「MATLAB/Simulink による現
代制御入門」
サンプルページ
この本の定価・判型などは，以下の URL からご覧いただけます．http://www.morikita.co.jp/books/mid/092041
※このサンプルページの内容は，初版 1 刷発行当時のものです．i
ま え が き
筆者が若かりし頃に執筆した「MATLAB/Simulinkによるわかりやすい制御工学」が 「古典制御理論」を中心とした内容であるのに対し，本書は「現代制御理論」を中心とし た内容である．「現代制御理論」については，すでに，著名な先生方により執筆された数々 の優れた本が出版されている．それにもかかわらず，筆者が執筆を志したのは，これら の本の多くが，一部の優秀な学生を除いては少々難解であり，また，理解を深めるため の例題や演習も少ないと感じていたからである．さらに，現在では，「現代制御理論」を 利用するために，MATLAB/Simulinkというツールが必要不可欠となっているが，両者 をリンクさせた書物はきわめて少ない．このような問題意識をもって，本書を執筆した． 本書の特徴を以下に示す． 1. 古典制御理論を学んできた者が現代制御理論を学ぶための動機付けを行うため， 第1 章で両者を比較した，一つの見方を示した． 2. 読者が内容の理解を深めるために，例題と演習問題を他書と比べて多く掲載した． ほとんどの例題や演習問題では，読者が手計算で追うことができるように配慮し た．また，視覚的に理解できるよう図を多用した． 3. 各章の章末には，その内容に関連したMATLAB/Simulinkの使用方法を示した． また，各例題や演習問題の結果をMATLAB/Simulinkで確認するためのMファ イルやSimulinkモデルを，本書のサポートページ • http://www.morikita.co.jp/soft/92041/ (http://www.maizuru-ct.ac.jp/control/kawata/study/book3/book3_page.html) に掲載した． 4. MATLAB/Simulinkが使用できない場合であっても，その内容の理解に支障がな いように配慮した． 5. 現代制御理論の発展形として，比較的，新しいトピックスである線形行列不等式 (LMI)についても言及した． 当初は，実システムへの応用例を最終章として掲載するつもりであったが，筆者の文章 力のなさのためにページ数が多くなってしまい，その掲載を見送らざるを得なかった． これについては，別の機会に執筆できればと考えている． 本書を執筆するにあたり，各例題や演習問題ではMATLAB/Simulinkを多用した．筆ii まえがき
者のOS環境はWindows 7 (64bit)であり，MATLABのバージョンとしては，執筆時
点での最新バージョンである
• MATLAB Version 7.11 (R2010b) • Simulink Version 7.6 (R2010b)
• Control System Toolbox Version 9.0 (R2010b) • Symbolic Math Toolbox Version 5.5 (R2010b)(注0.1)
• Robust Control Toolbox Version 3.5 (R2010b)(注0.2)
を使用した．また，第9章では，MATLAB上で動作するフリーウェアの • SeDuMi Version 1.3 (20100405)セデュミ • SDPT3 Version 4.0 • YALMIP Version 3 (R20100903)ヤルミップ も併用した(注0.3)． 本書の執筆にあたっては，できる限り誤りがないように記述したつもりであるが，筆 者の能力不足により不備な点や誤った点があることを危惧している．この点については， 読者の御叱正を頂ければ幸いである． 最後に，大幅な執筆の遅れにもかかわらず，辛抱強くお待ち頂いた富井 晃 氏をはじ めとする森北出版株式会社の関係各位，石井智也 氏に厚く御礼を申し上げます． 平成23年 早春 筆者記す
(注 0.1)R2008bより Symbolic Math Toolbox で用いられる数式計算エンジンのデフォルトは，商用の Maple
(http://www.maplesoft.com/)から MuPAD に変更になった．そのため，R2008a までと R2008b 以降では Symbolic Math Toolbox を利用したときの実行結果が異なる場合があるので注意されたい．
(注 0.2)第 8 章の例題の一部で必要である．また，第 9 章で LMI ソルバ LMILAB を利用したい場合にも必
要である．
iii
目 次
第1章 古典制御理論から現代制御理論へ 1 1.1 高次システムに対する古典制御理論の限界 ... 1 1.2 現代制御理論における高次システムの取り扱い ... 4 1.3 多入力多出力システムに対する古典制御理論の限界 ... 7 1.4 現代制御理論における多入力多出力システムの取り扱い ... 10 第2章 システムの状態空間表現 11 2.1 線形システムと非線形システム ... 11 2.2 線形システムの状態空間表現 ... 13 2.2.1 状態空間表現 ... 13 2.2.2 同値変換 ... 16 2.2.3 非線形システムの状態空間表現と近似線形化 ... 19 2.3 状態空間表現から伝達関数表現への変換 ... 21 2.4 伝達関数表現から状態空間表現への変換 ... 24 2.4.1 実現問題 ... 24 2.4.2 最小実現 ... 27 2.5 MATLABを利用した演習 ... 28 2.5.1 状態空間表現の定義 ... 28 2.5.2 状態空間表現から伝達関数表現への変換 ... 29 2.5.3 伝達関数表現から状態空間表現への変換と同値変換 ... 30 2.5.4 最小実現 ... 32 第3章 線形システムの時間応答 33 3.1 1次システムの時間応答 ... 33 3.1.1 零入力応答 ... 33 3.1.2 零状態応答 ... 35 3.1.3 任意の時間応答 ... 38 3.2 n次システムの時間応答 ... 39 3.2.1 遷移行列(行列指数関数) ... 39 3.2.2 零入力応答とラプラス変換による遷移行列の求め方 ... 40 3.2.3 対角化による遷移行列の求め方 ... 44 3.2.4 任意の時間応答 ... 46 3.3 線形システムの極と安定性・過渡特性 ... 49iv 目 次 3.3.1 極と漸近安定性 ... 49 3.3.2 有界入力有界出力安定性 ... 51 3.3.3 極と時間応答の過渡特性 ... 52 3.4 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 56 3.4.1 部分分数分解 ... 56 3.4.2 遷移行列 ... 58 3.4.3 時間応答— MATLAB ... 59 3.4.4 時間応答— Simulink ... 64 3.4.5 システムの極と漸近安定性 ... 66 第4章 状態フィードバックによる制御 67 4.1 状態フィードバックによるレギュレータ制御 ... 67 4.2 可制御性 ... 68 4.2.1 可制御とは ... 68 4.2.2 可制御性の判別 ... 70 4.3 極配置によるコントローラ設計 ... 74 4.3.1 可制御性と極配置との関係 ... 74 4.3.2 可制御標準形に基づく1入力システムの極配置 ... 77 4.3.3 1入力システムに対するアッカーマンの極配置アルゴリズム . 82 4.3.4 多入力システムの極配置 ... 83 4.4 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 86 4.4.1 可制御性 ... 86 4.4.2 極配置 ... 87 4.4.3 状態フィードバック制御のシミュレーション ... 90 第5章 サーボシステムの設計 92 5.1 フィードフォワードを利用した目標値追従制御 ... 92 5.1.1 定値の目標値への追従制御 ... 92 5.1.2 不変零点との関係 ... 97 5.1.3 外乱の影響 ... 98 5.2 サーボシステムと積分型コントローラ ... 100 5.2.1 サーボシステムと内部モデル原理 ... 100 5.2.2 状態フィードバック形式の積分型コントローラの設計 ... 104 5.2.3 拡大偏差システムの可制御性 ... 108 5.3 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 110 5.3.1 追従制御 ... 110 5.3.2 サーボ制御 ... 113 第6章 オブザーバと出力フィードバック 115 6.1 問題設定 ... 115
