する。ただしここ紅香川大学経済学部 研究年報14 −J62− J974
（3・19）矩max‡s㌢l
実際，各Ⅳ虹対して GⅣ（∬） gⅣ（．方） ，Sup エ F（紬．鴛十∂Ⅳ） 伽．／（伽．方＋∂〟） G〝（∬） （3・20） F（伽∬・＋・あⅣ） ≦血ax F（伽．方・十あ〃） gⅣ（∬） 伽′（伽∬・十∂Ⅳ） Sup エ F（伽．方十ゐⅣ） であるから，条件（3．9）よりfW→0（ル→∞）となる。従ってⅣ杭循eⅣ≦〃（∂〝，免）2紬＝畢p〃→0，（恥∞）・
さて，（3．3），（3．5）から′■＿′ヽ （3．21） ′＊（晶，穐：弟，％）
竺し 飢（∬豆） Ⅳ〔F（紬方れ＋みⅣ）−G〃（．方乃）〕・∑．1nニーづ ‘’＼▲＼Wルルr‥VJYノ、一㌧‖＼一ルγりノ▲‘▲ J一、・●′i ㌫伽′（吼机m十∂Ⅳ） ・如（ガ乃）ぬ乃 と計算されるが，（3．18）から （3・22）〃〔ダ（裾職＋∂〝ト軌乃）〕≦脾（紬侮＋叫1宣慧払 ≦Ⅳ∂Ⅳ，弗どⅣ→0，（〃→∞）． また，十分大きなⅣ紅対し0＜eⅣ＜1だから，（3．20）およびβW→0（ル→…） に澄意L．て規準化準極値統計畳の−・様漸近分布について −J6β− gⅣ（∬乞） クろ ▲▲▲ ≦ニー〃・1n（1−どⅣ） 言1伽一／（吼肌机＋∂Ⅳ） 一 →0，（〃→…） ・1二．ご∴ 1−どⅣ ￣Ⅳ（1−e〟） であるから，（3．21）∼（3．23）から所要の（3．17）が直ちに・従う。 （ii）の証明も若干の変更を行なうことに・より全く同様にできる。 定理3．1に．関連するいくつかの結果に触れておこう。 系3．1（i）乃2／Ⅳ→0，（〃1∞）であり，可測関数GⅣ（，方）が を満し，AⅣ，循上で
（3・24）−㌃GⅣ（・方）＝か（・わ≧0，≒0
なる単調非減少関数であるとする。この時 g〝（∬＊）＝0（義），押す∞）
（3．25） sup ．方，．方＊∈エ 伽′（伽，芳＋みⅣ） であれば（3．10）が成立する。（ii）椚2／恥0（Ⅳ→∞）であり，可測関数ガⅣ（プ）が‰（旦諾）＝l
を満し，βⅣ，m上で （3・26） ガⅣ（ヅ）＝如（プ）≧0，≒0 なる単調非増加関数であるとする。この時 ゐⅣ（プ＊）＝0（義），（恥叫
（3．27） Sup ．γ，．γ＊∈〟 伽′（伽プ＋み〃）ーJd・才一 香川大学経済学部 研究年報14 j974 であれば（3．12）が成立する。 証明 （3．24）から条件（3．6）が自動的軋成立する事をまず示そう。
厄（・r乃）れ＝芯イ。言≡
p卜購Ⅳ（・鴛・乃）〕・ゑg〃（擁花市芳拓イ：
exp〔一入唱Ⅳ（．ガ耽）〕 Ⅹpト購）〕 ・〔G〝（．方乃）〕循￣1dGⅣ（．方れ） JさJ ．＼・ β￣gg乃￣1 （ねくl O 1 ● 1翻下面，
となる。ただしんほ（3．14）のそれと同一・，〟＊〃＝〔G￣1Ⅳ（∂〝，籠）−∂Ⅳ〕／伽で あり，G￣1ⅣはGⅣの逆関数である。 さらに・G〝（ん）＝ダ（如才Ⅳ＋∂Ⅳ）＝0 の仮定卑，平均値の定理，条件（3・25） から （3．28） Ⅳ〔ダ（吼再㍍・十み〃）−G〃（．方免）〕 G〝（∬乃）−GⅣ（ん） し云，ハ．＼・・ ＋み一Ⅴ）≠F（伽ん＋あⅣ） g〃（町） ・−11−− ，、 1 ＝〝入〃・ gⅣ（∬＊） 一−1ト0，（Ⅳ→∞） く〝九Ⅳ・ Sup ．方，．方＊∈エ 十∂▲、う が従う。ただし上式中ぞⅣ，輝は開区間（ん，．