後期 期末試験（ 1月 27日）類題と解答（ tyu-17-1

微積分

I (2017

年度前期)

中間試験類題

(理工学部共通)

(6) log|x| (7) log₁₀x (8) sin_{| {z }}−1x EMaT2010 年問 2 (9) cos_{| {z }}−1x EMaT2007 年問 3,2010 年問 2 (10) tan−1x 2 次の関数の導関数を求めよ。 （積の微分，商の微分，合成関数の微分，対数微分） 《標準》 (1) √1 + x + x2 | {z } EMaT2012 年問 3 (2) 1− x 1 + x (3) (1 + 3x) 10 ₍₄₎ √ 1− x 1 + x (5) √₄ 1

2x2− 1 (6) x sin 3x (7) 3 sin x− sin 3_x

| {z }

EMaT2013 年問 4 改題

(8) xe−x2

(9) ex(x + ex) + x(1 + ex) (10) log(x +√1 + x2) _{(11) e}−x_{sin(2x + 1) (12) log} ( 1 + sin x cos x ) | {z } EMaT2008 年問 3 (13) ea log x _{(a は定数) (14) tan 2x (15) tan}−1_{3x (16) sin}−1_{(1− x) (17) x cos}−1_2x

《応用》 (18) xx1 |{z} EMaT2016 年問 2 (19) (1 + x)1x _{(20) log}x− 1 x + 1   − 2tan−1_{x (21) sin}(1 x ) −1 xcos ( 1 x ) 3 《基本》次の関数のグラフを描け。 (1) y =|x − 2| − |x − 1| | {z } EMaT2003 年 問題 1-1 (2) y = 2x2− 3x − 2 (3) y =−x2+ 2x 4 《基本》次の関数のグラフを描け。（分数関数，無理関数） (1) y =2x + 3 x + 1 (2) y = x 1− x (3) y = √ 2− x (4) y =−√x + 2 5 《基本》次の関数のグラフを描け。（指数関数，対数関数） (1) y = ex _{(2) y =} ( 1 2 )x (3) y = 2x_{− 2 (4) y =−e}x+1

(5) y = log x (6) y = log 2x (7) y = log|x − 1|

6 次の関数のグラフを描け。（三角関数，逆三角関数）

《基本》(1) y = sin x (2) y = cos x (3) y = tan x (4) y = sin−1x (5) y = tan−1x 《標準》(6) y = π 2 − cos −1_{x (7) y = sin}(x 2 − π 6 ) (8) y = 4 cos2x 2 − 3 (9) y = √ 2(sin x + cos x) 7 次の極限を求めよ。 ((20) では a > 0, a̸= 1 とする） 《基本》 (1) lim x→−2 √ (x− 1)2 _{(2) lim} x→1 x2− 3x + 2 x− 1 (3) limx→1 √ x− 1 x− 1 (4) x→+∞lim 3x + 4 x2_{+ 2x} (5)_x→−∞lim 2x− 1 2x_{+ 1} (6) lim x→+∞ 3x_{− 1} 2x_{+ 1} (7) lim_x→0 e2x_{− 1} x (8) limx→0 x sin(2x) 《標準》 (9) lim x_→1 ( 2x2− 1 x2_(x2− 1) − x x2− 1 ) | {z } EMaT2016 年 問 1(1) (10) lim x→+∞(3x− √ 9x2− 3x − 1) | {z } EMaT2005 年 問 1-4 (11) lim x_→3 6− x2+ x√x2− 8 9− x2 (12) lim

x→+∞{log(x − 1) − log(x + 1)} (13) limx→0

log(1 + 2x) x | {z } EMaT2015 年 問 1(1) (14) lim x→0x cos π x | {z } EMaT2013 年 問 1(2) (15) lim x→0 sin 4x x + sin x | {z } EMaT2012 年 問 1(1) (16) lim x→π sin x x2− π2 | {z } EMaT2014 年 問 1(1) (17) lim x→0 1− cos x x2 (18) _xlim_→0 ex_{− e}−x sin x | {z } EMaT2004 年 問 1-1 (19) lim x→0 3 sin−1 x₅ x | {z } EMaT2016 年 問 1(2) (20) lim x→+∞π ( tan−1x− tan−11) | {z } EMaT2013 年 問 3 改題 《応用》 ( ) ( ₋π)2 _{−1 − π}

8 次の実数 x についての方程式を解け。(8)(11) では a は実数の定数とする。 《基本》(1) 3x₌ 1 27 (2) 0.5 x_{= 64 (3) log} 2x = 5 (4) logx8 = 2 《標準》(5) 3−(x+1)2× 32(x−2)2 _{= 9}√_{3 (6) 4}x_{− 2}x+1_{− 8 = 0 (7) log} 2x + log2(x + 2) = 3 (8) ex− e−x 2 = a 《応用》(9) 8x_{− 3 × 2}x+2_{+ 11 = 0 (10) log} 2(x 2_{− 5) + log} 2x = 1 (11) ex_{+ e}−x 2 = a 9 次の実数 x についての方程式を解け。 《基本》(1) sin x = √ 3 2 (2) cos x =− 1 2 (3) tan x = 1 (4) sin −1_{x =} π 4 (5) tan −1_{x =} π 3 《標準》(6) sin(x−π 3 ) = 1 2 (7) cos ( x + π 4 ) =− √ 3 2 (8) 2 cos 2 x + sin x− 1 = 0 | {z } 国家公務員 II 種試験 《応用》(9) sin x cos x = 1

