後期 期末試験（　２月　８日）類題と解答 （ tyu-9-2

微積分

I (2009

年度後期） 中間試験類題（工学部共通）

(5) ex _{(6) 2}x _{(7) log x (8) log|x| (9) log}

10x

(10) sin x (11) cos x (12) tan x (13) sin−1x (14) tan−1x

2 次の関数の導関数を求めよ。 （積の微分，商の微分，合成関数の微分，対数微分） 《標準》 (1) x√x + 1 (2) 1− x 1 + x (3) (1 + 3x) 10 ₍₄₎ √ 1− x 1 + x (5) √₄ 1 2x2− 1 (6) x sin 3x (7) sin 2_{(2x) (8) xe−x}2

(9) x2_e−3x _{(10) log}(_{x +}√_{1 + x}2) _{(11) e}−x_{sin(2x + 1) (12) log}| cos(2x)|

(13) ea log x (aは定数) (14) tan 2x (15) tan−1(3x) (16) sin−1(1− x) 《応用》

(17) xe (18) xx (19) (1 + x)x1 (20) logx− 1 x + 1

 − 2tan−1_{x (21) x(sin}−1_x)2_{+ 2}√_{1− x}2_sin−1_x− 2x

3 《基本》y =√2xのグラフを次のように移動したグラフを表す関数を求めよ。（教科書 p.3 下 参照） (1) x軸方向に 1 平行移動 (2) y軸方向に−3 平行移動 (3) x軸方向に−2，y 軸方向に 1 平行移動 (4) x軸に関して対称移動 (5) y軸に関して対称移動 (6)原点に関して対称移動 4 《基本》次の関数のグラフを描け。 (1) y = 2x− 1 (2) y =|x| (3) y =−|x + 1| + 1 (4) y = x2 (5) y = 2x2− 3x − 2 (6) y =−x2+ 2x 5 《基本》次の関数のグラフを描け。（分数関数，無理関数） (1) y =−2 x (2) y = 2x + 3 x + 1 (3) y = x 1− x (4) y =√x (5) y =√2− x (6) y =−√x + 2 6 《基本》次の関数のグラフを描け。（指数関数，対数関数） (1) y = ex _{(2) y =} ( 1 2 )x (3) y = 2x_{− 2 (4) y =−e}x+1

(5) y = log x (6) y = log 2x (7) y = log|x − 1|

7 《基本》次の関数のグラフを描け。（三角関数，逆三角関数）

(1) y = sin x (2) y = cos x (3) y = sin (_x 2 − π 6 ) (4) y = 2 cos x− 1 (5) y = 2 sin ( x + π 4 )

(6) y = tan x (7) y = sin−1x (8) y = tan−1x

8 次の極限を求めよ。 ((18) では a > 0, a̸= 1 とする） 《基本》 (1) lim x→−2 √ (x− 1)2 _{(2) lim} x→1 x2_{− 3x + 2} x− 1 (3) limx→1 √ x− 1 x− 1 (4) lim x→0 x √ 4 + x−√4− x (5)x→+∞lim 3x + 4 x2_{+ 2x} (6)_x→−∞lim 2x− 1 2x_{+ 1} (7) lim x→+∞ 3x_{− 1} 2x_{+ 1} (8) lim_x→0 e2x_{− 1} x (9) limx→0 x sin(2x) (10) lim x→0 sin(2x) sin(3x) (11) limx→0 tan(3x) x 《標準》 (12) lim x→+∞x( √ x2− 1 −√_x2_{+ 1) (13) lim}

x→+∞{log(x − 1) − log(x + 1)} (14) limx→0

1− cos x x2 (15) lim x_→0 sin−1(2x) x (16)x→−∞lim tan −1(x 4 ) (17) lim x_→0 log(1 + x)− log(1 − x) x 《応用》 (18) lim x→+∞ ax 1 + ax (19) lim_x→0 3x− 2x x (20) limx→0x sin ( 1 x ) (21) lim x→0 sin x◦ sin x (22) limx→0 (1− ex)2 1− cos x

