周波数応答による同次有限時間整定制御の外乱抑止性の比較考察

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(1)1B2-5 周波数応答による同次有限時間整定制御の外乱抑止性の比較考察 ○日野光一郎福井善朗伊藤博（九州工業大学）. Comparative Analysis of Disturbance Suppression of Homogeneous Finite-Time Control Using Frequency Response ∗K. Hino, Y. Fukui and H. Ito (Kyushu Institute of Technology) Abstract– This paper discusses the robustness of the performance of the closed-loop system for a bang-bang control, a homogeneous finite time proportional-derivative control (FT-PD control), and standard proportionalderivative control (PD control) of a one-link robot manipulator. We conduct simulation experiments to investigate the frequency response and energy efficiency for each control. Simulation results elucidate trade-offs on disturbance deterrence performance and energy efficiency. The trade-offs suggest using FTPD control for control applications where input disturbance with small amplitude and low frequency arises, and high energy efficiency is required. Key Words: finite-time control, bang-bang control, disturbance suppression, frequency response. 1. はじめに. 2. 制御系本稿では 1 リンク機械システムとして [ ] [ ] q˙ d q = KT dt q˙ J (u + θ). 位置決め誤差を有限時間や指定時間以内に 0 にすることを狙い，古くから bang-bang 型制御入力が注目され，最近は同次性へ一般化した有限時間整定の性能保証に多くの研究がある [1, 2, 3]．また，bang-bang 型の. (1). 制御入力は，その大きさ以下の外乱であればマッチン. を考える．ただし，q[rad] は回転角，q[rad/sec] ˙ は角速. グ条件を満たす外乱も完全除去する．指数安定性を持. 度，u[A] は制御入力，θ[A] は外乱，KT [kg m2 /sec2 /A]. つ制御則（指数安定化制御）と比較して有限時間安定. はトルク定数，J[kg m2 ] は出力軸まわりの慣性モーメ. 性をもつ制御則の方が位置決め誤差が小さくなる実験. ントである．システム (1) に対し，制御則. 結果も示されており [4]，有限時間整定制御によって製. u(q, q) ˙ = −KP ⌊q⌉PP − KD ⌊q⌉ ˙ PD. 造現場における高速高精度生産が期待されている．. (2). を考える．KP ，KD > 0 はゲイン，PP = α/(2 − α)，. なぜ有限時間整定制御が高精度な制御を達成できるか，その議論が尽くされたわけではない [5, 6, 7]．Bhat. PD = α はパラメータ α ∈ [0，1] を使って設定する．ス. は制御入力に混入したノイズで生ずる状態量の最大誤. カラー変数 q に対し，⌊q⌉P は定数 P > 0 を使って. 差の見積もり法を示した [7]．しかし，見積もりは保守. ⌊q⌉P := sgn(q)|q|P    1 (q > 0)   sgn(q) := 0 (q = 0)    −1 (q < 0). 的となるから，有限時間整定制御が指数のものより外乱抑止性が高いと結論づけるに十分とも言えない．そこで，本稿では，外乱抑止性能が高い理由をシミュレーションによる周波数応答の観点から明らかにする．有限時間整定制御入力は非線形であるから．その定. (3). (4). で定義される一般化べき乗である．α ∈ {0}, α ∈. 義より，いわゆる周波数応答はない [8]．つまり，外乱入力成分の和から出力を説明できない．しかし，ディ. (0, 1), α ∈ {1} であるとき，それぞれ，制御則 (2) は. ジタル実装では物理量や時間軸に垂直な制御入力変化. bang-bang 制御，同次有限時間整定制御 [9][10]，PD 制. は行われず，0 整定は高速高精度に代わり，小さな入. 御と呼ぶことにする．これらはそれぞれ，. 力範囲で制御則は近似的に急峻な線形とみなすこともできる．この観点からも正弦波入力を用いた外乱抑止. ubb (q, q) ˙ = −k1 sgn(q) − k2 sgn(q) ˙. (5). 性能解析 [6] は有用と考えられ，それを本研究はさら. uf t (q, q) ˙ = −KP ⌊q⌉PP − KD ⌊q⌉ ˙ PD. (6). に追究する．具体的には，本稿では同次有限時間整定. upd (q, q) ˙ = −KP q − KD q˙. (7). 制御との比較に指数安定化制御だけではなく，新たに. bang-bang 型も含めて外乱抑止性能を考察し，さらに，エネルギー効率も比較し，考察する．. である．本稿では，文献 [6] で扱った制御則 (6)-(7) に新たに制御則 (5) を加え，外乱抑止性能を正弦波外乱を使って比較考察する． . 第 63 回自動制御連合講演会（2020 年 11 月 21 日～ 22 日，オンライン開催）. 202.

