1 α X (path) α I = [0, 1] X α(0) = α(1) = p α p (base point) loop α(1) = β(0) X α, β α β : I X (α β)(s) = ( )α β { α(2s) (0 s 1 2 ) β(2s 1) ( 1 2 s 1)

§1

 基本群の定義と基本的性質

定義 α が位相空間 X の曲線 (path) であるとは，α が I = [0, 1] から X への連続写像であ

るときにいう．

α(0) = α(1) = p のとき，α を p を基点 (base point) とする loop とよぶ．

定義 α(1) = β(0) である位相空間 X の曲線 α, β に対して，α · β : I → X を (α · β)(s) = ( α(2s)   (0 ≤ s ≤ 1 2) β(2s − 1)   (1 2 ≤ s ≤ 1) と定義する．(注)α · β は曲線である． 定義 位相空間X の曲線 α に対して，α−1_{: I → X を α}−1_{(s) = α(1 − s) と定義する．} (注)α−1_{は曲線である．} 定理1.1 X を位相空間，p ∈ X とする．Ω(p) を p を基点とする loop すべての集合とする． α, β ∈ Ω(p) に対して，α ' β rel {0, 1} ならば，α と β は同値である． (証明) 省略

定理1.2 α, β ∈ Ω(p) に対して，hαihβi = hα · βi と定義すると，well-defined である． (証明) 省略

定理1.3 基本群 Π1(X, p) = {hαi | α ∈ Ω(p)} は群である．

(証明) 結合法則

hαi, hβi, hγi ∈ Π1(X, p) に対して，

(hαihβi)hγi = hα · βihγi = h(α · β) · γi = hα · (β · γ)i = hαi · hβ · γi = hαi(hβihγi) 単位元の存在

hαi ∈ Π1(X, p) に対して，hαihepi = hα · epi = hαi

同様に， hepihαi = hep· αi = hαi

hepi は Π1(X, p) の単位元である． 逆元の存在 hαi ∈ Π1(X, p) に対して，hαihα−1i = hα · α−1i = hepi 同様に， hα−1_{ihαi = hα}−1_{· αi = he} pi hα−1_{i は hαi の逆元である．        Q.E.D}

補題1.4 位相空間 X の曲線 α, β, γ が α(1) = β(0), β(1) = γ(0) をみたすとき， (α · β) · γ ' α(β · γ) rel {0, 1} である． (証明) 略 補題1.5 位相空間 X の曲線 α : I → X を α(0) = x, α(1) = y とすると， ex· α ' α rel {0, 1},   α · ey ' α rel {0, 1} である曲線ez : I → X,   ez(s) = z   (s ∈ I) が存在する． 特に，ep : I → X を，ep(s) = p とすると，hepi は Π1(X, p) の単位元である． (証明) 略 補題1.6 位相空間 X の曲線 α : I → X を α(0) = x, α(1) = y とすると， α · α−1 _{' e} x rel {0, 1},   α−1· α ' ey rel {0, 1} である曲線α−1 _{: I → X,  α}−1_{(s) = α(1 − s)   (s ∈ I) が存在する．} このとき，hα−1_{i = hαi}−1_{はhαi の逆元である．} (証明) 略

定理1.7 連続写像 f : X → Y に対して，

f∗ : Π1(X, p) → Π1(Y, q)   (q = f (p))

を，f∗(hαi) = hf αi と定義する．このとき，

(1)f∗はwell-defined である．

(2)f∗は準同型写像である．

(証明) (1)   hαi = hβi =⇒ hf αi = hf βi を示す．すなわち，

α ' β rel {0, 1} とする．連続写像 F : I × I → X で， F (s, 0) = α(s) F (s, 1) = β(s) F (0, t) = α(0) = β(0) = p F (1, t) = α(1) = β(1) = p   (s ∈ I, t ∈ I) をみたすものが存在する．G = f F : I × I → X は連続写像で， G(s, 0) = (f F )(s, 0) = f (F (s, 0)) = f α(s) G(s, 1) = (f F )(s, 1) = f (F (s, 1)) = f β(s) G(0, t) = (f F )(0, t) = f (F (0, t)) = f (p) = q G(1, t) = (f F )(1, t) = f (F (1, t)) = f (p) = q   (s ∈ I, t ∈ I) ゆえに，f α ' f β rel {0, 1} である．

(2)   hαi, hβi ∈ Π1(X, p) に対して，f∗(hαihβi) = f∗(hαi)f∗(hβi) を示す．

左辺 = f∗(hα · βi) = hf (α · β)i 右辺 = hf αihf βi = h(f α) · (f β)i ところが，hf (α · β)i = h(f α) · (f β)i である．なぜなら， (α · β)(s) = ( α(2s)   (0 ≤ s ≤ 1 2) β(2s − 1)   (1 2 ≤ s ≤ 1) (f (α · β))(s) = ( (f α)(2s)   (0 ≤ s ≤ 1 2) (f β)(2s − 1)   (1 2 ≤ s ≤ 1) ) = ((f α) · (f β))(s) よって，左辺= 右辺．       Q.E.D