9 次の実数 x についての方程式を解け。(8)(13) では a は実数の定数とする。 《基本》 (1) 3x= 27 (2) 0.5x= 64 (3) log₂x = 5 (4) log_x8 = 2 《標準》 (5) 3x− 3−x=80 9 (6) 3 −(x+1)2 × 32(x−2)2 = 9√3 (7) 4x_{− 2}x+1_{− 8 = 0 (8)} e x_{− e}−x 2 = a (9) 2x= 5x−1 (10) log₃x + log₉(x + 3) = log₉2 (11) log₄(3x + 1) + log₄(x− 1) = log₂(3− x) 《応用》 (12) 41xlog7x−1_{= 2009 (13)} e x_{+ e−x} 2 = a 10 次の実数 x についての方程式を解け。但し特に断らない限り 05 x < 2π とする。 《基本》 (1) sin x = √ 3 2 (2) cos x =− 1 2 (3) tan x = 1 (4) sin −1_{x =} π 4 (−1 5 x 5 1) (5) tan−1x = π 3 (xは実数全体) 《標準》 (6) sin ( x−π 3 ) = 1 2 (7) cos ( x + π 4 ) =− √ 3 2 (8) tan ( 2x−π 3 ) =√3 (9) 2 sin2x− cos x − 1 = 0 《応用》 (10) sin x cos x = 1

4 (11) sin x− cos x = 1 (12) sin x−

√

3 cos x =−1 (13) sin x + cos x = cos 2x (14) sin 3x = sin x (15) cos 3x = cos x (16) cos2x + cos22x + cos23x = 1

11 《標準》次の関数の微分係数または導関数を定義にしたがって求めよ。（定義は教科書 p.19, 20 参照） (1) f (x) =√2xの場合の f′(2) (2) f (x) = 1 x の場合の f ′₍₁₎ (3) f (x) = e−xの場合の f′(c) (4) f (x) = cos xの場合の f′(x) 12 《標準》f (x) が x = a で微分可能であるとき，次の極限値を f′(a), f (a)を用いて表せ。 (1) lim h→0 f (a− 2h) − f(a + 2h) h (2) limx→a xf (a)− af(x) x− a 13 《基本》(1) 関数 y = x2_{− x のグラフの x = 2 での接線の方程式を求めよ。} (2) (1)で求めた接線と x 軸と y 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 14 《標準》(1) 関数 y = tan−1xのグラフの x =−1 での接線の方程式を求めよ。 (2) (1)で求めた接線と x 軸と y 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 15 《基本》 lim x→1 x2_{+ ax− 2} x− 1 が有限な値になるように定数 a を定め，その極限値を求めよ。 16 《標準》 lim x→−2 x3_{− ax + b} (x + 2)2 が有限な値になるように定数 a, b を定め，その極限値を求めよ。 17 《基本》半径 1 の円 O の上に定点 A と動点 P がある。A における接線に P から垂線 PH をおろす。∠ POA=θ と して lim θ_→0 PH AH2 を求めよ。 18 《基本》f (x) = sin−1xとするとき，次を求めよ。 (1) f (0) (2) f (1) (3) f (1 2) (4) f (−1) (5) f (− √ 3 2 ) 19 《基本》f (x) = tan−1xとするとき，次を求めよ。（ただし (5) では，−π 2 < x < π 2 とする） (1) f (0) (2) f (1) (3) f (−√1 3) (4) f (− √ 3) (5) f (tan x) 20《応用》a を 1 以外の正の実数、Snを等比級数の和 Sn = 1 n ( 1 + an1 _{+ a}n2 ₊· · · + an−2n _{+ a}n−1n ) とするとき (n は 2以上の自然数)、以下の各問に解答せよ。 (1) (an1 − 1)Snを計算して簡単にせよ。これによって S_nを簡単にせよ。 (2) lim n→+∞Snを求めよ。 21《応用》Sn= π n { sinπ n+ sin 2π n +· · · + sin (n− 2)π n + sin (n− 1)π n } とするとき (n は 2 以上の自然数)、以下の各 問に解答せよ。 (1) 三角関数の和と積の公式 sin α sin β =1 2{cos(α − β) − cos(α + β)} を用いて、以下の式を和の形に変換せよ。 (a) sin π 2nsin π n (b) sin π 2nsin 2π n (c) sin π 2nsin 3π n (2) Sn× sin π 2n を計算して簡単にせよ。これによって Snを簡単にせよ。 (3) lim n→+∞Snを求めよ。