4 (10) sin x− cos x = 1 (11) cos 2x = cos x

10 《標準》以下の関数 f (x) の与えられた区間における最大値と最小値を求めよ。但し最大最小値を与える x の値は必 要無い (国家公務員試験 I,II 種試験)。 (1) f (x) = ( 1 3 )2x − 6 ( 1 3 )x

+ 6 (−2 ≦ x ≦ 0) (2) f (x) = cos x + 2 cos 2x + sin2x (0≦ x ≦ 2π) 11 《標準》次の関数の導関数 f′(x) を定義にしたがって求めよ。（定義は教科書§2.1, §2.2 参照） (1) f (x) =√2x (2) f (x) = 1 x (3) f (x) = e −x _{(4) f (x) = cos x} 12 《標準》f (x) が x = a で微分可能であるとき，次の極限値を f′(a), f (a) のうち必要なものを用いて表せ。 (1) lim h→0 f (a− 2h) − f(a + 2h) h (2) limx_→a xf (a)− af(x) x− a (3) limx_→a x2_{f (a)− a}2_{f (x)} x− a 13 以下の曲線の接線の方程式を求めよ。 《基本》(1) x = 2 での y = x2_{− x の接線 (2) x = 2 での y =} 1 xの接線 (3) x = 0 での y = √ x + 2 の接線 《標準》(4) x =√2 での y = x 1 + x2 の接線 (5) x =−1 での y = 2 x_の接線 (6) x = 1 での y =log x x の接線 (7) x = π 4 での y = e −x_{cos x の接線 (8) x =−1 での y = tan}−1_{x の接線} 《応用》(9) 原点を通る y =−x + 9 x + 8 の接線 (10) 原点を通る y = log x の接線 14 《基本》f (x) = sin−1x、g(x) = cos−1x とするとき，次を求めよ。 (1) f (0) (2) f (1) (3) f ( 1 2 ) (4) g(−1) (5) g ( − √ 3 2 ) | {z } EMaT2007 年問 3 15 《基本》(EMaT2009 年問 2) f (x) = x + tan−1x−√1 3 とするとき (但し− π 2 < x < π 2)，次を求めよ。 (1) f ( 1 √ 3 ) (2) f′ ( 1 √ 3 ) 16 《応用》(EMaT2016 年問 6) 正の実数 t をパラメーターとする曲線 Ct: y = tx2+ 1 t の集まりを{Ct}t>0と表す。曲 線 D が (x, y) = (p(t), q(t)) で表されるとする。各 t について曲線 D と曲線 Ctが点 P(p(t), q(t)) で接線を共有するとき、 曲線 D は{Ct}t>0の包絡線であるという。このとき点 P(p(t), q(t)) が曲線 Ct上にあることから q(t) = t{p(t)}2+ 1 t が 成立する。以下、p′(t) = dp(t) dt 、q ′_{(t) =}dq(t) dt と表す。 (1) 曲線 Ct: y = tx2+ 1 t の点 P(p(t), q(t)) での接線の方程式を、x, y, t, p(t) のうち必要なものを用いて表せ。 (2) q(t) = t{p(t)}2+1 t の両辺を t について微分し q ′_{(t) を、t, p(t), p}′_{(t) のうち必要なものを用いて表せ。} (3) 点 P(p(t), q(t)) での曲線 D の接線の傾き dq dp = q′(t) p′(t)が、(1) で求めた曲線 Ctの接線の傾きに等しいことから t > 0 のとき常に q(t) = 2|p(t)| を満たすことを示せ。これより {Ct}t>0の包絡線が y = 2|x|(x ̸= 0) であることが分かる。

微積分

I (2017

年度前期)

中間試験類題解答

(理工学部共通)

