極限の考え方と誤差評価

(1)

極限の考え方と誤差評価

黒田紘敏（理学研究院数学部門）

数理解析学特論

A /

フロンティア数理物質科学

II

第

2

回

2020

年

5

月

21

日

数理解析学特論A (第回) 極限の考え方と誤差評価年月日

(2)

Review

高校数学において，数列の極限とは以下のようなものであった．

Deﬁnition

n

を限りなく大きくすればするほど

a _n

が実数

α

に限りなく近づくとき，

α

^を数列

{ a _n }

の極限値といい，次のように表す．

n lim →∞ a _n = α

(A real number α is called the limit value of the sequence { a _n } if and only if a _n approaches the real number α inﬁnitely as n increases as much as possible.)

example

n lim →∞

1 n = 0 , lim

n →∞ ( − 1) ⁿ

（

diverge,

振動して発散）

(3)

Review : formulas Let { a _n } and { b _n } converge, and put α = lim

n →∞ a _n , β = lim

n →∞ b _n .

1

lim

n →∞ (a _n + b _n ) =

2

For a real number k , lim

n →∞ ka n =

3

lim

n →∞ a _n b _n =

4

Assume β , 0 , then lim

n →∞

a _n b _n =

5

Assume a n < b n for all n , then an inequality holds.

(4)

Problem

Let { a n } be a sequence deﬁned by

a _n = 1 (n = 2 ^k , k = 1 , 2 , 3 , . . . ) , a _n = 1

n (n , 2 ^k , k = 1 , 2 , 3 , . . . )

参考として数列

{ a _n }

を列挙すると次のようになる．

{ a _n } : 1 , 1 , 1 3 , 1 , 1

5 , 1 6 , 1

7 , 1 , 1 9 , 1

10 , 1 11 , 1

12 , 1 13 , 1

14 , 1

15 , 1 , 1 17 , · · ·

Problem

数列

{a n }

^{の極限を調べよ．}

(Determine the limit lim

n →∞ a n .)

(5)

考察

(Discussion)

高校数学における極限の定義の問題点

直感的・主観的で曖昧なものなので，概念の定義としては厳密に定まっていない．

(Since the definition of the limit learned in high school is intuitive, subjective and ambiguous, the definition of the concept is not strictly defined.)

定量的な議論がないため途中経過で具体的にどの程度近いのか不明である．十分大きな

n

に対して

a _n

の近似値が極限値

α

^ということであるが，誤差や精度（例えば何桁まで正しいのか）がまったくわからない．そのため，様々な分野にそのままでは応用しづらい．

(Although the deﬁnition stipulates that the distance is as close as possible, it is unknown how close a _n is to the limit value α because there is no quantitative index. For example, the error between a n and α and the approximation accuracy (how many digits are correct) are completely unknown.)

(6)

Aim and Contents

Aim

直感的な表現を含まない極限の定義を学び，厳密に議論する方法の重要性を理解する．

(We study a rigorous deﬁnition of the limit, and understand an importance of the way how to argue strictly.)

Introduction

2

Deﬁnition of limit (called ε - δ deﬁnition of limit)

3

Example and Exercise

4

Error estimate

(7)

ε - δ deﬁnition of limit (English translation on page 25)

Deﬁnition

数列

{ a n }

^が実数

α

に収束するとは，任意の

ε > 0

に対して，ある自然数

N( ε )

が存在して次が成り立つことである．

n ≥ N( ε ) = ⇒ | a n − α| < ε

x

ε ε

a ₁

a ₃ … a _N(ε)+1 α a _N(ε) a ₂

a _n (n ≥ N( ε ))

まず最初にいくらでも小さな許容誤差

ε

を勝手に決める．その許容誤差

ε

^に応じて^{十分大きな自然数}

N( ε )

を上手く選んで，

n ≥ N( ε )

となるすべての自然数

n

に対して

a _n

と

α

^{の誤差が一様に}

ε

^{未満とできるとき，}

n lim →∞ a _n = α

^という．

(8)

Example (English translation on page 26)

Problem a n = 1

n

^{とおく．極限}

lim

n →∞ a n = 0

を示せ．

(アイデア)

任意の

ε > 0

に対応する自然数

N( ε )

を選べればよい．

(i)

