中間テストの解説 解析概論 B ・演習問題　その１　の解説

解析概論

B

１．(1) | ^sin(nx) _n

| ≤ _n ¹

であり、p > 1 ならば、 ^∑ _n ¹

< ∞ だから、M 判定法により一様収束 する。

(2) | r ⁿ sin(nx) | ≤ r ⁿ であり、0 < r < 1 なので ^∑ r ⁿ < ∞ となるから、M 判定法により一 様収束する。

２．まず、連続関数列の一様収束極限関数 f は連続であるから、任意の ε > 0 に対し、 ∃ δ > 0 such that | x − x ₀ | < δ → | f(x) − f(x ₀ ) | < ₂ ^ε 。この δ > 0 に対し、∃ N ₁ ∈ N such that

∀ n ≥ N ₁ → | x _n − x ₀ | < δ。

一方、一様収束の定義から、 ∃ N ₂ ∈ N such that ∀ n ≥ N ₂ → | f _n (x) − f(x) | < ₂ ^ε ( ∀ x ∈ I)。

故に、∀ n ≥ max { N ₁ , N ₂ } →

| f _n (x _n ) − f(x ₀ ) | ≤ | f _n (x _n ) − f (x _n ) | + | f (x _n ) − f (x ₀ ) | < ε 2 + ε

2

３．任意の ε > 0 に対し、∃ N ₁ ∈ N such that ∀ n ≥ N ₁ → | f _n (x) − f(x) | < _{b −} ^ε _a 。よって、

n ≥ N ₁ ならば、次が成り立つ。

| F _n (x) − F (x) | ≤ ^{∫ x}

a | f _n (t) − f(t) | dt ≤ ^{∫ b}

a | f _n (t) − f(t) | dt ≤ ε ４．講義でやった定理の f _n を S _n = ^{∑ n} _k=1 f _k で置き換えればよい。

５．f n (x) = ^sin(nx) _n

とおくと、f ^′ (x) = ^cos(nx) _n

となる。p > 2 だから、 ^∑ f _n ^′ (x) は、１．(1) と同様に一様収束する。

一方、 ^∑ f _n (0) = 0 であり、収束しているから定理 11(2)(問題４．(2)) より、項別微分可 能になる。

中間テストの解説

１．(1) と (3) は出題ミス。(2) はノートで定義を見よ。

２．(1) ^a

_a

n

= ⁽ A + ^k _n + _{n log} ^c

_n ^{) − 1} は、n → ∞ のとき、A ^{− 1} に収束する。よって、 A ^{− 1} < 1 のとき、つまり、A > 1 の時収束する。

(2) ガウスの判定法から、k > 1 の時収束。

３．(1) lim n →∞ 1 x

=

 

 

 



∞ (0 < x < 1) 1 (x = 1) 0 (x > 1)

(2) a > 1（a = 1 だとすると、極限関数が連続でないので矛盾)

(3) a > 1 とする。 ∀ x ∈ [a, ∞ ) に対し、 | f _n (x) | ≤ _a ¹

に注意。

1

任意の ε ∈ (0, 1) に対し、N 1 > − ^log _log ^ε _a をとると、n ≥ N ₁ ならば、a ^{− n} < ε となっている ので、一様収束が示せた。

４と５は、演習問題その１を参照

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