(2) Fig. 1: bang-bang 制御による定常回転角．. Fig. 3: PD 制御による定常回転角．と定義する．例として，Fig. 1，Fig. 2，Fig. 3 に正弦波外乱の振幅 A = 0.05[A]，外乱周波数 ω = 100[rad/sec] とした場合の 3 つの制御則を適用して得られた閉ループシステムの回転角 q(t) の時間変化を示す．十分時間が経過した後は，どの制御則を使った場合でも出力は周期的になっており，式 (12) の B が定まる．制御則は実機を想定し，1×10−3 [sec] ごとに値を更新するサンプル・ホールド型の動作を行うとして実装した．その上でシミュレーションは時間刻み幅 1 × 10−6 [sec]. Fig. 2: 同次有限時間整定制御による定常回転角．. によるオイラー法で行った．. 正弦波外乱を使ったシミュレーション比較. 3 3.1. 3.2. ゲイン特性. シミュレーション条件. １リンク機械システム (1) に加える外乱 θ(t) として，振幅 A[A]，角周波数 ω[rad/sec] が. A ∈ {0.05, 0.075, 0.1, 0.5, 0.75, 1.0, 2.0, 5.0}. (8). ω ∈ {0.2, 0.5, 1, 1.5, 2, 5, 10, 15, 20, 50, 100}. (9). u(t) = 0 としたときのゲイン線図も Fig. 7 に示す．正弦波外乱の振幅 A が 2.0[A] 以下の場合，Fig. 4 よりその外乱抑止性能は周波数に依存せず，Fig. 4，Fig. 5，. Fig. 6 より，bang-bang 制御が最も外乱抑止性能が優. の 8×11=88 通りの正弦波を加えてシミュレーションを. れている．一方で，外乱振幅 A が 5.0[A] の場合，Fig. 4. 行った．また，定常特性を観察するため初期状態を. [ q(0). ]T [ = 0 q(0) ˙. − KJT. ·. A ω. Fig. 4，Fig. 5，Fig. 6 にそれぞれ bang-bang 制御 (5)，同次有限時間整定制御 (6)，PD 制御 (7) を制御則とした場合のゲイン線図を示す．参考として制御則を. と Fig .7 の比較より，bang-bang 制御の外乱抑止性能. ]T. は制御入力を与えていない場合とほぼ同じである．. (10). Fig. 5 と Fig. 6 の比較より，同次有限時間整定制御. と設定した．比較を行う 3 つの制御則が達成する収束. (6) の方が PD 制御 (7) よりも外乱抑止性能が優れてい. 性能は異なるため，初期条件 (10) のもと，外乱がない. ることがわかる．ただし，文献 [6] でも観測・考察され. 場合に 3 つの制御則が同程度の軌道で収束するように，. たように，外乱が高周波になるほどその優位性は少な. bang-bang 制御は k1 = 3, k2 = 2.5，同次有限時間整. くなり，また，5.0[A] のように外乱が大きな振幅 A を. 定制御は α = 2/3, KP = 4, KD = 0.9，PD 制御は. もつ場合はこの利点が失われることもわかる．. KP = 7, KD = 0.5 と設定した．. 3.3. 制御対象 (1) に制御則 (2) を適用した閉ループシス. 時刻 t0 から t1 の間に制御器-制御対象間で流入出す. テムに対し，ゲイン G[dB rad /A] を. |B| G := 20log |A|. るエネルギー E(流入出エネルギー) を次式で定義する．. ∫. (11). t1. E(t0 , t1 ) :=. |q(τ ˙ )u(τ )|dτ. (13). t0. で定義する [6]．A は正弦波外乱の振幅，B は定常的な. 式 (8)，(9) で示した各振幅 A，周波数 ω の正弦波外乱に. 周期振動として現れた出力 (回転角 q) の振幅であり，. B := lim sup |q(t)|. エネルギー効率. 対し，t0 = 190, t1 = 200 としたときのエネルギー E を. Fig. 8，Fig. 9，Fig. 10 に示す．これらより，bang-bang 制御の流入出エネルギーが最も高い．. (12). t→∞. 203.