例えば

ε = 10 ⁻ ¹

とする．このとき

| a n − 0 | = 1

n < 10 ⁻ ¹ ⇐⇒ n > 10

である．よって，

N(10 ⁻ ¹ ) = 11

とすればよい．

繰り返しになるが確認しておくと，

n ≥ N(10 ⁻ ¹ ) = 11

ならば確かに

| a n − 0 | = 1 n ≤ 1

11 < 1 10 = ε

が成り立つので，

a n

と

0

の差は許容誤差

ε = 10 ⁻ ¹

をみたしている．

ここで，もちろん

N(10 ⁻ ¹ ) = 10000

のように（無駄に）大きく決めても条件をみたすが，今日はできるだけ小さく選ぶことにする．

(9)

Example (English translation on page 27)

(ii)

次に

ε = 10 ⁻²

としてみる．このときは

| a n − 0 | = 1

n < 10 ⁻ ² ⇐⇒ n > 100

なので，

N(10 ⁻² ) = 101

と決めればよい．

(iii)

最後に，一般的な状況で考える．任意の

ε > 0

をとる．ここで

| a n − 0 | = 1

n < ε ⇐⇒ n > 1 ε

であるから

N( ε ) > 1 ε

となるように

N( ε )

を決めればよさそうである．（許容誤差

ε > 0

をかなり小さくすると，

N( ε )

はとても大きくなる．これは直感にあう．）ただし，

技巧的には

1 /ε

が自然数ではないので，ちょっと注意が必要．

(10)

Example (English translation on page 28)

Problem a _n = 1

n

^{とおく．極限}

lim

n →∞ a _n = 0

を示せ．

Answer

任意の

ε > 0

をとる．

N( ε ) = [ 1

ε ]

+ 1

とおく．ここで，

[ · ]

はガウス記号

（整数部分）である．このとき

N( ε ) =

[ 1 ε ]

+ 1 > 1 ε

より

n ≥ N( ε ) = ⇒ | a n − 0 | = 1 n ≤ 1

N( ε ) < ε

が成り立つ．ゆえに，極限の定義より

lim

n →∞ a n = 0

が示された．

(11)

Problem

We can show lim

n →∞

1 n ² = 0 by the similar way.

For each ε , calculate the natural number N( ε ) satisfying the condition in the deﬁnition of limit.

(1) ε = 0 . 1 (2) ε = 0 . 01 (3) ε = 0 . 001

Answer

N(0 . 1) = 4 , N(0 . 01) = 11 , N(0 . 001) = 32

Remark

We can set N(0 . 1) = N(0 . 01) = N(0 . 001) = 100000000000 . Today we take the number N( ε ) as the minimum value satisfying the condition in the deﬁnition of limit.

(12)

Comparison of convergence rate

（収束速度の比較）

3

つの数列

1 n , 1 n ² , 1

2 ⁿ

^はすべて

⁰

^{に収束する．そこで，}

ε = 0 . 1 , 0 . 01 , 0 . 001

に対する

N( ε )

を求めると以下の表のようになる．

ε = 0 . 1 ε = 0 . 01 ε = 0 . 001

1 /n 11 101 1001

1 / n ² 4 11 32

1 / 2 ⁿ 4 7 10

これは

0

に近づく速さは

1 2 ⁿ

^{が最も速く，}

1 n

が最も遅いことを示唆している．つまり，十分大きな

n

^について

1 2 ⁿ ≪ 1

n ² ≪ 1 n

となっている．

(This result suggests that ₂ ¹

n

≪ _n ¹

2

≪ ¹ _n holds for large number n . )

収束の速さのアイデアは，微小量を扱う近似計算や，数値シミュレーションの計算速度を見積もる際に非常に重要な事項である．

(13)

和の極限

次の定理は当然知っていると思いますが，その証明は？

Theorem

数列

{ a n }, { b n }

がともに収束するならば，次が成り立つ．

n lim →∞ (a n + b n ) = lim

n →∞ a n + lim

n →∞ b n

証明？

a n

は

α

^{に限りなく近づいて，}

b n

は

β

に限りなく近づくならば，

a n + b n

は

α + β

に限りなく近づくから成り立つ．

これは定理の主張をそのまま日本語で書いただけで，言い換えに過ぎず証明ではありません．実は高校数学の極限の定義では証明不能なので，

教科書には定理のみでその証明は記載されていません．

そこで，誤差評価の考え方に慣れるためにこれを証明してみます．基本は「番号を大きくすれば誤差が自由にコントロールできる」ことを定量的に示すことです．

(14)

和の極限

(English translation on page 29)