定理1.8 X, Y, Z を位相空間，連続写像 f : X → Y, g : Y → Z に対して， (gf )∗ = g∗f∗ が成立する． (証明) hαi ∈ Π1(X, p) に対して， (gf )∗(hαi) = h(gf )αi = hg(f α)i = g∗(hf αi) = g∗(f∗(hαi)) = (g∗f∗)(hαi) ゆえに，(gf )∗ = g∗f∗       Q.E.D 定理1.9 (1)   1X : X → X に対して，(1X)∗ = 1Π1(X,p) (2)   f : X → Y, g : X → Y が連続写像で，f (p) = g(p) をみたすとする．    f ' g rel {p} =⇒ f∗ = g∗ (3)   f : X → Y を同相写像とすると，    f∗ : Π1(X, p) → Π1(Y, f (p)) は同型写像で，(f−1)∗ = (f∗)−1である．

(証明) (1)   hαi ∈ Π1(X, p) に対して，(1X)∗(hαi) = h1Xαi = hαi

ゆえに，(1X)∗ = 1Π1(X,p) (2)   f ' g rel {p} より，連続写像 F : X × I → Y が存在して， F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = g(x) F (p, t) = f (p) = g(p)   (x ∈ X, t ∈ I) をみたす．hαi ∈ Π1(X, p) に対して， f∗(hαi) = hf αi g∗(hαi) = hgαi である．G : I × I → Y を G(s, t) = F (α(s), t) と定義すると，G = F (α × 1I) より， G は連続． G(s, 0) = F (α(s), 0) = f (α(s)) = (f α)(s) G(s, 1) = F (α(s), 1) = g(α(s)) = (gα)(s) G(0, t) = F (α(0), t) = F (p, t) = f (p) = f (α(0)) = (f α)(0) = (gα)(0) G(1, t) = F (α(0), t) = F (p, t) = f (p) = f (α(1)) = (f α)(1) = (gα)(1)   (s ∈ I, t ∈ I)

ゆえに，G : f α ' gα rel {0, 1}  すなわち，f∗(hαi) = hf αi = hgαi = g∗(hαi)

(3)   (f−1_{f )}

∗ = (1X)∗ (f−1)∗f∗ = 1Π1(X,p) 同様に，f∗(f

−1₎

∗ = 1Π1(X,p)

定理1.10 X を弧状連結空間とする．X の任意の２点 p, q に対して，Π1(X, p) ∼= Π1(X, q)

である．

(証明) X は弧状連結であるから，p から q への曲線 γ が存在する．ϕ : Π1(X, p) → Π1(X, q)

を，ϕ(hαi) = hγ−1_{· α · γi と定義する．}

(1)   ϕ は well-difined．hαi = hβi =⇒ hγ−1_{· α · γi = hγ}−1_{· β · γi を示す．}

α ' β rel {0, 1} とする．連続写像 F : I × I → X で， F (s, 0) = α(s) F (s, 1) = β(s) F (0, t) = α(0) = β(0) = p F (1, t) = α(1) = β(1) = p   (s ∈ I, t ∈ I) をみたすものが存在する．G : I × I → X を， G(s, t) =      γ−1_{(2s) = γ(1 − 2s)   (0 ≤ s ≤} 1 2) F (4s − 2, t)   (1 2 ≤ s ≤ 34) γ(4s − 3)   (3 4 ≤ s ≤ 1) と定義すると，G は連続． G(s, 0) =      γ−1_{(2s) = γ(1 − 2s)   (0 ≤ s ≤} 1 2) F (4s − 2, 0)   (1 2 ≤ s ≤ 34) γ(4s − 3)   (3 4 ≤ s ≤ 1)     = {γ −1_{· (α · γ)}(s)} G(s, 1) =      γ−1_{(2s) = γ(1 − 2s)   (0 ≤ s ≤} 1 2) F (4s − 2, 1)   (1 2 ≤ s ≤ 34) γ(4s − 3)   (3 4 ≤ s ≤ 1)     = {γ −1_{· (β · γ)}(s)} G(0, t) = γ−1_{(0) = q = {γ}−1_{· (α · γ)}(0) = {γ}−1_{· (β · γ)}(0)} G(1, t) = γ−1_{(1) = q = {γ}−1_{· (α · γ)}(1) = {γ}−1_{· (β · γ)}(1)} ゆえに，γ−1_{· α · γ ' γ}−1_{· β · γ rel {0, 1}} (2)   ϕ は準同型写像 (homomorphism)．hαi, hβi ∈ Π1(X, p) に対して，

ϕ(hαihβi) = ϕ(hα · βi) = hγ−1· α · β · γi

= hγ−1· α · γ · γ−1· β · γi = hγ−1· α · γihγ−1· β · γi = ϕ(hαi)ϕ(hβi)