(3) Fig. 4: bang-bang 制御のゲイン線図．. Fig. 6: PD 制御のゲイン線図．. Fig. 5: 同次有限時間整定制御のゲイン線図．. Fig. 7: 制御入力 u(t) = 0 のときのゲイン線図．. 考察. 4 4.1. bang-bang 制御が持つ小外乱抑止性能の周波数. q をそれぞれ添え字 bb と ft を使って表記すると，. 非依存性 2. 3 つの制御則 (5)-(7) に対し， lim uf t (q, q) ˙ = lim upd (q, q) ˙ =0. q,q→0 ˙. q,q→0 ˙. lim + ubb (q, q) ˙ = −k1 −k2 ,. q,q→0 ˙. 1. |q˙f t (KP ⌊qf t ⌉ 3 + KD ⌊q˙f t ⌉ 2 )| < |q˙bb (k1 + k2 )| (16) (14) が成立するならば，式 (13) の被積分関数は同時有限時. lim − ubb (q, q) ˙ = k1 +k2. 間整定制御の方が bang-bang 制御の場合よりも小さく. q,q→0 ˙. なることが，(5) と (6) からわかる．つまり，同時有限. (15). 時間整定制御の回転角と角速度の両方の大きさが小さが成り立つため，bang-bang 制御 (5) は他の 2 制御と. いと，対象時間区間でその流入出エネルギーは小さく. 違い，状態量 (q, q) ˙ が原点近傍でも制御入力 ubb が 0 に. なる．特に，角速度が (16) の両辺にあるため，その大. 収束しない．その大きさは k1 , k2 で定まり，正弦波外. きさが大きく影響する．Fig. 1 と Fig. 2 のように bang-. 乱の振幅 A がそれらより相対的に小さい場合は，外乱. bang 制御は切り替えで振動が生じ，本質的に |q˙bb | は. w より制御入力 ubb の方が主要な影響力を持つ．した. |q˙f t | より大きくなる傾向がある．回転角 q と角速度 q˙. がって，k1 = 3, k2 = 2.5 としていたため，正弦波外乱. が異符号の時間区間では (16) の右辺は |q˙bb (k1 − k2 )| と. の振幅 A が 2.0[A] 以下の場合，bang-bang 制御の外乱. なるが，k1 − k2 = 0.5 のように比例ゲインを大きく設. 抑止性能が外乱周波数 ω に依存しない閉ループシステ. 定すると k1 − k2 ̸= 0 となるから，同様な議論が成立す. ムの挙動がみられ，正弦波外乱の振幅 A が 2.0[A] より. る．したがって，同時有限時間整定制御が優れた抑制. 大きな場合は，bang-bang 制御は制御なしのときと変. 性能を持つ外乱に対しては，同時有限時間整定制御の. わらない外乱抑止性能となったと考えられる．. 方が bang-bang 制御よりも入出エネルギーが小さくな. 4.2. ると考えられる．実際，Fig. 8，Fig. 9 の正弦波外乱の. 同次有限時間整定制御のエネルギー効率優位性. 振幅 A が 2.0[A] 未満で，外乱周波数 ω が 20[rad/sec]. 回転角 q と角速度 q˙ が同符号である時間区間を考え. 以下の場合に，流入出エネルギーが同次有限時間整定. る．bang-bang 制御と同時有限時間整定制御の回転角. 制御の方が bang-bang 制御よりも低い．. 204.