Theorem

数列

{ a n }, { b n }

がともに収束するならば，次が成り立つ．

n lim →∞ (a n + b n ) = lim

n →∞ a n + lim

n →∞ b n

(idea) lim

n →∞ a n = α, lim

n →∞ b n = β

^{とおくとき，}

a n + b n

と

α + β

^の誤差を評価すればよい．まず，三角不等式より

| (a _n + b _n ) − ( α + β ) | = | (a _n − α ) + ( b _n − β ) | ≤ | a _n − α| + | b _n − β|

となる．ここで，許容誤差

ε > 0

に応じて，

n

を大きくすれば

|a n − α| < ε, |b n − β| < ε

とできることを利用したいが

| (a _n + b _n ) − ( α + β ) | ≤ | a _n − α| + | b _n − β| < ε + ε = 2 ε (over)

となってしまう．つまり，誤差は累積するから，途中の精度は上げておかないと最後に許容誤差を越えてしまう．

(15)

和の極限

(English translation on page 30)

(Proof) lim

n →∞ a n = α, lim

n →∞ b n = β

^とおく．

任意の

ε > 0

をとる．このとき，

ε

2

を許容誤差として，極限の定義から自然数

N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2)

を

n ≥ N ₁ ( ε/ 2) = ⇒ | a _n − α| < ε 2

n ≥ N ₂ ( ε/ 2) = ⇒ | b _n − β| < ε 2

となるように選ぶことができる．

そこで

N( ε ) = max {N 1 ( ε/ 2) , N 2 ( ε/ 2) }

^{とおけば，}

n ≥ N( ε )

ならば

| (a n + b n ) − ( α + β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β| < ε 2 + ε

2 = ε

{ a _n + b _n }

^は

α + β

^{に収束する．}

(16)

和の極限

(English translation on page 31)

(Proof) lim

n →∞ a n = α, lim

n →∞ b n = β

^とおく．

任意の

ε > 0

をとる．このとき，

ε

2

を許容誤差として，極限の定義から自然数

N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2)

を

n ≥ N ₁ ( ε/ 2) = ⇒ | a _n − α| < ε 2

n ≥ N ₂ ( ε/ 2) = ⇒ | b _n − β| < ε 2

となるように選ぶことができる．

そこで

N( ε ) = max {N 1 ( ε/ 2) , N 2 ( ε/ 2) }

^{とおけば，}

n ≥ N( ε )

ならば

| (a n + b n ) − ( α + β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β| < ε 2 + ε

2 = ε

{ a _n + b _n }

^は

α + β

^{に収束する．}

(17)

Estimate an error

(Example)

x = 1 . 23 ± 0 . 02 , y = 4 . 15 ± 0 . 03

= ⇒ x + y = 5 . 38 ± 0 . 05

近似値の和の誤差は，各誤差の和で見積もることができる．

(The error of the sum of approximate values can be estimated by the sum of each error.)

Problem

近似値の積の誤差は，各誤差の積で見積もることができるか？

(Can the error of the product of approximate values be estimated by the product of each error?)

(18)

積の極限

(English translation on page 32)

Theorem

n lim →∞ a _n = α, lim

n →∞ b _n = β

（収束）ならば，次が成り立つ．

n lim →∞ a _n b _n = αβ

(idea) a _n b _n

と

αβ

の誤差を評価すればよい．まず

a n b n − αβ = (a n − α ) β + α (b n − β ) + (a n − α )(b n − β )

と変形すれば，三角不等式より

| a _n b _n − αβ| ≤ | a _n − α| |β| + |α| | b _n − β| + | a _n − α| | b _n − β|

となる．

そこで，

| a _n − α| < ε, | b _n − β| < ε

^{とできるならば}

|a n b n − αβ| ≤ |β|ε + |α|ε + ε ²

が得られる．

(19)

誤差評価の考え方

(English translation on page 33)

(Example)

x = 1 . 23 ± 0 . 02 , y = 4 . 15 ± 0 . 03

なら

4 . 9852 < xy < 5 . 225

となる．一方，

α = 1 . 23 , ε x = 0 . 02 , β = 4 . 15 , ε y = 0 . 03

とおくと，

xy

の近似値は

αβ = 5 . 1045

である．その誤差の範囲は前の議論により

ε xy : = |β|ε x + |α|ε y + ε x ε y = 0 . 1199 + 0 . 0006 = 0 . 1205

であるから，

xy = αβ ± ε xy = 5 . 1045 ± 0 . 1205

となる．実際，真の値は

αβ − ε xy = 4 . 984 < 4 . 9852 < xy < 5 . 225 = αβ + ε xy

と示した範囲に収まっている．また，誤差は

|β|ε x + |α|ε y = 0 . 1199

でもほぼカバーできている．そのため，応用上は

2

次の微小量

ε x ε y

を無視することがよくある．

近似値の積の誤差は，各誤差の積で見積もることはできない．

むしろ，各誤差の積

ε x ε y

は主要項ですらない．

(20)

