さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 P Q 3 R S T R S T P Q ( ) ( ) m n m n m n n n

第

1

章 行列

1.1

行列の演算

1.1.1

行列

A 行列 右の表は，2 つの店 P，Q における 3 種 類の商品 R，S，T の単価を示したもので ある． この表から，数値だけを同じ並びのまま抜 き出して，両側をかっこで囲んで，右のよ うに書くことにする．   R S T P 店 80 円 50 円 60 円 Q 店 90 円 40 円 70 円 Ã 80 50 60 90 40 70 ! このように，いくつかの数を長方形状に書き並べ，両側をかっこで囲んだものを 行列といい，かっこの中のそれぞれの数を，この行列の成分という． 行列において，成分の横の並びを行とい い，上から順に，第 1 行，第 2 行，· · · と いう． また，成分の縦の並びを列といい，左から 順に，第 1 列，第 2 列，· · · という．   Ã 8 5 6 9 4 7 ! ← 第 1 行 ← 第 2 行 ↑ ↑ ↑ 第 第 第 1 2 3 列 列 列 行数が m，列数が n の行列を，m行 n 列の行列または m × n 行列という．とくに， n × n 行列を n 次の正方行列という． 例 1.1 Ã 8 5 6 9 4 7 ! は，2 行 3 列の行列である． Ã 2 −6 0 8 ! は，2 × 2 行列，すなわち 2 次の正方行列である． 1

練習 1.1 次の行列は何行何列の行列か．また，正方行列はどれか． (1) ³ 3 7 5 ´ (2)    2 4 −7 −3 5 0 1 6 9    (3) Ã 1 4 ! 行列の中でも， ³ 3 7 5 ´ のように行が 1 行だけの行列を行ベクトル， Ã 1 4 ! の ように列が 1 列だけの行列を列ベクトルということがある． 行列は大文字 A，B などで表し，成分は小 文字 a，b，c などで表すことが多い．また，成 分については，第 i 行と第 j 列の交点にあた る成分を (i, j) 成分という．   A = Ã a b c d !(1, 2) 成分 練習 1.2 練習1.1(2) の行列について，次の成分をいえ． (1) (3, 2) 成分 (2) (1, 3) 成分 (3) (3, 3) 成分 B 行列の相等 行列 A，B が，同じ行数，同じ列数をもつとき，A と B は同じ型であるという．ま た，A と B が同じ型の行列で，しかも対応する (i, j) 成分がすべて一致するとき，A と B は等しいといい，A = B と書く． たとえば，2 次の正方行列では，次のようになる． ¶ ³ A = Ã a b c d ! ，B = Ã p q r s ! のとき A = B ⇐⇒ a = p, b = q, c = r, d = s µ ´ 練習 1.3 次の等式が成り立つとき，x，y，z，w の値を求めよ． (1) Ã 4 −3 x 3y ! = Ã 2z w −5 −6 ! (2) Ã 2x + y x − 3y ! = Ã 1 4 !

1.1.2

行列の加法・減法と実数倍

A 行列の和と差

2 つの行列A，Bは同じ型であるとする．このとき，A，B の (i, j) 成分の和を (i, j) 成分とする行列を，A と B の和といい，A + B と書く．また，A，B の (i, j) 成分 の差を (i, j) 成分とする行列を，A と B の差といい，A − B と書く．

［注意］型の異なる 2 つの行列については，和，差を定義しない． 2 次の正方行列では，和と差は次のようになる． 行列の和と差 ¶ ³ Ã a b c d ! + Ã p q r s ! = Ã a + p b + q c + r d + s ! Ã a b c d ! − Ã p q r s ! = Ã a − p b − q c − r d − s ! µ ´ 例 1.2 A = Ã 1 3 −2 5 ! ，B = Ã 4 0 2 −1 ! のとき A + B = Ã 1 + 4 3 + 0 −2 + 2 5 + (−1) ! = Ã 5 3 0 4 ! A − B = Ã 1 − 4 3 − 0 −2 − 2 5 − (−1) ! = Ã −3 3 −4 6 ! 練習 1.4 次の計算をせよ． (1) Ã 7 4 −3 1 ! + Ã −2 5 8 −1 ! (2) Ã 2 9 −6 7 ! − Ã 5 6 4 −2 ! (3) Ã 6 −5 2 0 4 −3 ! + Ã −4 3 −7 1 8 6 ! (4) Ã 0 4 ! − Ã 3 −1 !

行列 A の各成分の符号を変えた数を成分とする行列を −A で表す． 2 次の正方行列では，次のようになる． ¶ ³ A = Ã a b c d ! について −A = Ã −a −b −c −d ! µ ´ 練習 1.5 次の行列 A について，−A および A + (−A) を求めよ． (1) A = Ã 2 −5 4 0 ! (2) A = Ã 2 −1 ! 成分がすべて 0 である行列を零行列という． たとえば， Ã 0 0 0 0 ! ， Ã 0 0 ! ， ³ 0 0 ´ などは，どれも零行列である．これらは， 同じ型ではないが，同じ文字 O で表すことにする． B 加法についての性質 行列の和の定義より，行列の加法について，次のことが成り立つ． 加法についての性質 ¶ ³ 1 A + B = B + A 交換法則 2 (A + B) + C = A + (B + C) 結合法則 3 A + (−A) = O 4 A + O = A µ ´ 2 が成り立つので，この 3 つの行列の和を A + B + C と書く． また，次のことが成り立つ． ¶ ³ A + (−B) = A − B A − A = O µ ´

練習 1.6 次の計算をせよ． (1) à 1 3 2 4 ! + à −3 4 0 −2 ! + à 5 −2 −4 3 ! (2) à 2 0 1 −3 ! + à 4 −2 5 −1 ! − à 3 −1 −6 2 ! C 行列の実数倍 k を実数とするとき，行列 A の各成分の k 倍を成分とする行列を kA と書く．2 次 の正方行列では，次のようになる． 行列の実数倍 ¶ ³ k を実数とするとき k à a b c d ! = à ka kb kc kd ! µ ´ 練習 1.7 A = à 2 −4 −3 6 ! のとき，次の行列を求めよ． (1) 2A (2) 1 2A (3) (−3)A (4) (−1)A