x_{)′ ={(e}log 2₎x_{}′ 指数法則= (e}x log 2_{)′= 2}x_{(x log 2)′ = 2}x_{log 2}

(6) x > 0 のとき (log|x|)′= (log x)′= 1 x 、x < 0 のとき (log|x|) ′_={log(−x)}′ ₌(−x)′ −x = 1 x (7) (log₁₀x)′ 底の変換公式= ( log x log 10 )_′ = 1 x log 10 (8) 1 √ 1− x2 (9) −1 √ 1− x2 (10) 1 1 + x2 2 (1) { (1 + x + x2)1/2 }′ = (1 + x + x 2₎−1/2 2 × (1 + x + x 2_)′ | {z } =1+2x = 1 + 2x 2√1 + x + x2 (2) ( 1− x 1 + x )_′ = (1− x) ′_{(1 + x)− (1 − x)(1 + x)}′ (1 + x)2 = −2 (1 + x)2 (3) { (1 + 3x)10}′ = 10(1+3x)9×(1 + 3x)′ | {z } =3 = 30(1+3x)9 (4) (2) の結果を用いて (√ 1− x 1 + x )′ = 1 2 ( 1− x 1 + x )−1/2 | {z } =√(1+x)/(1−x) × ( 1− x 1 + x )′ | {z } (2) =−2/(1+x)2 = √ −1 (1− x)(1 + x)3 (5){(2x2− 1)−1/4}′ =−1 4(2x 2_{− 1)}−5/4_{× (2x}2_{− 1)}′ | {z } =4x = −x (2x2− 1)√4 2x2− 1 (6) (x sin 3x)′= (x)′sin 3x + x(sin 3x)′= sin 3x + 3x cos 3x

(7) 3(sin x)′− (sin3x)′= 3 cos x− 3 sin2x× (sin x)′ | {z } =cos x = 3 cos x (1− sin2x) | {z } =cos2_x = 3 cos3x (8) (xe−x2)′= (x)′e−x2+ x(e−x2)′ = e−x2+ xe−x2× (−x2)′ = (1− 2x2)e−x2 (9) まず展開して ex(x + ex) + x(1 + ex) = ( xex+ (ex)2 | {z } =ex×2 ) + (x + xex) = e2x+ 2xex+ x を得るので積の微分公式より (e2x)′+ 2(xex)′+ (x)′ = 2e2x+ 2{(x)′ex+ x(ex)′} + (x)′= 2e2x+ 2(x + 1)ex+ 1 を得る。

(10) { log(x +√1 + x2₎}′ ₌(x)′+ ( √ 1 + x2₎′ x +√1 + x2 = ( 1 +₂(1+x√ 2)′ 1+x2 ) x +√1 + x2 = 1 x +√1 + x2 × √ 1 + x2_{+ x} √ 1 + x2 = 1 √ 1 + x2

(11) {e−xsin(2x + 1)}′= (e−x)′sin(2x + 1) + e−x{sin(2x + 1)}′=−e−xsin(2x + 1) + e−xcos(2x + 1)× (2x + 1)′ = e−x{2 cos(2x + 1) − sin(2x + 1)} (12) { log ( 1 + sin x cos x )}_′ = cos x 1 + sin x× ( 1 + sin x cos x )_′ = cos x 1 + sin x ×

(1 + sin x)′cos x− (1 + sin x)(cos x)′

cos2_x =

1 cos x

(12 別解)−1 ≦ sin x, cos x ≦ 1 より常に 1 + sin x ≧ 0 である。従って 1 + sin x

cos x > 0 と「1 + sin x > 0 且つ cos x > 0」

は同値である。従って対数の基本性質 loga A B = logaA− logaB を利用することも出来る。 { log ( 1 + sin x cos x )}′

={log(1 + sin x)}′− {log(cos x)}′=(1 + sin x) ′ 1 + sin x − (cos x)′ cos x = cos x 1 + sin x− − sin x cos x =

cos2_{x + sin x(1 + sin x)}

(1 + sin x) cos x = 1 cos x (13)(ea log x)′= ea log x× (a log x)′ =a

x× (e log x₎a 指数法則_{= ax}a−1 _{(14) (tan 2x)}′ ₌ (2x)′ cos2_2x = 2 cos2_2x (15) (tan−13x)′= (3x) ′ 1 + (3x)2 = 3 1 + 9x2 (16){sin −1_{(1− x)}}′_{= √} (1− x)′ 1− (1 − x)2 = −1 √ 2x− x2 (17) (x cos−12x)′= (x)′cos−12x + x(cos−12x)′ = cos−12x + x×

( −(2x)′ √ 1− (2x)2 ) = cos−12x−√ 2x 1− 4x2 (18)(19) 対数微分法を用いる。f (x) = x1/x, g(x) = (1 + x)1/xとすると、_{{log f(x)}}′ = f ′_(x) f (x)、{log g(x)} ′ ₌ g′(x) g(x) よ り f′(x) = f (x){log f(x)}′、g′(x) = g(x){log g(x)}′を得る。これより次式を得る。 (18) f′(x) = f (x) { log x x }′ = f (x) { (log x)′x− log x(x)′ x2 } = 1− log x x2 × x 1/x = (1− log x)x−2+1/x { }

