母関数による積率の計算

(1)

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

【論文】　　　日本建築学会構造系論文報告築第447号・1993年5 月・

Journal　of　Str腿ct．　Constr．　Engng，　AIJ，　No．447，　May，1993

MOMENT

CALCULATION

THROUGH

GENERATING

　　　　　

FUNCTION

・

　

ト

　　　　　　母関数による積率の計算

Sadaichi

TERADA

＊

　　　寺田貞一

　Amethod 　to　calculate 　the　first　several 　moments 　of　a　safety 　margin 　and 　the　correlation 　coeffi − cient 　between　them 　is　derivedしhrough　the　transformation 　of　correlated 　basic　random 　variable5 　into

ceihmon 　and 　independent　ones ．　The　cumulants 　that　are　calculated 　through 　the　_genera ヒing　function

are　transformed 　into　the　corresponding 皿oments ，　This　adds 　a　method 　to　_precisely　calculate 　the　re． liability　of　an　engineering 　system ，　　　　　　．

　Kegwora醪8二60厂relation 　coeX万δθη_ち cumulan _ちge_『rerating プ妻宛‘tien，　me 〃lent，厂etiability，5娩妙 η 〜4 脅Z

　　　　　　　　　相関係数，累積率，母関数，積率，信頼性，安全余裕

1・Irltrod_りct_，ion

　

If　an　engineering 　s_￥stem 　

ha5

　the　potential　to　

fail

　in　plural　mod6s 　

du

_母te　common 　cause _（s_＞．，　ever ’ y pairs　of　

failure

　eventS 　will _，　more 　or　

l

とss_，　

be

　correlated _．　

In

　the　case 　of　a　structural 　member _，　it　may someti 皿es　fail　in　

buckli

皿9，　flexure

，　shear ，　fatigue，　brittle　fracture，　resonance ，　exc ¢ ssive 　

deformation

or　combinations 　thereof．　If　the　member 　is　supposed 　to　

fail

　in　some 　mode

，　then　the　

failures

　in　another

mode _貫may 　inc【easingly 　

be

　expected ．

Th

・

f

・i1・・eevent E

_qf

・・y・t・m・iSi・th_・

．

　eve ・ti・ whi ・

h

・ne _．・・m ・・e ・

f

th・p・tenti・

l

f

・il・・em ・d_… ccu ・．

That　is

　　　　　つ

　　　　E’＝ E

匚UE2 ∪… UEm ・・…・………・…・……・………．…・…・

∴・・………・…_（₁ _） in　which 　

E

，（

h

＝1− m ）is　the　

failure

　event 　

in

　the　

h

−th　

failure

．

皿ode ．　

The

failure

　ev 白nt　

E

κ．is　represented as

　　　　　　ハ　　　　　　　　ハ　　　　　　　ハ

　　　　Eκ＝［Z髭＝9iC（y1，　y2， …，．Yn）≦0］・…・

・・・・・・・・……・・………：・…∴・・…・・…・………（2 ）

where 　

Z

，　

is

　the　safety 　margin 　that　

is

　expressed 　as　a　

function

　of　

basic

　random 　variables 　

y

’

s．

The

　probability　of　the _｛ai_．lu；e　event 　

E

_κ　would 　

be

　obtained 　through　the　voiume 　i皿tegral　over 　the　

failure

region ．

That

is ，

　

・（・

紘

，．。勲

9

……・…一一 …・…・…………一 …・………一・_{…………一 … （}_・_）　　　　　ハ　　　　　　　ハ　　　　　　　　h　　　　　　　ハ where 　y ＝（y 、，　y2，…，｝厂 ∂is　a　ve じtor　_of ．

basic

　variates ．　Exact

．

evaluation 　Qf　the　_probability　_of　E

κ generally　requires 　the　nunlerical 　integration　of　

Eq

，（3 ）which 　seems 　

inapPropriate

　to　apPly 　to　ordinarY d6sign．　Therefore，　the ．approximate ．method 　that　employs 　the　

first

few

　moments 　of　Z_κ has　

been

developed

for

　_p_{田 ctical} 　purposes （Hasofer　and 　

Lind

　1974，　

Ditlevsen

1979

_，　

Shinozuka

　1983_）．　

The

probability　of　the　

failure

　event 　

E

　in　

Eq

．（

1

）

is

　expressed 　

by

　　　　　　　　　　 m　　　　　　m　ロ　　m 　　　　P （E ）＝ Σ P（E 、）一Σ Σ P （E，、E ，，）　　　 h冒k　　　　 hl＝l　iC1署2．　　　 m　　　れ　ユ　　m 　　　　　　　　　十 Σ Σ Σ P （E，、E ，，E．）一…十（− 1） m＋LP 凪 E2 …Em ］ド …・・……・・…………・……・・（4 ）　　　産L；1　勘昌2　κ3；3 　　　　iCi〈勉く・m左皿，　　1 ≦ 勧≦m 宰 Emeritus