目 次 v 6.2 微分信号を利用した状態の復元 ... 116 6.2.1 差分近似による速度の復元 ... 116 6.2.2 入出力信号の時間微分を利用した状態変数の復元 ... 118 6.3 同一次元オブザーバによる状態推定 ... 120 6.3.1 同一次元オブザーバの構成 ... 120 6.3.2 可観測性 ... 121 6.3.3 オブザーバゲインの設計 ... 124 6.4 同一次元オブザーバを利用した出力フィードバック制御 ... 128 6.5 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 134 6.5.1 可観測性 ... 134 6.5.2 同一次元オブザーバを利用した出力フィードバック制御 ... 134 第7章 リアプノフの安定性理論 140 7.1 リアプノフの意味での安定性と安定定理 ... 140 7.1.1 リアプノフの意味での安定性 ... 140 7.1.2 リアプノフの安定定理による安定性の判別 ... 142 7.2 線形システムに対するリアプノフの安定定理と漸近安定性 ... 146 7.2.1 リアプノフ方程式と漸近安定性(その1) ... 146 7.2.2 リアプノフ方程式と漸近安定性(その2) ... 149 7.3 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 152 7.3.1 リアプノフ方程式 ... 152 7.3.2 リアプノフ関数の挙動 ... 153 第8章 最適レギュレータ 155 8.1 最適レギュレータ(LQ最適制御)によるコントローラ設計 ... 155 8.1.1 最適レギュレータとは ... 155 8.1.2 最適レギュレータ問題の可解条件 ... 159 8.2 リカッチ方程式の数値解法(有本–ポッターの方法) ... 164 8.3 最適サーボシステム ... 169 8.4 MATLAB/Simulinkを利用した演習 ... 174 8.4.1 リカッチ方程式と最適レギュレータ ... 174 8.4.2 リカッチ方程式の数値解法(有本–ポッターの方法) ... 177 8.4.3 最適サーボシステム ... 179 第9章 LMIに基づくコントローラ設計 182 9.1 LMIとは ... 182 9.1.1 リアプノフ不等式とLMI ... 182 9.1.2 変数変換法によるBMIのLMI化 ... 184 9.2 各種制御問題のLMI条件 ... 186
vi 目 次 9.2.1 指定領域への極配置 ... 186 9.2.2 最適レギュレータとLMI ... 188 9.3 多目的制御 ... 192 9.4 MATLABを利用した演習 ... 194 9.4.1 YALMIPの使用方法 ... 194 9.4.2 多目的制御 ... 195 付録A 補足説明 197 A.1 ラプラス変換 ... 197 A.2 可制御性と極配置 ... 200 A.3 リアプノフの安定定理 ... 205 A.4 最適レギュレータ理論 ... 206 A.5 シュールの補題 ... 210 付録B MATLAB/Simulink の基本操作 211 B.1 MATLAB の基本操作 ... 211 B.2 MファイルエディタとMファイル ... 214 B.3 2次元グラフの描画 ... 216 B.4 制御文 ... 218 B.5 Simulinkの基本操作 ... 221
B.6 Symbolic Math Toolboxの基本操作 ... 226
B.7 フリーウェアのLMI ソルバとLMIパーサのインストール ... 227 付録C 行列・ベクトルについての補足 229 C.1 行列とベクトルの基礎 ... 229 C.2 行列の固有値と固有ベクトル ... 236 C.3 正定行列と負定行列 ... 238 C.4 MATLAB を利用した演習 ... 241 問題の解答 247 参考文献 256 索 引 257
1
第
1
章
古典制御理論から現代制御理論へ
PID制御に代表される古典制御理論は，制御対象の数学モデルを伝達関数表現で表 し，制御系設計や解析を議論している．古典制御理論は，1次システムや2次システム のように，低次である1入出力システムの制御対象に対しては威力を発揮するが，高次 のシステムや入出力間に干渉のある多入力多出力システムの制御対象に対する取り扱い が困難である．それに対し，現代制御理論では，制御対象の入力信号(操作量)や出力 信号(制御量)だけでなく，内部状態も考慮した状態空間表現とよばれる数学モデルで 制御対象を記述し，内部状態をフィードバックする構造のコントローラを用いることに よって，高次のシステムや多入力多出力システムの取り扱いを容易にしている． ここでは，簡単な具体例により現代制御理論を学ぶ動機付けについて説明する．1.1
高次システムに対する古典制御理論の限界
classical control theory
古典制御理論で代表的な PID control PID 制御(注1.1)は，制御対象が2 次までの低次なシステム であれば pole 極を任意に設定できるため， stability 安定性を確保できるが，制御対象が3次以上の高 次システムの場合，一般に，安定性を保証できるとは限らない．ここでは，高次システ ムの制御対象として図1.1 の2 慣性システムを考え，このことを説明する． 例1.1 ··· 2慣性システム(図1.1)の伝達関数表現 図 1.1 の 2 慣性システムにおいて，台車 1 に力 u(t) = f1(t)を加え，台車 2 の位置 y(t) = z2(t)を制御することを考える．台車1, 2の粘性摩擦を無視すると，その運動方程式は P : ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ M1z¨1(t) = u(t)− k z1(t)− y(t) fk(t) − μz˙1(t)− ˙y(t) fμ(t) M2y(t) =¨ kz1(t)− y(t) + μz˙1(t)− ˙y(t) (1.1) となる．古典制御理論では，制御対象の数学モデルを 伝達関数表現 P : y(s) = P (s)u(s) (1.2)
2 第1章 古典制御理論から現代制御理論へ z1(t) 0 y(t) = z2(t) ¹ k M1 M2 0 fk(t) f¹(t) fk(t) f¹(t) u(t) = f1(t) 1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ fk(t) [N]：ばねによる力 fμ(t) [N]：ダンパによる力 M1[kg]：台車1の質量 M2[kg]：台車2の質量 k [kg/s2]：ばね係数 μ [kg/s]：ダンパ係数 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 図 1.1 台車 1 にのみ操作量 u(t) = f1(t)が加わっている 2 慣性システム
