1．は じ め に
さまざまなセンシング技術や情報収集ネットワーク技 術の発展に伴い，社会や科学技術のほとんどの分野にお いて，多数の項目が複雑に結び付いたデータを解析する ニーズが増大している．近年，語られることが多いビッ グデータも，データが含む事例件数が多いだけではなく， さまざまな対象やそれらの相互関係に関する複雑なデー タであることが多く，同様な解析ニーズを生じている． 実社会におけるデータ解析として，例えば医療分野にお いては，検査項目の増大や治療・投薬内容の複雑化に伴 い，多数の項目と治療効果との複雑な関係を膨大な患者 データから把握する試みが盛んになっている [Yoshida 13]．先端科学技術分野でも，例えば生化学分野では， DNA塩基配列上の膨大な SNIP 間の活性関係ネットワー クやそれと発現形質との複雑な関係を同定するニーズが 増している [Marchini 05, Sugiyama 14]．さらに対象系 の物理状態を精密に測定・制御する手段の発達に伴い， 物理学分野でも対象の物理的状態を多数状態モード（項 目）間の複雑な関係として表現することが要求される場 面が増えている．その端的な分野が，対象系の量子状態 によって情報を表現し処理する手段を探求する量子情報 処理研究である [Nielsen 10, Takeuchi 14]． 量子情報処理の関連研究としては，物質や場の量子 状態によって情報を表現し，それに量子的操作を加え ることで種々の計算を実現する量子計算の研究が代表 的である [Nielsen 10]．さらに近年では，量子暗号通信 [Gilbert 15]や量子計測 [Ono 13] など，量子情報処理の 原理をより広範な分野に適用する研究が盛んになってお り，量子情報処理の近未来における実用化が期待される 状況となってきている．後述するとおり，これら何れに おいても，対象系の物理的状態を多数状態モード間の複 雑な関係を表す行列として精密に表現し，かつそれを高 精度・高信頼に処理することが求められる．量子情報処 理の実用化は，この可否にかかっていると言っても過言 ではない．しかしほとんどの場合，量子状態は光子や電 子など極めて小さな対象を含む系で観測される現象であ り，系を取り囲む環境条件のわずかな変化や偶発的な外 乱からの影響を受けやすく，すべての操作をノイズなし に実行することは難しい．そこで，筆者を含む研究グルー プでは，このように対象系がノイズで乱された場合を 量子情報処理過程から除去すべく，最新の機械学習手法 を用いて，行列で表される系の情報論的量子状態を監視 し，その異常をいち早く検知する手法の開発を行ってい る [Hara 14]．多数状態モード間の複雑な関係で表され る量子状態の異常検知に関する研究は，世界的にもこれ まで手付かずであり，そのさらなる展開が期待される． 本稿では，以上を背景として，まず量子状態が有する 性質とその情報論的表現である状態密度行列について説 明し，その後，機械学習の量子状態異常検知への適用研 究の現状について述べる．2．量子状態とその情報論的表現
2･1 量子状態の性質 微小な世界では，光子や電子のように物質や場が波動 と粒子の性質を同時に有することがよく知られている． 図 1 は，Young の実験として知られる二重スリットを用 いた光の回折・干渉実験の模式図である [Feynman 64]． レーザなどの光源から出た光が，左右の縦長スリット機械学習による情報論的量子状態の異常検知
Anomaly Detection of Informatical Quantum States by Using Machine
Learning
鷲尾 隆
大阪大学産業科学研究所Takashi Washio The Institute of Scientific and Industrial Research, Osaka University.