= 1 x− 1− 1 x + 1− 2 x2_{+ 1} = (x + 1)− (x − 1) x2_{− 1} − 2 x2_{+ 1} = 2(x2_{+ 1)− 2(x}2_{− 1)} x4_{− 1} = 4 x4_{− 1} (21) 商、合成関数の微分公式等より次式を得る。 { sin ( 1 x )}′ − { cos(1_x) x }′ = ( 1 x )′ | {z } =−1/x2 cos ( 1 x ) − { cos(1_x)}′x− cos(1_x)(x)′ x2 =− cos(1_x) x2 − { − ( 1 x )′ | {z } =−1/x2 sin ( 1 x )} 1 x+ cos(1_x) x2 = −1 x3 sin ( 1 x ) 3 (1) f (x) =|x − 2| − |x − 1| =      −(x − 2) + (x − 1) = 1 (x≦ 1) −(x − 2) − (x − 1) = −2x + 3 (1 < x < 2) (x− 2) − (x − 1) = −1 (x≧ 2) として絶対値が外れる。x 軸の交点 は_{−2x + 3 = 0 を 1 < x < 2 の範囲で解いて} ( 3 2, 0 ) 。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, 1) (2) f (x) = 2x2− 3x − 2 = 2 ( x−3 4 )2 −25 8 より軸は直線 x = 3 4、頂点は ( 3 4,− 25 8 ) 。f (x) = (2x + 1)(x− 2) = 0 を 解いて x 軸との交点は ( −1 2, 0 ) , (2, 0)。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0,−2)。 (3) f (x) =−x2+ 2x =− (x − 1)2+ 1 より軸は直線 x = 1、頂点は (1, 1)。f (x) =−x(x − 2) = 0 を解いて x 軸との交 点は (0, 0) , (2, 0)。原点は y 軸との交点でもある。 4 (1) f (x) = 2x + 3 x + 1 = 2 + 1 x + 1 より漸近線は x =−1 と y = 2。x 軸との交点は (分子) = 2x + 3 = 0 より ( −3 2, 0 ) 。 y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, 3) (2) f (x) = x 1− x =−1 − 1 x− 1 より漸近線は x = 1 と y =−1。x 軸との交点は (分子) = x = 0 より原点 (0, 0)。これ は y 軸との交点でもある。 (3) f (x) =√2− x とする。定義域は不等式 2 − x ≧ 0 を解いて x ≦ 2、値域は y ≧ 0。x 軸との共有点は (2, 0)。y 軸と の交点は (0, f (0)) = (0,√2) (4) f (x) =−√x + 2 とする。定義域は不等式 x + 2≧ 0 を解いて x ≧ −2、値域は y ≦ 0。x 軸との共有点は (−2, 0)。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0,−√2) 5 (1) f (x) = exとする。漸近線は y = 0。常に ex_{> 0 より x 軸との交点は無し。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, 1)} (2) f (x) = ( 1 2 )x = 2−xとする。漸近線は y = 0。常に 2−x> 0 より x 軸との交点は無し。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, 1) (3) f (x) = 2x− 2 とする。漸近線は y = −2。方程式 2x _{= 2 のを解いて x 軸との交点は (1, 0)。y 軸との交点は} (0, f (0)) = (0,−1)

(4) f (x) =−ex+1とする。漸近線は y = 0。常に−ex+1_{< 0 より x 軸との交点は無し。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0,−e)}

(5) 漸近線は x = 0。方程式 log x = 0 を解いて x 軸との交点は (1, 0)。定義域 x > 0 より y 軸との交点は無し。 (6) 漸近線は x = 0。方程式 log 2x = 0 を解いて x 軸との交点は ( 1 2, 0 ) 。定義域 x > 0 より y 軸との交点は無し。 (7) 漸近線は x = 1。方程式 log|x − 1| = 0 を解いて |x − 1| = 1 より x 軸との交点は (0, 0) , (2.0)。原点は y 軸との交点 でもある。

6 (1) f (x) = sin x とする。方程式 sin x = 0 を解いて x 軸との交点は (nπ, 0)(n は整数)。原点は y 軸との交点でもある。 (2) f (x) = cos x とする。x 軸との交点は ( 2n + 1 2 π, 0 ) (n は整数)。y 軸との交点は (0, f (0)) = (0, 1)。 (3) 方程式 tan x = 0 を解いて x 軸との交点は (nπ, 0)(n は整数)。原点は y 軸との交点でもある。 (4) 定義域は−1 ≦ x ≦ 1、値域は −π 2 ≦ y ≦ π 2。方程式 sin −1_{x = 0 を解いて x 軸との交点は原点 (0, 0)。これは y 軸と} の交点でもある。 (5) 定義域は全実数、値域は−π 2 < y < π 2、漸近線は y =± π 2。方程式 tan −1_{x = 0 を解いて x 軸との交点は原点 (0, 0)。} これは y 軸との交点でもある。 (6) 公式 sin−1x + cos−1x = π 2 より、これは (4) のグラフと同一。 (7) f (x) = sin (_x 2 − π 6 ) とする。方程式 f (x) = 0 を解いて x 2 − π 6 = nπ より、x 軸との交点は ( 6n + 1 3 π, 0 ) (n は整 数)。y 軸との交点は (0, f (0)) =(0, sin ( −π 6 )) = ( 0,−1 2 ) 。 (8) f (x) = 4 cos2x 2− 3 とする。倍角公式より f(x) = 4 × 1 + cos x 2 − 3 = 2 cos x − 1 である。方程式 f(x) = 0 を解いて x =±π 3 + 2nπ より、x 軸との交点は ( ±π 3 + 2nπ, 0 ) (n は整数)。y 軸との交点は (0, f (0)) =(0, 4 cos20− 3)= (0, 1)。 (9) f (x) = √2(sin x + cos x) とする。合成公式より f (x) = √2×√12_{+ 1}2 ( 1 √ 2sin x + 1 √ 2cos x ) = 2 sin ( x + π 4 ) である。方程式 f (x) = 0 を解いて x + π 4 = nπ より、x 軸との交点は ( 4n− 1 4 π, 0 ) (n は整数)。y 軸との交点は (0, f (0)) = ( 0,√2(sin 0 + cos 0) ) = ( 0,√2 ) 。 √ √