とよばれる形式で表す．ただし，u(s) =L u(t) , y(s) =L y(t) はそれぞれ信号u(t), y(t)
のラプラス変換(注 1.2)であり，P (s) := y(s)/u(s)は“ u(s) からy(s)までの
transfer function 伝達関数”で ある．たとえば，M1= 0.5, M2= 1, k = 2, μ = 1のとき，y(0) = 0, ˙y(0) = 0, z1(0) = 0, ˙ z1(0) = 0として(1.1)式の両辺をラプラス変換し，z1(s)を消去すると，次式の伝達関数表 現が得られる． P : y(s) = P (s)u(s), P (s) = 2s + 4 s2(s2+ 3s + 6) (1.3) 機械システムの制御では，図1.2 に示すP–D制御(微分先行型PD制御)が利用さ
れることが多い．ただし，yref(t)はy(t)の目標値，e(t) := yref(t)− y(t)(注1.3)は偏差
である．そこで， P–Dコントローラ K : u(t) = 比例動作 kPe(t)− 微分動作
kDy(t)˙ ⇐⇒ K : u(s) = kPe(s)− kDsy(s) (1.4)
を用いて，図 1.1の2 慣性システムの位置制御(台車2 の位置y(t) = z2(t)をその目 標値yref(t)に追従させる制御)を実現することを考える．P–Dコントローラの設計パ ラメータであるkP, kD の選び方には様々な方法が考えられるが，ここでは，部分的モ デルマッチング法(北森の方法)により決定する． yref(s) kP { P (s) + { + u(s) y(s) e(s) kDs 2¡¡, 図 1.2 P–D 制御 (注 1.2)ラプラス変換については付録 A.1 (p.197) を参照すること．また本書では，大文字で標記される伝達 関数 P (s) と区別するため，信号 f (t) のラプラス変換を f (s) =Lf (t)のように小文字で表す． (注 1.3)本書では，A が B により定義されることを，“ A := B ” と記述する．
1.1 高次システムに対する古典制御理論の限界 3
例1.2 ··· 2慣性システム(図1.1)のP–D制御 以下の手順によりkP, kD を定める．
ステップ1 目標値yref(s)から制御量y(s)への伝達関数T (s) := y(s)/yref(s)を求める と，次式のようになる． T (s) = P (s)kP 1 + P (s)kDs + kP = NT(s) DT(s) (1.5) NT(s) = 2kPs + 4kP DT(s) = s4+ 3s3+6 + 2kD s2+2kP+ 4kD s + 4kP ステップ2 1/T (s)は筆算により， 1 +kD kP s + 3 2kP s2+· · · 4kP+ 2kPs 4kP+ 2kP+ 4kD s +6 + 2kD s2+ 3s3+ s4 4kP + 2kPs 4kDs +6 + 2kDs2+ 3s3+ s4 4kDs + 2kDs2 6s2+ 3s3+ s4 6s2+ 3s3 . . . のように計算でき，1/T (s)を，次式のように無限級数で表現することができる． 1 T (s) = 1 + kD kP s + 3 2kP s2+· · · (1.6) なお，1/T (s)をs = 0においてテイラー展開することによっても，(1.6)式と同様の結果 を得ることができる． ステップ3 P–D制御では設計パラメータがkP, kD の2個，存在する．そこで，規範モ デルの伝達関数GM(s)として，2次遅れ要素 GM(s) = ω2 n s2+ 2ζωns + ω2n , ωn> 0, ζ > 0 (1.7) を考える．このとき，システムyM(s) = GM(s)yref(s)のステップ応答は，与える固有角 周波数ωnの大きさに比例して速応性が向上し，減衰係数ζ の値に応じて安定度が決まる． 図1.3に，(1.7)式の単位ステップ応答を示す．GM(s)の逆数は 1 GM(s) = 1 + 2ζ ωn s + 1 ω2 n s2 (1.8) であるので，(1.8)式と(1.6)式の2次までの項が一致するように，コントローラ(1.4)式 のパラメータkP, kDを，次式により定める． kP= 3ω 2 n 2 , kD= 3ζωn (1.9)
4 第1章 古典制御理論から現代制御理論へ P–Dコントローラ(1.4), (1.9)式を用いたシミュレーション結果を，図1.4に示す．ただ し，設計パラメータをζ = 0.7, ωn= 0.5, 2と選び，目標値は， yref(t) = 0 (t < 0) 1 (t≥ 0) とした．図1.4からわかるように，P–D制御では，ωnを大きくするに従ってGM(s)とT (s) との近似の精度が悪くなり，ωnを大きくしすぎると不安定となる．この要因は，T (s)の分母 DT(s)が4次であるのに対し，P–Dコントローラ(1.4)式のパラメータがkP, kD の2個 しかないため，T (s)の4個の極(DT(s) = 0の解)を任意に指定できないことにある． 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 10 t [s] £ 1/!n ³ = 0.9 ³ = 0.1 ³ ! yM (t ) 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 t [s] £ 1/!n ³ = 1.5³ = 1 ³ = 2 ³ = 2.5³ = 3 yM (t ) (a) 不足制動 (0 < ζ < 1) (b) 臨界制動 (ζ = 1)，過制動 (ζ > 1) 図 1.3 2 次の規範モデル yM(s) = GM(s)yref(s)の単位ステップ応答 t [s] 0 4 8 12 16 20 0 0.5 1 1.5 yM (t ), y( t)= z2 (t ) [m] yM(t) 2 z2(t) 2 yref(t) = 1 t [s] 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 yM(t) z2(t) yM (t ), y( t)= z2 (t ) [m] (a) ωn= 0.5, ζ = 0.7 (b) ωn= 2, ζ = 0.7 図 1.4 P–D 制御のシミュレーション結果
1.2
現代制御理論における高次システムの取り扱い
図 1.1 の 2 慣性システムに対する P–D 制御では，台車 2 の状態 (y(t) = z2(t), ˙ y(t) = ˙z2(t))のみをコントローラ(1.4)式に利用したが，台車1 の状態(z1(t), ˙z1(t)) も利用した方が，より高性能な制御が期待できる．そこで，modern control theory
現代制御理論では，台車2
1.2 現代制御理論における高次システムの取り扱い 5
例1.3 ··· 2慣性システム(図1.1)の状態フィードバック制御 容易にわかるように，定常状態で，台車2が定値の目標値yref(t) = yrefc で静止している
(y(t) = z2(t) = yrefc ) とき，台車1の位置z1(t)も ycref で静止している．このことを考慮 し，コントローラの形式を K : u(t) = 台車1のP–D制御 kP1e1(t)− kD1z˙1(t) + 台車2のP–D制御 kP2e2(t)− kD2z˙2(t) (1.10) e1(t) = yref(t)− z1(t), e2(t) = yref(t)− z2(t) と選ぶ．さらに， x(t) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ z1(t) ˙ z1(t) z2(t) ˙ z2(t) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