【 略 解 】 1 (1) 6x2_{− 2x + 5 (2)−} 4 x5 (3) 1 5√5x4 (4)− 1 3x√3_x (5) e x _{(6) 2}x_{log 2} (7) 1 x (8) 1 x (9) 1

x log 10 (10) cos x (11)− sin x (12)

1 cos2_x (13) √ 1 1− x2 (14) 1 1 + x2 2 (1) 3x + 2 2√x + 1 (2)− 2 (1 + x)2 (3) 30(1 + 3x) 9 _{(4) √} −1 (1− x)(1 + x)3 (5)− x (2x2− 1)√4

2x2− 1 (6) 3x cos 3x + sin 3x (7) 2 sin 4x (8) (1− 2x

2_)e−x2 (9) (2x− 3x2_)e−3x _{(10) √} 1 1 + x2 (11) e −x_{(2 cos(2x + 1)− sin(2x + 1))} (12)−2 tan(2x) (13) axa−1 ₍₁₄₎ 2 cos2_2x (15) 3 1 + 9x2 (16)− 1 √ 2x− x2 (17) exe−1 (18) (1 + log x)xx (19) (1 + x)1xx− (1 + x) log(1 + x) x2_{(1 + x)} (20) 4 x4− 1 (21) (sin −1_x)2 3 (1) y =√2(x− 1) (2) y =√2x− 3 (3) y =√2(x + 2) + 1 (4) y =−√2x (5) y =√−2x (6) y =−√−2x 4 (1) (2) (3) (4) (5) (6) -2 -1 1 €€€€2 1 2 x -3 -2 -1 1 y -3 -2 -1 1 2 3x 1 2 3 y -3 -2 -1 1 2 3x -1 1 y -2 -1 1 2 x 1 2 3 y -1€€€€2 3 €€€€4 2 x -25 €€€€€€€8 -2 -1 y 1 2 x 1 2 y 5 (1) (2) (3) (4) (5) (6) -1 1 x -2 -1 1 2 y -3 €€€€2 -1 x 2 3 y 1 x -1 y 1 2 3 4x 1 2 y -2 2x 1 !!!! 2 2 y -2 2 x -!!!!2 y 6 (1) (2) (3) (4) 1 x 1 ã y -1 x 1 2 y 1 x -2 -1 y -1 x - ã -1 y (5) (6) (7) 1 ã x 1 y 1 €€€€2 x y -3 -2 -1 1 2 3 x -3 -2 -1 1 2 3 y