　Prof，，Tokyp　Metropo1itan　Univ．，DT．Eng 東京都立大学　名誉教授・工博

一_{9 一}

(2)

ArchitecturalInstitute of Japan

Therefore,to_preciselyevaluate the_probability of the event E, the

probability

of the intersectionsin Eq.

₍

4

)

must beknowfi.A method toestimate theprobabilityof the intersectionof _E, and E,should at leastbedeveloped. The estimate of the correlation coefficient between

Zh

and

Zi

[pki]

isindispensable

to calculate the _probabilityof the intersectionEkEi. Itisrather simple tocalculate the correlation

coefficient ifthe _perfoTmance

functions

are

linear.

However, ifthey are represented as functions

expressed nonlineaTly, the exact estimate of _p

is

not so simple as to usually resort on approximate

methods.

Once

the value of _p.,

is

known,

there are several methocls to approximately estimate the

probabilityof

EtEi･

Thispaper

derives

amethod tocalculate themoments of Z.and thecorrelation coefficient

between

Z,

and

Z,

through the transformation of correlated

basic

random variables intocommon and independent

ones. The cumulant _generating

function

isemployed tosave an amount of computational effort This is

generalizationof the _paper _presented at

The

First

International

Conference

on Computational

Stochastic

Mechanics

_(Terada,

1991).

2.

Formulation'

Rewrite

the safety margin as a

function

of standardized

basic

variates

Y}'s

transformecl

by

p,-.,(g,)

Yi==

rmL,,(

,

(i=i,

2,"', n) ''''''･-･･･････････-･･---････---･･---･･-･･-･-･--･･･J･-･-･

(s)

where _pt,and _", are themean ancl the variance of

9i,

respectively. Then, _",(Yt)==O, _",(IYt):=1,

The

A

probability

density

function

(PDF)

of Y,isnot confinecl tospecific one,

That

is,thereisno re/striction

A S A

on the

PDF

of

Y,.

Moreover, the PDF of

Y,

may

differ

from

that of _Y,.

Confirm

the

definition

of therelated terms so as not to confuse theirmeanings. The moment-generatingfunetionof Y[G,(t)]isthe expectation of etY on Y, and is

formally

expressed

by

Gr(t)=E[e'n=.L:et'fi(y)dy-･･････-･･････-･･-･-･-･･-･･･-････-････････-･-･･･-･･--･･･--･----･･･-･---(6)

where E

[

･

]=the

expectation,

f(

.

)==the

probability

density

function,

_e=exponent _and t= _auxiliary

variable. The _{cumulant-generating}

functien

of _Y[Cv(t)] isthe

logarithm

of the rnoment-generating

function

of Y. That is,

Cr(t)==ln[Gr(t)]･'-''''''-''''''''-'''''kH''''''-'''''''''''H-'''''''-'h'''"'''''''''H'''"'"''-''"'''''(7) The coeffi¢ientof t'1r.rinthe Taylorseries expansion of

Gv(

t)and

Cy(

t)are the_r-th moment _".<

Y)

and r-th cumulant x.(Y), respectively,

The

r-th moment ratio of Y

is

ar(Y)=ptT(Y)[#2(Y)]Tf=ptr(Y)

(r)3)"-''-''""-'H"-''"''''''''''''''--''''''--"''-･･･(8)

forstandardized yariate. a3 and a` are generally

defined

as skewness and

kurtosis,

respectively.