台車1 の状態 台車2 の状態 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 2慣性システム (制御対象)の状態 k = k1 k2 k3 k4 = −kP1 −kD1 −kP2 −kD2 , h = kP1+ kP2 とおくと，(1.10)式は，“制御対象の state variable 状態変数x(t)をフィードバックした項kx(t) ”と“目 標値yref(t)からのフィードフォワードの項hyref(t) ”の和 state feedback 状態フィードバック形式のコントローラ K : u(t) = kx(t) + hyref(t) (1.11) で表すことができる(図1.5参照)．状態フィードバック形式のコントローラについては，第4章 で詳しく説明する．コントローラ(1.11)式を用いると，目標値yref(s)から制御量y(s)への 伝達関数T (s)の極を任意に設定できるという利点がある．実際，目標値yref(s)から制御量y(s)への伝達関数T (s) := y(s)/yref(s)を求めると，
T (s) = NT(s) DT(s) (1.12) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ NT(s) = 2kP1+ kP2 s + 4kP1+ kP2 DT(s) = s4+3 + 2kD1 s3+ 23 + k P1+ kD1+ kD2 s2 + 2kP1+ kP2+ 2 kD1+ kD2 s + 4kP1+ kP2 となる．したがって，kP1, kD1, kP2, kD2によりT (s)の極(DT(s) = 0の根)を任意に指定 でき，P–Dコントローラ(1.4)式よりも柔軟な設計が可能である． y(t) u(t) x(t) h ++ k x1(t); x2(t); x3(t); x4(t) ¶ µ yref(t) 図 1.5 状態フィードバック形式のコントローラ
6 第1章 古典制御理論から現代制御理論へ
また，現代制御理論では，
pole placement method
極配置法(4.3節) や
optimal regulator theory
最適レギュレータ理論(第8章) といった 設計法で，k, hが設計される．たとえば，最適レギュレータ理論により，評価関数 J = ∞ 0
60y(t)− yrefc 2+ u(t)2dt
を最小とするようなコントローラ(1.11)式のゲインを求めると， k = −1.90 −1.71 −5.84 −4.45 , h = 7.75 が得られる．このときのシミュレーション結果(図1.6 (a))は，1.1節で説明したP–D制御 のシミュレーション結果(図1.6 (b))と比べて，同程度の速応性であるにもかかわらず，振動 が抑制された応答となる． t [s] 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 y( t)= z (t ) [m] yHAB(t) = 1 t [s] 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 yM(t) z2(t) yM (t ), y( t)= z2 (t ) [m] (a) 状態フィードバック形式のコントローラ (1.11)式を用いた場合 (b) P–Dコントローラ (1.4), (1.9) 式を用い た場合 (ωn= 2, ζ = 0.7) 図 1.6 シミュレーション結果 このように，現代制御理論では，制御対象のすべての状態x(t)をフィードバックし た形式のコントローラが用いられる．一方，古典制御理論において標準的に用いられて きた伝達関数表現は，入力信号u(t)と出力信号y(t)との関係に注目しているため，状 態x(t)を陽に表すことができない．そこで，現代制御理論では，制御対象の状態x(t) を陽に表現するため，制御対象の数学モデルを，
state space representation
状態空間表現とよばれる形式 状態空間表現 P : ˙ x(t) = Ax(t) + bu(t) ···状態方程式 y(t) = cx(t) ···出力方程式 (1.13) で記述する．状態空間表現 (1.13) 式は， state equation 状態方程式とよばれる 1 階の微分方程式と output equation 出力方程式とよばれる代数方程式で表される．図1.7に状態空間表現のブロック線図を 示す．なお，状態空間表現については，第2章で詳しく説明する(注1.4)． また，古典制御理論で用いられる伝達関数表現は，初期値が零であることを前提とし (注 1.4)2慣性システムの状態空間表現は後述の例 2.4 (p.15) で求める．
1.3 多入力多出力システムに対する古典制御理論の限界 7 c y(t) b u(t) x(t). x(t) A ++ y(t) = cx(t) x(t) = Ax(t) + bu(t). 図 1.7 1 入出力システムの状態方程式，出力方程式のブロック線図 ている．しかし，実際には，零でない初期値から制御したいような場合も考えられる．そ れに対し，現代制御理論で用いられる状態空間表現は初期値が零である必要はなく，初 期値を考慮した議論が容易になる．初期値を考慮した時間応答については 第 3章で詳 しく説明する．
1.3
多入力多出力システムに対する古典制御理論の限界
図 1.1 に示した 2 慣性システムは，操作量 u(t)，制御量 y(t) が共にスカラー であり，single-input single-output system
1 入出力システム(1入力1 出力システム，SISOシステム)とよばれる．PID
制御に代表される古典制御理論では，基本的に，制御対象が 1 入出力システムで
あることを前提として理論展開されているため，複数の操作量や制御量が存在する multiple-input multiple-output system
多入力多出力システム(MIMOシステム)(注1.5) の取り扱いが困難である． 多入力多出力システムの例として，図1.8に示す2 慣性システムを考えてみよう． 例1.4 ··· 2入力2出力の2慣性システム(図1.8)の伝達関数表現 f¹(t) z1(t) 0 z2(t) ¹ k M1 M2 f1(t) 0 fk(t) f2(t) f¹(t) fk(t) 1 2 図 1.8 台車 1, 2 に外部から力 f1(t), f2(t)が加わっている 2 慣性システム 図1.8の2慣性システムは，台車1に力f1(t)が加わっているだけでなく，台車2にも力 f2(t)が加わっており，台車1の位置z1(t)だけでなく，台車2の位置 z2(t)も制御するこ とを目的としている．そのため，この2慣性システムは，操作量u(t)，制御量y(t)を u(t) = u1(t) u2(t) = f1(t) f2(t) , y(t) = y1(t) y2(t) = z1(t) z2(t) (1.14) (注 1.5)p個の操作量，q 個の制御量がある場合，p 入力 q 出力システムとよぶこともある．
92
第
5
章
サーボシステムの設計
第4章では，状態フィードバック形式のコントローラを用い，任意の初期状態から状 態変数を零に制御するレギュレータ制御について説明した．しかし，実際には，レギュ レータ制御ではなく，制御量を目標値に追従させる制御を行いたい場合が多い．本章の 前半では，外乱などが存在しない理想的な状況では，状態フィードバックに“目標値か らのフィードフォワード”の項を付加することで，定値の目標値に追従させることがで きることを示す．しかし，この方法では，たとえばステップ状の外乱が加わったとき，定 常偏差が残ってしまうという問題がある．そこで，本章の後半では，状態フィードバッ ク形式のコントローラに“積分器”を付加し，ステップ状の目標値に追従させたり，ス テップ状の外乱の影響を除去するサーボシステムを構成する方法を説明する．5.1