Answer of Problem1

Problem1

Determine the limit lim

n →∞ a n .

a n = 1 ( n = 2 ^k ) , a n = 1

n (n , 2 ^k )

Proof of lim n →∞ a _n , 0 We assume that lim

n →∞ a _n = 0 . Set ε = 10 ⁻¹ . Then there exists the constant N(10 ⁻¹ ) such that

n ≥ N(10 ⁻¹ ) = ⇒ | a _n − 0 | < 10 ⁻¹

However, 2 ^k ≥ N(10 ⁻ ¹ ) holds for sufﬁciently large number k and

| a ₂

^k

− 0 | = 1 > 10 ⁻¹ . This inequality is a contradiction.

(21)

Appendix : Answer of Problem1

Problem1

Determine the limit lim

n →∞ a _n .

a n = 1 ( n = 2 ^k ) , a n = 1

n (n , 2 ^k )

By similar ways, we can prove that the sequence {a n } diverges.

(Appendix) The limit

n lim →∞

a 1 + a 2 + · · · + a n

n = 0

holds. So { a _n } ^converges 0 in the sense of the Ces `aro mean（チェザロ平

均）

. The following fact is well-known.

n lim →∞ a n = α = ⇒ lim

n →∞

a ₁ + a ₂ + · · · + a _n

n = α

(22)

Conclusion

Aim

直感的な表現を含まない極限の定義を学び，厳密に議論する方法の重要性を理解する．

(We study a rigorous deﬁnition of the limit, and understand an importance of the way how to argue strictly.)

(Today’s topics)

Deﬁnition of the limit (called ε ^- δ ^deﬁnition) Error evaluation

It is very important to explain technical terms when you work other researchers in different ﬁelds.

(23)

Appendix : ε - δ deﬁnition of limit Why “ ε - δ ” deﬁnition? ε : error, δ : distance

Deﬁnition

A function f (x) converges a real number L as x → a if and only if the following condition holds.

For any ε > 0 , there exists some positive number δ (a , ε ) such that 0 < | x − a | < δ = ⇒ | f ( x) − L | < ε

Then a limit is denoted by

lim x → a f (x) = L .

(24)

References

原惟行・松永秀章,イプシロン・デルタ論法完全攻略,共立出版,

2011.

田島一郎,イプシロン-デルタ

(数学ワンポイント双書 20),

共立出版,

1978.

杉浦光夫,基礎数学

2

解析入門

I,

東京大学出版会, 1980.

(25)

ε - δ deﬁnition of limit

Deﬁnition

A sequence { a _n } converges a real number α if and only if for any ε > 0 , there exists some natural number N( ε ) such that

n ≥ N( ε ) = ⇒ | a n − α| < ε

x

ε ε

a ₁

a ₃ … a _N(ε)+1 α a _N(ε) a ₂

a _n (n ≥ N( ε ))

First, someone takes a positive small number ε as allowable error. Next,

n lim →∞ a n = α if you can take some suitable large natural number N( ε ) depending on ε such that an error of a _n and α is smaller than allowable error ε ^{for all} n ≥ N( ε ) .

(26)

Example

Problem

Show that the sequence a _n = 1

n converges to the value 0.

(Idea) We must ﬁnd a suitable natural number N( ε ) for any ε > 0 . (i) For example, we set ε = 10 ⁻ ¹ . Then

| a _n − 0 | = 1

n < 10 ⁻¹ ⇐⇒ n > 10 holds. Therefore, set N(10 ⁻¹ ) = 11 . (Of course, it follows that

| a _n − 0 | = 1 n ≤ 1

11 < 1 10 = ε for n ≥ N(10 ⁻ ¹ ) = 11 .)

Here, we can also set N(10 ⁻ ¹ ) = 10000 . Today we take N( ε ) as the minimum value satisfying the condition in the deﬁnition of limit.

(27)

Example

(ii) Next, we set ε = 10 ⁻ ² . For n ≥ 101

| a n − 0 | = 1 n ≤ 1

101 < 10 ⁻ ² = ε.

Then we can set N(10 ⁻ ² ) = 101 .

(iii) Lastly, we consider the general case. We take any ε > 0 . Then N( ε ) > 1

ε is required since

| a n − 0 | = 1

n < ε ⇐⇒ n > 1 ε

(But we remark that 1 /ε is not a natural number in general. So we need some mathematical techniques.)

