仮想結び目のチェッカーボード彩色に ついて
今別府 孝規
(広島大学)
チェッカーボード彩色可能なダイアグラムを持つとき、その仮想結び目はチェッ カーボード彩色可能であるという。この講演では仮想結び目がチェッカーボード 彩色可能かどうかの判定に有効な不変量を紹介し、4交点以下の仮想結び目につ いて、それらの不変量を用いて判定を行ったのでその結果を述べる。なお、講演 で報告した内容には誤りがあったのでここではそれを修正したものを報告する。
1.
仮想結び目とそのチェッカーボード彩色の定義定義
.
仮想結び目のダイアグラムとは、向き付けられた１次元閉多様体のR
2へ のはめ込みで、多重点は横断的二重点のみであり図１のいずれかの情報を持つ。図１
１つ目と２つ目は実交点と呼び、それぞれ正の交点、負の交点と呼ぶ。３つ目は 仮想交点と呼ぶ。
定義. ある２つの仮想結び目のダイアグラムが同値であるとは、R2上の同位変形 と図２の変形
generalized Reidmeister moves
の有限列で移りあうことである。ま た、その同値類を仮想結び目と定義する。図２
定義
.
向き付けられたコンパクトな曲面Σ
と、Σ上のダイアグラムD
の対(Σ, D)
を
abstract link diagram
と言う。ただしD
の実交点の上下関係をなくした|D|
はΣ
の変形レトラクトとする。定義
([1]). φ
は仮想結び目D
に対して図３の操作で得られるabstract link diagram
を対応させる写像である。Dに関するabstract link diagram
とはφ(D)
のことで ある。図３
定義
. abstract link diagram
をチェッカーボード彩色するとは、隣り合う領域が同じ色とならないように、Σ\|D|の連結成分に白または黒を彩色することである。
定義
.
仮想結び目のダイアグラムD
がチェッカーボード彩色可能であるとは、Dに関する
abstract link diagram
がチェッカーボード彩色することができることである。また、仮想結び目
L
がチェッカーボード彩色可能であるとは、Lがチェッ カーボード彩色可能な仮想結び目のダイアグラムを持つことである。古典結び目はチェッカーボード彩色可能であるが、仮想結び目は必ずしもチェッ カーボード彩色可能であるとは限らない。また、仮想結び目のダイアグラムの チェッカーボード彩色可能性は
generalized Reidmeister moves
で保存されない。例えば図４の２つのダイアグラムは同値なダイアグラムであるが、上のダイアグ ラムはチェッカーボード彩色可能で、下のダイアグラムはチェッカーボード彩色 可能でない。
図４
2.
仮想結び目のチェッカーボード彩色可能性の判定ある仮想結び目
L
がチェッカーボード彩色可能であることを示すには、チェッ カーボード彩色可能なL
のダイアグラムを１つ提示すればよい。一方L
がチェッ カーボード彩色可能でないことを示すには、仮想結び目の不変量を用いた判定方 法が有効である。この章では私が判定に使用した不変量について述べる。以下で は仮想結び目は成分数は1
である。2.1.
ジョーンズ多項式を用いた判定仮想結び目
L
のダイアグラムD
の各交点に図５のA
またはB
の変形を与える写 像をステイトという。≤
≥
図５
また、Sを
D
のステイト全体の集合とする。このときS
の任意の元s
に対してσ(s) =
（Aの数）−
（Bの数）#(s) =
変形してできたダイアグラムの成分数とする。
仮想結び目
L
のダイアグラムD
のブラケット多項式〈D〉を〈D〉
= X
s∈S
A
σ(s)(−A
2− A
−2)
#(s)−1 とする。定義
.
仮想結び目L
のダイアグラムD
のf -多項式 f (D)
をf (D) = (−A
−3)
w(D)〈D〉と定義する。ただし
w(D) =
（正の交点の数）−
（負の交点の数）とする。
また、A
= t
−1/4と置き換えたものをジョーンズ多項式V (D)
と定義する。定理
(L. H. Kauffman [2]). f-多項式及びジョーンズ多項式は仮想結び目の不
変量である。EXP(f (L))
を多項式f(L)
の次数の集合とする。例えば、f(L) = 2A
6− 3A
4− A
−2 のときEXP(f (L)) = {6, 4, −2}
となる。定理
(N. Kamada [3]).
仮想結び目L
がチェッカーボード彩色可能ならばEXP(f (L)) ⊂ 4Z
である。
2.2. Y. H. Im
、K. Lee
、S. Y. Lee
の不変量を用いた判定 1定義. 向き付けられた仮想結び目
L
のダイアグラムD
のある交点をc
とする。c 含む成分のダイアグラムをD
cとする。cの近傍でD
cを図６のように変形する。c
c
図６
1以下では
[4]
とは異なる定義の仕方をしていることに注意する。この変形後のダイアグラム
D
0cは２成分である。Dc0の各成分にk
1, k
2とラベルを 付ける。またV
をk
1とk
2が交差してできる仮想交点全体の集合とし、各仮想交 点v
に図７のような符号ind(v)
をつける。ただし各アークについてるラベルはど の成分に属するかを示している。k
2k
1k
1k
2ind(v) = 1
ind(v) = −1
図７ このとき
i(c)
を次のように定義する。i(c) = | X
v∈V
ind(v)|
定理
(Y. H. Im-K. Lee-S. Y. Lee [4]).