フィードフォワードを利用した目標値追従制御
5.1.1
定値の目標値への追従制御
ここでは，外乱などの未知動特性が存在しない理想的な状況を考え，次式の可制御な p入力p出力の線形システムを制御対象とする． P : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 y(t) = Cx(t) η(t) = x(t) (5.1) ただし，x(t) ∈ Rn：状態変数， u(t) ∈ Rp：操作量， y(t) ∈ Rp：制御量， η(t) ∈ Rn： 観測量である．このような理想的な状況では，図5.1に示すコントローラ 目標値からのフィードフォワードを付加したコントローラ K : u(t) = 状態フィードバック Kx(t) + Hyref(t) 目標値からのフィードフォワード (5.2) により，定値の目標値yref(t) = yrefc に対する following control 追従制御を実現することができる．(5.2)式 のコントローラは，1.2節や1.4節で説明したように，古典制御でよく用いられるP–D5.1 フィードフォワードを利用した目標値追従制御 93 + y(t) x(t). ++ x(t) C + B A t 0 yE(t) t ! 1 y(t) ! yref(t) = y cref u(t) H K yref(t) ycEref 図 5.1 フィードフォワードを利用した追従制御 コントローラを，制御対象が高次システムや多入力多出力システムである場合に拡張し たものと考えることができる． 例5.1 ··· 2慣性システムの追従制御 例2.4 (p.15)で導出したように，図1.1 (p.2)に示す2慣性システムの状態空間表現は， M1= 0.5, M2 = 1, k = 2, μ = 1であるとき，次式で与えられる． P : ˙ x(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t) (5.3) x(t) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1(t) x2(t) x3(t) x4(t) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ z1(t) ˙ z1(t) z2(t) ˙ z2(t) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦, u(t) = f1(t), A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 0 −4 −2 4 2 0 0 0 1 2 1 −2 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦, b = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦, c = 0 0 1 0 ここでは，(5.3)式を制御対象としたとき，制御量y(t) = z2(t)をステップ状の目標値 yref(t) = 0 (t < 0) yref c (t≥ 0) ···定値の目標値 (5.4) に追従させるため，次式のコントローラを用いることを考える． K : u(t) = kx(t) + hyref(t) (5.5) まず，制御量がy(t) = ycref となる (台車2 が yrefc で静止する) ような，x(t), u(t) の 定常値x∞ = x1∞ x2∞ x3∞ x4∞ T , u∞ が存在するかどうかを調べる．そのために は，(5.3)式において yref(t) = yref c , x(t) = x∞, u(t) = u∞ とし，さらに，定常値の条件 ˙ x∞= 0を考慮した 0 = Ax∞+ bu∞ yref c = cx∞ =⇒ A b c 0 x∞ u∞ = 0 1 ycref (5.6)
94 第5章 サーボシステムの設計 を満足するx∞, u∞が存在するかどうかを調べればよい．ここで， --M0--= -A b c 0 ---= 4= 0 =⇒ M0:= A b c 0 ：正則 であるから，(5.6)式を満足する定常値x∞, u∞が，次式のように定まる． x∞ u∞ = A b c 0 −1 0 1 ycref =⇒ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1∞ x2∞ x3∞ x4∞ u∞ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 1 4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2 0 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 2 0 4 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ yrefc = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ycref 0 ycref 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (5.7) (5.7)式は，台車2がyref c で静止しているとき(x3∞= yrefc )，台車1には力が加わっておら ず(u∞= 0)，さらに，台車1がycref で静止していること(x1∞= yrefc )を意味している． つぎに，コントローラ(5.5)式により制御量 y(t)を，定値の目標値 yref(t) = yrefc に追 従させることが可能であることを示す．定常値x∞, u∞ からの変動を，それぞれ 'x(t) :=
x(t) − x∞, 'u(t) := u(t) − u∞ のように定義する．このとき，(5.3), (5.6)式より，
˙'x(t) = ˙x(t) = Ax(t) + bu(t) = A'x(t) + x∞+ b'u(t) + u∞
= A'x(t) + b'u(t) + Ax ∞ + bu∞ 0
= A'x(t) + b'u(t) e(t) = yrefc − cx(t) = yrefc − c'x(t) + x∞
= − c'x(t) + yrefc − cx ∞ 0 = − c'x(t) =⇒ ˙'x(t) = A'x(t) + b'u(t) e(t) = − c'x(t) (5.8) が得られる．したがって，状態変数，操作量をそれぞれ定常値x∞, u∞からの変動分 'x(t), 'u(t)とした状態方程式(5.8)式の上式に対し，Acl:= A + bkの固有値λ = α + jβ の実部 αがすべて負となるように状態フィードバック形式のコントローラ K : 'u(t) = k'x(t) (5.9) を設計すれば，t→ ∞で'x(t) = eAAAclt'x(0) → 0，すなわち，
e(t) = yrefc − y(t) = − c'x(t) → 0 (y(t) → yref(t) = yrefc )
とすることができ，定値の目標値yref(t) = yrefc への追従制御が実現できる．また，(5.9)式 を書き換えると，(5.7)式より， K : u(t) = kx(t) − x∞+ u∞= kx(t) + −k 1 x∞ u∞