The r-th moment ratio

defined

in terms of the cumulant is

71t(Y)=x.(Y)[x2(Y)]nt{==xr(Y)

{r)3)'''"""'''''''''･'････-'-････････-･･････-･-････････-･-(9)

Let

the correlation coefficient

between

the random variables

M

and

Y,

be _pw{pw)O). Express the

vaTiate

Yl

as a sum of mutually

independent

and standardized variates

X's,

Yt=aiXt+ZawXtj+ZZatJkXwk+'"+awit..r!.."-i)Xwk...i2..(t-i)=£ aX''''''''''''-'-･･'-･･-･(10)

J' Jic

UtJ ±hi--), t,J.in-=Cl,2,--,n)

where a=the unknown constant thatnormali･zes the variate

X

tostandard one and can

be

determined

by

the examination of the high-ordermoment on

Y

and

X's.

Moreover, theyariates that

have

common

suffix aTe assumed to

be

_perfectlycorrelated.

For

example,

Xij=X,t,

Xwic=Xjht==

Xhw,

and se on. Itis

clear thatthe

last

variable inEq.

(10)

is common on all variates Y's,The abbreviated notations _ac,=

awlt･.uJi}, and Xc=Xijit."uLi)will conveniently

be

used.

Inparticular, ifA,=O and 1,then

K=X,

and

Y,--

Xb,

respectively, Moreoyer, if_th,:=p then

y}=

atX,+ac,Xc.

In

thisway, thevariate

Y,

is

expressed as a sum of indgpendentvariates thatare common

(3)

-10-Architectural Institute of Japan

on　one _，　two ，　three，… and 　all　variates ．　The　followingとxpression 　for　n ；4will　

definitely

　clarify 　the

contents 　of　Eq ，（10）．

y

、＝α1XL ＋α12×12＋α13×13＋αuXl 、＋α、23Xl ，3＋α12、X、2、＋a，3、X、3、＋ a123、Xlz3、

　

嬬

：

鷲

：

1

：

輯

：

1

：

tl

：

漁

：

奏

：

‡

9 ：

：

爻

：

‡

：

奏

：

†

1 ：

：

斐

：

∴・……一（

1

… ）

　　　　　Y，＝ α4×4十α4、X4、十α42X ≧！＋α43×43＋α412×412＋α4lsX413 ＋ a4、3×423 ＋ α 4123×4123

Since　the　variate 　Y，　is　expressed 　as　a　sum 　of　mutually 　independent　variates 　

X

’ s_，　

G

γ（t）and 　Cr（t）ar6 expressed

by

G

，、ω＝

G

Σ，（at ）；

HG

．（α彦）…………一 …・…………・……・・・…一 ………・一・一 ……・………・・（11） and _，

　　　　

CVi（t）＝＝CEx（ ’ at _）＝ Σ Cx（_αt），・…・・・・・・・・……鹽………・……… ．_…・_・_…・_……・_…・・．・…・……

_（112_） respectively _．　It　

follows

from

Eq

，（12）that

　　　　　　∂「

c

，、（t）

　

・・（

y

・〉； ∂tr 、。。幕 Σ _α『_κ・（

x

）　　　　　　＝＝　alxr（

X

‘）十Σα

L

κ7（

X

‘丿）十Σ Σα乃κκr（

XWh

）十…十αさ‘κ T（

X

∂ ・………_（

₁₃

_）　　　」　　　 ’　 it 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エ‘≠’≠κ≠…）／‘，」，厄…＝tr，2，…，川

　This　means 　that　the　cumulant 　of　the　sum 　of　independent　variates 　equals 　the　sum 　of　the　cumulants 　of、 independent　variates ．

．

　For　7＝2，　 the　fQllowing　relation 　reduce _寧．

　　　　α葦十Σ］α

if

十Σ］Σ】α

bt

十・一十α

e

_，＝ 1・・・・・・・・・・・・・・・・・・…　一■・一一■一■・・・・…　一…　一・・一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…　一■■一（14）　　　ノ　　　　　　　ノ　　配

　　　　　　　　　ぼ≠’≠配≠・・う，　凝，晶・門＝ll，2卩…　，η）

The

　r−th　cumulant 　of　

y

‘ is　rewritten 　through　

Eq

．（

14

）、as　

follows

．

　　　　α

i

［α

r

’2 π。（

x

、）− x。（｝つ

1

＋Σ α

i

、［α夏∫ 2 κ。（x、j）一κ。（Y，）］　　　 ’ 　　　　　　十Σ】Σ

1

α_ちκ［α：jk2kr （X‘，κ）一κ r（｝「t）］十一・十aZi［aE∫2Xr （

Xc

）− Xr（

y

‘）］＝0 ………一・・−a∴・・・・・…　一一・・（15）　　　ノ　　配　　　　工‘≠丿≠rei」」う，　‘1’冒晶一L〒｛旦，21」L」冒紘　〔r ≧ 3 レ ’Therefore，

