PowerPoint プレゼンテーション

複雑系科学演習１

コンピュータグラフィックス

担当 畔上秀幸

今日の話題

†

ベジェ曲線・曲面の描画

„

lesson9_1.c(ベジェ曲線)

„

lesson9_2.c(色付きベジェ曲線)

„

lesson9_3.c(ベジェ曲面)

†

NURBS曲線・曲面の描画

„

lesson9_4.c(NURBS曲線)

„

lesson9_5.c(NURBS曲線の分割)

„

lesson9_6.c(NURBS曲面)

„

lesson9_7.c(２次曲面：球，円柱，円盤)

lesson9_1.c

†

ベジェ曲線を描画する．

1.

制御点の決定

(

ctrlpoint[4][3]

)

2.

１次元エバリュエータの定義

(

glMap1f

)

3.

頂点を算出

(

glEvalCoord1f

)

1

2

4

3

lesson9_1.c(cont.)

†

制御点（コントロールポイント）

25行目から

/* 制御点 */

/* x y z */

static GLfloat ctrlpoint[

4

][

3

] = {

{

-1.5, -1.8, 0.0

}

,

/* 左下 */

{

-0.9, 1.3, 0.0

}

,

/* 左上 */

{

0.5, -1.0, 0.0

}

,

/* 右下 */

{

1.9, 1.5, 0.0

}

};

/* 右上 */

†

制御点を移動してみる．

„

lesson9_1.cでは無理ベジェ曲線になっているの

で重みは制御できない．

lesson9_1.c(cont.)

†

1次元エバリュエータの定義

†

void

glMap1

{fd}(GLenum

target

, TYPE

u1

, TYPE

u2

,

GLint

stride

, GLint

order

, const TYPE *

points

)

„

例

:

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoint[0][0]);

„

target

: 制御点pointsの表す内容

† GL_MAP1_VERTEX_3 x,y,zの頂点座標 † GL_MAP1_VERTEX_4 x,y,z,wの頂点座標 † GL_MAP1_COLOR_4 R,G,B,A

„

u1,u2

: 変数uの範囲を示す．通常 0.0と1.0にする

„

stride

: 制御点間のデータの増分値．今の場合，制御点１

つに付き，

GLfloat3つ分(x,y,z)なので３．

„

order

: 曲線の次数+1

„

points

: 制御点データへのポインタ

lesson9_1.c(cont.)

†

頂点の算出

115行目から /* ベジェ曲線 */ glDisable(GL_LIGHTING); /* 線,点を描画する時はライトOFF */ glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3); glColor3f(R(32), G(165), B(237)); glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(ii1=0; ii1<=30; ii1++){

glEvalCoord1f((GLfloat)ii1/30.0); } glEnd(); glDisable(GL_MAP1_VERTEX_3); 領域座標値 0.0～1.0の範囲で分割した値を指 定していく．これが頂点となる．分 割数を小さくすると角張ってくる．

lesson9_1.c(cont.)

126行目から /* 制御点(黄色) */ glDisable(GL_LIGHTING); /* 線,点を描画する時はライトOFF */ glColor3f(R(255), G(255), B(0)); glPointSize(5.0); glBegin(GL_POINTS);

for(ii1=0; ii1<4; ii1++){

glVertex3fv(ctrlpoint[ii1]);

} glEnd();

†

glVertex3fv(const GLfloat *v)

„ glVertex3f(1.0, 2.0, 3.0); という使い方をしてきた．

„ glVertex3f(ctrlpoint[0][0], ctrlpoint[0][1], ctrlpoint[0][2]);と書 いてもいいが， „ GLfloat point[3]={1.0, 2.0, 3.0}; で座標を定義した時は † glVertex3fv(point); „ GLfloat ctrlpoint[4][3]の時は † glVertex3fv(ctrlpoint[0]); † glVertex3fv(ctrlpoint[1]); † …

const GLfloat v[3]と同じ

と考える．

lesson9_2.c

†

ベジェ曲線に色をつける．

30行目から

static GLfloat colorpoint[4][4] = {{1.0, 0.0, 0.0, 1.0}, /* 左下 */

{0.0, 1.0, 0.0, 1.0}, /* 左上 */ {0.0, 1.0, 0.0, 1.0}, /* 右下 */ {0.0, 0.0, 1.0, 1.0}}; /* 右上 */ 63行目から /* 1次元エバリュエータ */ glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoint[0][0]); glMap1f(GL_MAP1_COLOR_4, 0.0, 1.0, 4, 4, &colorpoint[0][0]);

lesson9_2.c(cont.)