[email protected], http://http://www.ar.sanken.osaka-u.ac.jp/
Keywords:
quantum information processing, machine learning, experiment of quantum information measurement,quantum state, anomaly detection. 「データ中心科学」
L, Rに入射すると，それぞれ異なる光路長を通過した光 の波動同士が重なって強め合うまたは弱め合う現象を生 じ，スリットの背後に置いた感光剤を塗布した写真乾板 に干渉縞と呼ばれる縞模様を投影する．これは光の波と しての性質を体現する現象である．一方で，光は光子と 呼ばれる基本的なエネルギー単位の粒子の集まりである ことが知られている．その観点から直感的に Young の 実験結果を解釈するならば，光源から多数の光子が同時 に射出され，それらが個別に L, R のスリットに分かれ て通過することによって，光子が飛行した光路長の違い から波として干渉して，写真乾板上に干渉縞をつくると 考えることが自然である． 一方で，各時刻には 1 個の独立な光子しか発生しない ような極微弱な光源を用いた場合にも，各光子の写真乾 板上の到着地点の長時間にわたる積算分布が，干渉縞の 強弱と同様な分布を示すことが知られている．この場合 には，1 個の独立な光子が L, R の両スリットを同時に通 過するという「多重状態」を取り，それらの状態同士の 重なりと光路長の違いによって干渉して，写真乾板上で 観測された瞬間に，干渉縞の濃淡に比例した確率でその 1地点 O に「射影」されると考えざるを得ない．光子や 電子の量子状態の特徴として，しばしば我々の日常的常 識から大きく外れる波動と粒子の二面性が語られる．し かし，それらはむしろ外面的なものであり，それらをも たらす量子状態のより本質的な性質は，この多重性と射 影である [Nielsen 10]．量子状態は，一般に観測の直前 までは多重状態を取り得る．そして，ある確定状態への 射影が，量子状態の観測という行為である． 2･2 1 量子の情報論的表現 量子情報処理では，このような多重状態を用いて情報 を表現するが，その体系的かつ理論的な取扱いのために は，量子情報の一般的数理表現である状態密度行列が用 いられる [Nielsen 10]．前述の Young の実験でも構わな いが，以下では現実の量子情報処理のイメージをより良 く理解するために，同分野の研究において多用される図 2に示す光子の水平波と垂直波の多重状態の例を通じて 説明する．一般に光の波動は，直交する二つの振動成分 の混合である．ここでは，それぞれを水平波 H，垂直波 Vと呼ぶ．Young の実験の場合と同様に，個々の独立な 光子も一般には水平波 H と垂直波 V の 2 状態からなる 多重状態を有している． この図のように量子情報論では直交した 2 状態を，一 般的にベクトル｜0〉＝ [1 0]Tと｜1〉＝[0 1]Tで表して区 別する．｜ψ〉はケットベクトルと呼ばれる量子力学や 量子情報論で用いられる独特の列複素ベクトル記法であ る．また，これを共役転置した行複素ベクトルを〈ψ｜ で表しブラベクトルと呼ぶ．二つの列ベクトル｜ψ1〉, ｜ψ2〉の内積を，片方をブラベクトルになるように共役 転置して掛けた〈ψ1｜ψ2〉で表す．｜0〉＝[1 0]Tと｜1〉＝ [0 1]Tの内積は〈0｜1〉＝0 なので，両者は互いに直交し た状態を表すことがわかる．また，ベクトルの 2 乗ノル ムによって，そのベクトルが表す状態が物理的に存在す る確率を表すことにする．あるケットベクトル｜ψ〉が 2乗ノルム〈ψ｜ψ〉＝1 を有することは，それが表す状 態の存在確率が 1 であることを意味する．｜0〉や｜1〉 は 2 乗ノルムが 1 なので，それぞれ確率 1 で存在する水 平波 H，垂直波 V を表す．両者が一定の割合で重なっ た多重状態 ψは，図中の斜め波動 |ψ = 0.6 |0 + 0.8 |1 = [0.6 0.8]T の例のように表される．この 2 乗ノルムも 1 なので，こ のベクトルは斜め波動の状態が確率 1 で存在しているこ とを表す．この例では水平波 H と垂直波 V の位相がそ ろっているので｜ψ〉は実ベクトルであるが，水平波 H とそれより位相がθだけ進んだ垂直波 V の多重状態なら ば， |ψ = 0.6 |0 + 0.8eiθ |1 = [0.6 0.8eiθ]T のような 2 乗ノルムが 1 の複素ベクトルで表現される． なお，前述のとおりこれらの多重状態を観測しても，水 平波 H か垂直波 V のどちらかに射影された結果を得る ことになり，多重状態そのものを直接見ることはできな い．いずれの場合も水平波 H，垂直波 V を観測する確 率は，〈ψ｜ψ〉＝0.62＋0.82よりそれぞれ 0.36，0.64 である． 以上のようなベクトル表現は，あらゆる量子状態を 数理的に一意に表すことができる．