行列の実数倍の定義から，次のことが成り立つ． ¶ ³ 1A = A (−1)A = −A 0A = O kO = O µ ´ また，行列の実数倍について，次のことが成り立つ． 実数倍についての性質 ¶ ³ k，l は実数とする．

1 k(lA) = (kl)A 2 (k + l)A = kA + lA 3 k(A + B) = kA + kB µ ´ 前ページに示した行列の実数倍についての性質 1，2，3 が成り立つことを，2 次 の正方行列で確かめてみよう． 練習 1.8 行列 A = Ã a b c d ! ，B = Ã p q r s ! と k = 2，l = 3 について，次の行列 を求めよ． (1) k(lA), (kl)A (2) (k + l)A, kA + lA (3) k(A + B), kA + kB 行列 A，B などを含む加法，減法，実数倍の計算については，これまで調べた性 質から，ふつうの文字式の計算と同じように行うことができる．

例題 1.1 行列 A = Ã 2 4 3 6 ! ，B = Ã −2 0 1 4 ! に対して，次の等式を満たす行列 X を求めよ． 2(A + X) = A + 3B 【解】2(A + X) = A + 3B から 2X = −A + 3B よって X = 1 2(−A + 3B) = 1 2 (Ã −2 −4 −3 −6 ! + Ã −6 0 3 12 !) = 1 2 Ã −8 −4 0 6 ! = Ã −4 −2 0 3 ! 練習 1.9 行列 A = Ã 7 −1 3 2 ! ，B = Ã 5 4 0 1 ! に対して，次の等式を満たす行列 X を求めよ． (1) 2A + 3X = B (2) 3(A + X) = X + 2B

1.1.3

行列の乗法

A 行列の積 一般に，行列 Ã a b c d ! と列ベクトル Ã x y ! の積を次の式で定める． ¶ ³ Ã a b c d !Ã x y ! = Ã ax + by cx + dy ! µ ´ 1ページに示した 2 つの店 P，Q で，商品 R を 2 個，商品 S を 3 個買うとき，P 店，Q 店での合計代金は，それぞれ 80 × 2 + 50 × 3 = 310 (円) 90 × 2 + 40 × 3 = 300 (円)   Ã a b c d !Ã x y ! = Ã ax + by cx + dy ! Ã a b c d !Ã x y ! = Ã ax + by cx + dy ! R S P 店 80 円 50 円 Q 店 90 円 40 円 である．上に定義した行列と列ベクトルの積を用いれば，これらの計算を，まとめ て次のように書くことができるのである． Ã 80 50 90 40 !Ã 2 3 ! = Ã 310 300 ! 例 1.3 Ã 3 1 4 2 !Ã 5 −6 ! = Ã 3·5 + 1·(−6) 4·5 + 2·(−6) ! = Ã 9 8 ! 練習 1.10 次の積を計算せよ． (1) Ã 1 5 4 6 !Ã 2 3 ! (2) Ã 3 1 0 −2 !Ã −1 4 ! (3) Ã 2 7 5 4 !Ã 1 0 ! (4) Ã −1 4 5 −3 !Ã 0 1 !

B 2 次の正方行列 2 次の正方行列の積を次の式で定める． ¶ ³ Ã a b c d !Ã p q r s ! = Ã ap + br aq + bs cp + dr cq + ds ! µ ´ Ã a b c d !Ã p q r s ! = Ã ap + br aq + bs cp + dr cq + ds ! Ã a b c d !Ã p q r s ! = Ã ap + br aq + bs cp + dr cq + ds ! 例 1.4 Ã 1 2 3 4 !Ã 5 7 6 8 ! = Ã 1·5 + 2·6 1·7 + 2·8 3·5 + 4·6 3·7 + 4·8 ! = Ã 17 23 39 53 ! 練習 1.11 次の積を計算せよ． (1) Ã 1 0 2 3 !Ã 6 5 7 4 ! (2) Ã 1 2 −3 4 !Ã 3 −1 2 1 ! (3) Ã 3 0 0 3 !Ã 2 1 4 −5 !

C 一般の行列の積 A が l × m 行列，B が m × n 行列のとき，積 AB は，A の第 i 行と B の第 j 列の 成分を順に掛けて加えたものを (i, j) 成分とする l × n 行列であると定める．行列 A の列数と行列 B の行数が一致しない場合は，A と B の積を定めない． 例 1.5 (1)    1 2 3 4 5 6 7 8 9       x y z    =    x + 2y + 3z 4x + 5y + 6z 7x + 8y + 9z    (2) ³ 3 −4 ´Ã ₅ 2 ! = 3·5 + (−4)·2 = 7 ←3 × 3 行列と 3 × 1 行列の 積は 3 × 1 行列 ←1 × 2 行列と 2 × 1 行列の 積は 1 × 1 行列 ［注意］(2) のように，1 × 1 行列はかっこを省略することが多い． 練習 1.12 次の積を計算せよ． (1)    1 0 3 4 2 5    Ã −6 3 7 5 ! (2) ³ 2 3 5 ´    x y z   

1.1.4

行列の乗法の性質

A 乗法の計算法則 行列の乗法について，次の計算法則が成り立つ． 行列の乗法の計算法則 ¶ ³ 1 (AB)C = A(BC) 結合法則 2 (A + B)C = AC + BC ¾ 分配法則 A(B + C) = AB + AC

3 (kA)B = A(kB) = k(AB) k は実数

µ ´

1 のことから 3 つの行列 A，B，C の積を ABC と書く．また，3 が成り立つので， (kA)B と k(AB) を区別せずに kAB と書く．

上の計算法則が成り立つことを，2 次の正方行列で確かめてみよう． 練習 1.13 A = Ã a b c d ! ，B = Ã p q r s ! ，C = Ã x y z w ! と実数 k = 3 につい て，次の行列を求めよ． (1) (AB)C, A(BC) (2) (A + B)C, AC + BC (3) A(B + C), AB + AC