方犯）に属する実数値である。 （3．21），（3．23），（3．為）から（3．．17）が直ちに．従う。（ii）も同様紅．証明 可能である。規準化準極値統計畠の−L様漸近分布について rJ6β一 系5．2 （i）〝を固定された整数とし，可測関数GⅣ（．わ，gⅣ（∬）が 条件（3．6）およびル→∞で GⅣ（∬） 、 −1 ・・→0， F（紬方＋∂Ⅳ） gⅣ（∬） i・＼−1 鋸．／（伽．方＋∂〃） を満すならば（3．10）が成立する。 （ii）研を固定された整数とし，可測関数ざⅣ（．γ），．ゐ〟（．γ）が条件 （3．8）およびⅣ→…で 1n首Ⅳ（ク） Sup〟 Sup〃 −す0， −1 1−ダ（伽．γ＋∂Ⅳ） ゐ〟（グ） ㌦− 1 鋸．／て叫γ＋あ〟） を満すならば（3．12）が成立する。 証明（i）入＊Ⅳ＝min（1／∂Ⅳ，九〃）と取れば，（3・22），（3・23）と同様な評 価と，（3．29）より 〝2入．＊Ⅳ￡〃2ノ 〝2e〝
′ヽ一／＼ （3．31） ′＊（∬〝，れ：ズⅣ，穐）く
1−eⅣ Jl−どⅣ 三三 →0，（ル→∞），となる。（ii）についてもはぼ同様紅して証明が可能である。
§4 SmirIlOVの結果の検討Smirnov〔4〕ほGnedenkoの規準化最小値（or最大値）の極限分布族乾
関する結果を拡張して，〝が固定されている場合の茅花番規準化最小構
（4．1）
＆，池＝（ズ＊∬，ルー毎）／舶
香川大学経済学部 研究年報14 J974 −J66− のpI・Oper・な（法則収束の意味での）極限分布族を与えるに際し，次の重要な 結果を示した。
定理4．1（SmiInOV） 針を固定した整数とし，ズ＊Ⅳ，外のC．d．f．を
◎Ⅳ，乃（．方）とするとき （4．2） ◎N，n（aNX＋bN）→◎n（x），（properc．d．f．）（〃→∞） となるための必要十分条件ほ （4．3） がⅣ（．わ＝〃F（伽．方＋∂〃）→〝（．ガ），（ル→∞） となるこ．とである。ただしこ．こに．が（．わ は乃に無関係で l・（r）（4・4）蕗．†。gサ1か◎ル（・方）
なる関係を満す非負，非減少の関数である。 ところで（4．2），（4．4）を満す関数び（．ガ）がもし存在するならば，それは次 の関数方程式 （4．5） 〝ぴ（αン．方＋・βレ）＝牒（．わ， zJ：integer，αりβv：SOme COnStantS，の解の内のいずれかである事，更にその解はlocation及びscale parameters
を除けば次の三つの型以外には存在しないこともSmiI・nOVにより示されてい る： （i） αレ＜1の場合 び（．わ＝O foI．方≦0 岩音α わⅠ−＃＞0，q＞0，規準化準極値統計畳の−・様漸近分布につl、て −J67− （ii） αシ＞・1の場合 が（方）＝（−．方）￣α for・．先く0，α＞0， ＝＋∞ for五≧0， （iii） α㌦＝1の場合 が（わ＝β芳 fof■−∞く．好く∞・ さて，上のSmiI・nOVの関数が（方）ほ全て．方の微分可能な関数であるから， ◎花（．ガ）は密度関数を持ち，それは （4・6） ￠花（−∬）＝義▼び乃瓜1（・方）・β￣？（と）が′（方） （0くが（一方）く。〇） で与えられる。この事庭注目して，池月ト」払縄〔2〕は（4．2）の収束の型が （β）が＋型の−・様収束となるための十分条件を与えた。ここでほ前節の定理を 用いて，より一・般的な結果を示そう。 いま，ぴ（．方）が（4．4）およびその付帯条件を萌しているものとし， （4．7） G八′（．ガ）＝＝が（カ／Aち gAT（．わ＝ぴ／（∬）／Ⅳ の関係が成立していると仮定しよう。このとき，系3．1から次の結果を直ちに 得る。 定理4．2〝2／Ⅳ→0（〃→∞）のとき（4．4）を満すが（．わに対し （4・8）