しかしながら，多重 状態｜ψ〉＝[0.6 0.8]Tにある多数の光子を観測して水平 波 H を 0.36，垂直波 V を 0.64 の確率で観測するという 場合を表現することはできても，古典的に確定した水平 波 H の状態｜0〉にある光子 36％と垂直波 V の状態｜1〉 にある光子 64％が混じった光子群から 1 個の光子を観 測して，同様な結果を得る場合を表現することはできな い．現実の情報処理系においては，このような量子的多 重状態と古典的混合状態の何れも起こり得るばかりでな く，両者が入り混じる場合も存在する．そこで，両者を 統一的に表すことができる状態表現が必要となる．その ために，量子情報処理研究分野では，多くの場合に上記 のベクトル表現を拡張した状態密度行列という表現を用 いる． 純粋な多重状態｜ψ〉を純粋状態と呼び，その状態密 度行列は，｜ψ〉に右からその共役転置〈ψ｜を掛けて得 られる複素行列｜ψ〈〉ψ｜で定義される．例えば，｜ψ〉＝ 図 2 光子の多重状態とベクトル表現
[0.6 0.8]Tならば |ψ ψ| = 0.6 0.8 [0.6 0.8] = 0.36 0.48 0.48 0.64 （1） となる．これに対して，｜ψi〉（i ＝1, …, n）がそれぞれ piの割合で単に確率的に混じった状態を混合状態と呼 び，その状態密度行列はそれぞれの純粋状態の状態密度 行列の線形結合 |ψ ψ| = n i=1 pi|ψi ψi| で与えられる．例えば｜0〉と｜1〉の 0.36 対 0.64 の混 合状態ならば， |ψ ψ| = 0.36 |0 0| + 0.64 |1 1| = 0.36 0 0 0.64 （2） となる．式（1）と式（2）の対角成分は同じであり，そ れぞれ対応する状態モードが観測される確率を表す．こ れに対して，非対角成分には大きな違いが見られ，これ らは量子的な多重状態の程度を表す．このように，状態 密度行列による状態表現を用いることで，量子的な純粋 多重状態から古典的状態の確率的混合状態までの幅広い 状態を表すことができる． ここまで，光子 1 個から成る系の状態のベクトル表現 や行列表現について説明してきた．このような二次元ベ クトルや 2 × 2 の行列によって表される情報の単位を 1 qbitという．古典的な 1 bit は必ず 0 か 1 の何れかであ るのに対して，上記の状態密度行列が表す 1 qbit の情報 量は明らかに多い． なお，状態を記述するために基準とする直交状態，す なわち状態空間の原点回りの直交座標系の取り方を変え ても，物理的な実態は変わらない．したがって，物理的 状態のみを問題にする量子力学では，複素ベクトル空間 における原点回りの回転操作によって同じ状態密度行列 に変換可能な状態同士は区別しない．これに対して量子 情報処理においては，人為的に基準とする直交状態を選 び，その下で与えられる状態密度行列によって情報を表 現するので，回転操作によって変換可能な状態密度行列 同士であっても，異なる情報を表すものとして区別する． この点は量子力学と量子情報処理の大きな違いである． 2･3 多量子の情報論的表現 本章では，さらに図 3 に示す 2 個の光子からなる量子 もつれ状態，すなわち量子もつれ光子対という特殊状態 の表現について説明する．量子もつれ状態とは，光子が 互いに完全に独立して存在しているのではなく，現在ま たは過去に光子間に働いた相互作用によって互いの多重 状態が制約された状態をいう [Nielsen 10]．二つの光子 1，2 の多重状態をそれぞれψ1〉＝ [x1 y1]T，ψ2〉 ＝[x2 y2]T としたとき，量子もつれ状態においては光子 1 の水平波 Hと光子 2 の水平波 H の重なりの成分は x1x2＊となる． なお，‘* ’は複素共役を表す．同じく光子 1 の水平波 H と光子 2 の垂直波 V の重なりの成分は x1y＊2となる．光子 1 の垂直波 V についても同様であり，2 光子の純粋な量 子もつれ状態を表すベクトル表現は |ψ1ψ2 =|ψ1 ψ2 = [x1x2 x1y2 y1x2 y1y2]T で与えられる．ここで，⊗はテンソル積を表す．すなわち， 量子もつれ光子対では各光子の独立な二つの状態モード が組み合わさって，2 ×2＝4 個の独立な状態モードが重 なった多重状態が生成される．例えば，おのおの｜ψ〉＝ [0.6 0.8]Tという純粋な多重状態を有する二つの光子の 量子もつれ状態は， |ψψ = [0.36 0.48 0.48 0.64]T となる． これに伴って，量子もつれ光子対の純粋な多重状態を 表す状態密度行列も以下のように 4×4 の大きさに拡大 される． |ψ1ψ2 ψ1ψ2| = |ψ1 ψ1| ⊗ |ψ2 ψ2| = x1x∗1|ψ2 ψ2| x1y1∗|ψ2 ψ2| y1x∗1|ψ2 ψ2| y1y∗1|ψ2 ψ2| = x1x∗1x2x∗2 x1x∗1x2y2∗ x1y1∗x2x∗2 x1y∗1x2y∗2 x1x∗1y2x∗2 x1x∗1y2y∗2 x1y∗1y2x∗2 x1y1∗y2y2∗ y1x∗1x2x∗2 y1x∗1x2y∗2 y1y∗1x2x∗2 y1y1∗x2y2∗ y1x∗1y2x∗2 y1x∗1y2y2∗ y1y1∗y2x∗2 y1y∗1y2y∗2 さらに，このような複数の純粋状態の確率的混合状態は， |ψ1ψ2 ψ1ψ2| = n i=1 pi|ψ1ψ2 i ψ1ψ2|i で表される． このように，四次元ベクトルや 4×4 行列によって表 される情報の単位を 2 qbit という．状態密度行列は，上 三角部分の要素数の自由度を有するので，2 qbit の情報 量は 1 qbit の 3 倍以上である． 同様にして，n 個の光子からなる量子もつれ状態を考 えると，2n次元のベクトルないし 2n×2n行列によって 図 3 量子もつれ光子対
