Guanshen Fang
*1Massoud Amini
*2Hao Chen
*3 福田信幸*4 細矢治夫*5 河合雅弘*6Joseph E. LeBlanc
*7Paul G. Mezey
*8 成木勇夫*9 岡田 正*10Eric Rambo
*11Mark Spivakovsky
*12 竹内 茂*13Keith F. Taylor
*14Hongyi Wong
*15山中 聡*16 横谷正明*17
Peter Zizler
*18 有本 茂*19Mathematics and chemistry
interdisciplinary joint research and the Fukui Project XXVII
Guanshen FANG, Massoud AMINI, Hao CHEN, Nobuyuki FUKUDA, Haruo HOSOYA Masahiro KAWAI, Joseph E. LEBLANC, Paul G. MEZEY, Isao NARUKI, Tadashi OKADA Eric RAMBO, Mark SPIVAKOVSKY, Shigeru TAKEUCHI, Keith F. TAYLOR, Hongyi WONG
Satoshi YAMANAKA, Masaaki YOKOTANI, Peter ZIZLER and Shigeru ARIMOTO
†This is the 27th part of the series of articles that records and further develops essentials of the Mathematics and Chemistry Interdisciplinary Symposium 2013 Tsuyama, whose main themes were symmetry, periodicity, and repetition. The symposium was held on April 5th and 6th in Tsuyama city, Okayama, Japan, in conjunction with the Fukui Project and was devoted to the memory of the late Professor Kenichi Fukui (1981 Nobel Prize) who initiated the project. The present series also provides challenging cross-disciplinary problems which are directly related to the Fukui conjecture, the Global Pattern Identification (GPI) in the Repeat Space Theory (RST), and Artificial Intelligence (AI). Some of these problems are formulated using mathematical language not well known among chemists despite the importance of these notions in elucidating additivity and high-speed asymptotic phenomena in molecules having many repeating identical moieties. The cross-disciplinary interaction between the Repeat Space Theory and the Spatial Anthropology has been discussed in connection with the Science-Art Multi- angle Network (SAM Network) Project, which seeks to bridge Science and Art (visual, audial, and conceptual) for a creative collaboration, and is an important part of the Fukui Project.
Key Words: the Fukui conjecture, Memoir of Prof. K. Fukui, Unique factorization domain (UFD), Global Pattern Identification in the Repeat Space Theory (RST), Spatial Anthropology, Artificial Intelligence (AI)
I Introduction
Okayama prefecture, Japan. The main themes of the 原稿受付 平成30年9月20日
＊1, ＊6, ＊10 ＊11, ＊16 ＊17総合理工学科
＊4 総合理工学科非常勤講師
＊2 Dept. of Math.Tarbiat Modares University, Iran
＊3 Dept. of Fund.Ed., Dalian Neusoft University of Information, China
＊5 お茶の水女子大学 理学部・元教授
＊7 School of Sciences, Humanities, and Visual Communications, Pennsylvania College of Technology, USA
＊8 Institute of Chemistry, Eotvos University of Budapest, Hungary
＊9 立命館大学 理工学部・数学物理学系・数理科学科・元教授
＊12 CNRS and Institute de Mathématiques de Toulouse, France
＊13 岐阜大学 教育学部・数学科・元教授
＊14 Dept. of Math. and Stat., Dalhousie University, Canada
＊15 School of Communication, Arts and Social Sciences, Singapore Polytechnic, Singapore
＊18 Dept. of Math., Phys., and Eng., Mount Royal University, Canada
＊19 Former Professor of NIT, Tsuyama College, Japan †Director of the Fukui Project (New Frontier Project) For correspondence, visit:
https://www.researchgate.net/profile/Shigeru_Arimoto (Links to other co-authors also available at the above website.)