ゆえに，ϕ は準同型である．

(3)   ϕ は単射 (injective)．ϕ(hαi) = ϕ(hβi) とすると，hγ−1_{· α · γi = hγ}−1_{· β · γi}

すなわち，γ−1_{· α · γ ' γ}−1_{· β · γ rel {0, 1}} 両辺左と右からそれぞれかけて，γ · γ−1_{· α · γ · γ}−1 _{' γ · γ}−1_{· β · γ · γ}−1 _{rel {0, 1}} 故に，α ' β rel {0, 1} (4)   ϕ は全射 (surjective)．hβi を Π1(X, q) の任意の元とすると， hγ · β · γ−1_{i ∈ Π} 1(X, p) で，ϕ(hγ · β · γ−1i) = γ−1· γ · β · γ−1· γ = hβi     Q.E.D

§2

 

R

n

_の

_{Convex Set}

_の基本群

定義 Rn_{の部分集合C が convex set⇐⇒} C の任意の２点 x, y に対して，(1 − t)x + ty ∈ C   (0 ≤ t ≤ 1) が成立する． 定理2.1 C を Rn_{のconvex set，A を C の部分集合とする．} ２つの連続写像f : C → X,   g : C → X が f (x) = g(x) をみたすとき， f ' g rel {A} である． 特に，２つの連続写像f, g に対して，f ' g である． F : X × I → C を，F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x)   (x ∈ X, t ∈ I) と定義する． (証明) 略 定理2.2 C を Rn_{のconvex set とすると，Π} 1(C, p) ' {hepi} である． (証明) hαi ∈ Π1(X, p) を任意の元とすると，α : I → C ep : I → C を ep(s) = p   (s ∈ I) と定義すると， α(0) = ep(0) = p α(1) = ep(1) = p より，α ' ep rel {0, 1}        Q.E.D

§3

 円周

S

1

_{の基本群の計算}

定義 X を位相空間，A を X の部分集合とする．X の元 x が集積点であるとは，x のすべ ての近傍N に対して，N ∩ (A\{x}) 6= ∅ であるときにいう． 定理3.1 (Bolzano-Weierstrass の定理) X が compact 空間なら，X の無限部分集合 A は必ず集積点をもつ． (証明) A が集積点をもたないと仮定して，矛盾を導く． X の各点 x に対して，x は A の集積点でないから，Nx∩ (A\{x}) = ∅ をみたす x の 近傍Nxが存在する．すなわち，x ∈ Ox ∈ Nxをみたす開集合Oxが存在して， Ox∩ (A\{x}) ⊂ Nx∩ (A\{x}) = ∅ より，Ox∩ (A\{x}) = ∅ である．ゆえに，Ox∩ A ⊂ {x} である． O = {Ox | x ∈ X} は X ⊂ S x∈XOx⊂ X より，X = S x∈XOxとなるので，O は

X の open cover である．X は compact より，x1, x2, · · · , xk ∈ X が存在して，

X = Ox1 ∪ Ox2 ∪ · · · ∪ Oxkをみたす． A = A ∩ X = A ∩ (Ox1 ∪ Ox2 ∪ · · · ∪ Oxk) = (A ∩ Ox1) ∪ (A ∩ Ox2) ∪ · · · ∪ (A ∩ Oxk) = {x1} ∪ {x2} ∪ · · · ∪ {xk} A は有限集合となり，これは矛盾．        Q.E.D 定理3.2 (Lebergue の定理)

(X, d) は compact metric space，X の open cover O = {Oλ | λ ∈ Λ} に対して，

正数δ が存在して，X の部分集合 A が，

diameter A < δ =⇒ A ⊂ Oλ0 をみたすλ0 ∈ Λ が存在する．

ここで，diameter A = sup{d(x, y) | x, y ∈ A} とする．この δ を Leberque 数とよぶ．

(証明) n = 1, 2, · · · に対して，X の部分集合の列 A1, A2, · · · が存在して，diameter An < _n1 すべてのλ ∈ Λ に対して，An ⊂/ Oλであると仮定して矛盾を導く．仮定より，An6= ∅ よって，Anは少なくとも１点anを含む．P = {a1, a2, · · · , an, · · ·} とする． (1)   P が有限集合のとき 自然数の列n1 < n2 < · · · が存在して，an1 = an2 = · · · = ank = · · · = p をみたす． p ∈ X =Sλ∈ΛOλより，p ∈ Oλ0 をみたすλ0 ∈ Λ が存在する．Oλ0は開集合である から，正数ε が存在して，Sε(p) ⊂ Oλ0 である． Archimedes の公理より， 1 m0 < ε をみたす自然数 m0が存在する．さらに， nk0 ≥ m0なる自然数nk0 が存在する．x ∈ An_k0 とすると， d(x, p) = d(x, an_k0) ≤ diameterAn_k0 < 1 nk0 ≤ 1 m0 < ε