状態が表現されることがわかる．すなわち，行列の自由 度は4nに比例する．しかもそれらは多重状態を表すので， n〔qbit〕がもつ情報量は n が大きければ莫大なものに なる．量子計算機は，理論上，量子情報処理のこの性質 を利用することで一度に大量の演算を実施することが可 能である．また，量子的にもつれた光子群を用いて計測 や暗号通信を行えば，飛躍的に多くの情報を得たり通信 の秘匿性を高めることが可能になる．
3．量子トモグラフィーとその課題
はじめに述べたように，対象とする量子状態の状態密 度行列を高精度に知ることは，量子情報処理の基盤であ るが，個々の光子や電子などの対象を観測すると一つの 状態に射影されてしまうため，行列を直接計る手段は存 在しない．しかしながら Young の実験と同様に，同じ 多重状態や混合状態を有すると考えられる多数の対象を 観測してそれらの射影の分布を見れば，対象が従う状態 密度行列を推定することは可能である．このような状態 密度行列の推定方法を量子トモグラフィー [James 01] という． 図 4 は，量子もつれ光子対の量子トモグラフィーを行 う装置の概要を示す．観測対象とする量子もつれ光子対 が左から入射すると，各光子はハーフビームスプリッタ を 50％ずつの確率で透過または直角に反射する．した がって約半数の場合には光子が両方とも透過または反射 してしまうが，片方ずつ透過と反射する場合のみに注目 するために，光子が検出器 1 と 2 の両方で検出される場 合のみを一致計測回路で選択して記録する．それぞれの 検出器までの光路には，傾けて回折を起こさせることに よって光路長を変更し光子の位相を調整するための 1/4 波長板や 1/2 波長板と，光子の水平波または垂直波のみ を通過させるための偏光板が置かれている．詳細は省略 するが，あらかじめ設計されたこれら角度や偏光面など のパラメータの 16 通りの組合せそれぞれのもとで，多 数の量子もつれ光子対の状態射影の計数を行うことで， それら 16 個の計数値から状態密度行列を推定計測でき る． 実際の量子トモグラフィーでは，統計的精度の良い状 態密度行列を得るために長時間にわたり，多数の量子も つれ光子対を計数する必要がある．一方，その間に種々 の振動や温度変化によって，装置の光路長や偏光面がわ ずかに変化してしまうことがあり得る．状態密度行列の 測定は種々の条件変化に敏感なので，このような経時的 あるいは偶発的外乱の影響を少なくするために，1 枚の 状態密度行列を測定するのに要する時間を短くしたい． この矛盾した両方の要求を満たすために，通常は比較的 短時間に上述した装置の 16 通りのパラメータ条件をひ と通り変えて計数をスキャンして 1 枚の状態密度行列を 測定し，これを繰り返して多数の行列を得る．すなわち， kをρk＝｜ψ1 ψ2〉〈ψ1ψ2｜kの計測値としたときに，状態 密度行列の測定を K 回繰り返して D＝{ k｜k＝1, …, K } という K 枚の行列からなるデータを得る．そして，それ らの中で異常なものを除いた行列を足し合わせ， ρ = ρk∈D normal ρk として統計的精度の高い状態密度行列を求めることが行 われる．このデータ処理上で計測精度を確保するために 鍵となるのは，可能な限り適切に異常な状態密度行列を 除去することである．そのためには，多数の行列の中か ら精度が良く異常な行列を探し出す異常検知方法が必要 になる．4．状態密度行列の異常検知手法
以上のような異常検知を最も直接的に実現する方法 は，計測された状態密度行列を「正しい」状態密度行列 と比較することである．これまで述べてきたように，状 態密度行列を生成する物理的な過程は非常に明確に知ら れているので，その物理モデルから正しい状態密度行列 を計算して比較することが考えられる．しかし，このた めには量子トモグラフィー装置内の光路に関する「正し い」パラメータを用いて物理モデルを計算する必要があ る．しかし，実験装置の真のパラメータを知ることは困 難である．すなわち，モデルパラメータから計算された 状態密度行列は，量子トモグラフィーにより実際に得ら れる「正しい」状態密度行列と必ずしも一致しない．し たがって，量子トモグラフィーの実態に合わせるために， 物理モデルを用いずに計測データだけから異常検知を行 うことを考える． 最も単純でかつ現状の量子トモグラフィーの実験現場 で用いられている方法は，大半の行列が異常ではないと 想定されることから，計測された行列 ˆρkの平均値 ¯ ρ = 1 K K k=1 ˆ ρk を正しい状態密度行列の代わりに近似的に用いる平均値 法である．