信用リスクモデリング　ケーススタディ

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信用リスクモデリングケーススタディ

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Time Table

Time Agenda 15:20 – 15:25 Introduction 15:25 – 15:50 決定木による格付モデル 15:50 – 16:00 休憩 16:00 – 16:15 遷移行列とデフォルト確率 16:15 – 16:35 信用リスクの解析 16:35 – 16:50 まとめ

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利率回収率

Market Data

目標：信用リスクモデルのアプリケーション作成

Credit Value at Risk



信用VaR を算出するツールを開発し

Excel のアプリケーションとして組み込む

Historical Data Rating System Portfolio Data 格付けクーポン・レート日付業種優先順位 Transition Probabilities

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要求課題

 計算能力 – 1,000 以上の債券銘柄 – 10,000 回のシミュレーション  コスト – 開発工数の削減 – 既存環境への適用  透明性 – アルゴリズムの可読性 – 第三者への説明

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Agenda

 決定木による格付モデル

 遷移行列とデフォルト確率

 信用リスクの解析

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利率回収率

Market Data

Task 1: Calibrating the rating system



過去のデータから格付分類モデルを作成

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Calibrating the rating system

手順

1. データのインポート: DB / Excel 2. 線型回帰による単純な分類モデルを構築 3. ランダム・フォレストを適用した分類モデルを構築 4. 分類モデルをROC曲線/AUCにより評価

ID WC_TA RE_TA EBIT_TA MVE_BVTD S_TA Industry 60644 0.049 0.220 0.041 2.400 0.489 6

Ratings

AA

Rating System

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Visual Query Builder

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Confusion Matrix

混同行列、分類表、混同対照表、・・・  モデルの精度をあらわす表で、各成分には正しく分類された場合の数と、誤って分類された場合の数が示されている。 AAA AA A BBB BB B CCC AAA 201 192 141 46 0 0 0 AA 34 136 152 55 7 0 1 A 20 117 272 152 14 0 0 BBB 9 121 391 379 110 5 0 BB 2 31 232 413 209 38 2 B 3 5 32 107 102 51 20 CCC 7 1 3 6 17 28 68 実際の分類モデルによる分類モデルでは”BB”だが 実際の格付は”AA”

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Decision Tree

 決定木 – 機械学習の一種で「木」構造を用いた予測方法のが木構造 – 決定木には回帰木と分類木の２種類が存在出力が連続的であれば「回帰」、離散的であれば「分類」 ) , , , (x₁ x₂ x_n f y    _f △: Branch ●: Leaf △+●: Node

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Random Forest vs. Bagging

 Bagging (Bootstrap Aggregating)

– 与えられたデータセットからブートストラップ法によって学習用サンプルデータを作成し、そのサンプルデータを用いて決定木を指定された本数分だけ生成するアルゴリズム  Random Forest – 多数の決定木を用いた集団学習アルゴリズムの一つで Baggingという手法を発展させたもの  違いは？ – Baggingは、各ブランチにて全てに対して評価基準を計算し、最も高い変数を分岐変数として採用する – 一方RFは、各ブランチにてからランダムに選出して評価基準を計算し、最も高い変数を分岐変数として採用する ) , , , (x₁ x₂   x_n ) , , , (x₁ x₂   x_n

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Random Forest vs. Bagging

 アルゴリズムの違い  変数をいくつランダムに選択するか？ – 開発者であるBreimanは変数の数のルートの値を分岐変数の候補として選択することを推奨  Random Forestの長所 – 全ての変数に対して評価しないので計算コストが低い → 大規模データに強い x3 < 186.65 x3 > 186.65 [x₁, x₂, …, x₂₅] ↓ 5つランダム選択 [x₃, x₄, x₁₆, x₂₁, x₂₃] ↓ Gini係数などを評価 ↓ x₃を採択 Bagg ing

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ROC曲線: Receiver Operating Characteristic Curve

受信者動作特性曲線  ROC曲線: 分類の精度を表すグラフ – 赤枠で囲まれるような表を考え、閾値「11」を設けます。この時、11以上を陽性(Positive)、 11未満を陰性(Negative)といい、5個のFのうち1個がPositive側に含まれることから偽陽性率は0.2で、10個のTのうち5個がPositive 側に属するので真陽性率は0.5となります。