(4) Fig. 8: bang-bang 制御の流入出エネルギー．. Fig. 10: PD 制御の流入出エネルギー．御におきかえることで，生産場面における高速度高精度化が期待できる．ただし，外乱が高い周波数になればなるほど外乱抑止性能の優位性は薄れていくこともわかった．以上より，外乱の性質に注意して同次有限時間整定制御の実装することが大切である．上記結論をより理論的に深め，高次系についても調査することが今後の課題である．bang-bang 制御則については，外乱抑止性能のディジタル実現における制御周期への依存性を調べておくことも大切であろう．. 参考文献. Fig. 9: 同次有限時間整定制御の流入出エネルギー． 4.3. PD 制御とのエネルギー効率の比較. Fig. 9，Fig. 10 を比較すると正弦波外乱の振幅 A が 2.0[A] 未満かつ，低周波の場合において同次有限時間整定制御の方が PD 制御よりも流入出エネルギーが少ない．この原因は，1. 低周波の正弦波外乱において同次有限時間整定制御の方が PD 制御よりも外乱抑止性能が高いため，角速度 q(t) ˙ の値に大きな差がでること．. 2. 制御入力 |uf t |, |upd | は近い値を取る傾向があること，の 2 点である．例えば A = 0.075, ω = 1 の場合，定常状態において制御入力の最大値 |uf t |, |upd | はそれぞれ. 0.0688 と 0.0689 と近く，q(t) ˙ はそれぞれ最大で 0.0002 と 0.0045 であり，エネルギー効率 (13) に現れた．. 5. おわりに本稿では bang-bang 制御，同次有限時間整定制御，. PD 制御の外乱抑止性能を周波数応答とエネルギーの流入出量の観点から比較した．その結果，正弦波外乱の振幅がある値よりも小さい場合，bang-bang 制御が 3 つの制御の中で最も外乱抑止性能が高いことがわかったが，流入出エネルギーが非常に高くなる欠点があった．一方で，同次有限時間整定制御は流入出エネルギーが. 3 つの制御則の中で最も少ない傾向にあり，かつ，PD 制御より高い外乱抑止性能があった．そのため，産業界などで使われている PD 制御を同次有限時間整定制. 205. [1] S. P. Bhat and D. S. Bernstein. Finite-time stability of homogeneous systems. In Proceedings of the 1997 American Control Conference (Cat. No. 97CH36041), Vol. 4, pp. 2513–2514. IEEE, 1997. [2] Y. Hong, Z. P. Jiang, and G. Feng. Finite-time inputto-state stability and applications to finite-time control design. SIAM J. Control Optim., Vol. 48, No. 7, pp. 4395–4418, 2010. [3] F. L. Ramirez, D. Efimov, A. Polyakov, and W. Perruquetti. Conditions for fixed-time stability and stabilization of continuous autonomous systems. Systems & Control Letters, Vol. 129, pp. 26–35, 2019. [4] S. Matoba, N. Nakamura, H. Nakamura, and H. Nishitani. Robust finite-time control of robot manipulators. In Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Vol. 44, pp. 11863–11868, 2011. [5] 西村, 石丸, 近藤, 中尾. 同次制御に基づくアクティブ動吸振器の制振性能解析. 日本機械学会論文集, Vol. 81, No. 832, pp. 15–00373, 2015. [6] 長崎, 福井, 和田. 周波数応答を使った同次有限時間整定制御がもつ対外乱減衰性能の解析. システム制御情報学会論文誌, Vol. 32, No. 11, pp. 408–416, 2019. [7] S. P. Bhat and D. S. Bernstein. Finite-time stability of continuous autonomous systems. SIAM J. Control Optim., Vol. 38, No. 3, pp. 751–766, 2000. ˚str¨ [8] K. J. A om and R. M. Murray. Feedback systems: an introduction for scientists and engineers. Princeton university press, 2010. [9] R. Santiesteban. Time convergence estimation of a perturbed double integrator: Family of continuous sliding mode based output feedback synthesis. In 2013 European Control Conference (ECC), pp. 3764– 3769, 2013. [10] H. Nakamura. Homogeneous integral finite-time control and its application to robot control. In SICE Annual Conference (SICE), 2013 Proceedings of, pp. 1884–1889. IEEE, 2013..

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