A ⃗ • B ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ cosθ = AB cos θ, inner product (1) A ⃗ × B ⃗ = | A ⃗ || B ⃗ | sin θ ⊙ = AB sin θ ⊙ , vector product (2) B ⃗ × A ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ sin θ⊗ = AB sin θ⊗, (cross product) (3) 2.

(1)

電磁波公式集

v4.4 May.2021

^科 ^年 ^{番氏名}

:

1.

ベクトル解析

A ⃗ • B ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ cosθ = AB cos θ, inner product (1) A ⃗ × B ⃗ = | A ⃗ || B ⃗ | sin θ ⊙ = AB sin θ ⊙ , vector product (2) B ⃗ × A ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ sin θ⊗ = AB sin θ⊗, (cross product) (3) 2.

^{構成方程式}^*1

J ⃗ = σ ⃗ E, D ⃗ = ε ⃗ E = ε

0

ε

r

E, ⃗ B ⃗ = µ ⃗ H = µ

0

µ

r

H ⃗ (4) 3.

^{波動方程式}

∇

²

E ⃗ − γ

²

E ⃗ = 0 or ∇

²

H ⃗ − γ

²

H ⃗ = 0 (5)

♠

^{デカルト座標系}

(x, y, z)

におけるベクトル電界波動方程式

( ∂

²

∂x

²

+ ∂

²

∂y

²

+ ∂

²

∂z

²

− γ

²

)

E ⃗ = 0 (6)

♠

^{スカラー波動方程式}

∂

²

E

i

∂x

²

+ ∂

²

E

i

∂y

²

+ ∂

²

E

i

∂z

²

− γ

²

E

i

= 0 (i = x, y, z) (7)

♠ 1

次元スカラー波動方程式の一般解

E(z) = E

⁺₀

e

⁻^γz

+ E

⁻₀

e

^+γz

(8) H (z) = 1

η (E

₀⁺

e

⁻^γz

− E

₀⁻

e

^+γz

) (9) Z

w

= η = E

H =

√ σ

^∗

+ jωµ

σ + jωε , for lossy material (10) Z

w

=

√ _µ ε =

√ µ

r

ε

r

√ µ

0

ε

0

=

√ µ

r

ε

r

η

0

, for lossless material (11) 4.

平面波の伝搬定数と表皮厚み

γ = α + jβ = jω

√ µε

( 1 − j σ

ωε )

, Propagation const. (12)

α = ω

√ _µε 2

{√

1 + ( _σ

ωε )

2

− 1 }

¹₂

, Attenuation const. (13)

β = ω

√ µε 2

{√

1 + ( _σ

ωε )

2

+ 1 }

¹₂

, Phase const. (14)

♠

^{良導体の条件，}

σ ≫ ωε

^即ち，

σ/ωε ≫ 1

^のときは

α = β =

√ _ωµσ 2 = 2π

√ σf

10

⁷

(15)

δ

S

= 1 α ≃

√ 2 ωµσ = 1

2π

√ 10

⁷

σf , Skin depth (16)

♠

^{無損失の条件，}

σ = 0

のときは

α = 0, β = ω √

µε ≡ k = ω √ µ

r

ε

r

3 × 10

⁸

(17)

5.

平面波の波長と位相速度

λ = v

f = c f √

µ

r

ε

r

= λ

0

√ µ

r

ε

r

= λ

0

n , or λ = 2π

k (18)

v = ω β = 1

√ µε = 1

√ µ

r

ε

r

√ µ

0

ε

0

= c

√ µ

r

ε

r

= c

n (19)

6.

^{物理長と電気長}

θ = kz, Electrical length [rad] (20)

z = θ

k , Physical length [m] (21)

7.

^{ポインティング電力}

♠

^微分形

∇ • ( E ⃗ × H ⃗ ) = − ∂

∂t ( ₁

2 ε

0

E

²

+ 1 2 µ

0

H

²

) − E ⃗ • J ⃗ (22)

♠

^積分形

(

閉面

S

上の外向き法線ベクトルを

n ˆ

とすると

) I

S

E ⃗ × H ⃗ • ( − ˆ n)ds = ∂

∂t

∫

V

(W

e

+ W

m

) dv +

∫

V

σE

²

dv (23) 8.

^境界条件

(

^媒質

2→

^媒質

1

に向かう法線ベクトルを

n ˆ

^とすると

)

ˆ

n × ( H ⃗

1

− H ⃗

2

) = J ⃗

S

, ⇒ H

1t

= H

2t

if J

S

= 0 (24) ( E ⃗

1

− E ⃗

2

) × ˆ n = M ⃗

S

, ⇒ E

1t

= E

2t

if M

S

= 0 (25) ˆ

n • ( B ⃗

1

− B ⃗

2

) = 0 (26)

ˆ

n • ( D ⃗

1

− D ⃗

2

) = ρ (27)

*1重力場なら「運動の3法則」，電磁場なら「マクスウェルの方程式」など，支配法則は体で覚えるしかない。しかし，法則から派生した様々な公式は，法律に例えると条例のようなもので膨大であり，全部を覚えるのは非現実的でその必要もない。忘れたらその都度，ノートや文献を見て思い出せばよい。

9.