– 関数「perfcurve」はFalse/True Positive Rate

やAUC (Area under the curve)を計算する

スコアラベル (分類) 偽陽性率 (False Positive) 真陽性率 (True Positive) 16 T 0 0.1 15 T 0 0.2 14 F 0.2 0.2 13 T 0.2 0.3 12 T 0.2 0.4 11 T 0.2 0.5 10 F 0.4 0.5 9 T 0.4 0.6 8 T 0.4 0.7 8 T 0.4 0.8 8 T 0.4 0.9 8 F 0.6 0.9 7 F 0.8 0.9 6 T 0.8 1 5 F 1 1 Threshold = 11

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ROC曲線とAUC

>> [x, y, t, auc] = perfcurve(labels, scores, 'T‘); >> plot(x,y);

>> xlabel(‘False Positive Rate’); ylabel('True Positive Rate'); >> text(0.5, 0.3, ['AUC = ', num2str(auc)], 'EdgeColor', 'k'); >> title('ROC曲線');

AUC: ROC曲線とx軸が囲む領域の面積で、AUCが 1に近いほど分類の精度が高いことを意味する

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CAP曲線

Cumulative Accuracy Profile

格付 x 以下でデフォルトした会社の割合格付 x 以下に属する会社の割合 0 1 1 D D x k k  N N x k k  x N k D D : 格付の低いほうから並べた順序付きランク : 会社の総数 : 格付 k でデフォルトした会社の数 : デフォルトした会社の総数 k N :格付k に属する会社の数 理想的な予測精度ランダムな予測精度

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AR

Accuracy Ratio

 以下のように囲まれる面積の比で定義される値で、１に近いほど分類モデルの精度が良いことを示す

AR =

の面積

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登場した関数

 confusionmat : Confusion Matrixを計算

 dataset : データセット配列の作成

 perfcurve : ROC曲線やAUCなどを算出

 querybuilder : データベースにアクセスするためのUI

 regress : 線型回帰を実施

 rng : 乱数生成器の初期化などのユーティリティ

 TreeBagger : Bagging/Random Forest用クラス

R2011a R2008b

R2009a

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Key tasks

1. Data Management 2. Statistical Modeling

Solutions

1. Database Toolbox: import from / export to database 2. Statistics Toolbox: dataset array, regression analysis,

decision tree, confusion matrix, ROC curve.

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Agenda

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利率回収率

Market Data

Task 2: Transition Probabilities



過去データに基づいた遷移確率行列を算出

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31-Dec-06 31-Dec-07 31-Dec-08 31-Dec-09

A BBB BBB BBB

AAA AAA AA AAA

A A AA AA

Migration Matrix

Transition Probability Matrix

ID Date Rating 1 07-Jul-05 A 1 31-Nov-07 BBB 2 07-Jul-05 AAA 2 02-Dec-08 AA 2 02-Dec-09 AAA 3 07-Aug-06 A 3 27-Sep-08 AA Migration History to AAA to AA to A to BBB from AAA 0.5 0.5 0 0 from AA 0.5 0.5 0 0 from A 0 0.33 0.33 0.33 from BBB 0 0 0 1

遷移確率行列の推定

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93.68% 2.44% 0.14% 0.03% 0.03% 0.00% 0.00% 0.00% 5.55% 92.60% 4.18% 0.23% 0.12% 0.00% 0.00% 0.00% 0.59% 4.03% 91.02% 7.49% 0.73% 0.11% 0.00% 0.00% 0.18% 0.73% 3.90% 87.86% 8.27% 0.82% 0.37% 0.00% 0.00% 0.15% 0.60% 3.78% 86.74% 9.64% 1.84% 0.00% 0.00% 0.00% 0.08% 0.39% 3.28% 85.37% 6.24% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.06% 0.18% 2.41% 81.88% 0.00% 0.00% 0.06% 0.08% 0.16% 0.64% 1.64% 9.67% 100.00% AAA AA A BBB BB B CCC D AAA AA A BBB BB B CCC D

手順

1. テキストデータのインポートと時系列データの作成 2. Migration Matrixの生成 3. 遷移確率行列の算出と可視化 4. デフォルト確率の計算

遷移確率行列の推定

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transprob vs. transprobbytotals

• transprob:

Estimation of transition probabilities from credit ratings data

• transprobbytotals:

Estimation of transition probabilities from preprocessed credit ratings data

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24

 _{Open exchange for the MATLAB and Simulink}

user community

 _{662,000 visits per month}  _{File Exchange}

– Upload/download access to free files including MATLAB code, Simulink models, and documents

– Ability to rate files, comment, and ask questions

– More than 9,000 contributed files, 400 submissions per month, 25,500 downloads per day