(28)

Example

Problem

Show that the sequence a n = 1

n converges to the value 0.

Answer

Take any ε > 0 . Set N( ε ) = [ 1

ε ]

+ 1 where [ · ] denotes the ﬂoor function (integer part). Then

n ≥ N( ε ) = ⇒ | a _n − 0 | = 1 n ≤ 1

N( ε ) < ε holds since

N( ε ) = [ 1

ε ]

+ 1 > 1 ε . Therefore lim

n →∞ a _n = 0 is shown.

(29)

Sum of convergent sequences converges to sum of limits

Theorem Assume lim

n →∞ a n = α ^and lim

n →∞ b n = β . Then it follows that

n lim →∞ (a _n + b _n ) = α + β

(idea) We need to estimate the error between a _n + b _n and α + β ^.

| (a n + b n ) − ( α + β ) | = | (a n − α ) + ( b n − β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β|

holds by the triangle inequality

（三角不等式）

. Hence estimates | a _n − α| < ε ^and | b _n − β| < ε ^imply

| (a n + b n ) − ( α + β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β| < ε + ε = 2 ε (over)

（

Since the error accumulates, the accuracy will be exceeded unless the accuracy is increased.

）

(30)

Sum of convergent sequences converges to sum of limits

(Proof)

Let ε be any positive number.

For ε/ 2 > 0 , there exsit some natural numbers N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2) such that n ≥ N ₁ ( ε/ 2) = ⇒ | a _n − α| < ε

2 n ≥ N ₂ ( ε/ 2) = ⇒ | b _n − β| < ε 2

Set N( ε ) = max { N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2) } ^{. (} N( ε ) depends only on ε ^{.) Then it} follows that

| (a n + b n ) − ( α + β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β| < ε 2 + ε

2 = ε for all n ≥ N( ε ) .

Therefore the sequence { a _n + b _n } converges to α + β ^.

(31)

Sum of convergent sequences converges to sum of limits

(Proof)

Let ε be any positive number.

For ε/ 2 > 0 , there exsit some natural numbers N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2) such that n ≥ N ₁ ( ε/ 2) = ⇒ | a _n − α| < ε

2 n ≥ N ₂ ( ε/ 2) = ⇒ | b _n − β| < ε 2

Set N( ε ) = max { N ₁ ( ε/ 2) , N ₂ ( ε/ 2) } ^. ⁽ N( ε ) depends only on ε ^{.) Then it} follows that

| ( a n + b n ) − ( α + β ) | ≤ | a n − α| + | b n − β| < ε 2 + ε

2 = ε for all n ≥ N( ε ) .

Therefore the sequence { a _n + b _n } converges to α + β ^.

(32)

Product of convergent sequences converges to product of limits

Theorem Assume lim

n →∞ a _n = α ^and lim

n →∞ b _n = β . Then it follows that

n lim →∞ a _n b _n = αβ.

(idea) We need to estimate the error between a _n b _n and αβ . By using the following technical equation

a _n b _n − αβ = (a _n − α ) β + α (b _n − β ) + (a _n − α )(b _n − β ) and the triangle inequality, we have

| a _n b _n − αβ| ≤ | a _n − α| |β| + |α| | b _n − β| + | a _n − α| | b _n − β|.

Hence estimates | a _n − α| < ε ^and | b _n − β| < ε ^imply

| a n b n − αβ| ≤ |β|ε + |α|ε + ε ²

(33)

Estimate an error (Example)

x = 1 . 23 ± 0 . 02 , y = 4 . 15 ± 0 . 03 = ⇒ 4 . 9852 < xy < 5 . 225 Put α = 1 . 23 , ε x = 0 . 02 , β = 4 . 15 , ε y = 0 . 03 . Then the approximate value of xy is αβ = 5 . 1045 and the error is estimated by

ε xy : = |β|ε x + |α|ε y + ε x ε y = 0 . 1199 + 0 . 0006 = 0 . 1205 , so xy = αβ ± ε xy = 5 . 1045 ± 0 . 1205 . In fact

αβ − ε xy = 4 . 984 < 4 . 9852 < xy < 5 . 225 = αβ + ε xy .

In addition, the error can be almost estimated at |β|ε x + |α|ε y = 0 . 1199 . The error of the product of approximate values can not be estimated by the product of each error. On the contrary, the product ε x ε y of each error is not the main term.

極限の考え方と誤差評価