7. 数学と音楽理論の圏論的試論
竹内 茂
今回は、二年振りとなるために新たな読者を対象に、
音楽の過去２千年の発展の歴史と、数学のそれを比較 対照しながら議論を進め、将来の両者の発展の方向性 を展望する一助になればと考えている。
Key words:
1. 音階論：自然音階古典論＞近代平均律＞現代１２ 音階
2. 調性の変遷＞無調論
3. ピタゴラス音階・数論とガウスによる素因数分解 一意性・UFD
4. ヒルベルトによる数体のアベール拡大と高木類体 論
5. ストイケイアに見るピタゴラスの定理の影響とヒ ルベルトの「原論公理系」批判
6. デザルグ・パスカル射影幾何vsデカルト解析幾 何：計量を超越した幾何学の誕生
以上のキーワードの復習と新たな肉付けを行い、古 代人が夢見た天空の調和が奏でる音楽と数学・幾何学 の競演のロマンを４～５頁で描いていきたい。
1. 音階論：自然音階古典論＞近代平均律＞現代１２ 音階
2. 調性の変遷＞無調論
以上１，２節は以前[1-3]から述べているので、ここ ではそれらを参照
3. ピタゴラス音階・数論とガウスによる素因数分解 一意性・UFD
古典的な音階論は、謂わば自然発生的に弦楽器や管
楽器のピッチによる音程の変化を基礎として、普遍的 な特徴を備えており、民族による特有のメロディーの 差とは別に、簡単な整数比：従って分子、分母が１に 近い有理数によって構成されるという特徴を持って いる。現在広く流布している平均律の１２音階につい ては、既に[1,2]で触れている（また別の機会に詳述）
がそのもとになったピタゴラス音階は、当時の初等的
な整数論の知識に基づいて、２０００年に亘って近世 ヨーロッパで支配的であったし、アジアなど世界の他 の地域でも（数学的な関心を引いたとは言えないが）
それほど本質的な差異はなかった。物理学・天文学へ の関心は強かったものの、音楽への関心は特に示して いないが、整数全体の環論的性質に注目して研究を行 ったのはガウスが最初であり、有名な「数論研究」[4]
に整数環がUFDであることの証明が載っている。今で は小学生でも知っている事実ではあるが、果たして今 の数学専攻の大学院生の何割が証明できるであろう か？実は次節で述べる予定の類体論は、この(代数的) 整数環のＵＦＤ性、或いはイデアルの基本的な性質に 関係した話であり、その意味ではガウスの少年時代の 数学的感性の延長上の自然な問題でもある。この問題 に着目したのも、またそれを励ましたのも、ゲッチン ゲンに赴任して間もないヒルベルトその人である。
4. ヒルベルトの第１２問題（代数体のアベール拡大 の理論）と高木類体論/その非可換化
有理数体の（有限次）代数拡大の理論を「系統的に」
展開することは、ガウス[4]、アーベル、ガロワ[5]、
「クロネッカーの青春の夢」[l]以来の半世紀にわた る願望であったと思われる。カントール[6]による集 合論もまだ未完成の段階で、ヒルベルトは新世紀の数 学を展望して、１０（後に順不同で１３追加）の問題 を提起した[7]。高木の類体論[8]はその第１２の解答 であるが、２０世紀数学を形作る上で思想的にも重要 な役割を果たしたと言える。近代数学の最も基本的な 概念である有理整数環の商体が有理数体となり、有理 整数環には環として基本的なＵＦＤの性質や、その他 イデアルに関する重要な命題が多く成立する。これら の事実は数体においても多くが成り立つと先人たち は予想したであろう。特に代数方程式の可解性や厳密 解を求める解の公式の構成法との関係で、解の全体に 作用するガロワ群の群論的特性、或いはその表現論が、
問題のキーとなったのは当然の成行きである。 こう して代数体のガロワ拡大、就中その最も基本的なアー ベル拡大が研究の中心となり、その構成法・構造を明 らかにすることが、類体論へと繋がっていった。非可 換拡大への「一般化」や数学一般の大統一理論の試み は、Langlands[l]によるものがあるにはあるが、問題 の性格が異なるために、小平が成功した複素曲面論を 三次元化する試みが、十分成果を上げているとは言え ないのと似て、今の所余り目覚ましい成果には至って いない。