　　　　

Zr （y∂＝ _α「2κア（x‘）＝α

f

； 2xr （

x

‘丿）＝α κ 2 πr（

x

躰）＝…＝αε厂 2 κ・（

X

・）・…_∵・……・………幽……… （16）　　　　　　　　　　　　　　　　　〔‘≠ノ≠κ≠…い，」，L…＝（1，2、一・，n） In

_partitcular，

　

ifκr（y‘）＝_解7（yン），

　

then

　

αcl ＝ _α c，・

3

．Joint　Moment

Th

と

lo

血t　moment −generating　

functiQn

　of　y＝ y

置，　y』，…，　Yn　is　

defined

　as　a　

function

　of　auxiliary

variables 　

t

−　

t

、，　

t

、，　 ’・

_t

。：　　　　

G

，（

t

）＝

G

，、，r，、．．．rn（

t

、，ち，…，　

t

。〉　　　　　　＝

E

［exp （t、　

y

，十 t2　

Y

，十…　十 tn　YD ］

　

・ _・

［

exp

｛

_写

・ltt…

￥￥

（… tl・・・…）

Xl

・＋…・（

9c

−，t・＋… t・・…α… 裁

｝

］

　　　　　　耳

HGXt

（α‘t‘）・

IIIIGXtj

（α wt ‘十aVtt，）…　

GXc

（αc1 ム十 αc2t2 −・十aCntn ）・・・…　∴・…　一…　……　（17）　　　 ‘　　　　　　　　　　　 ‘　．丿

　　　　　　【‘≠ ’≠ 鳶≠…｝・‘・’・ig…噐〔且・2・．…n ）

　

The　

joint

　cumulant −generating　

funcfion

　is

　　　　 Cr（t）＝ Cv 、，v、，＿，yn（t、，　t2，…，　tn）　　　　　　　　＝

ln

［

G

，。．．，。（t、…tdi］　　　　　　　　＝ Σ

c

，、（a、ti）＋Σ Σ】

C

頭α、jti ＋a」、tJ）＋…　　　．　、　　　 t　　　　　　　　　　．　 i　　ノ

　　　　　

＋

q

、。（aCl　t1＋ α、，置、＋…＋ α、。置。）．…・………・・…・………・…・・……一 …・鹽 ∴一一（18）　

Therefore

，　the　

joint

　cumulant 　of　Y　is

　　　　　　　∂nCKt ）

　

x・（γ・・　y・・　 ’” ・｝Yal＝ ∂

ti

∂

t

，＿∂tn ，、．、、．．t。．；。＝_… _α ・・’”α・… （

X

∂ド’嘲… ’… °・”… ’… ””’（19）　　　　　　− ll 一 N工工一Eleotronio _Library

(4)

　Since π 、（X，）＝ μ、（X、）＝ 1，　 x，（y、，　Y，）is 　　　　x2（y‘，】つ＝ α‘∫α，‘π 2〔λ 「 ‘丿〉十Σユα‘ノlea，h‘Xt（Xijκ）十…十αc‘α（riκ 2〔x∂ 　　　　　　　＝awaii ＋Σai」h α，h、＋…＋αQ α。、＝ρ、パー …………・…・・………・・………一一（20）　　　　匡 ≠ ’中 iti …〕，　K；ql，2，…，n ）

　Renumber 　the　random 　variables 　so　that　the　minimum _ρ_‘

ノequals ρ12．　

Since

　the　variates 　

Xc

is

　common on 　all　variates 　

Y

’s

，　the　maxi 皿 um 　product　of αcl　and 　a：2　isρ12，　In　consideration 　of　Eq ．（16 ），：

Eq

．（

19

）

becomes

　　

．。（Y、… yn一 ρ12α，，…α、。。。（x∂＝ A、

lx

。（Y，）…ta（｝つ隣 ……・………・…・一一 ……・一一一（21）

If　xπ（｝）＝ κ n（y），　then κn（Y，…｝）＝ ρ12κ，z（y）．　In　particular，　the　following　relation 　can 　

be

derived

　on

variates y童　and 　

y

』．

　　

