ÂðàáîòåèññëåäóþòñÿGK- ìíîãîîáðàçèÿ,ïåðâîåóíäàìåíòàëüíîåðàñïðåäåëåíèåêîòîðûõâïîëíåèíòåãðèðóåìî.Ïîêàçàíî,÷òî ïî÷òèýðìèòîâàñòðóêòóðà,èíäóöèðóåìàÿíàèíòåãðàëüíûõìíîãîîáðàçèÿõìàêñèìàëüíîéðàçìåðíî- ñòèïåðâîãîðàñïðåäåëåíèÿGK-ìíîãîîáðàçèÿ,ÿâëÿåòñÿïðèáëèæåííîêåëåðî

2018, Òîì20, Âûïóñê 3,Ñ. 420

ÓÄÊ514.76

DOI10.23671/VNC.2018.3.17829

ÑÂÎÉÑÒÂÀÈÍÒÅÈÓÅÌÎÑÒÈ

ÎÁÎÁÙÅÍÍÛÕÌÍÎÎÎÁÀÇÈÉ ÊÅÍÌÎÖÓ

À. Àáó-Ñàëååì

1

, À. . óñòàíîâ

2

, Ñ. Â.Õàðèòîíîâà

3

1

ÓíèâåðñèòåòÀëüàëü-Áàéò,Èîðäàíèÿ,ÀëüÄæóáýéõà,25113,Àëü-Ìàðàêà;

2

ÍÈÓÌÑÓ,Èíñòèòóòóíäàìåíòàëüíîãîîáðàçîâàíèÿ,

îññèÿ,129337,Ìîñêâà,ßðîñëàâñêîåøîññå,26;

3

Îðåíáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò,

îññèÿ,460000,Îðåíáóðã,ïð.Ïîáåäû,13

E-mail:dr_ahmad57yahoo.om, aligadzhiyandex.ru, hbyandex.ru

Àííîòàöèÿ. Ñòàòüÿ ïîñâÿùåíàîáîáùåííûì ìíîãîîáðàçèÿì Êåíìîöó,à èìåííî èññëåäîâàíèþèõ

ñâîéñòâèíòåãðèðóåìîñòè.Èññëåäîâàíèåâåäåòñÿìåòîäîìïðèñîåäèíåííûõ

G

^{-ñòðóêòóð,ïîýòîìóâíà-}

÷àëå ïîñòðîåíîïðîñòðàíñòâîïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðûïî÷òèêîíòàêòíûõ}ìåòðè÷åñêèõìíîãî- îáðàçèé.ÄàëååîïðåäåëÿþòñÿîáîáùåííûåìíîãîîáðàçèÿÊåíìîöó(êîðî÷å

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ),ïðè- âîäèòñÿ ïîëíàÿ ãðóïïàñòðóêòóðíûõ óðàâíåíèé òàêèõ ìíîãîîáðàçèé. Îïðåäåëåíû ïåðâîå, âòîðîå

è òðåòüå óíäàìåíòàëüíûå òîæäåñòâà

GK

^{-ñòðóêòóð.}Ñîðìóëèðîâàíû îïðåäåëåíèÿ ñïåöèàëüíûõ îáîáùåííûõ ìíîãîîáðàçèéÊåíìîöó(

SGK

-ìíîãîîáðàçèé)IèIIðîäîâ. Âðàáîòåèññëåäóþòñÿ

GK

^-

ìíîãîîáðàçèÿ,ïåðâîåóíäàìåíòàëüíîåðàñïðåäåëåíèåêîòîðûõâïîëíåèíòåãðèðóåìî.Ïîêàçàíî,÷òî

ïî÷òèýðìèòîâàñòðóêòóðà,èíäóöèðóåìàÿíàèíòåãðàëüíûõìíîãîîáðàçèÿõìàêñèìàëüíîéðàçìåðíî-

ñòèïåðâîãîðàñïðåäåëåíèÿ

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ,ÿâëÿåòñÿïðèáëèæåííîêåëåðîâîé.Ïîëó÷åíîëîêàëü- íîåñòðîåíèå

GK

-ìíîãîîáðàçèÿñçàìêíóòîéêîíòàêòíîéîðìîé,ïðèâåäåíûâûðàæåíèÿïåðâîãîè âòîðîãî ñòðóêòóðíûõ òåíçîðîâ. Òàêæå â ðàáîòå âû÷èñëåíû êîìïîíåíòû òåíçîðà Íåéåíõåéñà GK-

ìíîãîîáðàçèÿ.ÏîñêîëüêóçàäàíèåòåíçîðàÍåéåíõåéñàðàâíîñèëüíîçàäàíèþ÷åòûðåõòåíçîðîâ

N ⁽¹⁾

^,

N ⁽²⁾

^,

N ⁽³⁾

^,

N ⁽⁴⁾

^,òîèññëåäóåòñÿãåîìåòðè÷åñêèéñìûñë îáðàùåíèÿâíóëüýòèõòåíçîðîâ.Ïîëó÷åíî

ëîêàëüíîå ñòðîåíèå èíòåãðèðóåìîé èíîðìàëüíîé

GK

-ñòðóêòóðû. Äîêàçàíî, ÷òîõàðàêòåðèñòè÷å- ñêèéâåêòîð

GK

^{-ñòðóêòóðûíåÿâëÿåòñÿâåêòîðîìÊèëëèíãà.Îñíîâíûì}ðåçóëüòàòîìÿâëÿåòñÿ Òåîðåìà. Ïóñòü

M

GK

-ìíîãîîáðàçèå. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:

1) GK

^-

ìíîãîîáðàçèåèìååòçàìêíóòóþêîíòàêòíóþîðìó;

2) F ^ab = F ab = 0; 3) N ⁽²⁾ (X, Y ) = 0; 4) N ⁽³⁾ (X) = 0; 5) M

SGK

-ìíîãîîáðàçèåâòîðîãîðîäà;

6) M

^{ëîêàëüíî}êàíîíè÷åñêèêîíöèðêóëÿðíîïðîèçâå- äåíèþïðèáëèæåííîêåëåðîâàìíîãîîáðàçèÿíàâåùåñòâåííóþïðÿìóþ.

Êëþ÷åâûå ñëîâà:îáîáùåííîåìíîãîîáðàçèåÊåíìîöó,ìíîãîîáðàçèåÊåíìîöó,íîðìàëüíîåìíîãî-

îáðàçèå,òåíçîðÍåéåíõåéñà,èíòåãðèðóåìàÿñòðóêòóðà,ïðèáëèæåííîêåëåðîâîìíîãîîáðàçèå.

Mathematial Subjet Classiation (2000):58A05.

1. Ââåäåíèå

 1972 ã. Êåíìîöó [1℄ ââåë â ðàññìîòðåíèå íîâûé êëàññ ïî÷òè êîíòàêòíûõ ìåòðè÷å-

ñêèõñòðóêòóð, õàðàêòåðèçóåìûõ òîæäåñòâîì

∇ ^X (Φ)Y = h ΦX, Y i − η(Y )ΦX, X, Y ∈ X (M).

^{2018 Àáó-ÑàëååìÀ.,óñòàíîâÀ..,ÕàðèòîíîâàÑ.Â.}

Ñòðóêòóðû Êåíìîöó åñòåñòâåííî âîçíèêàþò â êëàññèèêàöèè Òàííî ñâÿçíûõïî÷òè

êîíòàêòíûõ ìåòðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ãðóïïà àâòîìîðèçìîâ êîòîðûõ èìååò ìàêñè-

ìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü [2 ℄. Îíè îáëàäàþò ðÿäîì èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð, ñòðóê-

òóðû Êåíìîöó íîðìàëüíû è èíòåãðèðóåìû, îíè íå ÿâëÿþòñÿ íè ñàñàêèåâûìè ñòðóê-

òóðàìè, íè êîñèìïëåêòè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Èçâåñòíû ïðèìåðû ñòðóêòóð Êåíìîöó

íà íå÷åòíîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ëîáà÷åâñêîãî êðèâèçíû

( − 1)

^{. Òàêèå ñòðóêòóðû ïî-}

ëó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèè êîñîãî

(warped)

ïðîèçâåäåíèÿ

R × f C ⁿ

â ñìûñëå Áèøîïà è Î'Íåéëà [3 ℄ êîìïëåêñíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà è âåùåñòâåííîé ïðÿìîé,

ãäå

f (t) = ce ^t

^{. Âñÿêîå} êîíîðìíî-ïëîñêîå ìíîãîîáðàçèå Êåíìîöó, à òàêæå ëîêàëüíî- ñèììåòðè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå Êåíìîöó ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíî ìíîãîîáðàçèþ Êåíìîöó

òàêîãîòèïà[1 ℄.Êèðè÷åíêîÂ.Ô.[4℄äîêàçàë,÷òîêëàññìíîãîîáðàçèéÊåíìîöóñîâïàäàåò

ñêëàññîì ïî÷òèêîíòàêòíûõìåòðè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé,ïîëó÷àåìûõèçêîñèìïëåêòè÷å-

ñêèõìíîãîîáðàçèéêàíîíè÷åñêèìêîíöèðêóëÿðíûìïðåîáðàçîâàíèåìêîñèìïëåêòè÷åñêîé

ñòðóêòóðû.