5. ストイケイアに見るピタゴラスの定理の影響とヒ ルベルトの原論公理系批判
ストイケアに見る第五公準は、長くユークリッド幾 何を象徴する「平行線の公理」として知られてきたが、
他の公理系との独立性が問題とされ、１９世紀になっ て非ユークリッド幾何が発見されるに及んで、ヒルベ ルトによるユークリッド幾何の厳密な公理論的基礎 付[7]がなされた。そのことを念頭において、中等教 育における中世以降の幾何の取り扱いを見ると、第五 公準が形を変えてピタゴラスの定理として、かなりの 長きに亘って猛威をふるっていたことを知る。その影 響が薄まるのは近世になってからであり、日本が明治 以降、和算から洋算に公教育の数学体系を変えた時は、
幸か不幸かその変化が欧米では既に一段落した後か (或いはその論争の真っ最中だった) 時間的には微妙 な問題である。しかしまだヒルベルトの思想は、一般 には広まっていなかったため、幾何教育全般が現代化 するのは、それから更に半世紀後のことである。この 歴史を振り返ると、科学的な厳密性、論理性を基礎に した体系的学問の模範として、２０００年に亘って生 命力を保ってきた、ユークリッド幾何の教育の目的・
功罪は一体何だったのだろうか？今一度それを見直 すことは、将来の科学文明の発展にとって有益だと思 われる。即ちプロセス・方法論なのか、それとも応用 可能性と結びついた諸々の成果・結果なのか？果てま た、歴史的発展を辿った直観的な幾何学観や、生徒の 心理的発達に沿った教育観に立つのか？等々。
因みにヒルベルトは若い時代のクラインの学生に あたり、上記のような幾何学基礎論を著わすようにな った背景に、師のエルランゲンプログラム[7]が（本 質的には同意していないようだが）影響したと考えら れる。彼は広い関心の持ち主で、２０世紀の数学研究 の方向性を示唆した、有名な彼の名を冠した２３問題 も基礎論・数論から幾何学、解析学まで他分野に亘っ ている。
6. デザルグ・パスカル射影幾何vsデカルト解析幾 何・フェルマー代数幾何
第五公準の止揚と計量を超越した幾何学の誕生:
幾何は（そのギリシア語源が示す様に）古典的には、
長さや角度、面積、合同、相似など平面図形の計量的 な性質を基礎とする研究から始まって、近世には、よ り一般的に空間図形や（部分）多様体などの代数的、
位相的、組合せ論的性質や交叉など相互の位置関係が 研究対象になって来た。変換群との関係で、一時クラ イン流の不変式論[7]が主役を演ずるかに見えたこと もあるが、現代的な立場では、それも単に一つの見方 に過ぎないと考えられている。代数幾何や位相幾何の
登場によって、圏論的な見方が、（変換群をも含む）
より普遍的な見地・視点になってきた。
射影幾何について述べる前に、中世からルネッサン
ス、近世にかけての宗教改革・科学技術の発展につい て述べておくと、先駆者として１５世紀後半から１６ 世紀にかけてのレオナルドダビンチの影響が大きい。
画家として美術方面ではその卓越した才能と業績は 認められているが、天文学・数学・建築や医学・解剖 学など広く関心をもち、多くの未解明のメモを残して いる。最期の晩餐に見られる遠近法などその多くは、
必ずしも彼の独創ではないが、一世紀余を経て数学的 に細部まで詰められた、射影幾何、透視画法等に結実 したとも考えられる。
さて、射影幾何は１７世紀のデザルグ[10]やパスカ
ル[11]以後、２世紀近く目立った進展もなく、１８世 紀末以降再びモンジュやポンスレ[10]らに取り上げ られ、クライン[7]らによって古典幾何として再統合 されるまでは、忘れ去られて来たに等しい。その一因 は、（画法幾何を除く）科学技術など他分野への応用 可能性、発展性の少なさもさることながら、同時代人 であり友人でもあった、デカルトによる解析幾何の発 明・発見[12]の影響が大きいであろう。デザルグらは 射影図法による事実の発見が主な関心事で、図形の長 さや角度、面積などと云った、計量的な性質に関心を もたず、また実際それらとは無関係な「デザルグの定