(4) (kA)B, A(kB), k(AB) B 積 AB と積 BA の違い 上で示したように，行列の乗法についても，数の場合と同様に結合法則，分配法 則が成り立つ．数の乗法では，交換法則も成り立つ． では，行列の乗法でも交換法則が成り立つのだろうか．このことについて調べて みよう． 例 1.6 A = Ã 1 3 2 4 ! ，B = Ã 2 −1 0 3 ! について AB = Ã 2 8 4 10 ! ， BA = Ã 0 2 6 12 ! したがって，この行列 A，B については，AB 6= BA である． 上の例1.6からもわかるように，次のことがいえる． ¶ ³ 正方行列の乗法では，交換法則は一般には成り立たない． µ ´

［注意］ 行列 A，B について，AB = BA となる場合もある．このとき，A と B は 交換可能であるという． 練習 1.14 A = Ã 0 2 3 1 ! ，B = Ã 1 2 3 x ! について，A と B が交換可能であるよ うに，x の値を定めよ．

C 単位行列と零行列 2 次の正方行列 Ã 1 0 0 1 ! を，2 次の単位行列といい，E で表す． この単位行列 E と任意の 2 次の正方行列 A = Ã a b c d ! について AE = EA = A が成り立つ． また，    1 0 0 0 1 0 0 0 1    を 3 次の単位行列といい，これも E で表す． 練習 1.15 E を 3 次の単位行列，B を任意の 3 次の正方行列とするとき，次のこと が成り立つことを確かめよ． BE = EB = B 一般に，2 次または 3 次の正方行列において，次のことがいえる． ¶ ³ A を任意の正方行列とし，A と同じ次数の単位行列を E，零行列を O とすると AE = EA = A AO = OA = O µ ´ 上の性質から，行列の E と O は，数の世界の 1 と 0 に相当すると考えられる．

数の乗法では，次の性質が成り立つ．

a 6= 0, b 6= 0 ならば ab 6= 0

ところが行列では，A 6= O，B 6= O であっても，AB = O となることがある．具 体的に示そう． 例 1.7 A = Ã 1 2 2 4 ! ，B = Ã 2 −4 −1 2 ! について AB = Ã 0 0 0 0 ! = O 練習 1.16 A = Ã 2 4 1 2 ! ，B = Ã 4 a a b ! のとき，AB = O であるように，a，b の 値を求めよ． D 行列の累乗 正方行列 A の積 AA を A2と書き，AAA を A3と書く． 一般に，正方行列 A の n 個の積を Anと書く． 例 1.8 A = Ã 0 −1 1 0 ! のとき A2 = Ã 0 −1 1 0 !Ã 0 −1 1 0 ! = Ã −1 0 0 −1 ! A3 = A2A = Ã −1 0 0 −1 !Ã 0 −1 1 0 ! = Ã 0 1 −1 0 !

練習 1.17 例1.8の行列 A について，次の行列を求めよ． (1) A4 _{(2) A}5 _{(3) A}6

練習 1.18 次の行列 A について，A2，A3，A4を，それぞれ求めよ． (1) A = Ã 0 −2 2 0 ! (2) A = Ã 1 0 0 2 !

(3) A = Ã a 0 0 b ! 例題 1.2 行列 A = Ã a b 0 1 ! について，A2 = Ã 4 −3 0 1 ! となるように，a，b の値 を定めよ． 【解】 A2 ₌ Ã a b 0 1 !Ã a b 0 1 ! = Ã a2 _{ab + b} 0 1 ! よって Ã a2 _{ab + b} 0 1 ! = Ã 4 −3 0 1 ! 成分を比較して ( a2 _{= 4 · · · 1°} ab + b = −3 · · · 2° 1 ° から a = ±2 a = 2 のとき 2° から b = −1 a = −2 のとき 2° から b = 3 (答) a = 2, b = −1 または a = −2, b = 3

練習 1.19 行列 A = Ã a 3 2 b ! について，A2 = Ã 7 0 0 7 ! となるように，a，b の値 を定めよ． 練習 1.20 行列 A = Ã a 0 0 b ! について，A3 = Ã 1 0 0 8 ! となるように，a，b の値 を定めよ．ただし，a，b は実数とする．

E ハミルトン・ケーリーの定理 2 次の正方行列について成り立つ興味深い等式を示そう． 応用例題 1.1 任意の 2 次の正方行列 A = Ã a b c d ! について，等式 A2_{− (a + d)A + (ad − bc)E = O}

が成り立つ．このことを証明せよ．

¶ ³

考え方 左辺を直接計算してもよいが，ここでは変形した次の等式を証明し てみる．

A2 _{+ (ad − bc)E = (a + d)A}

µ ´ ［証明］ A2 = Ã a b c d !Ã a b c d ! = Ã a2_{+ bc ab + bd} ac + cd bc + d2 ! (ad − bc)E = Ã ad − bc 0 0 ad − bc ! であるから A2+ (ad − bc)E = Ã a(a + d) b(a + d) c(a + d) d(a + d) ! = (a + d) Ã a b c d ! = (a + d)A

よって A2− (a + d)A + (ad − bc)E = O ［証終］ ［注意］上で示した事柄を，ハミルトン・ケーリーの定理という．

練習 1.21 行列 A = Ã a b c d ! について，次のことが成り立つことを，応用例題1.1 の等式を用いて証明せよ． (1) a + d = 0, ad − bc = 0 ならば A2 _{= O} (2) a + d = 0, ad − bc = −1 ならば A2 _{= E}

1.1.5

補充問題

1

A = Ã 2 −3 1 4 ! ，B = Ã 1 2 −2 3 ! ，C = Ã 3 5 1 −2 ! のとき，次の計算を せよ． (1) 2A − 3B + C (2) 2(A + B) − (B − 3C)

2

次の積を計算せよ． (1) Ã 4 3 ! ³ −2 1 ´ (2) ³ 2 3 ´Ã _{1 −4} −2 3 !