向き付けられた仮想結び目L
のダイ アグラムD
に対し、多項式Q(D)
を次のように定義する。Q(D) = X
c
sign(c)(t
i(c)− 1)
ただしsign(c) =
( 1
（cが正の交点）−1
（cが負の交点）とする。
この多項式
Q(D)
は向き付けられた仮想結び目の不変量である。定理
(Y. H. Im-K. Lee-S. Y. Lee [4]).
向き付けられた仮想結び目L
がチェッ カーボード彩色可能ならばQ(L) ∈ Z[t
2]
である。3.
４交点以下の仮想結び目のチェッカーボード彩色可能性の判定 結果ここでは４交点以下の仮想結び目に対して、チェッカーボード彩色可能性につ いて判定する。テーブルは
N. Kamada [5,6]
のものを使用した。リストは左から 番号、コード、その符号、判定結果とその理由である。コードと符号の見方は、図８のように交点以外のある点からスタートしてダイ アグラムに沿って行き、実交点の近傍のアークを通るごとにそのアークにラベル を０から順に付けていく。ある交点の上を通るアークのラベルが
a、下を通るアー
クのラベルがb
のとき、その交点を(a,b)
と表すことにする。最後の符号の組は各交点の正負を示している。
例：(0,
3)(4, 1)(2, 5) (1,1,-1)
․
‧
•
…
‣
‥
スタート
図８
判定結果とその方法は、おのおの、
(0)L
が彩色可能な仮想結び目のダイアグラムを持つので、Lは彩色可能である。(1)EXP(f)
が4Z
の部分集合で無いので、Lは彩色可能でない。(2)Q / ∈ Z[t
2]
なので、Lは彩色可能でない。また、空欄は上記の判定方法では判定できなかったことを指す。
番号 ガウスコード 符号 彩色 理由 可能性
1 (0, 2) (1, 3) 1, 1
不可1,2
2 (0, 3) (1, 4) (2, 5) 1, 1, 1
可0
3 (0, 3) (4, 1) (2, 5) 1, 1, 1
可0
4 (0, 3) (4, 1) (2, 5) 1, 1, -1
可0
5 (0, 3) (1, 5) (2, 4) 1, 1, 1
不可1,2
6 (0, 3) (1, 5) (2, 4) 1, -1, -1
不可1,2
7 (0, 3) (1, 5) (4, 2) 1, 1, -1
8 (0, 3) (1, 5) (4, 2) 1, -1, -1
不可1,2
9 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2 10 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, 1, -1, 1
不可1 11 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, 1, -1, -1
不可1,2 12 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可1,2 13 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可1 14 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (5, 7) 1, -1, -1, -1
不可1,2 15 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (7, 5) 1, 1, 1, -1
不可1 16 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (7, 5) 1, 1, -1, -1
不可1,2 17 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (7, 5) 1, -1, 1, -1
不可1 18 (0, 3) (1, 6) (2, 4) (7, 5) 1, -1, -1, 1
19 (0, 3) (1, 6) (4, 2) (5, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2
番号 ガウスコード 符号 彩色 理由 可能性
20 (0, 3) (1, 6) (4, 2) (5, 7) 1, 1, 1, -1
不可1 21 (0, 3) (1, 6) (4, 2) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可1 22 (0, 3) (1, 6) (4, 2) (5, 7) 1, -1, -1, 1
23 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2 24 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, 1, 1, -1
不可1 25 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, 1, -1, -1
不可1,2 26 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可1,2 27 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可1 28 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (5, 7) 1, -1, -1, 1
29 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (7, 5) 1, 1, 1, -1
不可1 30 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (7, 5) 1, 1, -1, 1
不可1 31 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (7, 5) 1, -1, 1, -1
不可1 32 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (7, 5) 1, -1, -1, 1
33 (0, 3) (6, 1) (2, 4) (7, 5) 1, -1, -1, -1
不可1,2
34 (0, 3) (6, 1) (4, 2) (7, 5) 1, 1, 1, 1
不可1,2
35 (0, 3) (6, 1) (4, 2) (7, 5) 1, 1, -1, -1
不可1,2
36 (0, 3) (6, 1) (4, 2) (7, 5) 1, -1, 1, 1
不可1,2
37 (0, 3) (6, 1) (4, 2) (7, 5) 1, -1, 1, -1
不可1
38 (0, 3) (1, 6) (2, 5) (4, 7) 1, 1, 1, -1
可0
39 (0, 3) (1, 6) (2, 5) (4, 7) 1, -1, -1, 1
可0
40 (0, 3) (1, 6) (2, 5) (7, 4) 1, 1, 1, 1
可0
41 (0, 3) (1, 6) (2, 5) (7, 4) 1, -1, -1, 1
可0
42 (0, 3) (1, 6) (5, 2) (4, 7) 1, 1, -1, -1
可0
43 (0, 3) (1, 6) (5, 2) (4, 7) 1, -1, -1, 1
可0
44 (0, 3) (6, 1) (2, 5) (4, 7) 1, 1, 1, 1
可0
45 (0, 3) (6, 1) (2, 5) (4, 7) 1, 1, 1, -1
可0
46 (0, 3) (6, 1) (2, 5) (4, 7) 1, 1, -1, -1
可0
47 (0, 3) (6, 1) (2, 5) (4, 7) 1, -1, -1, 1
可0
48 (0, 4) (1, 5) (2, 6) (3, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2