κπ（｝厂

7

−kY 穿）＝ _α窓i一κ_αき_2Xn（

Xc

＞＝ A21［Xn（

y

，）］ n−k−L ［κn（

Y3

）］ κ一Ilnn！_E・9・…

一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…

一・・一・．・・_（₂₂_）

If

κ n（｝「

O

＝κn（

Y

，），　then　th （

Y

？一産

γ穿）＝・A2κ n（

y

）．　

The

　equat 三〇ns　

derived

　above 　will　simphfy 　the　ca］culation of　the　

joint

　moment 　as　an　example 　in　the　

following

．

Example　l　Calculate_μ₄_（y_，｝ち臨y≧），

　 The　fourth　derivative　of　the　cumulant 　generating　

function

　Cy（のis

　　　　　∂C　

O1

　　　　　∂ti G 　　　　　　∂2C 　　

GII

G

，

G

，　　　　　∂ti∂t、　

G

G2

　　　　　　　∂3C 　　　

G1

！3　

G

監

Gz3

十

G2G

，3十

G

，

G

，2　2G ，

G2G

，

　

∂ti∂t，∂t，　 G

　　

G

・

　

＋

G

・

　

、t、

器

∂t4 − G

蕁

3L

古

［

Gl2G

・・＋・・3G ・＋・・4G ・3＋

G1

σ・3・…

G

・34＋・・G… ＋・aG12 ・・］

　

・

浄

［・・2G ・G・＋・・3・・σ・＋・・4G ・G・＋・・3G ・G・＋…

GIG

・＋G34GIG・］　　　　　　　6GLG2G3G ‘ 　　　　　　

G4

・ … eC − _・・ω・・一 _・・（t）・・一

書

霧

… ’一、

雫

1

爰

、、・… 一、、、

誓

ξ

、，．・ …・

Therefore

，　　　　　　　∂℃ ，岫，．（置1壼2診3孟4）　　　　z、（

yly2y3y

、）＝　　　　　　　∂tT∂tz∂ts∂t4　 tl．t，一ε，一乱一。　　　　　　　＝ μ4（

y

奮

Y

，y』y≧）一（_ρ12メ為4十ρ且3ρh4十ρMρ23）

　　　　

∴_μ、（Y，・Y、y、　Y，）：：：A，［。、（Y，）。a〈　Y4）］

i

＋A，th4＋A、th、＋n、th、……・…一・…・…．…………一・…… （23 ） since _{κ 1}_（_y_＞＝_μ_互_（_y_）＝0 ， κ 2（y）＝μ 2（y）＝ 1 ，　 x2（Y，　Y，）＝_{μ 2}_（

_y

‘】ら）；ρ‘」，　and π 4（y、　YをY，】r，）＝ ρ匸、［x4CY ，）κ 4（Y4＞］告

from

　Eq ，（22_）．　If　Y2； yl； y4，　then _ρ23＝_P24＝_ρ_h．；1　and ρ12＝ρ13＝ A4 ．

　　　　μ 4（

YL

YI

）＝κ4（

y

旦

y

鬘）十3ρ12＝A2 ［XA（

Y

，）十

3

］＝A2μ4（

y2

）．・…………・……・…・・………　……（24）　Similarly，

　　　　

μ4（YiY 壅）＝ 1十2_ρ

i2

十 ρ₁₂［_π4（Y1＞_{κ 4}（Y ，）］量．… 1_…・_……・_…・_……・_………・_・_…・_・_…・_……・_………・_…・ … （25） and _，　　　　μ4（y且Y2　Y 耋）＝ A1→−2ρ13ρ23 十AIXI（Y，）・・・・・・・・・・・・・・・…　一・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…　一・一・・・・・・・・・・・…　一・・・・・…　（26 ）

The

first

　severa 正moments 　with 　the　result　in　the　Example　are　in　Table　l　in　order 　to　facilitate　the　related

calculation _，

4

．　

Reliability

Evaluation

The

　_evaluation 　of　the　exact 　reliability 　of　a　system 　will 　

generally

be

　involved．　A　way 　to　circumvent 　_the

　 − 12 一

(5)

ArchitecturalInstitlte ofJapan

Tabjel "(Z)

Nete:ig,(Z) = _{pn[M(k)･･･} _ig(X,)];t'7;in

-h!ch

pil= rnin(pif)

' ･Table2 Assurned condition

CaseI

CaseII

9,p6

or3

ry4'73

'r4

g,g,g,

4510

O,125o.es'

O.2

O.377O.150O.608'

O.254O.024O.664ooo' o'

oo

situation would

be

the employment of Monte-Carlo Simulation.However, theimpossibly largenumber

of sample is necessary to _precisely evaluate the reliability of

highly

safe-system. Th'erefore,

approximate solution to the _problem isindispensableand several methods

have

been

devetoped.