理」[10]を得た。現代的な立場から見れば、（計量を
重視する）リーマン幾何[13]によって、第五公準問題 は最終的な決着を見たといえるが、計量を無視する幾 何の創出は、その後の代数幾何やトポロジーの創出に よって、計量幾何とは別の幾何の存在の可能性を示唆 したものとして、（２世紀近くのブランクにも拘わら ず）先駆的な意味をもったと言えるであろう。
その代表格がトポロジーであり、代数幾何である。
これらはクライン流の立場から変換群とセットで考 察することも可能であるが、対象を限定することによ り、変換群を無視した（或いは全く対称性のない）カ テゴリーを考えることも可能である。計量付きの幾何 学との関係は、個々の対象に計量が備わったものをと るか否かで、カテゴリーが異なって来るので、研究目 的も自ずから異なって来る。圏論的には単に対象だけ でなく、同一圏内の対象相互の関係をどう律するかと いう問題もある。即ち射をどう定義するか、延いては 同型等同一視の仕方という基本原則の問題でもある。
7. 最後に今後の研究として、数論、幾何学を統合し て音楽を含む芸術一般とその構造的特性や類似性を 比較しながら、発展の方向を探って行きたい。その手
掛かりとして希望を託すのがより一般化された圏論 [14,15]である。
参考文献
[1] 竹内 茂 「数学と化学の学際共同研究と福井プロジェクトVIII」
（分担執筆 数学と芸術、音楽）, 津山工業高専紀要56(2014), pp.47-52.
[2] 竹内 茂「数学と化学の学際共同研究と福井プロジェクトIX-
XIII」（分担執筆 数学と芸術、音楽）, 津山工業高専紀要57(2015), pp.45-78.
[3] 竹内 茂「数学と化学の学際共同研究と福井プロジェクトXVII」
（分担執筆 数学と音楽ー音楽理論の圏論的展開）, 津山工業高専 紀要57(2016), pp.53-56.
[4] Gauss C.F.："Disquisitiones Arithmeticae", Gerhard Fleisher Verlag, Leipzig,1801, 日本語訳「ガウスの整数論」高 瀬正仁, 朝倉書店1995.
[5] Abel N.H., Galois E., 「群と代数方程式」(現代数学の系譜 11), 守屋美賀雄訳・解説, 共立出版,1975.
[6] Cantor G., 「超限集合論」(現代数学の系譜９), 功刀金二郎 訳・解説, 共立出版,1979.
[7] Hilbert D., Klein F.,「幾何学の基礎、エルランゲン・プロ
グラム」(現代数学の系譜７),寺坂英孝・大西正男訳、正田建次郎解
説、共立出版,1970.
[8] Takagi T.: The Collected Papers of TEIJI TAKAGI, 初版
（1973年）岩波書店, 2nd ed.（1990年）Springer-Verlag Berlin and Heidelberg.
[9] Langlands,R.P.:“Some contemporary problems with origins in the Jugendtraum”. In Browder, Felix E.. Mathematical developments arising from Hilbert problems. Proc. Sympos.
Pure Math.. 28. Providence, AMS,1976, pp.401-418.
[10] Poncelet J.V.:Traite des proprietes projectives des figures : ouvrage utile a ceux qui s'occupent des applications de la geometrie descriptive et d'operations geometriques sur le terrain, tome1(1865)2(1866), Gauthier- Villars.