 ñâîåéäèññåðòàöèîííîé ðàáîòå [5℄ Óìíîâà Ñ. Â. èçó÷àëà ìíîãîîáðàçèÿ Êåíìîöó è

èõîáîáùåíèÿ.Îíàâûäåëèëàêëàññïî÷òèêîíòàêòíûõìåòðè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé, ÿâëÿ-

þùèéñÿîáîáùåíèåì ìíîãîîáðàçèéÊåíìîöó èíàçâàííûé êëàññîì îáîáùåííûõ (êîðî÷å,

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ) ìíîãîîáðàçèé Êåíìîöó. Óìíîâà Ñ. Â. âûäåëÿåò äâà ïîäêëàññà îáîá- ùåííûõìíîãîîáðàçèé Êåíìîöó, íàçâàííûõ ñïåöèàëüíûìè îáîáùåííûìèìíîãîîáðàçèÿ-

ìè Êåíìîöó (êîðîòêî,

SGK

-ìíîãîîáðàçèÿ) Iè II ðîäà. Âðàáîòå [5 ℄äîêàçàíî, ÷òî îáîá- ùåííûå ìíîãîîáðàçèÿ Êåíìîöó ïîñòîÿííîé êðèâèçíû ÿâëÿþòñÿ ìíîãîîáðàçèÿìè Êåí-

ìîöó ïîñòîÿííîé êðèâèçíû

( − 1)

^{. Êðîìå òîãî, äîêàçàíî, ÷òî êëàññ}

SGK

-ìíîãîîáðàçèé IIðîäà ñîâïàäàåò ñêëàññîì ïî÷òè êîíòàêòíûõìåòðè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ïîëó÷àåìûõ

èçòî÷íåéøèõêîñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèéêàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåìòî÷íåé-

øåéêîñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû,àòàêæåäàíîëîêàëüíîåñòðîåíèåýòèõìíîãîîáðàçèé

ïîñòîÿííîéêðèâèçíû.

 äàííîé ñòàòüå ìû èçó÷àåì ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìîñòè îáîáùåííûõ ìíîãîîáðàçèé

Êåíìîöó. àáîòà îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî ââåäåíèè ìû ïðèâîäèì ïðåäâà-

ðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ, íåîáõîäèìûå â äàëüíåéøåìèçëîæåíèè, ñòðîèì ïðîñòðàíñòâî ïðè-

ñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû.Âï.2 äàíîîïðåäåëåíèåîáîáùåííûõ ìíîãîîáðàçèéÊåíìîöó, ïðèâåäåíà ïîëíàÿ ãðóïïà ñòðóêòóðíûõ óðàâíåíèé

GK

-ìíîãîîáðàçèé íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû, ñîðìóëèðîâàíî îïðåäåëåíèå

SGK

-ìíîãîîáðàçèé I è II ðîäîâ. Èññëåäîâàíû

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ, ïåðâîå óíäàìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòî- ðûõ âïîëíå èíòåãðèðóåìî. Ïîêàçàíî, ÷òî ïî÷òè ýðìèòîâà ñòðóêòóðà, èíäóöèðóåìàÿ íà

èíòåãðàëüíûõïîäìíîãîîáðàçèÿõìàêñèìàëüíîéðàçìåðíîñòèïåðâîãîóíäàìåíòàëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ îáîáùåííîãî ìíîãîîáðàçèÿ Êåíìîöó, ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííî êåëåðîâîé

ñòðóêòóðîé. Ïîëó÷åíî ëîêàëüíîå ñòðîåíèå

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ ñ çàìêíóòîé êîíòàêòíîé îðìîé, ïðèâåäåíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñòðóêòóðíûõ òåíçî-

ðîâ. ï.3 èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà òåíçîðàÍåéåíõåéñà, ïîëó÷åíî ëîêàëüíîå ñòðîåíèå èí-

òåãðèðóåìîé è íîðìàëüíîé

GK

-ñòðóêòóðû. Äîêàçàíî, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé âåêòîð

GK

^{-ñòðóêòóðû íå ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì Êèëëèíãà. Òàêæå} èññëåäîâàíî îáðàùåíèå â íóëü òåíçîðîâ

N ⁽²⁾

^,

N ⁽³⁾

^,

N ⁽⁴⁾

^{. Îñíîâíûåðåçóëüòàòû} ñîñðåäîòî÷åíûâ ïàðàãðààõ2 è3.

Ïóñòü

M

^{ãëàäêîå} ìíîãîîáðàçèåðàçìåðíîñòè

2n + 1

^,

X (M )

C ^∞

^{-ìîäóëüãëàäêèõ}

âåêòîðíûõïîëåé íàìíîãîîáðàçèè

M

^{. Âäàëüíåéøåìâñå} ìíîãîîáðàçèÿ, òåíçîðíûå ïîëÿ èò. ï. îáúåêòû ïðåäïîëàãàþòñÿ ãëàäêèìè êëàññà

C ^∞

^.

Îïðåäåëåíèå 1.1[6℄.Ïî÷òèêîíòàêòíîéñòðóêòóðîéíàìíîãîîáðàçèè

M

^{íàçûâà-}

åòñÿòðîéêà

(η, ξ, Φ)

^{òåíçîðíûõïîëåéíàýòîì}ìíîãîîáðàçèè,ãäå

η

äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà,íàçûâàåìàÿêîíòàêòíîéîðìîéñòðóêòóðû,

ξ

^{âåêòîðíîåïîëå,íàçûâàåìîå}

õàðàêòåðèñòè÷åñêèì,

Φ

^{ýíäîìîðèçììîäóëÿ}

X (M)

^{,íàçûâàåìûé} ñòðóêòóðíûìýí- äîìîðèçìîì.Ïðèýòîì

1) η(ξ) = 1; 2) η ◦ Φ = 0; 3) Φ(ξ) = 0; 4) Φ ² = − id + η ⊗ ξ.

^(1.1)

Åñëè,êðîìå òîãî, íà

M

^{èêñèðîâàíàðèìàíîâà ñòðóêòóðà}

g = h· , ·i

^{òàêàÿ, ÷òî}

h ΦX, ΦY i = h X, Y i − η(X)η(Y ), X, Y ∈ X (M ),

òî ÷åòâåðêà

(η, ξ, Φ, g = h· , ·i )

^{íàçûâàåòñÿ ïî÷òè êîíòàêòíîé} ìåòðè÷åñêîéñòðóêòóðîé (êîðî÷å,

AC

-ñòðóêòóðîé).

Ìíîãîîáðàçèå,íàêîòîðîìèêñèðîâàíàïî÷òèêîíòàêòíàÿ (ìåòðè÷åñêàÿ) ñòðóêòóðà,

íàçûâàåòñÿ ïî÷òèêîíòàêòíûì

(

ìåòðè÷åñêèì

(

^{êîðî÷å,}

AC

^-

))

ìíîãîîáðàçèåì.

Êîñîñèììåòðè÷íûé òåíçîð

Ω(X, Y ) = h X, ΦY i

^,

X, Y ∈ X (M )

^{, íàçûâàåòñÿóíäàìåí-}

òàëüíîé îðìîé

AC

^{-ñòðóêòóðû [6℄.}

Ïóñòü

(η, ξ, Φ, g)

^{ïî÷òèêîíòàêòíàÿ}ìåòðè÷åñêàÿñòðóêòóðàíàìíîãîîáðàçèè

M ²ⁿ⁺¹

^.

 ìîäóëå

X (M)

^{âíóòðåííèì îáðàçîì îïðåäåëåíû äâà âçàèìíî} äîïîëíèòåëüíûõ ïðî- åêòîðà

m = η ⊗ ξ

^è

l = id − m = − Φ ²

^{[5 , 6℄. Òàêèì îáðàçîì,}

X (M ) =

^L

⊕

^M,

ãäå L

= Im(Φ) = ker η

^{òàê íàçûâàåìîå êîíòàêòíîå} ðàñïðåäåëåíèå,

dim

^L

= 2n

^,

M

= Im m = ker(Φ) = L(ξ)

^{ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà} õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî âåêòîðà (ïðè÷åì

l

è

m

^{ÿâëÿþòñÿ}ïðîåêòîðàìè íàïîäìîäóëè L èM ñîîòâåòñòâåííî).

Î÷åâèäíî, ðàñïðåäåëåíèÿL èM èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî

Φ

^{èâçàèìíî} îðòîãîíàëü- íû. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî

Φ ˜ ² = − id

^,

ΦX, ˜ ΦY ˜

= X, Y

,

X, Y ∈ X (M )

^{, ãäå}

Φ = Φ ˜ |

^L.

Ñëåäîâàòåëüíî,

{ Φ ˜ p , g _p |

^L

}

^{ýðìèòîâà ñòðóêòóðàíà} ïðîñòðàíñòâå L

p

^.