 _Newsgroup

– Web forum for technical discussions about MATLAB and Simulink

– 200 posts per day

 _Blogs

– Frequent posts from key MathWorks developers who design and build the products

– Open conversation at blogs.mathworks.com

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登場した関数

 cfdates : キャッシュフロー日付の作成

 fillts : Financial Time Series Objectの欠損データ補完

 fints : Financial Time Series Objectを作成

 intersect : 2つの集合の共通部分を抽出 (A∩B)  ordinal : オーディナル配列の作成  parfor : forループの並列版  transprob : 格付データから遷移確率行列を推定  transprobbytotals :前処理済み格付データから遷移確率行列を推定 R2008a R2010b R2010b

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Key tasks

1. Improving Performance 2. Financial Analysis

3. Customized graphics

Solutions

1. Parallel Computing Toolbox: parallel-for loop, etc. 2. Financial Toolbox: financial time series object,

transiton probabilities.

3. MATLAB Central: File Exchange

Key tasks and solutions

93.68% 2.44% 0.14% 0.03% 0.03% 0.00% 0.00% 0.00% 5.55% 92.60% 4.18% 0.23% 0.12% 0.00% 0.00% 0.00% 0.59% 4.03% 91.02% 7.49% 0.73% 0.11% 0.00% 0.00% 0.18% 0.73% 3.90% 87.86% 8.27% 0.82% 0.37% 0.00% 0.00% 0.15% 0.60% 3.78% 86.74% 9.64% 1.84% 0.00% 0.00% 0.00% 0.08% 0.39% 3.28% 85.37% 6.24% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.06% 0.18% 2.41% 81.88% 0.00% 0.00% 0.06% 0.08% 0.16% 0.64% 1.64% 9.67% 100.00% AAA AA A BBB BB B CCC D AAA AA A BBB BB B CCC D

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Agenda

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利率回収率

Market Data

Task 3: Credit Risk Analysis



債券ポートフォリオの信用VaRを計算

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Task 3: Credit risk analysis

手順

1. 債券ポートフォリオの価格算出 2. モンテカルロ・シミュレーションの実行 3. シミュレーションに基づいてポートフォリオを再評価 Interest rates Recovery rates Market Data Portfolio Data Ratings Coupon rates Dates Industries Seniorities Transition probabilities Time horizon Modeling data Risk thresholds

Historical Data

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モンテカルロ・シミュレーションの実行

１年後の格付予測

 乱数を使って１年後の格付を予測する 1. 各格付けの閾値を設ける (Z_AAA, Z_AA, …, Z_CCC, Z_D) 2. 乱数生成器を使って確率変数 R を作る 3. Z_X ≦ R ≦ Z_X-1を評価して、Rが属する格付けを決めるここで、x, x-1 は格付けを表し、x-1 は x より一つ格付けが「高い」ことを意味します

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モンテカルロ・シミュレーションの実行

格付けのための閾値設定 to AAA to AA to A ... to D from AAA 0.94 0.05 0.01 ... 0 from AA 0.02 0.92 0.04 ... 0 from A 0.01 0.04 0.91 ... 0.01 : : : : : : from CCC 0 0 0 ... 0.10

Transition Probability Matrix

P_AAA+...+P_D P_AA +...+ P_D P_A+...+ P_D ... P_D AAA 1 0.06 0.01 ... 0 AA 1 0.98 0.05 ... 0 A 1 0.99 0.96 ... 0.01 : : : : : : CCC 1 1 1 ... 0.10

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モンテカルロ・シミュレーションの実行

格付けのための閾値設定 P_AAA+...+P_D P_AA +...+ P_D P_A+...+ P_D ... P_D AAA 1 0.06 0.01 ... 0 AA 1 0.98 0.05 ... 0 A 1 0.99 0.96 ... 0.01 : : : : : : CCC 1 1 1 ... 0.10 Z_AAA Z_AA Z_A ... Z_D AAA ∞ - 1.52 - 2.42 ... - ∞ AA ∞ 1.97 - 1.65 ... - 3.25 A ∞ 2.99 1.72 ... - 3.15 : : : : : : CCC ∞ ∞ ∞ ... - 1.30

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モンテカルロ・シミュレーションの実行

乱数生成器による確率変数の作成 IndustryRandom(6, :) IndustryRandom(4, :) : : IndustryRandom(11, :) 12の業種間に相関がある多次元正規分布に従う乱数を10000セット IndustryRandom = mvnrnd(zeros(12,1), Cov, 10000)

10000 12 13 1 1 BondRandom = α× IndustryRandom(6, :) + ×randn(1311, 1e4) IndustryRandom(4, :) : : 2 1