偏波とモード

• Vertical or Horizontal :

^{垂直，水平}

• LHCP or RHCP :

円偏波で

E

x

, E

yの位相差

± π/2

♠

^{電磁波の進行方向を}

z

^{方向にとるとき，}

• TEM : E

z

= H

z

= 0

• TE : E

z

= 0, (H

z

̸ = 0) • TM : H

z

= 0, (E

z

̸ = 0)

• Hybrid : TE and TM (E

z

̸= 0, H

z

̸= 0)

10.

垂直入射

(

媒質

1 →

^媒質

2

に入射する場合，反対の場合は数値入替

) Γ = η

2

− η

1

η

2

+ η

1

, T = 2η

2

η

2

+ η

1

, 1 + Γ = T (28)

11.

^斜入射

(

^媒質

1→

^媒質

2

に入射する場合，反対の場合は数値入替

)

♠

^平行偏波

TM(

面に対して電界が平行

)

の場合

Γ = η

2

cos θ

t

− η

1

cosθ

i

η

2

cos θ

t

+ η

1

cosθ

i

, T = 2η

2

cos θ

i

η

2

cos θ

t

+ η

1

cos θ

i

(29) θ

b

= sin

⁻¹

√ ε

2

ε

1

+ ε

2

, Brewstar angle (30)

θ

c

≥ sin

⁻¹

√ ε

2

ε

1

, where ε

1

> ε

2

, Critical angle (31)

♠

^直交偏波

TE(

面に対して電界が垂直

)

の場合

Γ = η

2

cos θ

i

− η

1

cos θ

t

η

2

cos θ

i

+ η

1

cos θ

t

, T = 2η

2

cos θ

i

η

2

cos θ

i

+ η

1

cos θ

t

(32) θ

b

= Brewstar angle does not exist. (33) θ

c

≥ sin

⁻¹

√ ε

2

ε

1

, where ε

1

> ε

2

, Critical angle (34) 12.

分布定数線路

V (z) = V

₀⁺

e

^−γz

+ V

₀⁻

e

^+γz

(35) I(z) = 1

Z

₀

(V

₀⁺

e

^−γz

− V

₀⁻

e

^+γz

) (36) Z

0

= V (z)

I (z) = R + jωL

γ =

√ R + jωL

G + jωC , for lossy line (37) Z

0

= V (z)

I (z) =

√ L

C , for lossless line (38)

13.

同軸線路の特性インピーダンス

Z

0

=

√ L C = 1

2π

√ _µ ε ln b

a = 59.9586

√ ε

r

ln b

a = 138.061

√ ε

r

log b a (39) 14.

定在波と入力インピーダンス

Γ = Z

L

− Z

0

Z

L

+ Z

0

, VSWR = 1 + | Γ | 1 − |Γ| = V

max

V

min

(40)

|Γ| = VSWR − 1

VSWR + 1 , θ = π + 2βl

min

, RL = −20 log |Γ| (41) Z

in

(l) = Z

0

1 + Γe

⁻^2jβl

1 − Γe

^−2jβl

= Z

0

Z

L

+ jZ

0

tan βl

Z

0

+ jZ

L

tan βl , for lossless (42) Z

in

(l) = jZ

0

tan βl, if Z

L

= 0 (short circuited) (43) Z

in

(l) = −jZ

0

cot βl, if Z

L

= ∞ (open circuited) (44) 15.

スミスチャート

Γ = | Γ | e

^jθ

= Γ

r

+ jΓ

i

= Z

L

− Z

0

Z

L

+ Z

0

= z

L

− 1

z

L

+ 1 (45)

z

L

= Z

L

Z

0

= r

L

+ jx

L

= 1 + Γ

1 − Γ = 1 + |Γ| e

^jθ

1 − | Γ | e

^jθ

(46) (

Γ

r

− r

L

1 + r

L

)

2

+ Γ

i2

= ( ₁

1 + r

L

)

2

, Resistance circle (47) (Γ

r

− 1)

²

+

( Γ

i

− 1

x

L

)

2

= ( ₁

x

L

)

2

, Reactance circle (48) 16.

^導波管

k = ω √

µε (49)

k

c

=

√( _mπ a

)

2

+ ( _nπ

b )

2

, β =

√ k

²

− k

c2

, v

p

= ω

β (50) f

c

= ω

c

2π = 1 2π

k

c

√ µε = 1 2π √

µε

√( _mπ a

)

2

+ ( _nπ

b )

2

(51) λ

c

= 2π

k

c

,

^{遮断波長，}

λ

g

= 2π

β ,

^管内波長

(52)

17.

フリスの伝達公式

P

max

= λ

²

4π G

r

|E|

²

η = A

eﬀ

|E|

²

η , A

eﬀ

:

^有効面積

(53) P

r

= P

t

4πR

²

G

t

A

eﬀ

= P

t

( _λ 4πR

)

2

G

t

G

r

, (54)

1

A ⃗ • B ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ cosθ = AB cos θ, inner product (1) A ⃗ × B ⃗ = | A ⃗ || B ⃗ | sin θ ⊙ = AB sin θ ⊙ , vector product (2) B ⃗ × A ⃗ = | A|| ⃗ B| ⃗ sin θ⊗ = AB sin θ⊗, (cross product) (3) 2.

v4.4 May.2021

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1.