Êîìïëåêñèèêàöèÿ

X (M ) ^C

^ìîäóëÿ

X (M )

ðàñïàäàåòñÿ âïðÿìóþ ñóììó

X (M ) ^C = D _Φ ^{√ − 1} ⊕ D _Φ ^{− √ − 1} ⊕ D ⁰ _Φ

ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ñòðóêòóðíîãî ýíäîìîðèçìà

Φ

^{, îòâå-}

÷àþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì

√ − 1

^,

− √

− 1

^{è 0} ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè÷åìïðîåêòîðàìè íà ñëàãàåìûåýòîé ïðÿìîéñóììû áóäóò, ñîîòâåòñòâåííî, ýíäîìîðèçìû[6 ℄

π = σ ◦ l = − 1

2 (Φ ² + √

− 1Φ), ¯ π = ¯ σ ◦ l = − 1

2 ( − Φ ² + √

− 1Φ), m = id + Φ ² , σ = 1

2 (id − √

− 1Φ), σ ¯ = 1

2 (id + √

− 1Φ).

Îòîáðàæåíèÿ

σ _p :

^L

_p → D

√ − 1

Φ

^è

σ ¯ _p :

^L

_p → D ⁻

√ − 1

Φ

^{ÿâëÿþòñÿ} ñîîòâåòñòâåííî èçîìîðèçìîì è àíòèèçîìîðèçìîì ýðìèòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïîýòîìó ê êàæäîé òî÷-

êå

p ∈ M ²ⁿ⁺¹

^ìîæíî ïðèñîåäèíèòü ñåìåéñòâî ðåïåðîâ ïðîñòðàíñòâà

T _p (M ) ^C

^âèäà

(p, ǫ ₀ , ǫ ₁ , . . . , ǫ _n , ǫ _{ˆ 1} , . . . , ǫ _{n ˆ} )

^{, ãäå}

ǫ _a = √

2σ _p (e _a )

^,

ǫ _{a ˆ} = √

2¯ σ _p (e _a )

^;

ǫ ₀ = ξ _p ,

^ãäå

{ e _a }

^îðòî-

íîðìèðîâàííûéáàçèñýðìèòîâàïðîñòðàíñòâà

L _p

^{.Òàêîéðåïåðíàçûâàåòñÿ}

A

^{-ðåïåðîì[6℄.}

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìàòðèöûêîìïîíåíò òåíçîðîâ

Φ p

^è

g _p

^â

A

^{-ðåïåðå èìåþò âèä}

(Φ ^j _i ) =





0 0 0

0 √

− 1 I _n 0

0 0 − √

− 1 I n



 , (g ij ) =





1 0 0 0 0 I _n 0 I n 0



 ,

^(1.2)

ãäå

I _n

^{åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà}

n

^{. Õîðîøî èçâåñòíî [6, 7℄, ÷òî} ñîâîêóïíîñòü òà- êèõ ðåïåðîâ îïðåäåëÿåò

G

^{-ñòðóêòóðó íà}

M

^ñî ñòðóêòóðíîé ãðóïïîé

{ 1 } × U(n)

^{, ïðåä-}

ñòàâëåííîé ìàòðèöàìè âèäà





1 0 0 0 A 0 0 0 A





^{, ãäå}

A ∈ U (n)

^{. Ýòà}

G

^{-ñòðóêòóðà íàçûâàåòñÿ}

ïðèñîåäèíåííîé [6, 7℄.

Ïîä÷åðêíåì,÷òîïðîñòðàíñòâîïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðûñîñòîèòèç}êîìïëåêñíûõ ðåïåðîâ, ò. å. ðåïåðîâ êîìïëåêñèèêàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.

Ïîýòîìó, äàæåèìåÿäåëîñâåùåñòâåííûìèòåíçîðàìè, ìû,ãîâîðÿîáèõêîìïîíåíòàõíà

ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû, ïîäðàçóìåâàåì êîìïîíåíòû êîìïëåêñíûõ ðàñøèðåíèéýòèõòåíçîðîâ. Âñâîþî÷åðåäü,êîìïëåêñíûéòåíçîðÿâëÿåòñÿêîìïëåêñíûì

ðàñøèðåíèåì âåùåñòâåííîãî òåíçîðà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí èíâàðèàíòåí îòíî-

ñèòåëüíî îïåðàòîðà êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Ñëåäóÿ îáùåïðèíÿòîé òðàäèöèè, áóäåì

íàçûâàòüòàêîéòåíçîðâåùåñòâåííûì.Â÷àñòíîñòè,ñóììà÷èñòîãîêîìïëåêñíîãîòåíçîðà

èêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîãî åìóòåíçîðàÿâëÿåòñÿâåùåñòâåííûì òåíçîðîì.

Íà ïðîòÿæåíèè âñåé ðàáîòû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü, ÷òî èíäåêñû

i, j, k, . . .

^{ïðîáåãàþò}

çíà÷åíèÿîò

0

^äî

2n

^{,èíäåêñû}

a, d, c, d, f, g, . . .

^{çíà÷åíèÿîò}

1

^äî

n

^{,èïîëîæèì}

ˆ a = a + n

^,

ˆ ˆ

a = a

^,

ˆ 0 = 0

^{. Ïîñêîëüêó}

Φ

^è

g

^{òåíçîðû òèïîâ}

(1, 1)

^è

(2, 0)

ñîîòâåòñòâåííî, èõ êîìïî- íåíòûíà ïðîñòðàíñòâå ðàññëîåíèÿâñåõ ðåïåðîâíàä

M

óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì

dΦ ⁱ _j + Φ ^k _j θ ⁱ _k − Φ ⁱ _k θ ^k _j = Φ ⁱ _j,k ω ^k , dg _ij − g _kj θ ^k _i − g _ik θ ^k _j = g _ij,k θ ^k ,

^(1.3)

ãäå

{ ω ⁱ }

^,

{ θ _j ⁱ }

^{êîìïîíåíòû îðì ñìåùåíèÿ è îðì ðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè}

∇

^{ñîîòâåò-}

ñòâåííî,

Φ ⁱ _j,k

^,

g _ij,k

^{êîìïîíåíòû}êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèàëà

Φ

^è

g

^{âýòîé ñâÿçíîñòè}

ñîîòâåòñòâåííî. Áîëååòîãî, âñèëó îïðåäåëåíèÿðèìàíîâîé ñâÿçíîñòè

∇ g = 0

^{è, çíà÷èò,}

g _ij,k = 0.

^(1.4)

Ñó÷åòîì (1.2) è (1.4) ñîîòíîøåíèÿ (1.3) íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû}

ïåðåïèøóòñÿâ îðìå[6℄

Φ ^a _b,i = 0, Φ ^{ˆ a} _{ˆ b,i} = 0, Φ ⁰ _0,i = 0, θ ⁰ _a = − √

− 1 Φ ⁰ _a,i ω ⁱ , θ _a ⁰ _ˆ = √

− 1 Φ ⁰ _{ˆ a,i} ω ⁱ , θ ₀ ^a = √

− 1 Φ ^a _0,i ω ⁱ , θ ₀ ^{ˆ a} = − √

− 1 Φ ^{ˆ a} _0,i ω ⁱ , θ _ˆ ^a

b =

√ − 1 2 Φ ^a _ˆ

b,i ω ⁱ , θ _b ^{ˆ a} = −

√ − 1

2 Φ ^a _b,i ω ⁱ , θ ⁰ ₀ = 0, θ _j ⁱ + θ _ˆ ^{ˆ j}

i = 0.

Êðîìå òîãî, çàìåòèì, ÷òî â ñèëó âåùåñòâåííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îðì è òåíçîðîâ

ω ⁱ = ω ^{ˆ i}

^,

θ ⁱ _j = θ ^ˆ _ˆ ⁱ

j

^,

Φ ⁱ _j,k = Φ ^{ˆ i} _ˆ

j, ˆ k

^{, ãäå}

t → ¯ t

^{îïåðàòîð}êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ.