3

2 次の正方行列において，次の等式が成り立つかどうかを調べよ． (1) (A + B)2 _{= A}2_{+ 2AB + B}2 (2) (A + E)2 _{= A}2_{+ 2A + E ただし，E は単位行列} 【答】 1 (1) Ã 4 −7 9 −3 ! (2) Ã 14 11 3 5 ! 2 (1) Ã −8 4 −6 3 ! (2) ³ −4 1 ´ 3 (1) 成り立たない (2) 成り立つ

1.2

行列の応用

1.2.1

逆行列

A 逆行列 行列において，数 a の逆数 a−1に相当する行列を考えてみよう． A を 2 次の正方行列，E を 2 次の単位行列とするとき， AX = XA = E を満たす正方行列 X が存在す るならば，この X を A の逆行列といい，A`1 で表す．この定義から，(A`1)`1 = A である．   ¶ ³

AA

`1

_{= A}

`1

_{A = E}

µ ´ 行列 A = Ã a b c d ! の逆行列を求めてみよう． ハミルトン・ケーリーの定理によると，次の等式が成り立つ． (a + d)A − A2 _{= (ad − bc)E}

よって，B = (a + d)E − A = Ã d −b −c a ! とおくと AB = BA = (ad − bc)E · · · 1° ［1］ad − bc 6= 0 のとき 1 ad − bcB が A の逆行列である． ［2］ad − bc = 0 のとき ° より AB = O となる．1 A が逆行列をもつとすると，AB = O の両辺に左から A−1_を掛けて A−1_{AB = O すなわち B = O ←A}−1_AB=EB=B よって，a = b = c = d = 0 となり，A = O である． すると，任意の正方行列 X に対して AX 6= E となり，A が逆行列をもつこと に矛盾する．したがって，このとき A は逆行列をもたない． 2 次の正方行列の逆行列 ¶ ³ A = Ã a b c d ! について，∆ = ad − bc とおく． ∆ 6= 0 のとき，A は逆行列をもち A`1 ₌ 1 ∆ Ã d −b −c a ! ∆ = 0 のとき，A は逆行列をもたない． µ ´

例 1.9 (1) A = Ã 2 1 4 3 ! について ∆ = 2·3 − 1·4 = 2 6= 0 よって，A は逆行列をもち A−1 = 1 2 Ã 3 −1 −4 2 ! (2) B = Ã 2 1 6 3 ! について ∆ = 2·3 − 1·6 = 0 よって，B は逆行列をもたない． 練習 1.22 次の行列は逆行列をもつか．もつ場合は，その逆行列を求めよ． (1) A = Ã 2 2 3 4 ! (2) B = Ã 5 3 2 1 ! (3) C = Ã −1 2 −2 4 !

例題 1.3 行列 Ã a 3 1 a − 2 ! が逆行列をもたないように，a の値を定めよ． 【解】行列が逆行列をもたないのは，∆ = 0 のときである． ∆ = a(a − 2) − 3·1 = a2_{− 2a − 3 = (a + 1)(a − 3)} よって (a + 1)(a − 3) = 0 これを解いて a = −1, 3 練習 1.23 次の行列が逆行列をもたないように，a の値を定めよ． (1) Ã a 4 3 2 ! (2) Ã a 4 2 a + 2 ! B 等式 AX = B を満たす X 2 次の正方行列 A，B に対して，等式 AX = B を満たす正方行列 X を求めよう． A が逆行列をもつとき，AX = B の両辺に左から A−1_{を掛けると} A−1_{AX = A}−1_B が成り立つ．左辺は A−1_{AX = EX = X} となるから，次のことがいえる． ¶ ³ A が逆行列をもつとき，等式 AX = B を満たす行列 X は X = A`1_B µ ´ ［注意］ A が逆行列をもつとき，等式 Y A = B を満たす行列 Y は，等式の両辺に右 から A−1を掛けて，Y = BA−1 となる．

例題 1.4 2 つの行列 A = Ã 3 1 7 2 ! ，B = Ã 4 0 6 5 ! について，等式 AX = B を満 たす行列 X を求めよ． 【解】A について ∆ = 3·2 − 1·7 = −1 6= 0 よって，A は逆行列をもち A−1 = 1 −1 Ã 2 −1 −7 3 ! = Ã −2 1 7 −3 ! したがって，等式 AX = B を満たす行列 X は X = A−1B = Ã −2 1 7 −3 !Ã 4 0 6 5 ! = Ã −2 5 10 −15 ! 練習 1.24 2 つの行列 A = Ã 2 1 3 2 ! ，B = Ã 2 4 5 7 ! について，等式 AX = B を 満たす行列 X を求めよ．また，等式 Y A = B を満たす行列 Y を求めよ．

1.2.2

連立

1

次方程式と行列

A 連立 1 次方程式と行列 連立 1 次方程式 ( ax + by = p cx + dy = q · · · 1° は，行列を用いると，次の式で表される． Ã a b c d !Ã x y ! = Ã p q ! · · · 2° 2 ° で，A = Ã a b c d ! ，X = Ã x y ! ，P = Ã p q ! とおくと， 2° は AX = P · · · 3° と表される．この行列 A を，連立 1 次方程式 1° の係数行列という． 練習 1.25 次の連立 1 次方程式を行列を用いて表せ． (1) ( 2x + 3y = 4 5x + 4y = 3 (2) ( x + 2y = −1 4x − 7y = 6 A が逆行列をもつとき， 3° の両辺に左から A−1_{を掛けると，前ページと同様にし} て，X = A−1P が得られる． したがって，次のことが成り立つ． 連立 1 次方程式の解 ¶ ³ A = Ã a b c d ! ，X = Ã x y ! ，P = Ã p q ! とする．A が逆行列をもつとき， 方程式 AX = P の解 X は X = A−1P µ ´ 一般に，x，y の連立 1 次方程式 1° がただ 1 組の解をもつのは， 3° において，係数 行列 A が逆行列をもつときに限られる．