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モンテカルロ・シミュレーションの実行

確率変数がどの格付けに属するか評価 Z_X ≦ BondRandom(n, :) ≦ Z_X-1 を評価 • たとえば、n番目の債権がAAで先に作成した閾値ベクトルが Z_AAA Z_AA Z_A Z_BBB ... Z_CCC Z_D AA ∞ 1.97 - 1.65 -2.34 ... -3.24 -3.25 で、乱数により生成した BondRandom(n, :) のある成分 の値が「-0.2735」とすると Z_A ≦ -0.2735 ≦ Z_AA という関係より、シミュレーションの結果は”Z_AA“と判定される。

(35)

シミュレーションに基づいてポートフォリオを再評価

 シミュレーションの結果、格付が「D」判定になった場合は Seniority (優先順位)に応じて、Β分布に従う乱数により回収率をシミュレーション (デフォルト時の価格) = (額面価格) × ( (a,b) に従う乱数) 但し、 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2                   b a

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Speeding-Up MATLAB

”bsxfun”関数



「(m×n)行列と(m×1)ベクトル」をループなしで処理

bsxfun

@plus,

,

=

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Speeding-Up MATLAB

”bsxfun”関数



「(m×n)行列と(1×n)ベクトル」をループなしで処理

=

bsxfun

@times,

,

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登場した関数

 betarnd : Β分布に従う乱数生成  bsxfun : 行列とベクトルを要素ごとに演算  prbyzero : ゼロ・クーポン・イールドカーブから債券価格を算出  mvnrnd : 多次元正規分布に従う乱数生成  norminv : 正規分布の逆関数  prctile : パーセンタイル値の計算 R2009b

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Key tasks

1. Monte Carlo Simulation 2. Financial Analysis

Solutions

1. Statistics Toolbox: many supported probability distributions

and random number generator.

2. Financial Toolbox: bond pricing, term structure.

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Agenda

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Computational Finance Workflow

Financial

Statistics Optimization

Fixed Income Financial Derivatives Econometrics

MATLAB

Parallel Computing MATLAB Distributed Computing Server

Files Databases Datafeeds Access Reporting Applications Production Share

Data Analysis and Visualization Financial Modeling

Application Development

Research and Quantify

Datafeed Database Spreadsheet Link EX Builder NE Builder EX Builder JA MATLAB Compiler Report Ge ner a to r

Research and Quantify

Data Analysis & Visualization Financial Modeling Application Development Reporting Applications Production Share Files Databases Datafeeds Access

(42)

標準モジュール生成と配布

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MATLAB デスクトップ End User 1 2 Toolboxes

標準モジュールの配布フロー

3 4 .dll MATLAB Builder™ EX MATLAB Compiler MATLAB®_Compiler™

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要求課題

 計算能力 – 1,000 以上の債券銘柄 – 10,000 回のシミュレーション  コスト – 開発工数の削減 – 既存環境への適用  透明性 – アルゴリズムの可読性 – 第三者への説明

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MATLAB’s solutions

 計算能力 – 強力な計算エンジンと様々な関数 – 並列計算をサポート  コスト – 少ないコーディング作業 – 他言語・他のアプリへの実装  透明性 – インタプリタ型言語 – レポート生成機能

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トレーニングサービス

投資

効果

 トレーニングサービス  定期トレーニング；  東京、名古屋、大阪にて定期開催  基礎コース（１１）、応用コース（１１）、専門コース（４）をご提供  オンサイトトレーニング；  お客様サイトにて開催  ご要望に応じて３つのレベルでカリキュラムのカスタマイズが可能投資対効果の最大化

(47)

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Connections Program

More than 300 add-on products and services that complement and extend MathWorks products:

 Specialized third-party toolboxes for MATLAB

 Interfaces to third-party software and hardware products

 Specialized training courses and consulting services

 System integrators and suppliers that incorporate MathWorks products

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Book Program

 Controls  Signal Processing  Image Processing  Biosciences  Communications  Mechanical Engineering  Mathematics  Aerospace Engineering  Environmental Sciences  Chemistry  Finance  Electronics More than 1,000 books for educational and professional use, in 26 languages

(50)

Technical Support

Resources

 Over 100 support engineers

– All with MS degrees (EE, ME, CS)

– Local support in North America, Europe, and Asia

 Comprehensive, product-specific Web

support resources

High customer satisfaction

 95% of calls answered

within three minutes

 70% of issues resolved within 24 hours  80% of customers surveyed rate satisfaction at 80-100%     

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