Ñó÷åòîì ýòèõñîîòíîøåíèé ïåðâàÿãðóïïà ñòðóêòóðíûõóðàâíåíèé ðèìàíîâîé ñâÿç-

íîñòè

dω ⁱ = − θ _j ⁱ ∧ ω ^j

^ïî÷òè êîíòàêòíîãî ìåòðè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû çàïèøåòñÿ âñëåäóþùåéîðìå [6 ℄:}

1) dω = C _ab ω ^a ∧ ω ^b + C ^ab ω _a ∧ ω _b + C _a ^b ω ^a ∧ ω _b + C _a ω ∧ ω ^a + C ^a ω ∧ ω _a ; 2) dω ^a = − θ _b ^a ∧ ω ^b + B ^ab c ω ^c ∧ ω _b + B ^abc ω _b ∧ ω c + B ^a _b ω ∧ ω ^b + B ^ab ω ∧ ω _b ; 3) dω _a = θ ^b _a ∧ ω _b + B _ab ^c ω _c ∧ ω ^b + B _abc ω ^b ∧ ω ^c + B _a ^b ω ∧ ω _b + B _ab ω ∧ ω ^b ,

ãäå

ω = π ^∗ (η)

^,

π

åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû}

íàìíîãîîáðàçèå

M

^,

B ^ab _c = −

√ − 1

2 Φ _ˆ ^a _b,c ; B ^abc =

√ − 1

2 Φ ^a _{[ˆ b,ˆ c]} ; B ^a _b = √

− 1Φ ^a _0,b ; B ^ab = √

− 1

Φ ^a _{0, ˆ b} − 1 2 Φ ^a _{ˆ b,0}

; B _ab ^c =

√ − 1

2 Φ ^{ˆ a} _{b,ˆ c} ; B _abc = −

√ − 1 2 Φ ^{ˆ a} _[b,c] ; B _a ^b = − √

− 1Φ ^{ˆ a}

0, ˆ b ; B _ab = − √

− 1

Φ ^{ˆ a} _0,b − 1 2 Φ ^a _b,0 ^ˆ

;

C _ab = − √

− 1Φ ⁰ _[a,b] ; C ^ab = √

− 1Φ ⁰ _{[ˆ a, ˆ b]} ; C _b ^a = − √

− 1 Φ ⁰ _{ˆ a,b} + Φ ⁰ _{b,ˆ a}

= B ^a _b − B _b ^a ; C _a = √

− 1Φ ⁰ _a,0 ; C ^a = − √

− 1Φ ⁰ _{ˆ a,0} .

Ïðèýòîì

B ^abc = B _abc , B ^ab = B _ab , θ ^b _a = − θ _b ^a .

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

C ^abc =

√ − 1 2 Φ _ˆ ^a

b,ˆ c ; C _abc = −

√ − 1 2 Φ ^{ˆ a} _b,c ; F ^ab = √

− 1Φ ⁰ _{ˆ a, ˆ b} ; F _ab = − √

− 1Φ ⁰ _a,b .

(1.5)

Äëÿ òåíçîðíûõ êîìïîíåíò îðìûðèìàíîâîé ñâÿçíîñòèèìåþò ìåñòî ñëåäóþùèåñî-

îòíîøåíèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû [6 ℄:}

1) θ _ˆ ^a

b = ^√ ₂ ^{− 1} Φ _ˆ ^a

b,i ω ⁱ ; 2) θ ^{ˆ a} _b = − ^{√ −} ₂ ¹ Φ ^a _b,i ω ⁱ ; 3) θ ^a ₀ = √

− 1Φ ^a _0,i ω ⁱ ; 4)θ ₀ ^{ˆ a} = − √

− 1Φ ^{ˆ a} _0,i ω ⁱ ; 5) θ ⁰ _a = − √

− 1Φ ⁰ _a,i ω ⁱ ; 6) θ ⁰ _{ˆ a} = √

− 1Φ ⁰ _{a,i ˆ} ω ⁱ ; 7) θ ⁰ ₀ = 0; 8) θ ⁱ _j + θ _ˆ ^{ˆ j}

i = 0; 9) θ ⁰ _0,i = θ _b,i ^a = θ _ˆ ^{ˆ a}

b,i = 0.

(1.6)

2. Îáîáùåííûå ìíîãîîáðàçèÿ Êåíìîöó

Ïóñòü

(M ²ⁿ⁺¹ , Φ, ξ, g = h· , ·i )

^{ïî÷òè êîíòàêòíîå} ìåòðè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå.

Îïðåäåëåíèå 2.1 [1℄. Ïî÷òè êîíòàêòíàÿ ìåòðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà, õàðàêòåðèçóåìàÿ

òîæäåñòâîì

∇ X (Φ)Y = − η(Y )ΦX − h X, ΦY i , X, Y ∈ X (M),

íàçûâàåòñÿ ñòðóêòóðîéÊåíìîöó.

Ìíîãîîáðàçèå, ñíàáæåííîå ñòðóêòóðîé Êåíìîöó, íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Êåíìî-

öó.

Ïîëîæèì âýòîì òîæäåñòâå

Y = X

^{. Òîãäàïîëó÷èì}

∇ X (Φ)X = − η(X)ΦX, X ∈ X (M ).

 ïîëó÷åííîì òîæäåñòâå ñäåëàåì çàìåíó

X → X + Y

(ïîëÿðèçàöèÿ ïî

X

^{), òîãäà}

ïîëó÷èì

∇ X (Φ)Y + ∇ Y (Φ)X = − η(Y )ΦX − η(X)ΦY, X, Y ∈ X (M ).

^(2.1)

Îïðåäåëåíèå 2.2[5℄.Êëàññïî÷òèêîíòàêòíûõìåòðè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé,õàðàêòå-

ðèçóåìûõòîæäåñòâîì(2.1),íàçûâàåòñÿîáîáùåííûìèìíîãîîáðàçèÿìèÊåíìîöó(êîðî÷å,

GK

-ìíîãîîáðàçèÿìè).

àñïèñàâ òîæäåñòâî (2.1) íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå.

Ïðåäëîæåíèå 2.1. Êîìïîíåíòû êîâàðèàíòíîãî äèåðåíöèàëà ñòðóêòóðíîãî ýí-

äîìîðèçìà íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû} óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:

1) Φ ⁰ _0,i = Φ ^a _b,0 = Φ ^a _ˆ ^ˆ

b,0 = 0; 2) Φ ⁰ _i,0 = Φ ⁱ _0,0 = 0; 3) Φ ^b _0,a = − Φ ^{a ˆ}

0, ˆ b = − √

− 1δ ^b _a ; 4) Φ ^{ˆ a} _{b,ˆ c} = Φ ^a _ˆ

b,c = 0; 5) Φ ^{ˆ a} _0,b + Φ ^{ˆ a} _b,0 = 0; 6) Φ ^a

0, ˆ b + Φ ^a _ˆ

b,0 = 0;

7) Φ ⁰ _a,b + Φ ⁰ _b,a = 0; 8) Φ ⁰

ˆ a, ˆ b + Φ ⁰ _ˆ

b,ˆ a = 0; 9) Φ ⁰

a, ˆ b + Φ _ˆ ⁰

b,a = 0;

10) Φ ^c _a,b ^ˆ + Φ ^{ˆ c} _b,a = 0; 11) Φ ^{c ˆ} _ˆ

ˆ a, ˆ b + Φ _ˆ ^{ˆ c}

b,ˆ a = 0.

(2.2)

Ñó÷åòîìïðåäëîæåíèÿ 2.1ïåðâàÿãðóïïàñòðóêòóðíûõóðàâíåíèé

GK

-ìíîãîîáðàçèé ïðèìåòâèä [8℄

1) dω = F _ab ω ^a ∧ ω ^b + F ^ab ω _a ∧ ω _b ; 2) dω ^a = − θ _b ^a ∧ ω ^b + C ^abc ω _b ∧ ω _c − 3

2 F ^ab ω ∧ ω _b + δ ^a _b ω ∧ ω ^b ;

^(2.3)

3) dω _a = θ _a ^b ∧ ω _b + C _abc ω ^b ∧ ω ^c − 3

2 F _ab ω ∧ ω ^b + δ ^b _a ω ∧ ω _b ,

ãäå

C ^abc =

√ − 1 2 Φ _ˆ ^a

b,ˆ c ; C _abc = −

√ − 1

2 Φ ^{ˆ a} _b,c ; C ^[abc] = C ^abc ; C _[abc] = C _abc ; C ^abc = C _abc ; F ^ab = √

− 1Φ ⁰ _{ˆ a, ˆ b} ; F _ab = − √

− 1Φ ⁰ _a,b ; F ^ab + F ^ba = 0; F _ab + F _ba = 0; F ^ab = F _ab .

(2.4)

Èç (2.3)ñëåäóåò

Ïðåäëîæåíèå 2.2 [5 ℄. Åñëè

C ^abc = C _abc = 0

^è

F ^ab = F _ab = 0

^{, òî}

GK

-ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì Êåíìîöó.

Ïðåäëîæåíèå 2.2äàåò ïðèìåðû

GK

-ìíîãîîáðàçèé.