例題 1.5 行列を用いて，次の連立 1 次方程式を解け． ( 5x + 2y = 8 3x + y = 6 【解】行列を用いて表すと Ã 5 2 3 1 !Ã x y ! = Ã 8 6 ! 係数行列 Ã 5 2 3 1 ! について ∆ = 5·1 − 2·3 = −1 6= 0 ゆえに，係数行列は逆行列をもち よって Ã 5 2 3 1 !₋₁ = 1 −1 Ã 1 −2 −3 5 ! = Ã −1 2 3 −5 ! Ã x y ! = Ã 5 2 3 1 !₋₁Ã 8 6 ! = Ã −1 2 3 −5 !Ã 8 6 ! = Ã 4 −6 ! したがって x = 4，y = −6 練習 1.26 行列を用いて，次の連立 1 次方程式を解け． (1) ( 2x + y = 3 5x + 3y = 7

(2) ( 3x + 7y = 10 x + 4y = 5 B 係数行列が逆行列をもたない場合 25ページにおいて， 3° の係数行列 A が逆行列をもたないときは，連立 1 次方程式 1 ° は解を無数にもつか解をもたないかのいずれかである． 例 1.10 解を無数にもつ連立 1 次方程式 ( 2x + 3y = 1 4x + 6y = 2 ← n 2x + 3y = 1 2x + 3y = 1 係数行列 Ã 2 3 4 6 ! について，∆ = 2·6 − 3·4 = 0 である． よって，係数行列は逆行列をもたない． 解は 2x + 3y = 1 を満たす x，y の組すべてであり，無数にある． 例 1.11 解をもたない連立 1 次方程式 ( 2x − y = 1 4x − 2y = 3 係数行列 Ã 2 −1 4 −2 ! について，∆ = 2·(−2) − (−1)·4 = 0 である． よって，係数行列は逆行列をもたない． 2x − y = 1 のとき 4x − 2y = 2 6= 3 となるので，解はない．

応用例題 1.2 連立 1 次方程式 ( 3x + y = kx 2x + 4y = ky が x = 0，y = 0 以外にも解をもつ ように，定数 k の値を定めよ． ¶ ³ 考え方 解を無数にもつことになる．x，y の項をすべて左辺に移項して，係 数行列が逆行列をもたない条件を求める． µ ´ 【解】与えられた連立 1 次方程式は，次のように表される． ( (3 − k)x + y = 0 2x + (4 − k)y = 0 すなわち Ã 3 − k 1 2 4 − k !Ã x y ! = Ã 0 0 ! この方程式が，x = 0，y = 0 以外の解をもつのは，係数行列が逆行列をもたな いときである． よって，∆ = 0 より (3 − k)(4 − k) − 1·2 = 0 整理すると k2− 7k + 10 = 0 ←(k−2)(k−5)=0 これを解いて k = 2, 5 ［注意］ 上の連立 1 次方程式の解は，k = 2 のとき x + y = 0 を満たす x，y の組す べて，k = 5 のとき 2x − y = 0 を満たす x，y の組すべてである． 練習 1.27 連立 1 次方程式 ( 2x + 2y = kx 5x − y = ky が，x = 0，y = 0 以外にも解をもつよ うに，定数 k の値を定めよ．

1.2.3

点の移動と行列

A 点の対称移動と行列 座標平面上の点は，2 つの実数の組 (x, y) で表される．ここでは，座標平面上の点 の移動を行列で表現する方法を調べよう． 点 (x, y) を，x 軸に関して対称移動し，移動後の座標を (x0, y0) で表すとき， ( x0 _{= x} y0 _{= −y} すなわち ( x0 _{= 1·x + 0·y} y0 _{= 0·x + (−1)·y} という関係が成り立つ．   O y x (x, y) (x, −y) この式を行列を用いて表すと，次のようになる． Ã x0 y0 ! = Ã 1 0 0 −1 !Ã x y ! 練習 1.28 点 (x, y) を次のように対称移動する．移動後の点の座標を (x0, y0_{) で表す} とき，点の座標の関係を上のように行列を用いて表せ． (1) y 軸に関して対称移動する． 移動後の点の座標は (−x, y) (2) 原点に関して対称移動する． 移動後の点の座標は (−x, −y) (3) 直線 y = x に関して対称移動する． 移動後の点の座標は (y, x)   O y x y = x (y, x) (x, y) (−x, y) (−x, −y)

B 1 次変換 座標平面上の各点に対応して，同じ平面上の点がただ 1 つ定まるとき，この対応 を座標平面上の変換といい，点 P に対して点 Q が定まるとき，点 Q をこの変換によ る点 P の像という．変換は記号 f ，g などを用いて表すことにする． 座標平面上の変換 f によって，点 P(x, y) が点 Q(x0_{, y}0_{) に移されるとする．これらの点の座標の} 関係が，a，b，c，d を定数として ( x0 _{= ax + by} y0 _{= cx + dy} · · · 1° という式で表されるとき，この変換 f を 1次変換 という．   O y x P(x, y) f Q(x0_{, y}0₎ 1 ° を行列で表すと， à x0 y0 ! = à a b c d !à x y ! である．そこで，この 1 次変換 f を， 行列 à a b c d ! の表す 1 次変換という． x 軸，y 軸，原点，直線 y = x に関する対称移動は，どれも 1 次変換である．これ らを表す行列は，それぞれ次のようになる． x 軸 y 軸 原 点 直線 y = x à 1 0 0 −1 ! à −1 0 0 1 ! à −1 0 0 −1 ! à 0 1 1 0 ! 例 1.12 行列 à 3 2 4 −5 ! の表す 1 次変換による点 (5, 1) の像は， à 3 2 4 −5 !à 5 1 ! = à 17 15 ! より，点 (17, 15) である．

練習 1.29 次の行列の表す 1 次変換による与えられた点の像を求めよ． (1) Ã 2 4 3 1 ! ，点 (1, 2) (2) Ã −1 2 3 −4 ! ，点 (4, 1) (3) Ã 3 −2 6 −4 ! ，点 (−3, 5) (4) Ã 1 0 0 1 ! ，点 (3, −4) 練習 1.30 行列 Ã a b c d ! の表す 1 次変換について，次のことを確かめよ． (1) 点 (1, 0) の像は，点 (a, c) である． (2) 点 (0, 1) の像は，点 (b, d) である．