(証明続き) すなわち，x ∈ Sε(p) である．したがって，An_k0 ⊂ Sε(p) ⊂ Oλ これは矛盾． (2)   P が無限集合のとき X は compact だから，Bolzano-Weirestrass の定理より，P は集積点 p をもつ． p ∈ X =S_λ∈ΛOλより，p ∈ Oλ0 をみたすλ0 ∈ Λ が存在する．さらに正数 ε が存在 して，Sε(p) ⊂ Oλをみたす．Archimedes の公理より，_m1₀ < ε₂ なる自然数m0が存 在する． (＊)   P = {a1, a2, · · ·} に対して，Pk = {ak, ak+1, · · ·}(k = 1, 2, · · ·) とおく． p が P の集積点である ⇐⇒p が Pkの集積点である p は P の集積点であるから，p は Pm0 の集積点である．Sε₂(p) ∩ (Pm0\{p}) 6= ∅ すなわち，al∈ Sε₂(p) ∩ (Pm0\{p}) が存在する．(ただし，l ≥ m0) Alについて考える．Alの任意の点x に対して， d(x, p) ≤ d(x, al) + d(al, p)   d(x, al) ≤ diameterAl < 1 l < 1 m0 < ε 2 al ∈ Sε 2(p) より，d(al, p) < ε 2  したがって，d(x, p) < ε2 +ε2 = ε ゆえに，x ∈ Sε(p) ⊂ Al すなわち，Al⊂ 0λ0 これは矛盾．      Q.E.D (＊) の証明 ”⇐=”k = 1 とすれば，自明である． ”=⇒”p を P の集積点とする．p の任意の近傍 N について N ∩ (Pk\{p}) 6= ∅ を示す p ∈ O ⊂ N をみたす開集合 O が存在する．正数 ε が存在して，Sε(p) ⊂ O をみたす． ε0_{をε と d(a} 1, p), d(a2, p), · · · , d(ak−1, p) の中で正数であるものの最小値とすると， 0 < ε0 _{≤ ε,  ε}0 _{≤ d(a} i, p)(i = 1, 2, · · · , k − 1)   (但し，d(ai, p) 6= 0 とする) p は P の集積点であるから，Sε0(p) ∩ (P \{p}) 6= ∅ である． Sε0(p) は a₁, a₂, · · · , a_k−1の中でp 意外は含まない．ゆえに，S_ε0(p) ∩ (P_k\{p}) 6= ∅ Sε0(p) ⊂ S_ε(p) ⊂ O ⊂ N より，N ∩ (P_k\{p}) 6= ∅ したがって，p は集積点である．       Q.E.D

§4

 円周

S

1

_の基本群

定義 R をユークリッド空間，S1 _{= {(x} 1, x2) ∈ R2 | x21+ x22 = 1} π : R → S1_{をπ(x) = e}2πix_{(x ∈ X) と定義する．このとき π は連続かつ全射である．} 定理4.1 Π1(S1, p) ∼= Z 任意の正数n に対して，γn : I → R を γn(s) = ns と定義すると， (1)γnは0 から n への R における曲線である． (2)πγnは1 を基点とする S1のloop である． (3)πγnは，n が正の時は，S−1を反時計回りにn 回まわる．      n が負の時は，S−1_{を時計回りにn 回まわる．} (証明) 略 (定理 4.2 及び補題 4.3 以降参照) 定理4.2 φ : Z → Π1(S1, 1) を，φ(n) = hπγni と定義すると，φ は同型写像である． すなわち，Z ∼= Π1(S1, 1) (証明) φ は全射 任意のΠ1(S1, 1) の元 hαi に対して，α : I → S1はpath で，α(0) = α(1) = 1 path-lifting lemma より，曲線 ˜α : I → R が存在して，˜α(0) = 0, π ˜α = α をみたす． π(˜α(1)) = α(1) = 1 より，˜α(1) ∈ π−1_{({1}) ゆえに，˜α(1) はある整数 n をとる．} ˜ α は 0 から n への曲線で，˜α ' γn rel {0, 1} よって，π ˜α ' πγn rel {0, 1} ゆえに，α ' πγn rel {0, 1} である．φ(n) = hπγni = hαi となり，φ は全射である． φ は単射 φ(n) = he1i =⇒ n = 0 であることを示す． φ(n) = hπγni = he1i より，πγn ' e1 rel {0, 1} したがって， F : I × I → S1_{が存在して，} F (s, 0) = e1(s), F (s, 1) = πγn(s), F (0, t) = F (1, t) = 1 をみたす．homotopy-lifting lemma より，連続写像 ˜F : I × I → R が存在して， π ˜F = F, ˜F (0, t) = 0 をみたす．P = ({0} × I) ∪ (I × {0}) ∪ ({1} × I) とすると， F (P ) = {1} より，π ˜F (P ) = F (P ) = {1}   ˜F (P ) ⊂ π−1_{(π ˜F (P )) = π}−1_({1}) ゆえに， ˜F (P ) ⊂ π−1_{({1}) = Z(離散空間)} P は連結より， ˜F (P ) は連結である．したがって ˜F (P ) は唯一の整数値で構成される． ˜ F (0, t) = 0 より， ˜F (P ) = {0} である．γ(s) = ˜F (s, 1) とすると，γ は R の曲線で， γ(0) = F (0, 1) = 0, γ(1) = F (1, 1) = 0 をみたす． さらに，πγ(s) = π ˜F (s, 1) = F (s, 1) = πγn(s) である．ゆえに，πγ = πγn したがって，γ, γnはπγnのlifting path-lifting の一意性より，γ = γn γn(1) = n, γ(1) = 0 より，n = 0 さらに，補題4.3 より，φ は準同型であるから，φ は同型写像．      Q.E.D