This

employs the Gram-CharlierExpansion

_(Johnson

and Kotz,1970)which uses the

high

order moment of

the safety margin. - ' '

' '

'

Example2 Evaluate the failure

_probability

of the safety margin _Z represented

by

Z==g(fi)=g,Y,-9,･････････････-･-･･････････-･-･-･･---･･-･･･-････--････････････-;･-････-････-･-･･--(27) where,the random variables

g's

have-the

_parametersin

Table

2.

The

variates

V,

and

9,

suppose the

yieldpointand section modtilus of

beam,

respectively.

Therefore,

the procluctof

Y,

and

Y2

isthe_yield

moment.

The

variate

Y,

is

load

･effecton

beam,

'

The

variates

in

Case

I

and

Case

ll

are lognormal and normal

distributigns,

respectively. The r-th

moment･ratio a. of the lognorrnallydistributedvariate is ･

ar=0LTtr.e("1)j

(

JZ

)(1+cr2>li'ujHr'J+V

'

(r)3)--･･----･--･･･-･･････---･････････････-･･-･

(2s)

NII-Electronic

(6)

ArchitecturalInstitute ofJapan O.4 O.3･ANY.",.m o,2 O.1

I

I-tt't'tt'tt't.ttttttt'/'"l'tt'ttt'tt' 1I l･

vttttt..tt..tlltili'

i lt tlt tttt' t"tt'i 't't't"t'tt't/tt'' ilI}Il･ /'"""'l""""'

l･

i--e,,,I',e.f,--.f'i.-,.r....-. Ill ai/x .sC' '[I･e I･ o.oO.2O.4 O.6 P12(a) O,B 1,O AN\F O14 O.3 O.2

i'

iiNfts.

'""7･'""" '""' " I ll I･

,ii

t. 'tt"t'tttttttttttttitttt'tttttttttt-tttttlltt'ttt'ttttttttttttt'tl.t'tttttt'ttt'/'tttjttMttt'ttt'/t'tt't' ' OA--"-"g;---t, L----tt;..-.-+.--.-. _{ttt.t...t..tt}i'Ia l･_t..._{t..tt...t.tttttttt}_{tt.t...ttttttt..t} ii'<1" 'nall i-.11/

Fig.1 Shape Factor

o.o

of Z

O.2O.4 O.6 O.8 i.O

P12(b)

i9IS.Ept

9.07.05.0

3.0

1.0O.8o,oO.2

O,4 O,6 O,8

pd),,Y,)

(a)

Case

I

1,O HTo-× =E.pt

(b>

9.07.05.0 3.0 1.0O.8o,o CaseI O.2

<based

O.4 O.6. 0.8 p

dr,,S)D

on linearized 1,O function) MTo-× =bm

9,O7.05.0

3,O 1.0O.8o.oO.2

(c)

O.4 O,6 Pai,Y2) Case

_R

O,8 t,O HTo-× L--"Alavm

(d)

Fig.2 FailureProba

9.07,O5.0

3,O

1.0O.8

.-/---'-'2,3,4

!'-O.O O.2 O,4 O.6 O.8

P

(Yi,Y2)

Case

ll

(based

on linearized bility

1,O

function)

where

o

equals the cQfficient of yariation. This moment ratio istransformed into_the moment ratio

defined

in

termsof the cumulant ₇₁throughthemoment-cumulant relation.

As

is

well

known,

_r.=-O

for

the norrnal

distribution.

Also, ass'ume that_p(9,,

g,)==p(g,,

?,)=O

and _p(g,,

9,)=(O-1).

The

first

fou[

central moments of Z are calculated through the above equations tocompute the r-th moment ratio

)1. which

is

defined

by

N.xlll.

Fig.

1compares theexact moment ratios _n and _n with those

by

tinear

approximation.