そして，各計測行列の平均行列からの偏差行 列 ˜ωk＝ˆρk−ˉρに基づいて，量子力学的な状態の差異を表 図 4 量子もつれ光子対の量子トモグラフィー装置すと考えられるトレース距離 [Nielsen 10] ˜ ek=||˜ωk||tr （3） を計算し，˜ekが一定以上大きければ異常と判断する．こ の方法の問題点は，はじめの段階でどの行列が異常か不 明なので，ˉρの計算に異常な行列が混入して偏りを生じ， これが異常検知に悪影響を与えてしまうことである．統 計検定などさらに高度な手法を組み合わせるにせよ，正 しい状態密度行列の代わりに平均行列を用いる限りはこ の問題から逃れることはできない． そこで，著者を含む研究グループでは機械学習の手法 を導入して，K 枚の状態密度行列の集合 D から正しい と考えられる状態密度行列θとそこからの各行列の偏差 行列ωkを同時推定する異常検知手法 ED3（erroneous
deviation detection for density matrices）を開発した
[Hara 14]．k 番目の計測時の状態密度行列をρk，その 計測結果を ˆρkとすると，ρk＝θ＋ωkでありかつ ˆρkはそ れに統計的ばらつきが加わったものとなる．量子トモグ ラフィーにおいては，わずかな経時的あるいは偶発的外 乱が状態密度行列に与える微小な異常変化が問題になる こと，およびほとんどの場合にそのようなわずかな異常 変化は状態密度行列の一部の限られた要素にのみ現れる ことから，ωkはスパースでかつ小さい要素のみを含むと 考える．また，ρkから ˆρkを計測する際の各要素の統計 的計数揺らぎは，互いに独立で正規分布するとみなすこ とができる． これらの仮定から，我々は近年機械学習分野で研究が 進められている GGM（graphical Gaussian modeling）
の推定手法を用い，θと各ωkを同時に分離推定すること とした [Hara 14]．状態密度行列はその定義から半正定 行列であることが知られており，半正定行列に関する分 離推定については既存研究がある [Hara 13, Zhang 10]． しかしながら実際の量子トモグラフィーにおいては，例 えば状態モード間の位相差ではなく量子もつれの強度の みを知りたいなど，計測において着目する量子状態の性 質により状態密度行列の各要素の絶対値の異常偏差しか 問題にしない場合もある．この際にはρkや ˆρkとして， 状態密度行列｜ψ1ψ2〉〈ψ1ψ2｜k 自体ではなく，その各要素 の絶対値を取った行列を用いることになる．このような 絶対値からなる行列は必ずしも半正定にならないので， 既存の GGM 手法を適用できない．そこで，GGM にさ らに上述したωkのスパース性を利用する正則化推定法 を組み合わせ， min θ,{ωk}Kk=1 K k=1 1 2||ˆρk− (θ + ωk)|| 2 F +γ K k=1 d i,j=1 s2 ijωk,ij2 （4） の最適化を実現するθとω（k＝1, …, K）を求める問題k を定式化した．ここで，｜｜･｜｜Fは行列のフロベニウスノ ルム，γは非負の正則化パラメータである．さらに，偏 差行列の各（i, j）要素に以下の重み sijを導入する． s2ij= 1 K K k=1 ˜ ω2k,ij −1 式（4）の第 1 項はなるべく各計測行列 ˆρkに近いθ＋ωk を推定すべきこと，第 2 項は各要素の大きさを正規化し たうえでできる限りスパースでありゼロに近い偏差行列 ωkを推定すべきことを要請する．最後にこの問題を解く ことによって得られるωkから，式（3）と同じくトレー ス距離 ek=||ωk||tr （5） を計算し，ekが一定以上大きければ異常と判断する．式 （4）によるρkからのθとωkの同時推定により，平均値 法に比べてθの偏りが抑えられるため，より精度の高い 異常検知が期待される． 式（4）の各項は凸なので全体としても凸であり，各 種凸最適化アルゴリズムによってθ，ωk（k＝1, …, K） の大域最適解を得ることができる．詳細は省略するが， この研究では式（4）を双対問題形式に変換したうえで ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers） を用いている [Hara 14]．このアルゴリズムは高速に大 域解を求めることができる．前述のとおり，状態密度行 列の大きさは光子数を n としたとき O（4n）であるので， アルゴリズムの高速性は将来的により多くの qbit から なる情報処理を行うために重要である．
5．実問題への異常検知適用結果