(6) 分母分子を 2x_{で割り lim} x_→+∞ ( 3 2 )x = +∞ 及び lim x_→+∞2 −x_{= 0 より lim} x_→+∞ 3x_{− 1} 2x_{+ 1} =_x→+∞lim (3/2)x− 2−x 1− 2−x = +∞ (7) lim x→0 e2x_{− 1} x = limx→0 e2x_{− 1} 2x × 2 = 2 (8) limx→0 x sin 2x = limx→0 1 2÷ sin 2x 2x = 1 2 (9) lim x→1 ( 2x2− 1 x2_(x2− 1)− x x2− 1 ) = lim x→1 2x2− 1 − x × x2 x2_(x2− 1) ♠ = lim x→1 (x− 1)(−x2+ x + 1) x2_{(x + 1)(x}− 1) = lim_x→1 −x2_{+ x + 1} x2_{(x + 1)} = 1 2 等号= で、g(x) =♠ −x3+2x2−1 とすると g(1) = 0 より因数定理から g(x) は (x−1) で割り切れ、g(x) = (x−1)(−x2+x+1) であることを用いた。 (10) lim x→+∞(3x− √ 9x2_{− 3x − 1) = lim} x→+∞ (3x−√9x2_{− 3x − 1)(3x +}√_9x2_{− 3x − 1)} 3x +√9x2_{− 3x − 1} =x→+∞lim 3 + 1/x 3 +√9− 3/x − 1/x2 = 1 2 (11) 分母分子に (6− x2− x√x2_{− 8) を掛けて次式を得る。} lim x→3 6− x2_{+ x}√_x2_{− 8} 9− x2 = limx→3 (6− x2_{+ x}√_x2_{− 8)(6 − x}2_{− x}√_x2_{− 8)} (9_{− x}2)(6_{− x}2_{− x}√x2_{− 8)} = limx→3 (x4_{− 12x}2_{+ 36)− x}2_(x2_{− 8)} (9_{− x}2)(6_{− x}2_{− x}√x2_{− 8)} = limx→3 4 6_{− x}2_{− x}√x2_{− 8}=− 2 3 (12) lim

x_→+∞{log(x − 1) − log(x + 1)} = limx_→+∞log

x− 1 x + 1 =x_→+∞lim log 1− 1/x 1 + 1/x = log 1 = 0 (13) 公式 lim h→0(1 + h) 1/h_{= e より lim} x→0 log(1 + 2x) x = limx→02 log (1 + 2x) 2x = limx→02 log (1 + 2x) 1/(2x) | {z } →log e=1 = 2 (14)cosπ x 

 ≦ 1 より 0 ≦x cosπ_x ≦ |x| である。 lim_x→0|x| = 0 より lim

x→0

x cosπ_x = 0 ひいては lim_x→0x cosπ

x = 0 である。 (15) lim x→0 sin 4x x + sin x = limx→0 ( sin 4x x ÷ x + sin x x ) = lim x→0 { 4×sin 4x 4x ÷ ( 1 + sin x x )} = 4÷ (1 + 1) = 2 (16) 公式 sin x =− sin(x − π) より lim