[11] Pascal B.,「パスカル数学論文集」原亨吉訳, ちくま学芸文 庫, 2014年.
[12] Decartes R.,「方法序説」谷川多佳子訳, 岩波文庫,1997.
[13] Riemann B.,「幾何学の基礎をなす仮説について」ヘルマン・
ワイル 序文・解説、菅原正巳訳, 筑摩書房 2013, ミンコフスキー
『空間と時間』を併録.
[14] Herrich,H. and Strecker,G.E. Category Theory, Allen and Baker Inc., Boston (1973).
[15] 圏論の歩き方委員会編 圏論の歩き方 日本評論社(2015).
8. Challenging Problem A of Extending the Off- diagonal Asymptotic Linearity Theorem X(1)
simple version
Shigeru Arimoto, Massoud Amini, Hao Chen Nobuyuki Fukuda, Isao Naruki, Mark Spivakovsky Keith F. Taylor, Satoshi Yamanaka, Masaaki Yokotani
This section is the direct continuation of Section 10 of Part XXII of this series [1]. We retain the definition and notation of this section, and we ask the reader to briefly review this section before proceeding further.
In Section 10 of Part XXII of this series, we established the following theorem without using any version of Piecewise Monotone Lemmas (PMLs).
Theorem (OALT-X(1) AC(I) version: OALT-0.1). Let s , let {AN} X(1), and let I be a closed interval which contains all the eigenvalues of AN for all N + . Then, for any AC(I), there exists an s() such that
Tr[((AN))PNs] = s()N + o(1) (1) as N → . Moreover, s() is represented by the integral:
s() = 2
0
1 exp( ) ( ( )) 2 is F d
,where F is the FS map associated with the sequence {AN}.
We remark that the above theorem can be proved by using the following theorem:
Theorem 1. Let a, b with a < b, let x(N, k) := a + (b
− a)k/N, and let f AC[a, b]. Then, we have
1 N
k= f(x(N, k)) = (1/(b − a))( b ( )a f d
)N +(1/2)(f(b) − f(a)) + o(1) as N → .
Proof. This was first proved in [2] by using the ALT. //
Note: The above Theorem 1 directly follows from Zizler’s Theorem which was proved by Peter Zizler for the first time in Section 3 of [3].
Now recalling the notion of the repeat space Xr
(1)
from the Appendix A2 to Part XXIX of this series of articles, we pose the followingChallenging Problem A:
Is it possible to extend the Theorem (OALT-X(1) AC(I) version: OALT-0.1) to Xr
(1)
In other words, is the following proposition trueProposition (OALT-Xr
(1)
AC(I) version: OALT-0.1).Let s , let {MN} Xr
(1)
, and let I be a closed interval which contains all the eigenvalues of MN for all N +. Then, for any AC(I), there exist s(), βs() such thatTr[((MN))PNs] = s()N + βs() + o(1) as N → . Moreover, s() is represented by the integral:
s() = 2
0
1 exp( ) ( ( )) 2 is F d
,where F is the FS map associated with the sequence {MN}.
We remark that Theorem 1 given above cannot be applied directly to prove the above proposition. However, the computer experiments like those given in Section 10 of Part XXII of this series [1], and other mathematical considerations indicate that the above proposition possibly holds.
References
[1] S. Arimoto, M. Amini, H. Chen, N. Fukuda, J.E. LeBlanc, T. Murakami, I.
Naruki, M. Spivakovsky, S. Takeuchi, K.F. Taylor, H.Y. Wong, S. Yamanaka, M.
Yokotani, and P. Zizler, "Mathematics and Chemistry Interdisciplinary Joint Research and the Fukui Project XXII", Bulletin of National Institute of Technology, Tsuyama College 59 (2017) 25-31.
[2] S. Arimoto, The Second Generation Fukui Project and a New Application of the Asymptotic Linearity Theorem, Bulletin of Tsuyama National College of Technology, 52 (2010) 49-56.