C 1 次変換の性質 単位行列 Ã 1 0 0 1 ! の表す 1 次変換を，とくに恒等変換という． 恒等変換では，任意の点 P の像は，点 P 自身である． また，任意の行列 Ã a b c d ! について Ã a b c d !Ã 0 0 ! = Ã 0 0 ! が成り立つ．よって，1次変換による原点(0, 0)の像は常に原点である． 例 1.13 点 (1, 0) の像が点 (2, 4)，点 (0, 1) の像が点 (1, 5) であるような 1 次 変換を表す行列 A を求める． A = Ã a b c d ! とすると Ã a b c d !Ã 1 0 ! = Ã 2 4 ! ， Ã a b c d !Ã 0 1 ! = Ã 1 5 ! よって a = 2, c = 4, b = 1, d = 5 したがって A = Ã 2 1 4 5 ! 一般に，1 次変換について次のことが成り立つ． ¶ ³ 点 (1, 0) を点 (a, c) に，点 (0, 1) を点 (b, d) に移す 1 次変換を表す行列は， Ã a b c d ! である． µ ´ 練習 1.31 点 (1, 0) を点 (−2, 3) に，点 (0, 1) を点 (1, −4) に移す 1 次変換を表す行 列を求めよ．

一般に，点 (p, r) を点 (a, c) に，点 (q, s) を点 (b, d) に移す 1 次変換を表す行列 を A とすると，A Ã p r ! = Ã a c ! ，A Ã q s ! = Ã b d ! が成り立つ．このことは， A Ã p q r s ! = Ã a b c d ! が成り立つことと同じである． 例題 1.6 点 (2, 1) を点 (4, −2) に，点 (5, 3) を点 (7, 1) に移す 1 次変換を表す行列 A を求めよ． 【解】条件から，次の等式が成り立つ． A Ã 2 5 1 3 ! = Ã 4 7 −2 1 ! · · · 1° 行列 Ã 2 5 1 3 ! について ∆ = 2·3 − 5·1 = 1 6= 0 よって，逆行列は Ã 2 5 1 3 !₋₁ = Ã 3 −5 −1 2 ! したがって， 1° より A = Ã 4 7 −2 1 !Ã 2 5 1 3 !₋₁ = Ã 4 7 −2 1 !Ã 3 −5 −1 2 ! = Ã 5 −6 −7 12 ! 練習 1.32 点 (1, 0) を点 (2, 5) に，点 (3, 4) を点 (−6, 7) に移す 1 次変換を表す行 列 A を求めよ．

応用例題 1.3 直線 y = 2x に関する対称移動 f は 1 次変換である．このことを示し， f を表す行列を求めよ． ¶ ³ 考え方 2 点 P，Q が直線 ` に関して対称なとき，` は線分 PQ の垂直二等分 線であることを用いる． µ ´ 【解】直線 y = 2x を ` とし，` に関して点 P(x, y) と対称な点を Q(x0, y0) とする． 直線 PQ は ` に垂直であり，また線分 PQ の 中点が ` 上にあるから        2·y 0_{− y} x0_{− x} = −1 y + y0 2 = 2· x + x0 2   O y x P(x, y) Q(x0_{, y}0₎ ` y = 2x よって ( x0_{+ 2y}0 _{= x + 2y} −2x0_{+ y}0 _{= 2x − y} すなわち Ã 1 2 −2 1 !Ã x0 y0 ! = Ã 1 2 2 −1 !Ã x y ! Ã 1 2 −2 1 !₋₁ = 1 5 Ã 1 −2 2 1 ! であるから Ã x0 y0 ! = Ã 1 2 −2 1 !₋₁Ã 1 2 2 −1 !Ã x y ! = 1 5 Ã 1 −2 2 1 !Ã 1 2 2 −1 !Ã x y ! = 1 5 Ã −3 4 4 3 !Ã x y ! したがって，f は 1 次変換で，求める行列は 1 5 Ã −3 4 4 3 !

練習 1.33 直線 y = 3x に関する対称移動 f は 1 次変換である．このことを示し，f を表す行列を求めよ．

1.2.4

合成変換と逆変換

合成変換 1 次変換 f，g を表す行列を，それぞれ A，B とする． f によって点 P(x, y) が点 Q(x0_{, y}0_{) に移され，さ} らに g によって点 Q(x0, y0) が点 R(x00, y00) に移さ れるとすると Ã x0 y0 ! = A Ã x y ! , Ã x00 y00 ! = B Ã x0 y0 ! であるから，次のことが成り立つ． Ã x00 y00 ! = B Ã A Ã x y !! = BA Ã x y !   O y x P(x, y) Q(x0_{, y}0₎ R(x00_{, y}00₎ f g g◦f よって，行列 BA は，点 P(x, y) に点 R(x00, y00) を対応させる 1 次変換を表す．この 変換を，f と g の合成変換といい，g‹f で表す． ¶ ³ 1 次変換 f，g を表す行列を，それぞれ A，B とすると，合成変換 g◦f も 1 次変換 で，g◦f を表す行列は BA である． µ ´ 例 1.14 1 次変換 f，g を表す行列を，それぞれ A = Ã 2 1 3 0 ! ，B = Ã 0 2 1 0 ! とするとき，合成変換 g◦f を表す行列は BA = Ã 0 2 1 0 !Ã 2 1 3 0 ! = Ã 6 0 2 1 !