x→π sin x x2− π2 = lim_x→π −1 x + π × sin(x− π) x− π = −1 2π (17) 倍角公式 1− cos x = 2 sin2x 2 より limx→0 1− cos x x2 = lim_x→0 2 sin2 x₂ x2 = lim_x→0 1 2 ( sinx 2 x 2 )2 = 1 2 (18) lim x→0 ex_{− e}−x sin x = limx→0 x sin x× ( ex_{− 1 − e}−x_{+ 1} x ) = lim x→0 ( ex_{− 1} x + e−x− 1 −x ) ÷sin x x = 2 (19) t = sin−1 x 5 とすると x 5 = sin t、x→ 0 は t → sin −1_{0 = 0 に相当するので lim} x_→0 3 sin−1 x₅ x = limt_→0 3t 5 sin t = 3 5 (20) lim x_→+∞tan −1_{x =} π 2 より limx_→+∞π ( tan−1x− tan−11)= π (_π 2 − π 4 ) = π 2 4 (21) 0 < a < 1 のとき lim x→+∞a x_{= 0 より lim} x→+∞ ax 1 + ax = 0 1 + 0 = 0 a > 1 のとき lim x→+∞a −x_{= 0 より lim} x→+∞ ax 1 + ax =_x→+∞lim 1 a−x+ 1 = 1 0 + 1 = 1 (22)(23)(24) 公式 sin x = cos ( x−π 2 ) 、cos x = − sin(x−π 2 ) を用いて次式を得る。(22) では t = tan−1x と置き、 x→ +∞ は左極限 t → π 2 − 0 に対応する。(24) では t = cos −1_{x と置き x→ 0 は t → cos}−1_{0 =} π 2 に対応する。 (22) lim x→+∞x ( tan−1x−π 2 )_t=tan−1_x = lim t_→π 2−0 ( t−π 2 ) tan t = lim t_→π 2−0 { − cos(t−π 2 )} ÷sin ( t−π₂) ( t−π₂) = −1 (23) lim x→π 2 ( x−π₂)2 1− sin x = limx→π 2 ( x−π₂)2 1− cos(x−π₂) t=x−π/2 = lim t→0 t2 1− cos t (17) = lim t→0 4×(t₂)2 2 sin2 t₂ = limt→02÷ ( sint₂ t 2 )2 = 2 (24) lim x_→0 2 cos−1x− π x t=cos−1x = lim t→π 2 2t− π cos t = limt→π 2 2(t−π₂) − sin(t−π₂) = limt→π 2 (−2) ÷sin ( t−π₂) ( t−π₂) = −2 (25) lim x→+∞ ( 2 3 )x = 0 より分母分子を 3x_{で割って lim} x→+∞ 2x+3+ 3x+2 2x−3− 3x−2 =_x→+∞lim (2/3)x× 23+ 32 (2/3)x× 2−3− 3−2 = 0 + 32 0− 3−2 =−81 (26) f (x) = |x 2_{− 4x + 3|} x− 3 とすると f (x) =      (x− 1)(x − 3) x− 3 = x− 1 (x≦ 1 又は x > 3) −(x− 1)(x − 3) x− 3 =−x + 1 (1 < x < 3) である。x→ 3 − 0 の 左極限では 3 より少し小さい領域を対象にするので 1 < x < 3 の場合を考えて lim x→3−0f (x) =x→3−0lim (−x + 1) = −2 (27) 和積の公式より lim x→0 cos x− cos 2x x2 = lim_x→0 2 sin2x−x 2 sin 2x+x 2 x2 = lim_x→02× ( 1 2 sinx 2 x 2 ) × ( 3 2 sin3x 2 3x 2 ) =3 2 (28) lim

x→+∞x{log(3x + 1) − log 3x} = limx→+∞x log

( 3x + 1 3x ) = lim x→+∞ 3x 3 log ( 1 + 1 3x ) = lim x→+∞ 1 3log ( 1 + 1 3x )3x | {z } →log e=1 =1 3 8 (1) 3x= 1 27 = 3 −3_{より x =−3 (2) 0.5}x_{= 2}−x_{= 64 = 2}6_{より x =−6} (3) x = 25= 32 (4) x2= 8 及び x > 0 なので、x = 2√2 (5) 指数法則より 3−(x+1)2× 32(x−2)2 = 3−(x2+2x+1)+2(x2−4x+4)= 3x2−10x+7= 9√3 = 35/2を得る。従って 2 次方程式

x2− 10x + 7 = 5 2 を解いて x = 1 2 ( 10± √ 102− 4 × 1 ×9 2 ) = 10± √ 82 2 (6) t = 2x_{と置くと t > 0 であり、2 次方程式 4}x_{− 2}x_{× 2 − 8 = t}2_{− 2t − 8 = (t − 4)(t + 2) = 0 を得る。これを解いて} t = 4,−2 である。このうち t > 0 を満たすのは t = 2x= 4 のみなので x = 2 である。