Ñòàíäàðòíàÿ ïðîöåäóðàäèåðåíöèàëüíîãîïðîäîëæåíèÿïåðâîé ãðóïïûñòðóêòóð-

íûõ óðàâíåíèé

GK

-ìíîãîîáðàçèé ïîçâîëÿåòïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 2.1. Ïîëíàÿ ãðóïïà ñòðóêòóðíûõ óðàâíåíèé

GK

-ìíîãîîáðàçèé íà ïðî- ñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðûèìååò âèä}

1) dω = F _ab ω ^a ∧ ω ^b + F ^ab ω _a ∧ ω _b ; 2) dω ^a = − θ ^a _b ∧ ω ^b + C ^abc ω _b ∧ ω _c − 3

2 F ^ab ω ∧ ω _b + δ _b ^a ω ∧ ω ^b ; 3) dω _a = θ _a ^b ∧ ω _b + C _abc ω ^b ∧ ω ^c − 3

2 F _ab ω ∧ ω ^b + δ _a ^b ω ∧ ω _b ; 4) dθ ^a _b = − θ _c ^a ∧ θ ^c _b +

A ^ad _bc − 2C ^adh C _hbc − 3 2 F ^ad F _bc

ω ^c ∧ ω _d +

− 1

3 δ ^a _b F _cd + 2

3 δ ^a _c F _db + 2 3 δ ^a _d F _bc

ω ^c ∧ ω ^d + 1

3 δ ^a _b F ^cd − 2

3 δ ^c _b F ^da − 2 3 δ _b ^d F ^ac

ω c ∧ ω _d ;

^(2.5)

5) dC ^abc + C ^dbc θ _d ^a + C ^adc θ _d ^b + C ^abd θ ^c _d = C ^abcd ω _d − 2δ _d ^[a F ^bc] ω ^d − C ^abc ω;

6) dC _abc − C _dbc θ _a ^d − C _adc θ ^d _b − C _abd θ _c ^d = C _abcd ω ^d − 2δ ^d _[a F _bc] ω _d − C _abc ω;

7) dF ^ab + F ^cb θ _c ^a + F ^ac θ _c ^b = − 2F ^ab ω;

8) dF _ab − F _cb θ ^c _a − F ac θ _b ^c = − 2F _ab ω.

Ïðèýòîì

A ^ad _[bc] = A ^[ad] _bc = 0; C ^a[bcd] = 3

2 F ^a[b F ^cd] ; F _ad C ^dbc = 0;

èîðìóëûêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå.

Ïðîäèåðåíöèðîâàâ âíåøíèìîáðàçîì óðàâíåíèÿ (2.5),ïîëó÷àåì

1) dA ^ad _bc + A ^hd _bc θ _h ^a + A ^ah _bc θ _h ^d − A ^ad _hc θ ^h _b − A ^ad _bh θ ^h _c = A ^ad _bch ω ^h + A ^adh _bc ω _h + A ^ad _bc0 ω;

2) dC ^abcd + C ^hbcd θ _h ^a + C ^ahcd θ ^b _h + C ^abhd θ _h ^c + C ^abch θ _h ^d = C ^abcdh ω _h + C ^abcd0 ω;

3) dC _abcd − C _hbcd θ ^h _a − C _ahcd θ ^h _b − C _abhd θ _c ^h − C _abch θ ^h _d = C _abcdh ω ^h + C _abcd0 ω.

Ïðèýòîì ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèåòîæäåñòâà:

1) A ^ad _b[ch] = 0; 2) A ^a[dh] _bc = 0;

3) A ^ad _bc0 = − 2A ^ad _bc − 4C ^adh C _hbc + F ^ad F _bc − 2δ _b ^a F ^dh F _hc − 2δ _c ^a F ^dh F _hb − 2δ _b ^d F ^ah F _hc ; 4) A ^ag _b[c − 2C ^agf C _{f b[c}

C _{| g | dh]} = 0;

5)

A ^ah _b[c − 3

2 F ^ah F _b[c

F _{| h | d]} = 0;

6) C ^abcg C _gdh = 0; 7) C ^abch F _hd = 0;

8) 2F ^ab F _cd = δ _d ^a F _ch − δ ^a _c F _dh

F ^hb + δ ^b _c F _dh − δ ^b _d F _ch F ^ha ; 9) 2F ^ab F ^cd = F ^ac F ^db + F ^ad F ^bc

è îðìóëûêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå.

Òîæäåñòâî

F ^ad C _dbc = 0

^{íàçîâåìïåðâûì}óíäàìåíòàëüíûìòîæäåñòâîì

GK

^-ñòðóê-

òóðû; òîæäåñòâî

A ^ad _b[c C _gf]d = 2C ^adh C _hb[c C _gf]d

^âòîðûì óíäàìåíòàëüíûì òîæäå- ñòâîì; òîæäåñòâî

A ^ad _b[c F _{| d | g]} = ³ ₂ F ^ad F _b[c F _{| d | g]}

^{òðåòüèì} óíäàìåíòàëüíûì òîæäå- ñòâîì.

Îïðåäåëåíèå 2.3 [5℄.

GK

^{-ñòðóêòóðà} íàçûâàåòñÿ: ñïåöèàëüíîé îáîáùåííîé ñòðóê- òóðîé Êåíìîöó I ðîäà (êîðîòêî,

SGK

-ñòðóêòóðîé Iðîäà), åñëè

C ^dbc = C _dbc = 0

^{; ñïåöè-}

àëüíîé îáîáùåííîé ñòðóêòóðîé Êåíìîöó II ðîäà (êîðîòêî,

SGK

-ñòðóêòóðîé II ðîäà), åñëè

F _ad = F ^ad = 0

^.

Çàìåòèì, ÷òî èç âèäà óðàâíåíèÿ(2.5(1)) âûòåêàåò òîæäåñòâî

dη(X, Y ) + dη(ΦX, ΦY ) = 0,

àòàêæå ðàâíîñèëüíîååìóòîæäåñòâî

dη(ΦX, Y ) = dη(X, ΦY )

^{äëÿëþáûõ}

X, Y ∈ X (M )

^.

Âñàìîì äåëå,

(dη) _ab = dη(ǫ _a , ǫ _b ) = − dη(Φǫ _a , Φǫ _b ) = F _ab , (dη) _{ˆ ab} = dη(ǫ _{ˆ a} , ǫ _b ) = dη(Φǫ _{ˆ a} , Φǫ _b ) = 0, (dη) _{a ˆ b} = dη(ǫ a , ǫ _{ˆ b} ) = dη(Φǫ a , Φǫ _{ˆ b} ) = 0, (dη) _{a ˆ ˆ b} = dη(ǫ _{ˆ a} , ǫ _{ˆ b} ) = − dη(Φǫ _{ˆ a} , Φǫ _{ˆ b} ) = F ^ab , (dη) _a0 = dη(ǫ a , ξ) = − dη(Φǫ a , Φξ) = 0, (dη) _{ˆ a0} = dη(ǫ _ˆ a , ξ) = − dη(Φǫ _ˆ a , Φξ) = 0, (dη) _0a = dη(ξ, ǫ a ) = − dη(Φξ, Φǫ a ) = 0, (dη) ₍ 0ˆ a) = dη(ξ, ǫ _ˆ a ) = − dη(Φξ, Φǫ _ˆ a ) = 0, (dη) 00 = dη(ξ, ξ ) = − dη(Φξ, Φξ) = 0.

Îáðàòíî, î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíåíèå ýòèõ ñîîòíîøåíèé âëå÷åò ñïðàâåäëèâîñòü òîæ-

äåñòâà

dη(X, Y ) + dη(ΦX, ΦY ) = 0

^{äëÿëþáûõ}

X, Y ∈ X (M)

^.

Ïóñòü

M

GK

-ìíîãîîáðàçèå, ïåðâîå óíäàìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîãî âïîëíå èíòåãðèðóåìî. Äèåðåíöèàëüíàÿ 1-îðìà

ω = η ◦ π _∗

^,

π

åñòåñòâåííàÿ ïðî- åêöèÿ â ãëàâíîì ðàññëîåíèè ðåïåðîâ íàä ìíîãîîáðàçèåì

M

^{, à}

π _∗

ïîðîæäåííîå åé óâëå÷åíèå

π

^{-ñâÿçíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé íà} ìíîãîîáðàçèè

M

^{, ÿâëÿåòñÿ îðìîé Ïàà}

ïåðâîãî óíäàìåíòàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò. å. êîáàçèñîì êîðàñïðåäåëåíèÿ àññîöèèðî-

âàííîãî ñ ïåðâûì óíäàìåíòàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì L.Ïî êëàññè÷åñêîé òåîðåìå Ôðî-

áåíèóñàâïîëíåèíòåãðèðóåìîñòü ïåðâîãîóíäàìåíòàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿðàâíîñèëüíà

ñóùåñòâîâàíèþ îðìû

θ

^{, ÷òî}

dω = θ ∧ ω

^.

Òåîðåìà 2.2.

GK

-ìíîãîîáðàçèå, ïåðâîå óíäàìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîãî âïîëíå èíòåãðèðóåìî,ÿâëÿåòñÿ

SGK

-ìíîãîîáðàçèåì IIðîäà.

⊳

Ïî÷òè êîíòàêòíàÿ ìåòðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé, åñëè

dη ∧ η = 0

^{. Òàê êàê}

ω = π ^∗ (η)

^,

π

åñòåñòâåííàÿïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâàïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðûíà}ìíîãîîáðàçèè

M

^{, èç(2.5(1))ñëåäóåò,÷òî äëÿòîãî ÷òîáûïåðâîåóíäà-}

ìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå áûëî âïîëíå èíòåãðèðóåìî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

ñëàãàåìûå

F _ab ω ^a ∧ ω ^b ∧ ω

^è

F ^ab ω _a ∧ ω _b ∧ ω

^{áûëè ðàâíû íóëþ.Çíà÷èò,} íåîáõîäèìî, ÷òî- áû

F _ab = F ^ab = 0

^{. Ñîãëàñíî} îïðåäåëåíèþ 2.3

GK

^{-ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ}

SGK

-ñòðóêòóðîé IIðîäà.