補題4.3 φ は準同型写像である． (証明) γ : I → R を 0 から n への曲線とすると，R は convex set であるから， γ ' γn rel {0, 1} である．したがって，πγ ' πγn rel {0, 1} 任意の正数m, n に対して，φ(m + n) = φ(m)φ(n) であることを示す． σ : I → R を σ(s) = γn(s) + m   (0 ≤ s ≤ 1) と定義する． σ(0) = γn(0) + m = m σ(1) = γn(1) + m = m + n よって，σ は m から m + n への R の曲線である．γn· σ は， (γn· σ)(s) = ( γn(2s)   (0 ≤ s ≤ 1₂) σ(2s − 1)   (1 2 ≤ s ≤ 1) で定まる曲線であるから， (γn· σ)(0) = γn(0) = 0 (γn· σ)(1) = σ(1) = m + n 故に，γn· σ は 0 から m + n への曲線である． γn· σ ' γm+n rel {0, 1} である．ゆえに，π(γn· σ) ' πγm+n rel {0, 1} φ(m + n) = hπγm+ni = hπ(γm· σ)i

= h(πγm) · πσi = hπγmihπσi = φ(m)hπσi

(πσ)(s) = π(σ(s)) = e2πiσ(s) = e2πi{γn(s)+m}

= e2πiγn(s)+2πim _{= e}2πiγn(s)_{· 1 = π(γ}

n(s)) = (πγn)(s) 故に，(πσ)(s) = (πγn)(s) したがって， φ(m + n) = φ(m)hπσi = φ(m)hπγni = φ(m)φ(n)       Q.E.D

補題4.4 (Path-Lifting Lemma) S1_{の曲線σ : I → S}1_{がσ(0) = 1 をみたすとき，R の曲線 ˜σ : I → R で，} ˜ σ(0) = 0, π˜σ = σ をみたすものが一意的に存在する． ˜ σ を σ の path-lifting とよぶ． (証明) U = S1_{\{−1}, V = S}1_{\{1} とおくと，U, V は S}1_{の開集合で，U ∪ V = S}1 n ∈ Z に対して，An= (n − 1₂, n + 1₂), Bn = (n, n + 1) とおくと， (1)π−1_{(U) =}S n∈ZAn (2)m 6= n ⇒ Am∩ An= ∅   (3)π |An: An→ U は同相写像 (4)π−1_{(V ) =} S n∈ZBn (5)m 6= n ⇒ Bm∩ Bn= ∅   (6)π |Bn: Bn→ V は同相写像 σ : I → S1_{より，I = σ}−1_{(U) ∪ σ}−1_{(V ) で，σ}−1_{(U), σ}−1_{(V ) は I の開集合である．}