練習 1.34 1 次変換 f ，g を表す行列を，それぞれ A = Ã 1 2 0 3 ! ，B = Ã −1 0 2 −3 ! とするとき，次の合成変換を表す行列を求めよ． (1) g◦f (2) f◦g (3) f◦f B 逆変換 1 次変換 f によって，点 P(x, y) が点 Q(x0_{, y}0₎ に移されるとする．f を表す行列 A が逆行列 A−1 をもてば， A Ã x y ! = Ã x0 y0 ! から Ã x y ! = A−1 Ã x0 y0 ! が得られる． よって，行列 A−1は，点 Q(x0, y0_{) に点 P(x, y)} を対応させる 1 次変換を表す．この変換を f の 逆変換といい，f`1で表す．   O y x P(x, y) Q(x0_{, y}0₎ f f−1 ¶ ³ 1 次変換 f を表す行列を A とするとき，A が逆行列をもてば， f の逆変換 f−1_{が存在する．f}−1_{を表す行列は A}−1_である． µ ´

例題 1.7 1 次変換 f を表す行列を A = Ã 3 1 2 1 ! とするとき，f によって点 Q(2, 4) に移されるもとの点 P の座標を求めよ． 【解】行列 A について ∆ = 3·1 − 1·2 = 1 6= 0 よって，A は逆行列をもち A−1 = Ã 1 −1 −2 3 ! これが f の逆変換 f−1を表す行列である． A−1 Ã 2 4 ! = Ã 1 −1 −2 3 !Ã 2 4 ! = Ã −2 8 ! したがって，もとの点 P の座標は (−2, 8) 練習 1.35 練習1.34における 1 次変換 f ，g について，次の問いに答えよ． (1) f−1_，g−1_{を表す行列を，それぞれ求めよ．} (2) f によって点 Q(4, −1) に移されるもとの点 P の座標を求めよ．

1.2.5

回転移動と

1

次変換

A 回転移動 座標平面上で，点 P(x, y) を原点 O を中心として一定の角 θ1だけ回転移動する変 換を考えよう． 点 P の像を点 Q(x0, y0) とする． OP = r とし，動径 OP と x 軸の正の向きをなす角 を α とすると x = r cos α, y = r sin α · · · 1° が成り立つ．点 Q の座標は x0 _{= r cos(α + θ), y}0 _{= r sin(α + θ)}   O y x θ r α P(x, y) Q(x0_{, y}0₎ である．三角関数の加法定理により x0 _{= r(cos α cos θ − sin α sin θ)} y0 _{= r(sin α cos θ + cos α sin θ)} 1 ° を代入すると，次の式が成り立つ． ( x0 _{= x cos θ − y sin θ} y0 _{= x sin θ + y cos θ} すなわち Ã x0 y0 ! = Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ !Ã x y ! したがって，次のことが成り立つ． 原点 O の周りに角 θ だけ回転する移動 ¶ ³ 原点 O を中心とし，回転角が θ の回転移動は 1 次変換であり， それを表す行列は Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ ! である． µ ´ 1_{角 θ は数学 II で扱われている一般角とする．}

例題 1.8 原点の周りに 30◦だけ回転する 1 次変換を表す行列 A を求めよ．また，こ の回転によって点 P(2, 4) が移る点 Q の座標を求めよ． 【解】 A = Ã cos 30◦ _{− sin 30}◦ sin 30◦ _{cos 30}◦ ! =     √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2     = 1₂ Ã √ 3 −1 1 √3 ! また 1 2 Ã √ 3 −1 1 √3 !Ã 2 4 ! = Ã √ 3 − 2 1 + 2√3 ! よって，点 Q の座標は (√3 − 2, 1 + 2√3) 練習 1.36 原点の周りに 45◦だけ回転する 1 次変換を表す行列 A を求めよ．また，こ の回転によって点 P(0, 2) が移る点 Q の座標を求めよ．

B 回転移動と逆変換 原点の周りに角 θ だけ回転する 1 次変換 f に対 して，逆変換 f−1は，原点の周りに角 −θ だけ回転 する 1 次変換である． よって，f−1を表す行列は Ã cos(−θ) − sin(−θ) sin(−θ) cos(−θ) ! = Ã cos θ sin θ − sin θ cos θ ! である．   O y x −θ _P Q f−1 ［注意］ Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ !₋₁ = Ã cos θ sin θ − sin θ cos θ ! である． 練習 1.37 原点の周りに 60◦だけ回転する 1 次変換を f とするとき，逆変換 f−1を表 す行列を求めよ．

研究 ¶ ³

変換の合成の応用

原点を通り，x 軸の正の向きとなす角が θ である直線 ` に関する対称移動を表す 変換 h を考えてみよう． 右の図のように，直線 ` に関して点 P と 対称な点を Q とする．また，点 P，Q を 原点の周りに −θ だけ回転した点を，そ れぞれ P0，Q0とする．このとき，P0と Q0_{は x 軸に関して対称である．} よって，原点の周りに −θ だけ回転する 変換を f ，x 軸に関して対称移動する変 換を g とすると，原点の周りに θ だけ回 転する変換は f−1であるから，変換 h は f−1_{◦(g◦f )} で表される．   O y x P Q ` θ O y x Q0 P0 ゆえに，この変換 h は 1 次変換であり，それを表す行列は Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ !Ã 1 0 0 −1 !Ã cos θ sin θ − sin θ cos θ ! = Ã cos θ sin θ sin θ − cos θ !Ã cos θ sin θ − sin θ cos θ ! = Ã

cos2_{θ − sin}2_{θ 2 sin θ cos θ}

2 sin θ cos θ sin2_{θ − cos}2_θ

! となる．すなわち， Ã cos 2θ sin 2θ sin 2θ − cos 2θ ! である． µ ´

1.2.6

補充問題

4

2 次の正方行列 A，B がともに逆行列をもつとき，積 AB も逆行列をもち，次 の等式が成り立つことを証明せよ． (AB)−1 _{= B}−1_A−1

5

1 次変換 f，g を表す行列を，それぞれ A = Ã 1 1 2 −1 ! ，B = Ã 2 0 −3 1 ! と するとき，合成変換 f◦g による点 (2, −3) の像を求めよ．

6

点 P(3, 1) と x 軸に関して対称な点を Q とし，Q を原点の周りに 150◦だけ回転 した位置にある点を R とする．R の座標を求めよ．

【答】

4 ［(AB)(B−1_A−1_{) = E，(B}−1_A−1_{)(AB) = E を示す］} 5 点 (−5, 17) 6 Ã 1 − 3√3 2 , 3 +√3 2 !