以上の量子状態異常検知手法の実用性に関する実験結 果を示す [Hara 14]．図 4 に概要を示した量子トモグラ フィー装置を用い，1 枚の状態密度行列を 1 000 回の量 子もつれ光子対入射の計数から得る．これを繰り返して， 図 5 に示す正常な状態密度行列を 25 枚，人工的に発生 させた異常な状態密度行列を 5 枚の計 30 枚生成して一 つのデータセットとした．なお，各状態密度行列を計測 した前後に装置のパラメータが変動していないことを可 能な限り確認して，極力所望の状態密度行列が計測され 図 5 実験で用いた正常および異常な状態密度行列るようにした．異常な状態密度行列では，（1, 4）および （4, 1）要素が正常な場合よりも若干小さい．式（1）,（2） に示したように，このような非対角成分は量子もつれの 強さを表す．したがって，この異常状態は正常な場合よ りも，2 光子間の量子もつれの程度が少ない状態である． 図 6（a），（b）にそれぞれ平均値法と ED3法による異 常検知結果を示す．両図において縦軸はそれぞれ偏差行 列 ˜ek，ekのトレース距離，横軸は 30 回の実験番号であり， そのうちの異常状態 5 回を矢印で示している．水平の点 線がそれぞれ True Positive と False Positive のバラン スが取れるように設定した異常判定しきい値であり，そ れを超えるトレース距離の棒は網がけしてある．両者を 一見して，ED3法のほうが真の異常状態の場合に偏差行 列のトレース距離が大きくなる傾向が明確であり，より 正確な異常検知を期待できる．さらに図 6（c）は，しき い値をトレース距離の全値域にわたって変化させて描い
た両手法の ROC カーブである．ED3法のほうが ROC
カーブが左上方に位置しており，異常検知性能が高いこ とがわかる．
図 7 は，平均値法，ED3法のそれぞれについて，以上
の実験を 1 000 回繰り返して得た ROC カーブの AUC
（Area Under the Curve）の分布を示す．ED3法のほう
がはるかに多くの場合に AUC 95％以上を達成しており， 異常検知能力が高いと結論付けることができる．
6．関 連 研 究
量子情報処理と機械学習の両分野にまたがる研究は， 著者が把握する限り 2000 年台になって始まったが，こ の2∼3年で急速に盛んになっている．大きく分けて，（1） 古典的計算の枠内でシミュレーションした量子情報処理 を適用して機械学習の性能向上を目指す研究，（2）量子 計算機や量子情報処理素子といったハードウェアが実現 されたと仮定して高性能の機械学習手法を考える研究， （3）量子情報実験データ処理への機械学習適用の三つが ある． （1）の研究の歴史が最も古く，2001 年にはシュレディ ンガー方程式に従う確率密度関数によって，ヒルベルト 空間上でデータのクラスタリングを行う研究が行われて いる [Horn 01]．最近では，我が国でもアニーリング計 算を量子化して古典的な並列計算機に実装可能にし，高 速で高精度な変分ベイズ推定やネットワーククラスタ リングを可能にする研究が行われている [Sato 09, Sato 13]． （2）に関する最も早期の研究は，分割型クラスタリン グや k-メジアン導出，隣接グラフ構築などのタスクを， 量子情報処理で実装した場合に現状の古典的情報処理よ りも非常に高速化できることを示した 2007 年の理論的 解析である [Aïmeur 07]．それ以降，最近傍検索やそれ によるクラスタリング [Aïmeur 13]，主成分分析 [Lloyd 14]，サポートベクタマシン [Rebentrost 14] など，代表 的な情報検索や機械学習のタスクを量子情報処理により 実現するアルゴリズムの研究が行われている． （3）は，特にこの 2 年ほどの間に開始された研究分野 である．本解説で紹介した我々の ED3もこの分野に属 する研究であり，著者が知る限り世界的に初めての量子 状態異常検知手法研究である．しかしこれ以外にも，量 子状態のユニタリ変換の前後の計測データからその変換 行列を推定する研究 [Bang 14, Bisio 10] や，同じくハ ミルトニアンの学習 [Wiebe 14]，教師付き量子状態分類 [Sentis 12]などが行われている．7．お わ り に
本解説では，はじめに量子情報処理の精度や信頼性に 図 6 平均値法と ED3法の性能比較 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0True Positive rate
Trace distance
Trace distance
False Positive rate （ c ） 平均値法とED3法のROC比較 ED3法 平均値法 0.5 1 0 実験番号 （ b ） ED3法による異常検知結果 10 20 30 0 実験番号 （ a ） 平均値法による異常検知結果 10 20 30 0 図 7 実験 1 000 回の AUC 分布
関する課題について述べ，次に量子情報処理を理解する ための基礎として，量子状態の特徴やその情報論的表現 について簡単に述べた．特に量子情報処理において最も 中心的な役割を演じる量子もつれ状態について説明し， それを計測する量子トモグラフィーを概説した．さらに， 量子トモグラフィーにおいて量子もつれ光子対の異常状 態検知を行う，著者らの研究グループの最近の成果を紹 介した．量子情報処理をより深く理解したい読者には， この分野の代表的教科書である Quantum Computation