5.1 フィードフォワードを利用した目標値追従制御 95 = kx(t) + hycref, h = −k 1 A b c 0 −1 0 1 (5.10) が得られ，(5.5)式においてyref(t) = yref c としたものになることがわかる． 最後に，設計例を示す．アッカーマンの極配置アルゴリズム(4.3.3項)により，Acl:= A+bk の固有値λを−2 ± 2j, −2 ± jに配置するkを定めた後，(5.10)式によりhを定める． ステップ1 与えられた−2 ± 2j, −2 ± j に対し，(4.53)式 (p.81)で定義される多項式 Δ(λ)およびその係数δ0, δ1, δ2, δ3は， Δ(λ) := (λ + 2− 2j)(λ + 2 + 2j)(λ + 2 − j)(λ + 2 + j) = λ4+ 8λ3+ 29λ2+ 52λ + 40 (5.11) =⇒ δ3= 8, δ2= 29, δ1= 52, δ0= 40 であり，(4.56)式(p.82)で定義される行列ΔAAAは，次式となる． ΔAAA= A4+ δ3A3+ δ2A2+ δ1A + δ0I = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 8 16 32 36 8 12 −8 28 16 18 24 34 −4 14 4 26 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (5.12) ステップ2 (4.9)式(p.71)で定義される可制御行列Vcは， Vc= b Ab A2b A3b = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 2 −4 4 2 −4 4 12 0 0 2 −2 0 2 −2 −6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (5.13) であるから，(4.57)式(p.82)より，コントローラ(5.5)式のゲインk, hは， k = − e 0 0 0 1 V−1 c 1 64 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 32 0 64 32 0 64 0 8 0 40 −8 8 0 8 −8 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ΔAAA ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 8 16 32 36 8 12 −8 28 16 18 24 34 −4 14 4 26 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = % −7 2 − 5 2 − 13 2 − 11 2 & (5.14) h = % 7 2 5 2 13 2 11 2 1 & −k 1 1 4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −2 0 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 2 0 4 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ A b c 0 −1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 1 = 10 (5.15)
96 第5章 サーボシステムの設計
となる．ゲイン k, hをそれぞれ(5.14), (5.15)式とした(5.5)式のコントローラを用い， 目標値をycref= 1としてシミュレーションを行った結果を，図5.2に示す．これより，台 車2の位置変位y(t)は，目標値yref(t) = ycref に追従していることが確認できる．
0 0 1.5 t [s] y( t) [m] 1 2 3 5 0.5 1 4 yHAB= 1 ? 図 5.2 フィードフォワードを利用した追従制御のシミュレーション結果 例 5.1 の結果を，u(t) と y(t) の次元が等しい p 入力 p 出力システムの制御対象 (5.1)式の場合に拡張すると，以下の結果が得られる． Point ! フィードフォワードを利用した追従制御(定値の目標値) 可制御なp入力p出力システム(5.1)式の制御対象が与えられ， M0= C OA B = 0 =⇒ M0:= A B C O ：正則 (5.16) であるとする(注5.1)．このとき， Acl:= A + BK の固有値の実部がすべて負とな るようにK を選べば，目標値からのフィードフォワードを付加した状態フィード バック形式のコントローラ K : u(t) = Kx(t) + Hyref (t), H =−K I A B C O −1 O I (5.17) により定値の目標値yref (t) = yref c に対する steady-state error
定常偏差(偏差e(t) := yref(t)− y(t)
の定常値)をe∞:= limt→∞e(t) = 0とすることができる． 問題5.1 制御対象の状態空間表現が P : ˙ x(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t) , A = 0 1 −2 3 , b = 0 1 , c = 1 0 (5.18)
であるとき，y(t)を定値の目標値yref(t) = yref
c に追従させるコントローラ
5.1 フィードフォワードを利用した目標値追従制御 97 K : u(t) = kx(t) + hyref (t) (5.19) を設計することを考える．以下の設問に答えよ． (1) 行列M0:= A b c 0 が正則であることを示せ．また，y(t) = yrefc となるような定常値 x∞, u∞を求め，これらが一意に定まることを示せ． (2) A + bkの固有値が−2 ± 2j となるようにkを定めよ．また，次式によりhを定めよ． h = −k 1 A b c 0 −1 0 1 (5.20)
5.1.2
不変零点との関係
前項で述べたように，定値の目標値への追従制御を実現できるかどうかは，制御対象 が(5.16)式の条件を満足しているかどうかに依存する．(5.16)式の条件は，以下で定義 される制御対象の invariant zero 不変零点と密接な関係がある． Point ! ppp入力ppp出力システムの不変零点 p入力p出力システム(5.1)式の不変零点とは，次式の根sである． M (s)= 0, M (s) := −sI − A B C O (5.21) このように定義される不変零点は，それが原点(s = 0)であるとき， M (0)= A BC O = 0 (5.22) となり，(5.16)式の条件を満足しない．したがって，(5.16)式の条件M (0) = 0は， p入力p出力システム(5.1)式が原点に不変零点をもたないことを意味している． なお，多入力多出力システムの場合，一般に，システムの不変零点は伝達関数行列の 各要素の零点と異なる．それに対して，1入出力システムの場合，以下の例で示すよう に，システムの不変零点は伝達関数の零点に等しくなる． 例5.2 ··· 1入出力システムの不変零点と伝達関数の零点 1入出力の制御対象 P : ˙ x(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = cx(t) , A = −2 1 0 −3 , b = 0 2 , c = −2 2 (5.23) の不変零点を求めてみよう．(5.21)式より不変零点は155
第
8
章
最適レギュレータ