1.3

章末問題

1.3.1

章末問題

A

1

次の計算をせよ． (1) Ã 3 4 5 8 !Ã 3 −2 0 1 ! + Ã 3 4 5 8 !Ã 1 2 0 3 ! (2) Ã 1 2 −2 1 !Ã 1 1 1 1 !Ã 3 1 1 3 ! (3) Ã cos θ sin θ − sin θ cos θ !Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ ! (4) Ã 1 3 0 1 !₄

2

行列 A = Ã 3 −2 1 5 ! が等式 A2+ xA + yE = O を満たすとき，x，y の値を 求めよ．ただし，E は 2 次の単位行列，O は 2 次の零行列とする．

3

2 次の正方行列 A，B はともに逆行列をもち，A−1 ₌ Ã −1 3 2 −5 ! ，B−1 = Ã 1 −3 −2 7 ! であるという．行列 A−1B−1_{および AB を求めよ．}

4

A = Ã 0 2 −2 4 ! ，E = Ã 1 0 0 1 ! のとき，行列 A − kE が逆行列をもたないよ うに，実数 k の値を定めよ．

5

点 (1, 2) を点 (7, 4) に，点 (2, −1) を点 (4, 3) に移す 1 次変換を表す行列 A を 求めよ．

6

A = Ã 3 a b −a ! で表される 1 次変換を f とする．合成変換 f◦f を表す行列が A 自身であるとき，a，b の値を求めよ．

7

原点の周りに 30◦だけ回転して点 (2, 4) に移されるもとの点の座標を求めよ．

1.3.2

章末問題

B

8

2 次の正方行列 A，B について，A + B = Ã 3 −2 1 1 ! ，A − B = Ã 1 2 1 3 ! で あるとき，A2− B2を求めよ．

9

行列 A = Ã x 3 −2 y ! が等式 A2− 7A + 12E = O を満たすとき，x，y の値を 求めよ．ただし，E は 2 次の単位行列で，O は 2 次の零行列とする．

10

行列 A = Ã x −1 3 y − 4 ! の逆行列が A 自身であるように，x，y の値を定めよ． また，A3を求めよ．

11

2 次の正方行列において，次の命題は真であるか．真であるときは証明し，真 でないときは反例をあげよ．ただし，E は単位行列とする． (1) A が逆行列をもつとき，XA = Y A ならば，X = Y である． (2) A2_{− 2A + E = O ならば A = E である．}

12

行列 A = 1 2 Ã 1 −√3 √ 3 1 ! の表す 1 次変換を f とする． (1) f はどのような 1 次変換を表すか． (2) 逆変換 f−1_{はどのような 1 次変換を表すか．} (3) 合成変換 f◦(f◦f ) はどのような 1 次変換を表すか．また，A3を求めよ．

ヒント ¶ ³ 8 関係式から，A と B を求める． 10 A−1 = A から A2 = E 12 f は原点の周りの回転移動を表す．39ページの行列を参照する． µ ´ 【答】 1 (1) Ã 12 16 20 32 ! (2) Ã 12 12 −4 −4 ! (3) Ã 1 0 0 1 ! (4) Ã 1 12 0 1 ! 2 x = −8，y = 17 · A2_{+ xA + yE =} Ã 7 + 3x + y −16 − 2x 8 + x 23 + 5x + y ! より 7 + 3x + y = 0，−16 − 2x = 0，8 + x = 0，23 + 5x + y = 0 ¸ 3 A−1_B−1 ₌ Ã −7 24 12 −41 ! ，AB = Ã 41 18 16 7 ! ［後半は，まず行列 A，B を求める］ 4 k = 2 · A − kE = Ã −k 2 −2 4 − k ! について ∆ = −k(4 − k) − 2(−2) = 0 ¸ 5 Ã 3 2 2 1 ! · 求める行列を A とすると A Ã 1 2 2 −1 ! = Ã 7 4 4 3 ! ¸ 6 a = 2，b = −3

［A2 = A より 9 + ab = 3，3a − a2 = a，3b − ab = b，ab + a2 = −a ］ 7 点 (√3 + 2, −1 + 2√3) "Ã cos(−30◦_{) − sin(−30}◦₎ sin(−30◦_{) cos(−30}◦₎ !Ã 2 4 !# 8 Ã 3 0 4 3 !

· 2A = Ã 4 0 2 4 ! から A = Ã 2 0 1 2 ! ， 2B = Ã 2 −4 0 −2 ! から B = Ã 1 −2 0 −1 ! ¸ 9 x = 1，y = 6 または x = 6，y = 1 · A = Ã x 3 −2 y ! を等式に代入して x2_{− 7x + 6 = 0，y}2_{− 7y + 6 = 0，x + y − 7 = 0 から} ¸ 10 x = 2，y = 2 または x = −2，y = 6， A3 ₌ Ã 2 −1 3 −2 ! または A3 = Ã −2 −1 3 2 ! " A−1 _{= A より A}2 _{= E, A}2 ₌ Ã x2_{− 3 −x − y + 4} 3x + 3y − 12 −3 + (y − 4)2 !# 11 (1) 真 (2) 真でない A = Ã 2 1 −1 0 ! は反例 · (2) ハミルトン・ケーリーの定理を利用する．A = Ã a b c d ! について， A2 _{− (a + d)A + (ad − bc)E = O が成り立つから，a + d = 2，ad − bc = 1 で}

あればよい． ¸ 12 (1) 原点の周りに 60◦_{だけ回転する 1 次変換} (2) 原点の周りに −60◦_{だけ回転する 1 次変換} (3) 原点に関して対称移動する 1 次変換，A3 ₌ Ã −1 0 0 −1 ! · (1) A = Ã cos 60◦ _{− sin 60}◦ sin 60◦ _{cos 60}◦ ! (3) 60◦_{× 3 = 180}◦ _より ¸