⊲

Ïîñêîëüêóâñÿêîå

SGK

-ìíîãîîáðàçèå IIðîäà ëîêàëüíî êàíîíè÷åñêè êîíöèðêóëÿðíî òî÷íåéøåêîñèìïëåêòè÷åñêîìó ìíîãîîáðàçèþ[5 ℄,àòî÷íåéøåêîñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãî-

îáðàçèå ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíî ïðîèçâåäåíèþ ïðèáëèæåííî êåëåðîâà ìíîãîîáðàçèÿ íà

âåùåñòâåííóþïðÿìóþ[6 ℄,òîïðåäûäóùóþòåîðåìóìîæíîñîðìóëèðîâàòüâñëåäóþùåì

âèäå.

Òåîðåìà 2.3.

GK

-ìíîãîîáðàçèå, ïåðâîå óíäàìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîãî âïîëíåèíòåãðèðóåìî,ëîêàëüíîêàíîíè÷åñêèêîíöèðêóëÿðíîïðîèçâåäåíèþïðèáëèæåííî

êåëåðîâà ìíîãîîáðàçèÿíà âåùåñòâåííóþïðÿìóþ.

Ïóñòü

M

GK

-ìíîãîîáðàçèå, ïåðâîå óíäàìåíòàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîãî âïîëíåèíòåãðèðóåìî.Òîãäàïåðâàÿãðóïïàñòðóêòóðíûõóðàâíåíèéòàêîãîìíîãîîáðàçèÿ

èìååò âèä

1) dω = 0;

2) dω ^a = − θ ^a _b ∧ ω ^b + C ^abc ω _b ∧ ω _c + δ _b ^a ω ∧ ω ^b ; 3) dω _a = θ _a ^b ∧ ω _b + C _abc ω ^b ∧ ω ^c + δ _a ^b ω ∧ ω _b .

Ïóñòü

N ⊂ M

èíòåãðàëüíîåìíîãîîáðàçèåìàêñèìàëüíîéðàçìåðíîñòèïåðâîãîóí- äàìåíòàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ

M

^{.Òîãäàíàíåì}åñòåñòâåííûìîáðàçîì èíäóöèðóåòñÿ ïî÷òè ýðìèòîâà ñòðóêòóðà

(J, ˜ g)

^{, ãäå}

J = Φ |

^L,

g ˜ = g |

^{L. Òàê êàê îðìà}

ω

ÿâëÿåòñÿ îðìîéÏààïåðâîãîóíäàìåíòàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ, òîïåðâàÿ ãðóïïà

ñòðóêòóðíûõóðàâíåíèé ïî÷òè ýðìèòîâîé ñòðóêòóðû íà

N

^{èìååò âèä}

1) dω = 0;

2) dω ^a = − θ _b ^a ∧ ω ^b + C ^abc ω _b ∧ ω _c ; 3) dω _a = θ _a ^b ∧ ω _b + C _abc ω ^b ∧ ω ^c .

Èñïîëüçóÿòàáëèöó¾ÎáîáùåííûåêëàññûðåÿÕåðâåëëû¿[6℄,ïîëó÷àåì,÷òîïî÷òè

ýðìèòîâà ñòðóêòóðà, èíäóöèðóåìàÿ íà èíòåãðàëüíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ ìàêñèìàëüíîé

ðàçìåðíîñòè ïåðâîãî óíäàìåíòàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ

M

^{, ÿâëÿåòñÿ}

ïðèáëèæåííî êåëåðîâîéñòðóêòóðîé.

Òåîðåìà 2.4. Ïî÷òè ýðìèòîâà ñòðóêòóðà, èíäóöèðóåìàÿ íà èíòåãðàëüíûõ ïîä-

ìíîãîîáðàçèÿõ ìàêñèìàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïåðâîãî óíäàìåíòàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ

M

^{, ÿâëÿåòñÿ}ïðèáëèæåííî êåëåðîâîé ñòðóêòóðîé.

Òåîðåìà 2.5.

GK

-ìíîãîîáðàçèå ñ çàìêíóòîé êîíòàêòíîé îðìîé ÿâëÿåòñÿ

SGK

^-

ìíîãîîáðàçèåìIIðîäà,ò.å.ìíîãîîáðàçèåìëîêàëüíîêàíîíè÷åñêèêîíöèðêóëÿðíûìïðî-

èçâåäåíèþïðèáëèæåííî êåëåðîâà ìíîãîîáðàçèÿíà âåùåñòâåííóþïðÿìóþ.

⊳

Ïîñêîëüêó

ω = ω ⁰ = π ^∗ (η)

^{, ãäå}

π

åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðè- ñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû íà} ìíîãîîáðàçèè

M

^{, òî èç (2.5(1)) ñëåäóåò, ÷òî êîíòàêòíàÿ}

îðìà

GK

-ìíîãîîáðàçèÿ çàìêíóòà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

F _ab = F ^ab = 0

^{, ò. å.}

ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2.3, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ

SGK

^-

ìíîãîîáðàçèåìIIðîäà.Àçíà÷èò, ëîêàëüíîêàíîíè÷åñêèêîíöèðêóëÿðíûìïðîèçâåäåíèþ

ïðèáëèæåííî êåëåðîâàìíîãîîáðàçèÿíà âåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ.

⊲

àññìîòðèì ñèñòåìû óíêöèé íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû:

1)

C = { C ⁱ _jk }

^{, ïîëîæèâ}

C ^a _{ˆ bˆ c} = C ^abc

^,

C ^{ˆ a} _bc = C _abc

^{, âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû íó-}

ëåâûå; 2)

F = { F ⁱ _j }

^{, ïîëîæèâ}

F ^a _{ˆ b} = F ^ab

^,

F ^{ˆ a} _b = F _ab

^{, âñå îñòàëüíûå êîìïîíåíòû}

F

íóëåâûå.

Ïî Îñíîâíîé òåîðåìåòåíçîðíîãî àíàëèçà ñ ó÷åòîì(2.5(5))(2.5(8)) ñåìåéñòâàóíê-

öèé

C

^è

F

^{îïðåäåëÿþò} âåùåñòâåííûå òåíçîðíûå ïîëÿ òèïà

(2, 1)

^è

(1, 1)

^{íà ìíîãîîá-}

ðàçèè

M

^{, êîòîðûå ìû îáîçíà÷èì òåìè æå ñèìâîëàìè. Íàçîâåì ýòè òåíçîðû ïåðâûì è}

âòîðûì ñòðóêòóðíûìè òåíçîðàìè

GK

-ñòðóêòóðû.

Òåîðåìà 2.6. Ñòðóêòóðíûå òåíçîðû

GK

^{-ñòðóêòóðû èìåþò ñëåäóþùèåâûðàæåíèÿ:}

1) C(X, Y ) = − 1

2 Φ ◦ ∇ ΦY (Φ)ΦX = − 1

2 Φ ² ◦ ∇ ΦY (Φ)Φ ² X;

2) (X) = Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² X = − Φ ◦ ∇ X (Φ)ξ − Φ ² X = −∇ X ξ − Φ ² X

= − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ − Φ ² X = − Φ ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ − Φ ² X ( ∀ X, Y ∈ X (M )).

⊳

Â[8 ℄ ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå ïåðâîãî ñòðóêòóðíîãîòåíçîðà

C(X, Y ) = 1 4

Φ ◦ ∇ Φ ² Y (Φ)Φ ² X − Φ ² ◦ ∇ Φ ² Y (Φ)ΦX

= − 1 4

Φ ◦ ∇ ΦY (Φ)ΦX + Φ ² ◦ ∇ ΦY (Φ)Φ ² X ( ∀ X, Y ∈ X (M)).

(2.6)

Ïðîäèåðåíöèðîâàâ êîâàðèàíòíîðàâåíñòâî

Φ ² = − id + η ⊗ ξ

^{, ïîëó÷èì}

∇ ^Y (Φ)ΦX + Φ ◦ ∇ ΦY (Φ)X = ξ ∇ Y (η)X + η(X) ∇ Y ξ

^{.  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ñíà÷àëà ñäåëàåì çàìåíó}

X → ΦX

^{, àçàòåì íàïîëó÷åííîå òîæäåñòâî} ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì

Φ ²

^{. Òîãäàïîëó÷èì}

Φ ◦ ∇ Y (Φ)ΦX = Φ ² ◦ ∇ Y (Φ)Φ ² X

^{.  ïîëó÷åííîì òîæäåñòâå ñäåëàåì çàìåíó}

Y → ΦY

^.

Òîãäà

Φ ◦ ∇ ΦY (Φ)ΦX = Φ ² ◦ ∇ ΦY (Φ)Φ ² X ( ∀ X, Y ∈ X (M)).

^(2.7)

Ñ ó÷åòîì(2.7) ðàâåíñòâî (2.6)çàïèøåòñÿâ âèäå

C(X, Y ) = − 1

2 Φ ◦ ∇ ΦY (Φ)ΦX = − 1

2 Φ ² ◦ ∇ ΦY (Φ)Φ ² X ( ∀ X, Y ∈ X (M )).