(7) まず真数条件により x > 0 且つ x+2 > 0、即ち x > 0 である。このとき log₂x+log₂(x+2) = log₂x(x+2) = 3 = log₂23 なので 2 次方程式 x2_{+ 2x− 8 = (x + 4)(x − 2) = 0 を解いて x = 2, −4 を得る。真数条件 x > 0 を満たすのは x = 2 のみ} (8) t = ex_{とおくと t > 0 であり、}t− 1 t 2 = a を得る。両辺に 2t を掛けて t 2_{− 2at − 1 = 0 より t = a ±}√_a2_{+ 1 を得る。} t > 0 より、このうち t = ex= a +√a2_{+ 1 のみ適し、x = log(a +}√_a2_{+ 1)} (9) t = 2x_{と置くと t > 0 であり、3 次方程式 8}x_{− 3 × 2}x_{× 2}2_{+ 11 = t}3_{− 12t + 11 = 0 を得る。f(t) = t}3_{− 12t + 11 とお} くと f (1) = 0 より因数定理により f (t) は t− 1 で割り切れる。従って f(t) = (t − 1)(t2_{+ t− 11) を得る。t}2_{+ t− 11 = 0} を解いて t = −1 ± √ 12− 4 × 1 × (−11) 2 = −1 ± 3√5 2 を得る。従って t = 1, −1 ± 3√5 2 である。このうち t > 0 を満た すのは t = 2x_{= 1,}−1 + 3 √ 5 2 である。以上により x = 0, log2(3 √ 5− 1) − 1 を得る。 (10) まず真数条件により x > 0 且つ x2_{− 5 > 0 なので x >}√_{5 である。このとき log} 2(x 2_{− 5) + log} 2x = log2x(x 2_{− 5) =} 1 = log22 を得る。従って 3 次方程式 f (x) = x3− 5x − 2 = 0 を解けばよい。f(−2) = 0 より因数定理から f(x) は x + 2 で割り切れる。従って f (x) = (x + 2)(x2_{− 2x − 1) = 0 である。x}2_{− 2x − 1 = 0 の解は x = 1 ±}√_{2 である。従って} f (x) = 0 の解は x =−2, 1 ±√2 である。このうち真数条件 x >√5 を満たすのは x = 1 +√2 のみである。1 +√2 >√5 は (1 +√2)2− (√5)2= 3 + 2√2− 5 = 2(√2− 1) > 0 から示せる。 (11) まず e±x > 0 より明らかに a≦ 0 のときは解は無いので、以下 a > 0 の場合を考える。t = ex_{とおくと t > 0 であ} り、t + 1 t 2 = a を得る。両辺に 2t を掛けて t

2_{− 2at + 1 = 0 を得る。判別式は D = (2a)}2_{− 4 × 1 = 4(a}2_{− 1) である。} a≧ 1 のときは t = ex= a±√a2− 1 であり、これは何れも正である。0 < a < 1 のときは t2_{− 2at + 1 = 0 は実数解を} 持たない。以上により a≧ 1 のときは x = log(a ±√a2− 1)、a < 1 のときは解無し。 9 (以下 n は任意の整数) (1) x = π 3 + 2nπ, 2π 3 + 2nπ (2) x = 2π 3 + 2nπ, 4π 3 + 2nπ (3) x = π 4 + nπ, (4) x = sinπ 4 = 1 √ 2 (5) x = tan π 3 = √ 3 (6) x−π 3 = π 6 + 2nπ, 5π 6 + 2nπ より、x = π 2 + 2nπ, 7π 6 + 2nπ (7) x +π 4 = 5π 6 + 2nπ, 7π 6 + 2nπ より、x = 7π 12 + 2nπ, 11π 12 + 2nπ

(8) t = sin x とおくと−1 ≦ t ≦ 1 である。2 cos2x+sin x−1 = 2(1−sin2x)+sin x−1 = −2t2+t+1 =−(2t+1)(t−1) = 0 より t = 1,−1 2 であり何れも−1 ≦ t ≦ 1 を満たす。従って x = π 2 + 2nπ, 7π 6 + 2nπ, 11π 6 + 2nπ である。 (9) 倍角公式より sin 2x 2 = 1 4 から 2x = π 6 + 2nπ, 5π 6 + 2nπ である。従って x = π 12+ nπ, 5π 12 + nπ である。 (10) 合成公式より sin x− cos x =√2 ( 1 √ 2sin x + −1 √ 2cos x ) =√2 sin ( x−π 4 ) = 1 である。これより x−π 4 = π 4 + 2nπ, 3π 4 + 2nπ なので x = π 2 + 2nπ, π + 2nπ を得る。

(11) 倍角公式より cos 2x− cos x = 2 cos2_{x− 1 − cos x = 0 である。従って t = cos x とおくと −1 ≦ t ≦ 1 であり、} 2t2_{− t − 1 = (2t + 1)(t − 1) = 0 である。これより t = cos x = 1, −}1 2 であり、何れも−1 ≦ t ≦ 1 を満たす。以上により x =±2π 3 + 2nπ, 2nπ であるが、これは x = 2nπ 3 ともまとめられる。 10 (1) t = ( 1 3 )x とおく。_{−2 ≦ x ≦ 0 より} ( 1 3 )0 = 1≦ t ≦ ( 1 3 )−2 = 9 である。f = t2_{− 6t + 6 = (t − 3)}2_{− 3 であ} り、t = 3(x =−1) で最小値 −3 をとる。f(t = 1) = 1 < f(t = 9) = 33 より t = 9(x = −2) で最大値 33 をとる。 (2) t = cos x とおくと−1 ≦ t ≦ 1 である。f = cos x + 2 (2 cos2x− 1)

| {z } =cos 2x + (1− cos2x) | {z } =sin2_x = 3t2+ t− 1 = 3 ( t + 1 6 )2 −13 12 より t =−1 6 のとき最小値− 13 12 をとる。f (t =−1) = 1 < f(t = 1) = 3 より、t = 1 のとき最大値 3 をとる。 11 (1) f′(x) = lim h→0 √ 2(x + h)−√2x h = limh→0 2 (√2(x + h) +√2x) = 1 √ 2x