The

suffixes e

and a intheFigure mean exact and approximate, re$pectively. The moment ratios _n and _n odi

Case

I

are constantly largerthan those of Case

ll

and those values in

both

cases increasewith the inc;reaseof

the correlation coefficient

between

9i

and

9z.

Note that the approximate calculation always

underestirnates the values.

(7)

ArchitecturalInstitute of Japan

The

failure

probability

is

approximately evaluated

by

p(F)= di(-R.)-

q(-B.)

[

X3iil,l)

(igl-o+

Z'4(il:)

fi,(3-Bl)

]

"H-.""".,,.H.,,.--･-････-････････

(29)

where,

F=the

event that

(Z<O)

; ¢ =the standird normal cumulative

distribution

function

; ep=the

standard normal probabilitydensityfunction; and

fi

=:the _{ratio of}_", to_{o and} isdefined_as the_reliability

index,

' '

Fig.2 shows the

failure

_{probtibilities} calculated in several ways. The values inFigs.

(b)

and

(d)

are based on the safety margin linearizedat the mean, The number inthe Figure isthe ord'er of moment

considered,

As

for

this example, the -feurthorder solutions seems'to

be

reasonable evaluations.

t t

' '

'5.

Concluding Remarks

A transformation of correlated random variables intocommon and independentenes is_propdsed _to

calculate the-moments of a safety rnargin and the corre'lation coefficient

between

them.

The

_generating

fttnctions

are introducedto simplify the

formulae

and to save 'an amount of calculational effort.

This

isi generalizationof thetransformatioq on two variates tomultivariates, The

joint

moments inTable

1

will

help

to

facilitate

therelated calculation. In

Example

2, the influenceof thecorrelation coefficient

between

basic

v.ariates tothecumulant of safety rna;gin and tothe reliability index are examined.･

As

for

the example, the reasonable reliability indicesare obtained inconsideration ofthe moments up tofourth

order. '

The

writer owes to

Resetirch

Assoc.

Minami

tind

the

former

student

Sakurai

in･preparing

the Figs.1

and 2. The writer would

like

tothank thereviewers

for

theirvaluable comrnents which resulted- i'nthe

,

' tt

improvement

of this _paper. '

Reference

l) Ditlevsen,O. :GeneralizedSecond Moment ReliabilityIndex,t &ruct.Mech.,Vol.7,No.4, _pp.435-451, 1979･

2) Hasofer, A. M, and Lind, N._, :An Exact and InvariantFirst-OrderReliabilityFormat, J. Eng Mech._, ASCE, ]eOO ), pp.lll-l21, 1974'

3) Shinozuka,M.,:Basic Analysis'ofStructuralSafety,X Snet. Engrg.,109 (3),pp.721-740, 1983

4) Terada, S. :Skewness andKurtosLs of SafetyMargin, CbmputationatsiochasticMbchanies,ElsevierApplied Science, _pp. 46, l991

5} Johnson,N.L.and Kotz,S.:ContinuousUnivariateDistributions-1,DistributionslnStatistics,JohnWiley&Sons, _pp.Is -22, 1970

NotationThe

followingsymbols are used in thepapei.

a:constant

C :cumulant-generating function Cey. :covariance

' '

E,:fhilureevent in the _k-thmode

E[.]:expeetation of random yariable inparenthesis

e : exponent F:failuieevent

f{･

}':probabilitydensity functionof random variable

inparenthesis

G :rnoment･generating function

g:function that describesthe safety margin

ln:natura] tpgarithm m:number ef events

' _n _:_number _of _basLc_random _variables

P[･]:probabllityef thelevent'inparenthesis

r:order of cumulant, rnoment and shape factor{ManuscTipt

t: auxMaTy variabte X, Y :basicrandom variable

Z:safety rnargin. ar:r-th moment ratio

p:reliability inde.x(=b,la)

"1r-th rnomept ratio definedinterrns of the cumulant D:coefficient of "ariation(=al"i)

x} :r-th cumuLant

":,p:,"r:rnean, variance and 'r-th'centralmoment p:correlatiencoefficient '

a:standa[d deviation

di: standard normal cumulative distributionfunctlen

g: standard nermal _p[obabilitydensityfunction

n :intersectionof events;,and

U :union of events.

received August20, 1992;Papef･Accepted February 1, lgg3>

(8)