第4章では，コントローラ設計法の一つとして極配置法を説明した．そこでは，指定 する極を複素平面で負側に大きなものに選ぶことで，状態変数の収束性を高めることが できることを示した．しかし，その代償として，操作量が大きくなったり，状態変数の 一部の振れ幅が大きくなるという問題があった．また，多入力システムにおいては，指 定した極となるようなコントローラのゲインが唯一ではなく，どのゲインを用いればよ いのかが不明瞭であるという問題もあった．このような問題に対処するため，“状態変 数の収束を速くしたい”，“入力の大きさを抑えたい”などといった様々な要求(設計仕 様) の達成度を定量的に表した評価関数を最小化(または最大化) するように，コント ローラを設計することが考えられる．このようなコントローラ設計法を，総じて最適制 御理論とよぶ．ここでは，その中で代表的な最適レギュレータ理論について説明する．8.1
最適レギュレータ
(LQ
最適制御
)
によるコントローラ設計
8.1.1
最適レギュレータとは
制御対象が可制御なp入力のn次システム P : ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0 η(t) = x(t) (8.1) である場合，たとえば，4.3 節で説明した極配置法により，レギュレータ制御を実現す る状態フィードバックゲイン形式のコントローラ K : u(t) = Kx(t) (8.2) を設計することができる．ただし，x(t) = x1(t) · · · xn(t) T ∈ Rn：状態変数， u(t) =u1(t) · · · up(t) T ∈ Rp：操作量， η(t) =η1(t) · · · ηn(t) T ∈ Rn：観測 量である．しかし，極配置法にはつぎのような問題がある． • 例4.3 (1) (p.75)で示したように，指定する極の実部を負側に大きくするに従い， 応答の収束の速さは向上するが，K も大きくなり，結果として操作量u(t)も大き156 第8章 最適レギュレータ くなる．通常，操作量ui(t) は無制限に大きくすることはできないため，過大な操 作量ui(t)は好ましくない． • 指定する極の実部を負側に大きくすると，状態変数の中には振れ幅が大きい振る舞 いをするものが現れることがある．たとえば，例4.3 (1)では，収束性を向上させ ると，x2(t)の振れ幅が大きくなっている． • 4.3.4項で述べたように，制御対象が可制御な多入力システムの場合，極配置を実現 するKは無数に存在するが，どの Kが最もよい制御を実現するのかが不明瞭で ある(例4.7 (p.83)参照)． ここでは，上記の問題に対処するため，適当な評価関数を設定し，これを最小化するこ とで，“応答の収束を速くする” と“操作量の大きさを抑える” という相反する二つの 設計仕様の妥協点を見い出す， optimal regulator 最適レギュレータについて説明する． 最適レギュレータの概念を理解するために，以下に示す例を考えてみよう． 例8.1 ··· 1慣性システムのレギュレータ制御と線形2次形式の評価関数 問題2.1 (p.16)より，図2.6の 1慣性システムの状態方程式は，M = 1, k = 10, μ = 1 としたとき， ˙ x(t) = Ax(t) + bu(t), A = 0 1 −10 −1 , b = 0 1 (8.3) である．ただし， u(t) = f (t), y(t) = z(t), x(t) = x1(t) x2(t) T = z(t) ˙z(t) T である．ここでは，(8.3)式に対し，コントローラ K : u(t) = kx(t), k = 5 −1 (8.4) により，レギュレータ制御(t→ ∞でx(t) → 0)を実現することを考える．ただし，kは極 配置法により，Acl:= A + bkの固有値が−1 ± 2jとなるように設計した．x0= 1 0 T としたときの状態x1(t), x2(t)，操作量u(t)と，それらの2乗積分 Jx1= ∞ 0 x1(t)2dt > 0, Jx2 = ∞ 0 x2(t)2dt > 0, Ju= ∞ 0 u(t)2dt > 0 との関係を図8.1に示す．これより，状態xi(t)が速やかに0に収束しているかどうかを定 量的に表すためには，Jxi の大きさを評価すればよく，Jxi が小さいほど状態xi(t)の収束性 がよいと考えられる．一方，状態xi(t)の収束性を高めるためには，大きな操作量u(t)を必 要とするが，通常，操作量u(t)の大きさには制限がある．そこで，Juの大きさも評価に加え ることにする． 以上のことから， • “状態xi(t)の 0への収束の速さ”をJxi の大きさで評価する(Jxi が小さいほど状態 xi(t)の収束性がよい)
8.1 最適レギュレータ (LQ最適制御)によるコントローラ設計 157 J = q + q + R 0 2 4 6 0 0.5 1 1.5 2 t [s] x(t) 0 2 4 6 0 0.25 0.5 0.75 1 t [s] x (t) 0 2 4 6 0 10 20 30 40 t [s] u(t) 0 2 4 6 ¡1.5 ¡1 ¡0.5 0 0.5 t [s] x(t) [m/s] 0 2 4 6 ¡0.5 0 0.5 1 1.5 t [s] x (t) [m] 0 2 4 6 ¡2 0 2 4 6 t [s] u(t) [N] 2 2 2 JN = Z x (t)dt 1 = 0.45 JN= Z x(t)dt 1 = 1.25 JK= Z u(t)dt 1 = 17.5 0 x (t) 1 t 図 8.1 x1(t), x2(t), u(t)の 2 乗積分と評価関数 J との関係 • “操作量u(t)の大きさ”をJuの大きさで評価する(Juが小さいほど操作量u(t)が過 大でない) という設計方針が考えられる．しかし，図8.1より，x(0) = x0= 1 0 Tとしたときの2 乗積分は， Jx1 = 0.45, Jx2= 1.25, Ju= 17.5 のようにJx1, Jx2, Juの大きさには差があり，この例の場合，Jx1 < Jx2 Juである．し たがって，単にこれらの和を考えると，Jx1+ Jx2+ Ju Juであり，Jx1, Jx2 の大きさは あまり反映されず，ほとんどJuのみを考慮していることになる．そこで，Jx1, Jx2, Juの重 要度を考慮して，これらを適当に重み付けした J = q1Jx1+ q2Jx2+ rJu = ∞ 0 q1x1(t)2+ q2x2(t)2+ ru(t)2 dt (8.5) を評価関数とすることが考えられる．このとき，重みqi≥ 0, r > 0の大きさに応じて，以下 のように評価が変わる． • qqq111= 1000= 1000= 1000, qqq222= 0= 0= 0, r = 1r = 1r = 1としたとき ： (8.5)式の評価関数Jは， J = 1000 q1 × 0.45 Jx1 + 0 q2 × 1.25 Jx2 + 1 r × 17.5 Ju = 450 大 + 0 零 + 17.5 小 = 467.5