and Quantum Information [Nielsen 10]の一読をお薦め したい． 量子情報処理は，近年の量子計算機ブームによって広 く知られるようになったが，より近未来の実応用として は，通信路の安全性を飛躍的に高める量子暗号通信や，極 めて微弱な作用で分子レベルの状態を計測する量子計測 などが期待される．何れも量子もつれ現象の性質を巧み に利用する技術であり，量子状態の異常検知を含む監視， 制御などの研究は，今後重要性を増すものと考えられる． 謝 辞 本解説中で紹介した状態密度行列の異常検知手法やそ の実適用に関する研究は，現在，京都大学工学研究科電 子工学専攻の竹内繁樹教授，同じく岡本 亮助教，現在， ブリストル大学量子フォトニクスセンターの小野貴史研 究員，現在，日本 IBM 株式会社東京基礎研究所の原 聡 研究員と著者が共同で行ったものである．これら諸氏の 研究開発の努力と本解説記事執筆の許諾をいただけたこ とに，深く謝意を表する．
◇ 参 考 文 献 ◇
[Aïmeur 07] Aïmeur, E., Brassard, G. and Gambs, S.: Quantum clustering algorithms, Proc. 24th Int. Conf. on Machine
Learning, pp. 1-8（2007）
[Aïmeur 13] Aïmeur, E., Brassard, G. and Gambs, S.: Quantum speed-up for unsupervised learning, Machine Learning, Vol. 90, pp. 261-287（2013）
[Bang 14] Bang, J., Ryu, J., Yoo, S., Pawlowski, M. and Lee, J.: A strategy for quantum algorithm design assisted by machine learning, New J. Physics, Vol. 16, p. 073017（2014）
[Bisio 10] Bisio, A., Chiribella, G., D’Ariano, G. M., Facchini, S. and Perinott, P.: Optimal quantum learning of a unitary transformation, Phys. Rev. A, Vol. 81, p. 032324（2010） [Feynman 64] Feynman, R. P., Leighton, R. B. and Sands, M.:
The Feynman Lectures on Physics, 1st edition, Vol.Ⅲ: Quantum
Mechanics, Chapter 1, Quantum Behavior, Addison Wesley
Longman（1964）
[Gilbert 15] Gilbert, G., Weinstein, Y. S. and Hamrick, M.:
Quantum Cryptography, World Scientific Pub Co Inc.（2015） [Hara 13] Hara, S. and Washio, T.: Learning a common
substructure of multiple graphical gaussian models, Neural
Networks, Vol. 38, pp. 23-38（2012）
[Hara 14] Hara, S., Ono, T., Okamoto, R., Washio, T. and Takeuchi, S.: Anomaly detection in reconstructed quantumn states using a machine learning technique, Phys. Rev. A, Vol. 89, p. 022104（2014）
[Horn 01] Horn, D. and Gottlieb, A.: The method of quantum clustering, Advances in Neural Inf. Proc. Systems, 14（NIPS
2001）（2001）
[James 01] James, D. F. V., Kwiat, P. G., Munro, W. J. and White, A. G.: Measurement of qubits, Phys. Rev. A, Vol. 64, p. 052312 （2001）
[Lloyd 14] Lloyd, S., Mohseni, M. and Rebentrost, P.: Quantum principal component analysis, Nature Physics, Vol. 10, pp. 631-633（2014）