さらに，I は compact metric space であるから，Lebergue の定理より，

0 = s0 < s1 < s2 < · · · < sr = 1

が存在して，[si, si+1] ⊂ σ−1(U) または [si, si+1] ⊂ σ−1(V ) である．すなわち，

σ([si, si+1]) ⊂ U または σ([si, si+1]) ⊂ V である． σ(s0) = σ(0) = 1 ∈/ V であるから，σ([si, si+1]) ⊂/ V  ゆえに，σ([si, si+1]) ⊂ U π |A0: A0 → U は同相写像であるから，その逆写像 f : U → A0は連続写像である． ˜ σ : [s0, s1] → R を，˜σ(s) = f (σ(s)) = (f σ)(s)   (s ∈ [s0, s1]) と定義すると， ˜ σ(0) = f (σ(0)) = f (1) = 0,  π˜σ = π(f σ) = (πf )σ = σ  on[s0, s1] さらに，σ は σ に対して一意的である．˜ 次に，σ : [s˜ 0, sk] → R で，˜σ(0) = 0, π˜σ = σ をみたすものが定義できたと仮定する． σ([si, si+1]) ⊂ U または σ([si, si+1]) ⊂ V である． σ([si, si+1]) ⊂ U の場合．σ(sk) = π(˜σ(sk)) ∈ U より，˜σ(sk) ∈ π−1(U) = S n∈ZAn で，m 6= n ⇒ Am∩ An= ∅ より，σ(sk) は Anの唯一の元である．π |An: An→ U は 同相写像であるから，その逆写像をg とする．このとき，˜σ : [sk, sk+1] → R を， ˜ σ(s) = g(σ(s)) = (gσ)(s)   (s ∈ [sk, sk+1]) と定義すると，π˜σ = πgσ = σ である． したがって，σ : [s˜ 0, sk+1] → R で，˜σ(0) = 0, π˜σ = σ をみたす． σ([si, si+1]) ⊂ V の場合．σ(sk) = π(˜σ(sk)) ∈ V より，˜σ(sk) ∈ π−1(V ) = S n∈ZBn で，m 6= n ⇒ Bm∩ Bn= ∅ より，σ(sk) は Bnの唯一の元である．π |Bn: Bn→ V は 同相写像であるから，その逆写像をh とする．このとき，˜σ : [sk, sk+1] → R を， ˜ σ(s) = h(σ(s)) = (hσ)(s)   (s ∈ [sk, sk+1]) と定義すると，π˜σ = πhσ = σ である． したがって，˜σ : [s0, sk+1] → R で，˜σ(0) = 0, π˜σ = σ をみたす． 以上より，σ の [s˜ 0, sk] から [s0, sk+1] への拡張は一意的である．        Q.E.D

補題4.5 (Homotopy-Lifting Lemma) 連続写像F : I × I → S1_{がF (0, t) = F (1, t) = 1   (t ∈ I) をみたすとき，連続写像} ˜ F : I × I → R が一意的に存在して，π ˜F = F,   F (0, t) = 0(t ∈ I) をみたす． ˜ F を F の homotopt-lifting とよぶ． (証明) U = S1_{\{−1}, V = S}1_{\{1} とおくと，{U, V } は S}1_{の開被覆．} n ∈ Z に対して，An= (n − 1₂, n + 1₂), Bn = (n, n + 1) とおくと， (1)π−1_{(U) =}S n∈ZAn (2)m 6= n ⇒ Am∩ An= ∅   (3)π |An: An→ U は同相写像 (4)π−1_{(V ) =} S n∈ZBn (5)m 6= n ⇒ Bm∩ Bn= ∅   (6)π |Bn: Bn→ V は同相写像

{F−1_{(U), F}−1_{(V )} は I × I の開被覆，I × I は compact metric space であるから，}

Lebergue の定理より，

0 = s0 < s1 < s2 < · · · < sm = 1,   0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn= 1

が存在して，[si, si+1] × [tj, tj+1] ⊂ F−1(U) または，[si, si+1] × [tj, tj+1] ⊂ F−1(V )

F (0, t) = 1(0 ≤ t ≤ t1) で，F (0, t) ∈/ V より，[0, s1] × [0, t1] ⊂ F−1(U) である． {0} × [0, t1] ≈ [0, t1] より，{0} × [0, t1] は連結空間である． F (0, t) = 1   (π−1_{F )({0} × [0, t} 1]) = π−1({1}) = Z ˜ F : [0, s1] × [0, t1] → R   ˜F (0, 0) = 0 とする． π |A0: A0 → U は同相写像であるから，その逆写像を f とする．f : U → A0 ˜ F : [0, s1] × [0, t1] → R を ˜F (s, t) = f (F (s, t))(0 ≤ s ≤ s1, 0 ≤ t ≤ t1) と定義する． (π ˜F )(s, t) = π(f (F (s, t))) = (πf )(F (s, t)) = F (s, t) したがって，[0, s1] × [0, t1] 上で π ˜F = F である． ˜F ({0} × [t0, t1]) は連結で，π ˜F ({0} × [t0, t1]) = F ({0} × [t0, t1]) = 1 F (0, 0) = 0 より， ˜F ({0} × [t0, t1]) = {0} 次に，連続写像 ˜F : [sk, sk+1] × [t0, t1] → R が存在して，π ˜F = F   ˜F (0, 0) = 0 を みたすとすると，[sk, sk+1] × [t0, t1] ⊂ F−1(U) または，[sk, sk+1] × [t0, t1] ⊂ F−1(V ) [sk, sk+1] × [t0, t1] ⊂ F−1(U) の場合．すなわち，F ([sk, sk+1] × [t0, t1]) ⊂ U である． {sk} × [t0, t1] は連結空間であるから， ˜F ({sk} × [t0, t1]) は連結空間． π ˜F ({sk} × [t0, t1]) = F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ U 故に， ˜F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ π−1(U) = S n∈ZAnここで， S n∈ZAnは開集合． したがって，適当な正数p に対して， ˜F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ Apである． π |An: An→ U は同相写像であるから，その逆写像 g : U → Apは連続写像である． ˜ F : [sk, sk+1] × [t0, t1] → Apを ˜F = gF と定義すると， π ˜F (s, t) = π |An F (s, t) = π |˜ An g(F (s, t)) = F (s, t) が成立する．故に， ˜F : [sk, sk+1] × [t0, t1] → R が定義できて，π ˜F = F が成立する．