49 (0, 4) (1, 5) (6, 2) (3, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2
50 (0, 4) (1, 5) (6, 2) (3, 7) 1, 1, 1, -1
不可1,2
51 (0, 4) (1, 5) (6, 2) (3, 7) 1, 1, -1, -1
不可2
52 (0, 4) (1, 5) (2, 7) (3, 6) 1, 1, 1, 1
不可1,2
53 (0, 4) (1, 5) (2, 7) (3, 6) 1, 1, -1, -1
不可1,2
54 (0, 4) (1, 5) (2, 7) (6, 3) 1, 1, 1, 1
不可1,2
55 (0, 4) (1, 5) (2, 7) (6, 3) 1, 1, 1, -1
不可1,2
56 (0, 4) (1, 5) (2, 7) (6, 3) 1, 1, -1, -1
不可1,2
57 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (3, 6) 1, 1, 1, 1
不可1,2
58 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (3, 6) 1, 1, -1, -1
不可1,2
59 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (3, 6) 1, -1, 1, 1
不可2
番号 ガウスコード 符号 彩色 理由 可能性
60 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (6, 3) 1, 1, -1, 1
不可1,2 61 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (6, 3) 1, -1, 1, 1
62 (0, 4) (5, 1) (2, 7) (6, 3) 1, -1, 1, -1
不可2 63 (0, 4) (5, 1) (7, 2) (6, 3) 1, 1, 1, 1
不可1,2 64 (0, 4) (5, 1) (7, 2) (6, 3) 1, -1, 1, 1
不可2 65 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (3, 5) 1, 1, 1, 1
不可1,2 66 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (3, 5) 1, 1, 1, -1
不可1 67 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (3, 5) 1, -1, -1, 1
不可1,2 68 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (3, 5) 1, -1, -1, -1
不可1,2 69 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (5, 3) 1, 1, 1, 1
不可1,2 70 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (5, 3) 1, 1, 1, -1
不可1,2 71 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (5, 3) 1, -1, -1, 1
不可1,2 72 (0, 4) (1, 6) (2, 7) (5, 3) 1, -1, -1, -1
不可1 73 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, 1, 1, 1
不可1,2 74 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, 1, 1, -1
不可1 75 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, 1, -1, 1
不可1,2 76 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, 1, -1, -1
77 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, -1, 1, 1
不可1,2 78 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, -1, 1, -1
不可2 79 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, -1, -1, 1
不可1,2 80 (0, 4) (1, 6) (7, 2) (3, 5) 1, -1, -1, -1
不可1 81 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, 1, 1, 1
不可1,2 82 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, 1, 1, -1
不可1 83 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, 1, -1, 1
不可1,2 84 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, 1, -1, -1
不可2 85 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, -1, 1, 1
不可1,2 86 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, -1, 1, -1
87 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, -1, -1, 1
不可1,2 88 (0, 4) (6, 1) (2, 7) (3, 5) 1, -1, -1, -1
不可1 89 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (5, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2 90 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (5, 7) 1, 1, 1, -1
不可1,2 91 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (5, 7) 1, -1, 1, 1
不可1,2 92 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (5, 7) 1, -1, 1, -1
不可2 93 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (7, 5) 1, 1, 1, 1
不可1,2 94 (0, 4) (2, 6) (1, 3) (7, 5) 1, -1, 1, 1
不可1,2 95 (0, 4) (2, 6) (3, 1) (5, 7) 1, 1, 1, 1
不可1,2 96 (0, 4) (2, 6) (3, 1) (5, 7) 1, 1, 1, -1
不可1,2 97 (0, 4) (2, 6) (3, 1) (5, 7) 1, 1, -1, -1
不可2 98 (0, 4) (2, 6) (3, 1) (5, 7) 1, -1, 1, -1
99 (0, 4) (2, 6) (3, 1) (5, 7) 1, -1, -1, -1
不可1,2
参考文献