158 第8章 最適レギュレータ であるから，主体的に“ x1(t)の0への収束の速さ”を評価するJx1 を考慮し，付随的 に“ u(t)の大きさ”を評価するJuも考慮していることになる． • qqq111= 0.1= 0.1= 0.1, qqq222= 0= 0= 0, r = 1r = 1r = 1としたとき ： (8.5)式の評価関数J は， J = 0.1 q1 × 0.45 Jx1 + 0 q2 × 1.25 Jx2 + 1 r × 17.5 Ju = 0.045 小 + 0 零 + 17.5 大 = 17.545 であるから，主体的に “ u(t)の大きさ”を評価するJuを考慮し，付随的に“ x1(t)の 0への収束の速さ”を評価するJx1 も考慮していることになる． 上記の例8.1で示した評価関数(8.5)式を，p入力n次システムの制御対象(8.1)式 の場合に拡張すると， J = n i=1 qiJxi+ p j=1 rjJuj = ∞ 0 # n i=1 qixi(t)2+ p j=1 rjuj(t)2 $ dt (8.6) となる．ただし，Jxi, Juj はxi(t), uj(t)の2乗積分 Jxi = ∞ 0 xi(t)2dt, Juj = ∞ 0 uj(t)2dt であり，重みqi≥ 0, rj> 0 は，以下のような意味をもつ(注8.1)． Point ! 評価関数 (8.6)式の重みqqqiii≥ 0≥ 0≥ 0, rrrjjj> 0> 0> 0の役割 • qi ≥ 0を大きくすれば，“状態xi(t)の0 への収束の速さ(Jxi を小さくする こと) ”を重視することになる． • rj > 0を大きくすれば，“操作量uj(t)が過大でないこと (Juj を小さくする こと) ”を重視することになる． 8.1.2項で説明するように，最適レギュレータ理論によって，評価関数(8.6)式を最小化 するコントローラ(8.2)式を設計できる．しかし，評価関数(8.6)式をどのように与え るのが最も好ましいのかは不明瞭である．そのため， • 上記の意味合いを考慮することによって，与える重みqi, rj の大きさの比率を調整 し，コントローラ設計 • 得られたコントローラを用いたシミュレーションによる時間応答の評価 を交互に繰り返し，試行錯誤で重みqi, rj の比率を調整しているのが実情である． 評価関数(8.6)式は， (注 8.1)rj= 0とすると無限大の操作量 uj(t)を許容してしまうため，rj> 0としている．
8.1 最適レギュレータ (LQ最適制御)によるコントローラ設計 159 J = ∞ 0 ⎛ ⎜ ⎝ x(t)T x1(t) · · · xn(t) Q ⎡ ⎢ ⎣ q1
0
. ..0
qn ⎤ ⎥ ⎦ x(t) ⎡ ⎢ ⎣ x1(t) .. . xn(t) ⎤ ⎥ ⎦ +u1(t) · · · up(t) u(t)T ⎡ ⎢ ⎣ r10
. ..0
rp ⎤ ⎥ ⎦ R ⎡ ⎢ ⎣ u1(t) .. . up(t) ⎤ ⎥ ⎦ u(t) ⎞ ⎟ ⎠dt (8.7) のように，対角行列 Q = QT≥ 0, R = RT> 0に関する quadratic form 2次形式で表すことができ， さらに，Q = QT≥ 0, R = RT> 0を対角行列とは限らないものに一般化したものが， 以下で定義する最適レギュレータ問題である．なお，最適レギュレータは線形システム に対して2 次形式を積分した評価関数(8.8)式を最適化(最小化)とすることを目的と しているため，linear quadratic (LQ) optimal control
LQ最適制御ともよばれる． Point ! 最適レギュレータ問題(LQ最適制御問題) n次システムの可制御な制御対象(8.1)式を考える．与えられた (i) Q = QT> 0 (ii) (Qo, A)が可観測(注8.2)かつQ = Q T = QToQo≥ 0 のいずれかを満足する重み行列Q = QTおよびR = RT> 0に対して，評価関数 J = ∞ 0 x(t)TQx(t) + u(t)TRu(t)dt (8.8) を最小化する状態フィードバック形式のコントローラ(8.2)式を求める問題を，最 適レギュレータ問題とよぶ．
8.1.2
最適レギュレータ問題の可解条件
最適レギュレータ問題の解は，以下の結果を利用することによって得られることが知 られている(注8.3)． Point ! 最適レギュレータ問題(LQ最適制御問題)の可解条件 可制御な制御対象(8.1)式および評価関数(8.8)式が与えられたとする．このとき， 評価関数(8.8)式を最小化するコントローラ(8.2)式のゲインK = Kopt は唯一に (注 8.2)“ (Q o, A)が可観測 ” を判別する条件については，(7.24) 式 (p.149) を参照すること． (注 8.3)証明は付録 A.4 (p.206) に示す．160 第8章 最適レギュレータ 定まり， Kopt:=−R−1BTPopt (8.9) により与えられる．ただし，P = Popt は， Riccati equation リカッチ方程式(注8.4) P A + ATP − P BR−1BTP + Q = O (8.10) を満足する実数の正定対称解P = PT> 0であり，唯一に定まる．また，評価関数 (8.8)式の最小値は次式である． Jmin= xT0Poptx0 (8.11) なお，付録 A.4 (p.206)で示すように，(8.9)式で定義されるKopt を用いてリカッチ 方程式(8.10) 式を書き換えると，(A.58)式(p.208)のリアプノフ方程式 PoptAcl+ ATclPopt=−Qcl, Acl:= A + BKopt Qcl:= K T optRKopt+ Q (8.12) が得られる．したがって，条件(i)を考えたときは7.2.1項の結果を，条件(ii)を考え たときは7.2.2項の結果を利用して，リアプノフの安定定理より，Acl:= A + BKopt が安定行列(t→ ∞でx(t) → 0) となることを保証できる． 例8.2 ··· 最適レギュレータによる1慣性システムの制御 例8.1 (p.156)のように，1慣性システムの状態方程式 (8.3)式が与えられたとき，評価 関数 J = ∞ 0 x(t)TQx(t) + ru(t)2dt (8.13) の重み行列Q, rとして，以下のものを考える． (1) Q = 300 0 0 60 > 0, r = 1 > 0 (2) Q = q1 0 0 0 ≥ 0 (q1> 0), r = 1 > 0 このとき，リカッチ方程式 P A + ATP − 1 rP bb TP + Q = O, P = PT= p11 p12 p12 p22 > 0 (8.14) の正定対称解P を求め，評価関数(8.13)式を最小化する，次式の状態フィードバック形式 のコントローラを設計してみよう． (注 8.4)“ Riccati ”の発音は “ リカッチ ” よりも “ リッカチ ” の方が近いが，“ リカッチ ” と記している邦書 の方が多いため，本書でもこれに従うことにする．
著 者 略 歴 川田 昌克 (かわた・まさかつ) 1970年 1月15日生まれ 1988年 山口県立豊浦高等学校卒業 1992年 立命館大学理工学部情報工学科卒業 1997年 立命館大学大学院理工学研究科博士課程後期課程情報工学専攻修了 (博士(工学)取得) 1997年 立命館大学理工学部電気電子系助手(任期制) 1998年 舞鶴工業高等専門学校電子制御工学科助手 2000年 舞鶴工業高等専門学校電子制御工学科講師 2006年 舞鶴工業高等専門学校電子制御工学科助教授 2007年 舞鶴工業高等専門学校電子制御工学科准教授 2010年 舞鶴工業高等専門学校電子制御工学科教授 現在に至る 著 書 「MATLAB/Simulink によるわかりやすい制御工学」(森北出版) 「Scilab で学ぶわかりやすい数値計算法」(森北出版) MATLAB/Simulinkによる現代制御入門 c 川田昌克 2011 2011年6月2日 第1版第1刷発行 【本書の無断転載を禁ず】 著 者 川田昌克 発 行 者 森北博巳 発 行 所 森北出版株式会社 東京都千代田区富士見1–4–11 (〒102–0071) 電話03–3265–8341／FAX 03–3264–8709 http://www.morikita.co.jp/ 日本書籍出版協会・自然科学書協会・工学書協会 会員 JCOPY JCOPY JCOPY ＜(社)出版者著作権管理機構 委託出版物＞ 落丁·乱丁本はお取替えいたします 印刷/ワコープラネット・製本/ブックアート Printed in Japan／ISBN978–4–627–92041–5