Íàïîìíèì [6, 9℄, ÷òî òðåòèé, ÷åòâåðòûé è ïÿòûé ñòðóêòóðíûå òåíçîðû ïî÷òè êîí-

òàêòíîé ìåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðû èìåþòñëåäóþùèå àíàëèòè÷åñêèåâûðàæåíèÿ:

1) D(X) = − 1 2

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ − 1

2 Φ ◦ ∇ ^ξ (Φ)Φ ² X + 1

2 Φ ² ◦ ∇ ^ξ (Φ)ΦX

; 2) E(X) = − 1

2

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ + Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ ; 3) F (X) = 1

2

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ ( ∀ X ∈ X (M )).

(2.8)

Ïðèìåíèâ ïðîöåäóðó âîññòàíîâëåíèÿ òîæäåñòâà [6 , 7 ℄ ê ðàâåíñòâó

Φ ^b _0,a = − √

− 1δ ^b _a

^,

ïîëó÷èì

Φ ² ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ = − 2ΦX

^{äëÿ ëþáîãî}

X ∈ X (M )

^. Ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì

Φ

^{íàîáå ÷àñòè ïîñëåäíåãîðàâåíñòâà. Òîãäà}

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ + Φ ² ◦ ∇ ^ΦX (Φ)ξ = 2Φ ² X

^{äëÿ ëþáîãî}

X ∈ X (M)

^.

Ïîñêîëüêó òðåòèé è ïÿòûé ñòðóêòóðíûå òåíçîðû äëÿ ëþáîãî

X ∈ X (M)

^{ñâÿçàíû}

ñîîòíîøåíèåì

D(X) = − ³ ₂ F(X)

^{, òî}

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ + Φ ◦ ∇ ^ξ (Φ)Φ ² X − Φ ² ◦ ∇ ^ξ (Φ)ΦX = 0 ( ∀ X ∈ X (M )).

Â(2.1) ïîëîæèì

Y = ξ

^{. Òîãäàïîëó÷èì}

∇ X (Φ)ξ + ∇ ξ (Φ)X = − ΦX ( ∀ X ∈ X (M ))

^.

 ïîñëåäíåì òîæäåñòâå ïîäñòàâèì ñíà÷àëà

X → ΦX

^{, à çàòåì}

X → Φ ² X

^{. Òîãäà}

ïîëó÷èì

1) ∇ ΦX (Φ)ξ + ∇ ξ (Φ)ΦX = − Φ ² X;

2) ∇ Φ ² X (Φ)ξ + ∇ ξ (Φ)Φ ² X = ΦX ( ∀ X ∈ X (M )).

(2.9)

Íàîáå÷àñòèðàâåíñòâà(2.9(1))ïîäåéñòâóåìîïåðàòîðîì

Φ ²

^{,àíàîáå÷àñòèðàâåíñòâà}

(2.9(2)) ïîäåéñòâóåì îïåðàòîðîì

Φ

^{. Òîãäà ïîëó÷èì}

1) Φ ² ∇ ΦX (Φ)ξ + Φ ² ∇ ξ (Φ)ΦX = Φ ² X;

2) Φ ∇ Φ ² X (Φ)ξ + Φ ∇ ^ξ (Φ)Φ ² X = Φ ² X ( ∀ X ∈ X (M )).

(2.10)

Ïðîäèåðåíöèðîâàâ êîâàðèàíòíîðàâåíñòâî

η ◦ Φ = 0

^{, ïîëó÷àåì}

∇ ^X (η)(ΦY ) + η ◦ ∇ ^X (Φ)Y = 0 ( ∀ X, Y ∈ X (M )).

^(2.11)

 ÷àñòíîñòè, åñëè â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ïîëîæèòü

Y = ξ

^{, òî}

η {∇ ^X (Φ)ξ } = 0

^äëÿ

ëþáîãî

X ∈ X (M )

^.

Ïðîäèåðåíöèðîâàâ êîâàðèàíòíîðàâåíñòâî

Φ ² = − id + η ⊗ ξ

^{, ïîëó÷àåì}

∇ ^X (Φ)ΦY + Φ ◦ ∇ ΦX (Φ)Y = ξ ∇ ^X (η)Y + η(Y ) ∇ ^X ξ.

Âïîëó÷åííîì ðàâåíñòâå ñäåëàåì çàìåíó

Y = ξ

^{. Òîãäà ñ ó÷åòîì òîæäåñòâà}

∇ ^X (η)ξ = 0

äëÿëþáîãî

X ∈ X (M )

^{, ïîëó÷èìòîæäåñòâî}

Φ ◦ ∇ ΦX (Φ)Y = ∇ ^X ξ ( ∀ X ∈ X (M )).

^(2.12)

Ñó÷åòîì (2.10) è(2.12) äëÿ (2.8(3))èìååì

F (X) = 1 2

Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ = 1

2 {∇ Φ ² X ξ − Φ ◦ ∇ ΦX ξ }

= Φ ◦ ∇ Φ ² X (Φ)ξ − Φ ² X = − Φ ◦ ∇ ^X (Φ)ξ − Φ ² X = −∇ ^X ξ − Φ ² X

= − Φ ² ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ − Φ ² X = − Φ ◦ ∇ ΦX (Φ)ξ − Φ ² X ( ∀ X ∈ X (M )). ✄

3.Ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìîñòè

GK

-ìíîãîîáðàçèé Íàïîìíèì [6℄,÷òî êîìïîíåíòûòåíçîðà Íåéåíõåéñà

N _Φ (X, Y ) = 1

4 { Φ ² [X, Y ] + [ΦX, ΦY ] − Φ[ΦX, Y ] − Φ[X, ΦY ] }

íàïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðûèìåþò ñëåäóþùèé âèä:}

1) N _ab ⁰ = −

√ − 1

2 Φ ⁰ _[a,b] ; 2) N _{ˆ ab} ⁰ = − N _bˆ ⁰ _a = −

√ − 1

2 Φ ⁰ _{(ˆ a,b)} ; 3) N ⁰

ˆ a ˆ b =

√ − 1 2 Φ ⁰

[ˆ a, ˆ b] ; 4) N _{ˆ b0} ^a = − N _0ˆ ^a _b =

√ − 1 4 Φ ^a _{ˆ b,0} −

√ − 1

2 Φ ^a _{0, ˆ b} ; 5) N _{ˆ bˆ} ^a _c = √

− 1Φ ^a _{[ˆ b,ˆ c]} ; 6) N _b0 ^{ˆ a} = − N _0b ^{ˆ a} =

√ − 1 2 Φ ^{ˆ a} _0,b −

√ − 1

2 Φ ^{ˆ a} _b,0 ; 7) N _bc ^{ˆ a} = − √

− 1Φ ^a _[b,c] ^ˆ .

Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ýòîãîòåíçîðà òîæäåñòâåííî ðàâíûíóëþ.

Ñ ó÷åòîì (2.2) êîìïîíåíòû òåíçîðà Íåéåíõåéñà

N _Φ (X, Y ) GK

^{-ñòðóêòóðû íà ïðî-}

ñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû ïðèìóòñëåäóþùèé âèä:}

1) N _ab ⁰ = ¹ ₂ F _ab ; 2) N ⁰

ˆ

a ˆ b = ¹ ₂ F ^ab ; 3) N _ˆ ^a

b0 = − N ^a

0ˆ b = ³ ₄ F ^ab ; 4) N _ˆ ^a

bˆ c = 2C ^abc ; 5) N _b0 ^{ˆ a} = − N _0b ^{a ˆ} = ³ ₄ F _ab ; 6) N _bc ^{ˆ a} = 2C abc .

^(3.1)

Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ýòîãîòåíçîðà òîæäåñòâåííî ðàâíûíóëþ.

Òåîðåìà 3.1. Òåíçîð Íåéåíõåéñà îïåðàòîðà

Φ GK

^{-ñòðóêòóðûîáëàäàåò}ñâîéñòâàìè:

1) N _Φ Φ ² X, Φ ² Y

+ N _Φ (ΦX, ΦY ) = 0;

2) N _Φ Φ ² X, ΦY

− N _Φ ΦX, Φ ² Y

= 0;

3) N _Φ (X, ξ) = − 1 4

Φ ∇ ΦX ξ + 2 ∇ X ξ + Φ ² X ( ∀ X, Y ∈ X (M )).

⊳

1):Ïðèìåíÿÿïðîöåäóðóâîññòàíîâëåíèÿòîæäåñòâà[4,7℄êðàâåíñòâàì

N ⁰

a ˆ b = N ^c

a ˆ b = N ^{ˆ c}

a ˆ b = 0

^{,ïîëó÷èìòîæäåñòâî}

N _Φ (Φ ² X, Φ ² Y )+N _Φ (ΦX, ΦY ) = 0

^{äëÿëþáûõ}

X, Y ∈ X (M )

^.

2): Ñäåëàâ â ïîñëåäíåì òîæäåñòâå çàìåíó

Y → ΦY

^{, äëÿëþáûõ}

X, Y ∈ X (M )

^ïîëó-

÷àåì òîæäåñòâî

N _Φ (Φ ² X, ΦY ) − N _Φ (ΦX, Φ ² Y ) = 0

^.