121行目から

/* ベジェ曲線 */

glDisable(GL_LIGHTING);

/* 線,点を描画する時はライトOFF */

glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);

glEnable(GL_MAP1_COLOR_4);

glLineWidth(2.0);

glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(ii1=0; ii1<=30; ii1++){

glEvalCoord1f((GLfloat)ii1/30.0);

}

glEnd();

glDisable(GL_MAP1_COLOR_4);

lesson9_3.c

†

ベジェ曲面を描画する．

„

ベジェ曲線とほとんど同じ

1.

制御点の決定

(

ctrlpoint[4][4][3]

)

2.

１次元エバリュエータの定義

(

glMap2f

)

3.

頂点を算出

(

glEvalCoord2f

)

lesson9_3.c(cont.)

†

制御点（コントロールポイント）

25行目から

static GLfloat ctrlpoint[4][4][3] = {

{{-2.0, 2.0, -2.0},{-0.7, -1.0, -2.0},{0.7, -1.0, -2.0},{2.0, 2.0, -2.0}}, {{-1.7, 1.0, -1.0},{-1.0, -0.5, -1.0},{1.0, -0.5, -1.0},{1.7, 1.0, -1.0}}, {{-1.4, -1.0, 1.0},{-1.3, 0.5, 1.0},{1.3, 0.5, 1.0},{1.4, -1.0, 1.0}}, {{-1.0, -2.0, 2.0},{-1.6, 1.0, 2.0},{1.6, 1.0, 2.0},{1.0, -2.0, 2.0}}};

lesson9_3.c(cont.)

†

2次元エバリュエータの定義

†

void

glMap2

{fd}(GLenum

target

,

TYPE

u1

, TYPE

u2

, GLint

ustride

, GLint

uorder

,

TYPE

v1

, TYPE

v2

, GLint

vstride

, GLint

vorder

,

const TYPE *

points

)

„

例

:

glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3*4, 4, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoint[0][0][0]);

„

target

: 制御点pointsの表す内容

† GL_MAP2_VERTEX_3 x,y,zの頂点座標 † GL_MAP2_VERTEX_4 x,y,z,wの頂点座標 † GL_MAP2_COLOR_4 R,G,B,A

„

u1,u2,v1,v2

: 変数u,vの範囲を示す．通常 0.0と1.0にする.

„

ustride, vstride

: 制御点間のデータの増分値

„

uorder,vorder

: 曲線の次数+1

„

points

: 制御点データへのポインタ

lesson9_3.c(cont.)

†

ustride, vstrideの意味

„

例

:

glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3*4, 4, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoint[0][0][0]); 制御点一つ分(ctrlpoint[3]={x,y,z}) m*nの制御点配列

m

n

†

制御点配列は大きな配列の一部分を使う

こともできる．そのために

{u,v}strideを

指定する必要がある．

†

ustrideは次の行までのデータ量を示す．

„

左図の点線が示すデータ量

† ustride=3xn

„

つまり，

v方向に1移動する量

†

vstrideは

u方向に1移動する量

„ よって vstride=3

u

v

= ctrlpoint[4][4][3]

lesson9_3.c(cont.)

116行目から /* ベジェ曲面 */ glColor3f(R(32), G(165), B(237)); glDisable(GL_LIGHTING); /* 線,点を描画する時はライトOFF */ glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3); glLineWidth(2.0);

for(ii1=0; ii1<=20; ii1++){

#if 0

glBegin(GL_LINE_STRIP); for(ii2=0; ii2<=30; ii2++){

glEvalCoord2f((GLfloat)ii2/30.0, (GLfloat)ii1/20.0); } glEnd(); #endif #if 1 glBegin(GL_LINE_STRIP); for(ii2=0; ii2<=30; ii2++){

glEvalCoord2f((GLfloat)ii1/20.0, (GLfloat)ii2/30.0);

}

glEnd();

#endif

lesson9_4.c

†

NURBS曲線を描画する．

„

制御点の決定

(

ctrlpoint[4][3]

)

„

NURBS曲線を描画するための設定

†

NURBSオブジェクトの生成

†

各種設定

†

ノットベクトルの定義

„

NURBS曲線の描画

lesson9_4.c(cont.)

†

制御点の重みを変えてみる．

static GLfloat ctrlpoint[4][4] = {{-1.5, -1.8, 0.0, 1.0}, /* 左下 */

{-0.9, 1.3, 0.0, 1.0}, /* 左上 */

{ 0.9, -1.0, 0.0, 1.0}, /* 右下 */

{ 1.9, 1.5, 0.0, 1.0}}; /* 右上 */

この行の数値を何倍か

してみる．

lesson9_4.c(cont.)

†

NURBSオブジェクトの生成

25行目から

static

GLUnurbsObj *NurbsObj;

61行目から

NurbsObj =

gluNewNurbsRenderer()

;

/

* NURBSオブジェクトを作る *

/

†

各種設定

62行目から

gluNurbsProperty(NurbsObj, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0);

/*サンプリング数*/

lesson9_4.c(cont.)