12 微分係数の定義 f′(a) = lim h→0 f (a + h)− f(a) h より次式を得る。(2)(3) では h = x− a とおく。 (1) lim h_→0 f (a− 2h) − f(a + 2h) h = limh_→0 { (−2) ×f (a− 2h) − f(a) −2h − 2 × f (a + 2h)− f(a) 2h } =−4f′(a) (2) lim x_→a xf (a)− af(x) x− a = limh_→0 (a + h)f (a)− af(a + h) h = limh_→0 { −af (a + h)− f(a) h + f (a) }

=−af′(a) + f (a)

(3) lim x→a x2f (a)− a2f (x) x− a = limh→0 (a + h)2f (a)− a2f (a + h) h = limh→0 {

(2a + h)f (a)− a2f (a + h)− f(a) h

}

= 2af (a)− a2f′(a) 13 (1) f (x) = x2− x とすると f′(x) = 2x− 1 である。接線は y = f′(2) (x− 2) + f (2) = 3 (x − 2) + 2 = 3x − 4 (2) f (x) = 1 xとすると f ′_{(x) =−} 1 x2 である。接線は y = f ′_{(2) (x− 2) + f (2) = −}1 4(x− 2) + 1 2 =− x 4 + 1 (3) f (x) =√x + 2 とすると f′(x) = 1 2√x + 2である。接線は y = xf ′_{(0) + f (0) =} √ 2 4 x + √ 2 (4) f (x) = x 1 + x2 とすると f ′_{(x) =} (x)′(1 + x2)− x(1 + x2)′ (1 + x2₎2 = 1− x2 (1 + x2₎2 である。接線は y = f ′(√₂) (_x−√₂)₊ f(√2 ) =−1 9 ( x−√2 ) + √ 2 3 = −x + 4√2 9 (5) f (x) = 2x_{とすると 1 (5) より f}′_{(x) = 2}x_{log 2 である。故に f (−1) = 2}−1₌ 1 2、f ′_{(−1) =} log 2 2 なので接線の方程 式は y = f′(−1)(x + 1) + f(−1) = log 2 2 (x + 1) + 1 2 = log 2 2 x + 1 + log 2 2 である。 (6) f (x) = log x x とすると f ′_{(x) =} (log x)′x− (log x)(x)′ x2 = 1− log x x2 である。接線は y = f′(1) (x− 1) + f (1) = x − 1 (7) f (x) = e−xcos x とすると f′(x) = e−x(− cos x − sin x) より f

(_π 4 ) = √ 2 2 e −π 4、f′ (_π 4 ) =−√2e−π4 である。接線の 方程式は y = f′(π 4 ) ( x−π 4 ) + f (_π 4 ) =−√2e−π4x + √ 2(2 + π) 4 e −π 4 (8) f (x) = tan−1x とすると f′(x) = 1 1 + x2 より f (−1) = tan −1_{(−1) = −}π 4, f ′_{(−1) =} 1 2 である。接線の方程式は y = f′(−1)(x + 1) + f(−1) = 1 2(x + 1)− π 4 = 2x + 2− π 4 である。 (9) f (x) =−x + 9 x + 8 =−1 − 1 x + 8 とすると、f ′_{(x) =} 1 (x + 8)2 である。従って点 (t, f (t)) での接線は y = f′(t)(x− t) + f(t) = x− t (t + 8)2 − t + 9 t + 8 = x (t + 8)2 − t + (t + 9)(t + 8) (t + 8)2 である。これが原点を通ることから t + (t + 9)(t + 8) = t2+ 18t + 72 = (t + 6)(t + 12) = 0 を得る。従って t =−6, −12 なので接線は y = x 4, y = x 16 である。 (10) f (x) = log x とすると、f′(x) = 1 xである。従って点 (t, f (t)) での接線は y = f ′_{(t)(x− t) + f(t) =} x− t t + log t = x t + log t− 1 である。これが原点を通ることから log t = 1 を得る。従って t = e なので接線は y = x e である。 14 (1) 0 (2) π 2 (3) π 6 (4) π (5) 5π 6 15 (1) π 6 (2) f ′_{(x) = 1 +} 1 1 + x2 より 7 4 16 (1) d ( tx2+1_t) dx = 2tx より曲線 Ctの点 P での接線は y = 2tp(t)(x−p(t))+ ( t{p(t)}2+1 t ) = 2tp(t)x−t{p(t)}2+1 t (2) 積の微分公式より q′(t) ={(t)′{p(t)}2+ t({p(t)}2)′} + ( 1 t )_′ ={p(t)}2+ 2tp(t)p′(t)− 1 t2 (3) (1) よりq ′_(t) p′(t) = 2tp(t) なので (2) より q ′_{(t) ={p(t)}}2_{+ 2tp(t)p}′_(t) | {z } =q′(t) −1 t2、即ち{p(t)} 2₌ 1 t2 を得る。従って q(t) = t{p(t)}2+1 t = 2 t である。t > 0 より|p(t)| = 1 t から q(t) = 2|p(t)| を得る。