[Marchini 05] Marchini, J., Donnelly, P. and Cardon, L. R.: Genome wide strategies for detecting multiple loci that influence complex diseases, Nat. Genet, Vol. 37, No. 4, pp. 413-417（2005）
[Nielsen 10] Nielsen, M. A. and Chuang, I. L.: Quantum
Computation and Quantum Information, 10th Anniversary
edition, Cambridge University Press（2010）
[Ono 13] Ono, T., Okamoto, R. and Takeuchi, S.: An entanglement-enhanced microscope, Nat. Commun., Vol. 4, p. 2426（2013）
[Rebentrost 14] Rebentrost, P., Mohseni, M. and Lloyd, S.: Quantum support vector machine for big data classification,
Phys. Rev. Lett., Vol. 113, p. 130501（2014）
[Sato 09] Sato, I., Kurihara, K., Tanaka, S., Miyashita, S. and Nakagawa, H.: Quantum annealing for variational Bayes inference, Proc. 25th Conf. on Uncertainty in Artificial
Intelligence（UAI2009）（2009）
[Sato 13] Sato, I., Tanaka, S., Kurihara, K., Miyashita, S. and Nakagawa, H.: Quantum annealing for dirichlet process mixture models with applications to network clustering,
Neurocomputing, Vol. 121, pp. 523-531（2013）
[Sentis 12] Sentis, G., Calsamiglia, J., Munoz-Tapia, R. and Bagan, E.: Quantum learning without quantum memory,
Scientific Reports, Vol. 2, p. 708（2012）
[Sugiyama 14] Sugiyama, M., Azencott, C., Dominik, G., Kawahara, Y. and Borgwardt, K.: Multi-task feature selection with multiple networks via maximum flows, Proc. 2014 SIAM
Conf. on Data Mining（SDM’14），pp. 199-207（2014） [Takeuchi 14] Takeuchi, S.: Quantum information science using
photons, AAPPS Bulletin, Vol. 24, No. 1, pp. 19-25（2014） [Wiebe 14] Wiebe, N., Granade, C., Ferrie, C. and Cory, D.:
Quantum Hamiltonian learning using imperfect quantum resources, Phys. Rev., A, Vol. 89, p. 042314（2014）
[Yoshida 13] Yoshida, A., Asakura, M., Asanuma, H., Ishii, A., Hasegawa, T., Minamino, T., Takashima, S., Kanzaki, H., Washio, T. and Kitakaze, M.: Derivation of a mathematical expression for predicting the time to cardiac events in patients with heart failure: A retrospective clinical study, Hypertension
Research, The Japanese Society of Hypertension, Vol. 36, No. 5,
pp. 450-456（2013）
[Zhang 10] Zhang, B. and Wang, Y.: Learning structural changes of gaussian graphical models in controlled experiments, Proc.
26th Conf. on Uncertainty in Artificial Intelligence（UAI’ 10）， pp. 701-708（2010） 2015年 1 月 29 日 受理