†

ノットベクトルの定義

96行目から GLfloat knots[] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0}; /* * knots : B-Spline関数におけるノットベクトル * * Berstein関数の場合 * knots[] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0}; * * 一様 B-spline関数の場合 * knots[] = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0}; * * 非一様 B-spline関数の場合 (NURBS) * knots[] = {0.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.0}; */

lesson9_4.c(cont.)

†

NURBS曲線の描画

131行目から

/* NURBS曲線 */

glColor3f(R(32), G(165), B(237));

glDisable(GL_LIGHTING);

/* 線,点を描画する時はライトOFF */

gluBeginCurve(NurbsObj);

gluNurbsCurve(NurbsObj, 8, knots, 4, &ctrlpoint[0][0],

4, GL_MAP1_VERTEX_4);

lesson9_4.c(cont.)

†

NURBS曲線の定義

†

void gluNurbsCurve(GLUnurbsObj *

nobj

,

GLint

uknot_count

, GLfloat *

uknot

, GLint

u_stride

,

GLfloat *

ctrarray

, GLint

uorder

, GLenum

type

)

„

例

: gluNurbsCurve(NurbsObj, 8, knots, 4, &ctrlpoint[0][0],

4, GL_MAP1_VERTEX_4);

„

uknot_count

: ノットベクトルの数

„

uknot

: ノットベクトルの配列

„

u_stride

: 制御点間のデータの増分値．

„

ctrarray

: 制御点の配列

„

uorder

: 曲線の次数+1

„

type

: エバリュエータ形式．無理制御点ではGL_MAP1_VERTEX_3,

有理制御点では

GL_MAP1_VERTEX_4を指定する．

†

制御点の数は，ノットベクトルの数から曲線の階数

(uorder)を引いて

算出される．

lesson9_4.c(cont.)

†

ノットベクトルの値を変えてみる．

„

Berstein関数の場合

„

一様

B-spline関数の場合

NURBS曲線の分割

†

NURBS曲線の分割の前に…

„

lesson9_5を実行した後に， 右

下の図を

PowerPoint上で書い

てみる．

†

オートシェイプ

→

線

→

曲線

†

３点クリックした後，

Enterキー

†

曲線を選択し，右クリック→

頂点

の編集

†

黒い点の上で右クリック→

頂点で

線分を伸ばす

†

コントロールポイントを移動する．

P

0

P

1

P

₂

P

3

P

4

P

₅

NURBS曲線の分割(cont.)

†

NURBS曲線の分割

„

制御点

6個の３次B-Spline曲線をQ点で分割する．

„

実際はQ点ではなく，パラメータ t∈[0,1]の位置で分割する．

„

元の曲線形状を維持したままパラメータ t の位置で分割

するには，t を次数分だけ多重化したノットベクトルをつく

る．

ƒ

オスロアルゴリズム（参考文献１参照）

†

まず，元の曲線のノットベクトルが[0,0,0,0,

t,t

,1,1,1,1]である

とすると，t を追加すると[0,0,0,0,

t,t

,

t

,1,1,1,1]になる．

†

B-Spline曲線には次式の関係があることから，制御

点を一つ増やす必要がある．

„

（ノットの数）

=（制御点の数）+（次数+1）

P

0

P

1

P

2

P

3

P

4

P

₅

Q

NURBS曲線の分割(cont.)

†

オスロアルゴリズムによれば，挿入された制御点は

次式で求められる．（ただし，この曲線に限る．）

„

Q = (1-t) P

2

+ tP

3

†

lesson9_6.cでは t = 0.7 としている．

P

0

P

1

P

₂

P

3

P

4

P

₅

Q

lesson9_5.c

†

制御点，ノットベクトルを既に設定しており，

#if0,#endifで切

り替えて眺める．

27行目から

static GLfloat ctrlpoint1[6][4]={…}; static GLfloat ctrlpoint2[7][4]={…}; static GLfloat ctrlpoint3[4][4]={…}; static GLfloat ctrlpoint4[4][4]={…}; … 119行目から GLfloat knots1[10] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.7, 0.7, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0}; GLfloat knots2[11] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.7, 0.7, 0.7,1.0, 1.0, 1.0, 1.0}; GLfloat knots3[8] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.7, 0.7, 0.7, 0.7}; GLfloat knots4[8] = {0.7, 0.7, 0.7, 0.7, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0}; 148行目から #if 1 /* 初期状態 */ … #endif #if 0 /* ノット，制御点Q挿入 */ … #endif #if 0 /* 分割 */ … #endif ctrlpoint1,knots1 使用 ctrlpoint2,knots2 使用

lesson9_6.c

†

NURBS曲面を描画する．

„

制御点の決定

(

ctrlpoint[4][4][3]

)

„

NURBS曲面を描画するための設定

†

NURBSオブジェクトの生成

†

各種設定

†

ノットベクトルの定義

„

NURBS曲面の描画

lesson9_6.c(cont.)