[3] S. Arimoto, M. Amini, N. Fukuda, J.E. LeBlanc, T. Murakami, I.
Naruki, M. Spivakovsky, S. Takeuchi, K.F. Taylor, S. Yamanaka, M.
Yokotani, and P. Zizler, "Mathematics and Chemistry Interdisciplinary Joint Research and the Fukui Project XIV", Bulletin of National Institute of Technology, Tsuyama College 58 (2016) 35-39.
9. InterdisciplinaryChallenging Problems Related to Fourier Analysis
Shigeru Arimoto, Hao Chen, Nobuyuki Fukuda Joseph E. LeBlanc, Satoshi Yamanaka, Masaaki Yokotani
Quantum Linear Chain ChN (m, k) and its Generalized Analogues
In Section 9 of Part XXI of this series [1], we defined a quantum linear chain ChN (m, k) as follows. Let ChN (m, k) denote the quantum mechanical network system of linear chain with free ends consisting of N particles each of mass m and separation 1 that can vibrate harmonically under a restoring force due to the first-neighbor interaction k > 0.
The network ChN (m, k) is completely characterized by the N N positive-semidefinite real symmetric matrix AN
which is referred to as the mass-weighted Hessian matrix of ChN (m, k):
. In Section 9 of Part XXI of this series, we also formulated the Challenging Problems CQF (ii): To study the above quantum oscillator system ChN(m, k) using the method of difference equations (not differential equation), referring to [2-7] and recalling the Fukui Conjecture.
Let r, s, t be any real numbers and let BN be the N N matrix defined by
1 0
0 0 0
0 0
( / ) .
0 0
0 0 0
0 1
N
s r
B k m
r t
+
=
+
0
0
Let MN := AN + BN for all positive integers, then it is easy to check that {MN} is a repeat sequence with block size 1.
By using the technique of solving the eigenvalue problem via the difference equations, we see that for some specific triplet (r, s, t), for example (r, s, t) = (0, 1, 1), one can get both eigenvalues and eigenvectors explicitly in an analytic
AN=(k/m) 1 −1
−1 2 −1 0
−1 2
2 −1
0 −1 2 −1
−1 1
form.
Our new Challenging problem is:
Challenging Problem A*:
In what cases of (r, s, t), are the eigenvalues and eigen vectors of MN explicitly obtainable Develop techniques to study the possibility of extending the Theorem (OALT- X(1) AC(I) version: OALT-0.1) toXr(1).
References
[1] S. Arimoto, M. Amini, H. Chen, N. Fukuda, J.E. LeBlanc, T. Murakami, I.
Naruki, M. Spivakovsky, S. Takeuchi, K.F. Taylor, H.Y. Wong, S. Yamanaka, M.
Yokotani, and P. Zizler, "Mathematics and Chemistry Interdisciplinary Joint Research and the Fukui Project XXI", Bulletin of National Institute of Technology, Tsuyama College 59 (2017) 17-24.
[2] J.E. LeBlanc, PHYSICS Laboratory Manual, Physics with Technological Applications (Kendall Hunt, Dubuque, 2016).
[3] J.E. LeBlanc, Private notes and communications.
[4] L.A. Pipes, L.R. Harvill, Applied Mathematics for Engineers and Physicists (McGraw-Hill, Singapore, 1971).
[5] G.G. Hall, Private notes and communications.
[6] S. Arimoto and G.G. Hall, Integral Representation of a Fundamental Functional for the Study of the Zero-Point Vibrational Energy of Hydrocarbons and the Total Pi-Electron Energy of Alternant Hydrocarbons, Int. J. Quantum Chem. 46 (1992) 612-635.
[7] G.G. Hall and S. Arimoto, Eigenvalue Distributions and Asymptotic Lines of the Energy in Alternant Hydrocarbons, Int. J. Quantum Chem. 45 (1993) 303-328.