7 (1) (2) (3) (4) - Π -Π €€€€ 2 Π €€€€ 2 Π x -1 1 y -Π €€€€ 2 Π €€€€ 2 Π 3Π €€€€€€€€ 2 x -1 1 y Π €€€€ 3 4Π €€€€€€€€ 3 7Π €€€€€€€€ 3 x -1 -€€€€1 2 1 y -5 Π €€€€€€€€ 3 -Π €€€€ 3 Π €€€€ 3 5Π €€€€€€€€ 3 x -3 1 y (5) (6) (7) (8) -5 Π €€€€€€€€ 4 -Π €€€€ 4 3Π €€€€€€€€ 4 x -2 !!!!2 2 y - Π -Π €€€€ 2 -Π €€€€ 4 Π €€€€ 4 Π €€€€ 2 Π x -1 1 y -1 1x -Π €€€€ 2 Π €€€€ 2 y -1 1 x -Π €€€€ 2 -Π €€€€ 4 Π €€€€ 4 Π €€€€ 2 y 8 (1) 3 (2)−1 (3) 1 2 (4) 2 (5) 0 (6)−1 (7) +∞ (8) 2 (9) 1 2 (10) 2 3 (11) 3 (12)−1 (13) 0 (14) 1 2 (15) 2 (16)− π 2 (17) 2 (18) 0 < a < 1のとき 0，a > 1 のとき 1 (19) log3 2 (20) 0 (21) π 180 (22) 2 9 (1) 3 (2)−6 (3) 32 (4) 2√2 (5) 2 (6) 10± √ 82 2 (7) 2 (8) log(a + √ a2_{+ 1)} (9) log105 log₁₀5− log₁₀2 (10)−1 + √ 3 (11)−1 +√6 (12) 49, 1 7 (13) a= 1 のとき log(a ±√a2_{− 1)，a < 1 のとき解無し} 10 (1) π 3, 2π 3 (2) 2π 3 , 4π 3 (3) π 4, 5π 4 (4) 1 √ 2 (5) √ 3 (6) π 2, 7π 6 (7) 7π 12, 11π 12 (8) π 3, 5π 6 , 4π 3 , 11π 6 (9) π 3, π, 5π 3 (10) π 12, 5π 12, 13π 12 , 17π 12 (11) π 2, π (12) π 6, 3π 2 (13) 0, 3π 4 , 3π 2 , 7π 4 (14) 0, π 4, 3π 4 , π, 5π 4 , 7π 4 (15) 0, π 2, π, 3π 2 (16) π 6, π 4, π 2, 3π 4 , 5π 6 , 7π 6 , 5π 4 , 3π 2 , 7π 4 , 11π 6 11 (1) f′(2) = lim h→0 √ 2(2 + h)−√4 h = limh→0 2h (√2(2 + h) + 2)h = 1 2 (2) f′(1) = lim h_→0 1 1+h − 1 h = limh_→0 −1 1 + h =−1 (3) f′(c) = lim h→0 e−(c+h)− e−c h = e −c_lim h→0 e−h− 1 h =−e −c (4) f′(x) = lim h→0 cos(x + h)− cos x h = limh→0 −2 sin(x +h 2) sin h 2 h =− sin x

12 (1)−4f′(a) (2) f (a)− af′(a) 13 (1) y = 3x− 4 (2) 8 3 14 (1) y =1 2(x + 1)− π 4 (2) (π− 2)2 16 15 a = 1. 極限値は 3 16 (a, b) = (12,−16). 極限値は −6 17 1 2 18 (1) 0 (2) π 2 (3) π 6 (4)− π 2 (5)− π 3 19 (1) 0 (2) π 4 (3)− π 6 (4)− π 3 (5) x 20 (1) (an1 − 1)Sn= a− 1 n , Sn = a− 1 n(a1n− 1) (2) lim n_→+∞Sn=n_→+∞lim a− 1 log a ÷ ( elog an − 1 log a n ) =a− 1 log a 21 (1) (a) 1 2 ( cos π 2n− cos 3π 2n ) (b) 1 2 ( cos3π 2n − cos 5π 2n ) (c) 1 2 ( cos5π 2n − cos 7π 2n ) (2) Snsin π 2n = π 2n {( cos π 2n − cos 3π 2n ) + ( cos3π 2n − cos 5π 2n ) +· · · + ( cos(2n− 3)π 2n − cos (2n− 1)π 2n )} =π ncos π 2n, Sn=π n cos_2nπ

sin_2nπ , (3)n→+∞lim Sn =n→+∞lim 2 cos π 2n÷ ( sin_2nπ π 2n ) = 2