†

制御点

59行目から

„

init_nurbs_ctrl_point()関数内で設定

†

NURBSオブジェクトの生成

26行目から

static GLUnurbsObj *NurbsObj;

61行目から

NurbsObj = gluNewNurbsRenderer(); /* NURBSオブジェクトを作る */

†

各種設定

67行目から

/* 描画方法の設定 */

gluNurbsProperty(NurbsObj, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_FILL); /*

gluNurbsProperty(NurbsObj, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_FILL);

gluNurbsProperty(NurbsObj, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_OUTLINE_PATCH); gluNurbsProperty(NurbsObj, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_OUTLINE_POLYGON); */

lesson9_6.c(cont.)

†

NURBS曲面の定義

†

void gluNurbsCurve(GLUnurbsObj *

nobj

,

GLint

uknot_count

, GLfloat *

uknot

,

GLint

vknot_count

, GLfloat *

uknot

,

GLint

u_stride

, GLint

v_stride

, GLfloat *

ctrarray

,

GLint

uorder

, GLint

vorder

, GLenum

type

)

„

例

: gluNurbsSurface(NurbsObj, 8, knots, 8, knots, 4*3, 3,

„

&ctrlpoint[0][0][0], 4, 4, GL_MAP2_VERTEX_3);

„

uknot_count, vknot_count

: ノットベクトルの数

„

uknot, vknot

: ノットベクトルの配列

„

u_stride ,v_stride

: 制御点間のデータの増分値．

„

ctrarray

: 制御点の配列

„

uorder, vorder

: 曲線の次数+1

„

type

: エバリュエータ形式．無理制御点ではGL_MAP2_VERTEX_3,

有理制御点では

GL_MAP2_VERTEX_4を指定する．

lesson9_7.c

†

2次曲面：球，円筒，円盤

„

NURBS曲面を描画する時と手順は似ている．

25行目から

static

GLUquadricObj *qobj

;

53行目から

/* 2次曲面を描画するための設定 */

qobj =

gluNewQuadric();

/* 2次曲面オブジェクトを作る */

/* 描画方法の設定 */

lesson9_7.c(cont.)

†

各種設定

/* 描画方法の設定 */ gluQuadricDrawStyle(qobj, GLU_FILL); /* gluQuadricDrawStyle(qobj, GLU_POINT); gluQuadricDrawStyle(qobj, GLU_LINE); gluQuadricDrawStyle(qobj, GLU_SILHOUETTE); gluQuadricDrawStyle(qobj, GLU_FILL); */ /* 法線の設定 */ gluQuadricOrientation(qobj, GLU_OUTSIDE); /* gluQuadricOrientation(qobj, GLU_OUTSIDE); gluQuadricOrientation(qobj, GLU_INSIDE); */ /* 法線の計算方法の設定 */ gluQuadricNormals(qobj, GLU_SMOOTH); /* gluQuadricNormals(qobj, GLU_NONE); gluQuadricNormals(qobj, GLU_FLAT); gluQuadricNormals(qobj, GLU_SMOOTH); */

lesson9_7.c(cont.)

†

球

void

gluSphere

( GLUquadric*

quad

,

GLdouble

radius

,

GLint slices, GLint stacks )

„

radius

: 球の半径

„

slices

: z軸回りの分割数

„

stacks

: z軸に沿った方向での分割数

†

円筒

void gluCylinder( GLUquadric* quad, GLdouble base, GLdouble top, GLdouble height, GLint slices, GLint stacks )

„ base: z=0 における円柱の半径

„ top: z=height における円柱の半径 „ height: 円柱の高さ

„ slices: z 軸回りの分割数 „ stacks: z 軸沿いの分割数

lesson9_7.c(cont.)

†

円盤

void gluDisk( GLUquadric* quad, GLdouble inner, GLdouble outer, GLint slices, GLint loops )

„ inner: 円盤の内径（0 も可）

„ outer: 円盤の外径

„ slices: z軸回りの円周の分割数

„ loops: 円盤を分割する同心円の数．中心は原点とする．

†

扇形

void gluPartialDisk( GLUquadric* quad, GLdouble inner, GLdouble outer, GLint slices, GLint loops, GLdouble start,

GLdouble sweep ) „ inner: 扇形の内径（0 も可） „ outer: 扇形の外径 „ slices: z軸回りの分割数 „ loops: 扇形を分割する原点回りの同心円の数 „ start: 扇形の開始角．単位は度数． „ sweep: 扇形の内角．単位は度数．

参考文献

1.

３次元形状処理入門ー３次元

CGとCADへの