(証明続き) [sk, sk+1] × [t0, t1] ⊂ F−1(V ) の場合も同様である． すなわち，F ([sk, sk+1] × [t0, t1]) ⊂ V で， ˜F ({sk} × [t0, t1]) は連結空間より， π ˜F ({sk} × [t0, t1]) = F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ V, ˜F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ π−1(V ) = S n∈ZBn ˜ F ({sk} × [t0, t1]) ⊂ Bpをみたす正数p が存在する． π |Bn: Bn→ V は同相写像であるから，その逆写像 h : V → Bpは連続写像である． ˜ F : [sk, sk+1] × [t0, tl] → R を ˜F = hF と定義すると，求める ˜F が得られる． 次に， ˜F : ([s0, sm] × [t0, tl]) ∪ ([s0, sk] × [tl, tl+1]) → R が得られたとする． [sk, sk+1] × [tl, tl+1] ⊂ F−1(U) または，[sk, sk+1] × [tl, tl+1] ⊂ F−1(V ) である． [sk, sk+1] × [tl, tl+1] ⊂ F−1(U) の場合，F ([sk, sk+1] × [tl, tl+1]) ⊂ U であるから， P = ({sk} × [tl, tl+1]) ∪ ([sk, sk+1] × {tl}) とする． π ˜F (({sk} × [tl, tl+1]) ∪ ([sk, sk+1] × {tl})) = F (P ) ⊂ U   ˜F (P ) ⊂ π−1(U) = S n∈ZAn P は連結であるから， ˜F (P ) は連結である． ゆえに， ˜F (P ) ⊂ Apをみたす整数p が存在する． π |Ap: Ap → U は同相写像であるから，その逆写像 g : U → Apは連続写像である． ˜ F : [sk, sk+1] × [tl, tl+1] → R を ˜F = gF と定義すると，求める ˜F が得られる． [sk, sk+1] × [tl, tl+1] ⊂ F−1(V ) の場合も同様． したがって，条件を満たすような ˜F : ([s0, sm] × [t0, tl]) ∪ ([s0, sk+1] × [tl, tl+1]) → R は一意的に存在する．       Q.E.D

§5

 円周

S

n

_{(n ≥ 2)}

_の基本群

定義 弧状連結空間X において，Π1(X, p) ∼= {e} であるとき，X を simply connected で

あるという．

定理5.1 n ≥ 2 のとき，Π1(X, p) ∼= {e} である．

(証明) Sn_{上の異なる２点をx, y とする．U = S}n_{\{y}, V = S}n_{\{x} とおく．}

U ≈ R ≈ V より，U, V は simply connected である．

{x}, {y} は閉集合なので，U, V は開集合で，U ∩ V は弧状連結である．したがって， U ∩ V = Sn_{は定理5.2 より，simply connected である．         Q.E.D}

定理5.2 位相空間 X が simply connected な開集合 U, V の和集合で，U ∩ V が弧状連結で あるとき，X は simply connected である．

(証明) p を U ∩ V の任意の点とする．hαi を Π1(X, p) の任意の元とする．

hαi = hepi を示す．X = U ∪ V より，α−1(U) ∪ α−1(V ) = I ⊂ R   I は compact

したがって，{α−1_{(U), α}−1_{(V )} は I の open cover であるから，Lebergue の定理より，}

0 = s0 < s1 < s2 < · · · < sr = 1

が存在して，[si, si+1] ⊂ α−1(U) ∪ α−1(V )  すなわち，α([si, si+1]) ⊂ U ∪ V

i = 0, 1, · · · , n − 1 に対して，αi : I → X を αi(s) = α((1 − s)si+ s · si+1) と定義す る．(0 ≤ s ≤ 1)   (1 − s)si+ s · si+1 ⊂ [si, si+1] αiはα(si) から，α(si+1) への曲線で，αi(I) ⊂ U ∪ V さらに α ' α0· · · αn−1 (1)   α(si) ∈ U のとき，γiをp から α(si) への U における曲線とする． (2)   α(si) ∈ V のとき，γiをp から α(si) への V における曲線とする． (3)   α(si) ∈ U ∩ V のとき，γiをp から α(si) への U ∩ V における曲線とする． ただし，γ0, γnをγ0(s) = γn(s) = p(0 ≤ s ≤ 1) とする． α ' α0· · · αn−1' γ0α0γ1−1· γ1α1γ2−1· · · γn−1αn−1γn−1 γi· αi · γi+1−1 はp を基点とする loop