和文要約 1．序　ある工_学系において_，共通の原因による複数の破壊様式は互いに独立ではなく，多かれ少なかれ何らかの_{関係}「がある。この系の破壊確率は各破壊様式に対する破壊確率，複数の_様式が同時におこる破壊確率に基づき推定される_。ある_様式に_対する破壊確率はそれに_{関係}する基礎確率変数の _関数として表わされる安全余裕に基づき計算されるが，これらの基礎確率変数は互いに独立であるとは_限らない _。 _本論文は互いに_相関のある基礎確率変数を独立と完全相関な確率変数の和に変換し，これより安全余裕の積率とそれらの問の相関係数を正確に計算する方法を導いたものである。 2．定式化　まず任意の確率分布を持つ基礎_{確率変}数を _（5_）式により規準化し，安全余裕をこれらの関数として表す。積率母関数Gv（t）は（6 ＞式，累積率母関数 Cr（t）は（7）式で，それぞれ定義されることを確認しておこう。 Gv（t），　

Cr

_（t_）を_テ_イ_ラー_{展開}_{した}_{とき}の t’ ／r ！の係数はそれぞれ r 次積率［μ．（y）］と r 次累積率［頑 y）］となる。 r 次の積率比［α。］は（8 ）式で定義され，この中 a3 と a4 は，それぞれひずみ度と尖度である。累積率比（7r｝は（9）式で定義される。　確率変数 Y，と yゴの間の相関係数をρtJとする。　 Y，を（10）式のように互いに独立な規準化確率変数 X の和で表す。 α は X が規準化確率変数となるようにするための係数である。また，同じ添字を持っ確率変数は互いに_完全相関であると仮定する_。 _例えば XtJ　＝＝　Xji，　XVk＝： Xiini　m 　Xki_」である。また，（10）式右辺の最後の確率変数は Y、のすべてに共通であり，略記号 Xcを用いる。　n ＝₄の場合について具体的に書けば（10・a_）式となる。　y、は互いに独立な確率変数の和で表されるから， Gv（t）とC，（t）は，（11）式と（12＞式でそれぞれ表される。Xr は（12）式に基づき（13 ）式で表される。この式より，独立な確率変数の和の累積率はそれぞれの確率変数の累積率の和に等しいことが分かる。（14 ）式は（13 ＞式で ¢ ＝ 2とおけば_求まる。この_関_係を（13）式に代入一

₁₆

一すると（15）式と（16＞式が導かれる。 3．結合積率　Y ＝Y、y，…Ynの結合積率母関数は前と同様にして（17）式により表される。これより結合累積率母関数は（18）式となる。したがって，結合累積率は（19）式で表される。2次結合累積率は（20）式で表される。　確率変数の符号をthin＝Az となるようにふり直す。確率変数 Xc はすべての Y に共通であるから，　aClac：，の最大値は _Pttである。これより（21）式が得られる。 2変数の場合は（22＞式となる。_［例題 1 ］では μ、（yly、y，y、）の計算例を示した。また， 8次までの結合積率計算式は Table　1のとおりである。 4．信頼性評価　上述の方法を用いた信頼性計算法を　［例題2］により示す。ここでは4次のエルミート展開式を用いる。（27 ）式の安全余裕に対し，Table　2の条件を仮定した。（例 1）は対数を正規分布，（例

ll

）は正規_分布の］「 _を_{それぞれ} 仮定している。 A3；　th3＝Oとし，・p12は 0≦“01，≦1と変化させた。Fig．1は 3次および4次の累積率比 γ である。添字 e と a は正解および 1次近似解を意味する。（例

1

）の _{γ は} （例［

D

に比べて大きく，両者共 Ae の増加に伴い大きくなっている。また，近似解は正解に比べて小さい。　Fig．2は破壊確率の計算値である。図中（bl と（d）の結果は安全余裕の 1次近似式に基づく計算結果である。また，図中の数字は計算で考慮した積率の次数である。この計算例に限れば4次解で十分な精度が確保されている。 5．結　び　互いに相関のある確率変数を独立と共通な確率変数に変換し，これに基づいて安全余裕の積率とそれらの間の相関係数を計算する方法を導いた。積率母関数を用いて，計算を容易にした。この論文は文献 4 ）の 2変数に関する_変換法を多変数の場合へ _{拡張}したものである。 N工工一Eleotronio _Library