洛ト㌶豊材一
1 方，． であれば （4．9） 茸Ⅳ，籠∼Z∼・，花，（β）d（ル→∞） が成立する。ただしここに．g．Ⅳ・，かはp．d．f．が＝0（義），（Ⅳ→∝）
ヱ974 香川大学経済学部 研究年報14 −・∫6β−
ケ乙 （4．10） ￠Ⅳ（．方先）＝β￣℃く刀彿）Ⅲが／（．ガf），（0くび（ガ1）＜…＜ぴ（．方詭）く∞）
Jこl で与えられる搾＝〝（Ⅳ）次元確率変数である。 系4．1乃を固定した整数とする。（4．4）の即（．方）に射し，条件（4・8） が満されるならば （4．11） ズⅣ，耽→ZO乃，（β）d（Ⅳ→…）． なる極限定理が成立する。ただしこ．こ．にZO几はp．d．f．が（4．10）で与えられ る犯次元確率変数である。 ことで次の事軋注意しておこう。（4．10）からズⅣ，た（1く烏≦Ⅳ）の周辺 p．d．f．は （4・12）抽）＝志即お−1（・方）β一明′（れ（0＜即（・わ＜…） と計算される。然るに．これは如（．わそのものである。この事は全ての烏（1く kくN）に対してZN，nのk＝k（N）−th marginalc．d．f．が◎k（x）に・等しくな ることを意味しており，定理4．2および系4．1はそれぞれSmiT■nOVの定理を n＝n（N）の場合およびnが固定されている場合のnormalizedlower n extreM mesの（B）が㍉型漸近分布あるいは極限分布をp．d．f。の表現をもって拡張し ていることになる。なお〝＝乃（Ⅳ）の場合にSmifnOVの定理に檀接対応する 結果は次の様に．なる： 系4．2 乃2／〃→0（∧7ゝ0〇）のとき（4．4）紅於るむ（わが条件（4・8）を 満すなら （4．13） ￠、，”（α、．方」一∂．、）∼軌（．わ，（β）d（〃→∞） が成立する。規準化準極値統計偏や−・様漸近分布について −J69−
なお本節の規準化準極小値紅関する諸結果に対応して規準化準極大値の場合の
議論も，前節の定理を用いることにより容易をこ行なえる串は明らかであろう。
参 考 文 献
〔1〕Ikeda，S…and MatsurlaWa，T．（1972）．Ontheuniform asymptotic joint normality of sample quantiles．Ann．blSi．StatiSi．Maih．．，24，33N52け
〔2〕池田一松縄（1972）．「極値統計塵の−・様漸近分布について」，数理解析研講究録 No．1椚，「統計的漸近理論」71−80
〔3）Matsunawa，T．andIkeda，S．（1974）．Uniformasymptotic distribution
of extremes．sent for publication
〔4〕Smirnov，N“Ⅴ．（1952）．Limitdistr・ibutior）Sforthetermsofavariational．