αi(I) ⊂ U のとき γi· αi· γi+1−1 はU の loop，αi(I) ⊂ V のとき γi· αi· γi+1−1 はV の loop

U および V は simply connected であるから，γi· αi· γi+1−1 ' ep rel {0, 1}

§6

 直積空間の基本群

定理6.1 X, Y を弧状連結空間，p を X の点，q を Y の点とする．   Π1(X × Y, (p, q)) ∼= Π1(X, p) × Π1(Y, q) (例) 1. Torus S1_{× S}1_Π 1(S1× S1) ∼= Z ⊕ Z   2. Π1(Sm× Sn) ∼= {e}(m ≥ 2, n ≥ 2) 3. Π1(S1× I) ∼= Z

(証明) φ : Π1(X × Y, (p, q)) → Π1(X, p) × Π1(Y, q) を，φ(hαi) = (hPXαi, hPYαi) と定義

(1) φ は well-defined である．

α ' β rel {0, 1} =⇒ PXα ' PXβ rel {0, 1},   PYα ' PYβ rel {0, 1}

(2) φ は homomorphism である．

φ(hαihαi) = (h(PXα) · (PXβ)i, h(PYα) · (PYβ)i) = (hPXαihPXβi, hPYαihPYβi)

= (hPXαi, hPXβi)(hPYαi, hPYβi) = φ(hαi)φ(hαi)

(3) φ は injective である．φ(hαi) = (hepi, hepi) =⇒ hαi = he(p.q)i を示す．

φ(hαi) = (hPXαi, hPYαi) = (hepi, hepi) とする．すなわち，

F : PXα ' ep rel {0, 1}   F : PXα ' ep rel {0, 1} である．H : I × I → X × Y を， H(s, t) = (F (s, t), G(s, t)) と定義すると，H は連続で， H(s, 0) = (F (s, 0), G(s, 0)) = (PXα(s), Pyα(s)) = (PX(α(s)), PY(α(s))) = α(s) H(s, 1) = (F (s, 1), G(s, 1)) = (ep(s), eq(s)) = (p.q) = e(p,q)(s) H(0, t) = (F (0, t), G(0, t)) = (p, q)   H(1, t) = (F (1, t), G(1, t)) = (p, q) ゆえに，H : α ' e(p.q) したがって，hαi = he(p.q)i (4) φ は surjective である．

§7

 

Homotopy Type

定義 X ≈ Y ⇐⇒ 連続写像 f : X → Y が存在して，

(1) f は全単射  (2) f は連続  (3) f−1_{は連続 をみたす．}

定義 位相空間X, Y が同じ homotopy type である (homotopy equivalent) とは，連続写像

f : X → Y, g : Y → X が存在して，gf ' 1Xかつf g ' 1Y をみたすときにいう．

このときf を homotopy equivalent，g を homotopy inverse といい，X ' Y とかく． X ' Y =⇒ Π1(X, p) ∼= Π1(Y, q) 例1 X ≈ Y =⇒ X ' Y 例2 C が Rn_{のconvex set なら  C ' { １点 }} 例3 Sn−1_{' R}n_{\{0} (n ≥ 2)   (S}n−1 _{≈ R}n_{\{0} ではない．)} 定理7.1 位相空間すべての集合において，' は同値関係である． (証明) 略 定義 位相空間X の部分集合 A が X の retract であるとは，連続写像 γ : X → A が存在 して，γ(a) = a (a ∈ A) をみたすときにいう．γ を retraction とよぶ．

定理7.2 A が X の deformation retract なら，A ' X である． (証明) i : A → X, r : X → A について考える．x ∈ A に対して，

(ri)(x) = r(i(x)) = r(x) = x = 1A(x)

であるから，ri = 1Aである．F : X × I → X が存在して，

F (x, 0) = x = 1X(x)   F (x, 1) = r(x) = (ir)(x)   F (a, t) = a(a ∈ A, t ∈ I, x ∈ X)

をみたす．すなわち，1A' ir である．ゆえに，A ≈ X である．      Q.E.D

定理7.3 A が X の deformation retract なら，i∗ : Π1(A, p) → Π1(X, p) は同型写像である．

ここで，p は A の任意の点．

(証明) i : A → X とする．i∗ : Π1(A, p) → Π1(X, p) は homomorphism であるから，

全単射であることを示す．A が X の deformation retract であるから， ri = 1Aかつir ' 1X rel A

ri = 1Aより，(ri)∗ = (1A)∗  ゆえにr∗i∗ = 1Π1(A,p) 1Π1(A,p)は単射よりi∗は単射．

ir ' 1X rel A より，ir ' 1X rel {p}  すなわち (ir)∗ = (1X)∗

例3 Sn−1_はRn_{のdeformation retract である．} 例4 Bn _{= {x ∈ R}n _{|k x k< 1} とする．} Sn−1_はBn_{\{0} の deformation retract である．} 定理7.4 f : X → Y, g : X → Y が連続写像で，F : f ' g とする． このとき，g∗ = γ∗f∗である．ここで，γ(t) = F (p, t)   (0 ≤ t ≤ 1) とする． (証明) 略 定理7.5 X, Y を弧状連結空間とする．X ' Y ならば．Π1(X, p) ∼= Π1(Y, q) である． (証明) 略