3): ÂèäòåíçîðàÍåéåíõåéñà

N _Φ (X, Y ) = 1 4

Φ ² [X, Y ] + [ΦX, ΦY ] − Φ[ΦX, Y ] − Φ[X, ΦY ]

ñó÷åòîì îðìóëû

[X, Y ] = ∇ ^X Y − ∇ ^Y X

^{, âûðàæàþùåéîòñóòñòâèåêðó÷åíèÿ ñâÿçíîñòè,}

ïðèìåò âèä

N _Φ (X, Y ) = 1

4 {∇ ΦX (Φ)Y − ∇ ΦY (Φ)X + Φ ∇ Y (Φ)X − Φ ∇ X (Φ)Y } ( ∀ X, Y ∈ X (M )).

Îòñþäà

N _Φ (X, ξ) = 1

4 {∇ ΦX (Φ)ξ + Φ ∇ ξ (Φ)X − Φ ∇ X (Φ)ξ } ( ∀ X ∈ X (M )).

^(3.2)

Ïîëîæèì â (2.1)

Y = ξ

^{. Òîãäà}

∇ ^X (Φ)ξ + ∇ ^ξ (Φ)X = − ΦX

^{äëÿ ëþáîãî}

X ∈ X (M )

^.

Ñó÷åòîì ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâàñîîòíîøåíèå (3.2) ïðèìåò âèä

N _Φ (X, ξ) = − 1 4

Φ ∇ ΦX ξ + 2 ∇ X ξ + Φ ² X ( ∀ X ∈ X (M)). ✄

Îïðåäåëåíèå 3.1 [6 ℄. Ïî÷òèêîíòàêòíàÿ ìåòðè÷åñêàÿ ñòðóêòóðàíàçûâàåòñÿèíòå-

ãðèðóåìîé,åñëè

N _Φ = 0

^.

Òåîðåìà 3.2. Èíòåãðèðóåìàÿ

GK

^{-ñòðóêòóðàÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðîéÊåíìîöó.}

⊳

Ïóñòü

GK

^{-ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ} èíòåãðèðóåìîé. Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3.1,

N _Φ = 0

^{. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ ó÷åòîì (3.1)} ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèÿì

F ^ab = F _ab = 0

^;

C ^abc = C _abc = 0

^{.Èñîãëàñíî}ïðåäëîæåíèþ2.2ñòðóêòóðàÿâëÿåòñÿñòðóêòóðîéÊåíìîöó.

⊲

Èçâåñòíî [10 ℄,÷òî çàäàíèåòåíçîðàÍåéåíõåéñà ðàâíîñèëüíîçàäàíèþ÷åòûðåõ òåíçî-

ðîâ

N ⁽¹⁾

^,

N ⁽²⁾

^,

N ⁽³⁾

^,

N ⁽⁴⁾

^{, à èìåííî:}

N ⁽¹⁾ (X, Y ) = N _Φ (X, Y ) + 2 dη(X, Y )ξ; N ⁽²⁾ (X, Y ) = ( L _ΦX η)(Y ) − ( L _ΦY η)(X);

N ⁽³⁾ (X) = ( L _ξ Φ)(X); N ⁽⁴⁾ (X) = ( L _ξ η)(X) ( ∀ X, Y ∈ X (M )),

ãäå

L _X

ïðîèçâîäíàÿ Ëèâíàïðàâëåíèè âåêòîðíîãîïîëÿ

X

^.

Âû÷èñëèìêîìïîíåíòûýòèõòåíçîðîâíàïðîñòðàíñòâåïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

ω = ω ⁰ = π ^∗ (η)

^{, ãäå}

π

åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ ïðîñòðàíñòâà ïðè- ñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû íà} ìíîãîîáðàçèå

M

^{, à òàêæå òî} îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî íà ïðî- ñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

^{-ñòðóêòóðû}

ξ ^a = ξ _a = 0

^,

ξ ⁰ = 1

^{, ñîãëàñíî (1.1(1)) íàõîäèì,}

÷òî íàýòîì ïðîñòðàíñòâå

1) (dη ⊗ ξ) ^a _ij = (dη ⊗ ξ) ^{ˆ a} _ij = 0; 2) (dη ⊗ ξ) ⁰ _ab = F _ab ; 3) (dη ⊗ ξ) ⁰

ˆ

a ˆ b = F ^ab ; 4) (dη ⊗ ξ) ⁰ _{ˆ ab} = (dη ⊗ ξ) ⁰

a ˆ b = 0;

5) (dη ⊗ ξ) ⁰ _0a = (dη ⊗ ξ) ⁰ _a0 = 0; 6) (dη ⊗ ξ) ⁰ _{0ˆ a} = (dη ⊗ ξ) ⁰ _{ˆ a0} = 0;

7) (dη ⊗ ξ) ⁰ ₀₀ = 0.

(3.3)

Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (3.1) è (3.3) ïîëó÷àåì, ÷òî íà ïðîñòðàíñòâå ïðèñîåäèíåííîé

G

-ñòðóêòóðû ,òåíçîð

N ⁽¹⁾ (X, Y ) = N _Φ (X, Y )+2 dη(X, Y )ξ

^{èìååòñëåäóþùèå}êîìïîíåíòû:

1) (N ⁽¹⁾ ) ⁰ _ab = ⁵ ₂ F _ab ; 2) (N ⁽¹⁾ ) ⁰

ˆ

a ˆ b = ⁵ ₂ F ^ab ; 3) (N ⁽¹⁾ ) _ˆ ^a

b0 = − (N ⁽¹⁾ ) ^a

0ˆ b = ³ ₄ F ^ab ; 4) (N ⁽¹⁾ ) ^{ˆ a} _b0 = − (N ⁽¹⁾ ) ^a _0b ^ˆ = ³ ₄ F _ab ; 5) (N ⁽¹⁾ ) _ˆ ^a

bˆ c = 2C ^abc ; 6) (N ⁽¹⁾ ) ^{ˆ a} _bc = 2C _abc ,

(3.4)

àîñòàëüíûå êîìïîíåíòûíóëåâûå.

Îïðåäåëåíèå 3.2[6 ,10℄.Ïî÷òèêîíòàêòíàÿìåòðè÷åñêàÿñòðóêòóðàíàçûâàåòñÿíîð-

ìàëüíîé, åñëè

N _Φ (X, Y ) + 2 dη(X, Y )ξ = 0

^.

Ïîíÿòèå íîðìàëüíîñòè áûëîââåäåíî Ñàñàêèè Õàòàêåÿìîé [11 ℄ èÿâëÿåòñÿîäíèì èç

íàèáîëååóíäàìåíòàëüíûõïîíÿòèéêîíòàêòíîéãåîìåòðèè,òåñíîñâÿçàííûìñïîíÿòèåì

èíòåãðèðóåìîñòè ñòðóêòóðû.

Òåîðåìà 3.3. Íîðìàëüíàÿ

GK

^{-ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé Êåíìîöó, à çíà÷èò,}

ëîêàëüíî êàíîíè÷åñêèêîíöèðêóëÿðíà êîñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðå.

⊳

Èç îïðåäåëåíèÿ 3.2 è (3.4) ñëåäóåò, ÷òî

GK

^{-ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé òî-}

ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

F ^ab = F _ab = 0

^,

C ^abc = C _abc = 0

^{. Ñîãëàñíî} ïðåäëîæåíèþ 2.2

GK

^{-ñòðóêòóðàÿâëÿåòñÿÊåíìîöó}ñòðóêòóðîé. ÏîñêîëüêóñòðóêòóðàÊåíìîöó ïîëó÷àåò- ñÿèç êîñèìïëåêòè÷åñêîé êàíîíè÷åñêèì êîíöèðêóëÿðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, òîíîðìàëü-

íàÿ

GK

^{-ñòðóêòóðà ëîêàëüíî} êàíîíè÷åñêè êîíöèðêóëÿðíà êîñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòó- ðå.

⊲

Èç òåîðåì 3.2è3.3ñëåäóåò

Òåîðåìà 3.4. Ïóñòü

S = (ξ, η, Φ, g = h· , ·i )

AC

-ñòðóêòóðà.Òîãäàñëåäóþùèåóòâåð- æäåíèÿýêâèâàëåíòíû:

1) S = (ξ, η, Φ, g = h· , ·i )

èíòåãðèðóåìàÿ

GK

-ñòðóêòóðà;

2) S = (ξ, η, Φ, g = h· , ·i )

^{íîðìàëüíàÿ}

GK

-ñòðóêòóðà;

3) S = (ξ, η, Φ, g = h· , ·i )

^{ñòðóêòóðà Êåíìîöó.}

Òåïåðü âû÷èñëèì êîìïîíåíòû òåíçîðà

N ⁽²⁾ (X, Y ) = ( L _ΦX η)(Y ) − ( L _ΦY η)(X)

^{, ãäå}

L _X

ïðîèçâîäíàÿ Ëèâíàïðàâëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ

X

^.