一変数関数の広義積分 ( 復習 )

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

Z ₁

0

√ 1

x dx

Z ₁

0

√ 1

x dx = 2 √

x 1

0 = 2

AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA A A A A A A A

AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA

1

x

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

Z ₁

0

√ 1

x dx

Z ₁

0

√ 1

x dx = 2 √

x 1

0 = 2

[

^] Z ₁

0

√ 1

x dx

Riemann

n − 1

X

k=0

1 n

1 p k/n

= 1

n ∞ + 1

√ n

n − 1

X 1

√ k AA AA

AA AA AA A A A A A AA AA AA AA AA AA AA

1

x

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx =

− 1 x

+ ∞

1

= 1

AAA AAA AAA AAA AA AA AAA AAA

AAAAAA AAAAAA

1

x

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx =

− 1 x

+ ∞

1

= 1

[

^] Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

Riemann

m − 2

X

k =0

1 n

1

k+n n

2 + ∞ · 1

n+m − 1 n

2

= + ∞

1

x

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

•

(a, b] (

[a, b) )

f (x)

ε lim → +0

Z b

a + ε

f (x)dx

又は

lim

ε → +0

Z b − ε

a

f (x)dx

が存在するとき の での広義積分とよび

と書く。

区間 又は で連続な関数 について 又は

が存在するとき の での広義積分

とよび 又は と書く。

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

•

(a, b] (

[a, b) )

f (x)

ε lim → +0

Z b

a + ε

f (x)dx

又は

lim

ε → +0

Z b − ε

a

f (x)dx

が存在するとき

f (x)

[a, b]

Z b

a

f (x)dx

区間 又は で連続な関数 について 又は

が存在するとき の での広義積分

とよび 又は と書く。

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

•

(a, b] (

[a, b) )

f (x)

ε lim → +0

Z b

a + ε

f (x)dx

又は

lim

ε → +0

Z b − ε

a

f (x)dx

が存在するとき

f (x)

[a, b]

Z b

a

f (x)dx

•

[a, + ∞ ) (

( −∞ , b] )

f (x)

R → lim + ∞

Z R

a

f (x)dx

又は

lim

R →−∞

Z b

R

f (x)dx

が存在するとき

の での広義積分

とよび 又は と書く。

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

•

(a, b] (

[a, b) )

f (x)

ε lim → +0

Z b

a + ε

f (x)dx

又は

lim

ε → +0

Z b − ε

a

f (x)dx

が存在するとき

f (x)

[a, b]

Z b

a

f (x)dx

•

[a, + ∞ ) (

( −∞ , b] )

f (x)

R → lim + ∞

Z R

a

f (x)dx

又は

lim

R →−∞

Z b

R

f (x)dx

が存在するとき

f (x)

[a, + ∞ ) ( ( −∞ , b] )

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

次の広義積分を

(

)

•

Z ₁

0

√ 1

x dx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

次の広義積分を

(

)

•

Z ₁

0

√ 1

x dx

•

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

次の広義積分を

(

)

•

Z ₁

0

√ 1

x dx

•

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

•

Z 1

− 1

1

x dx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

次の広義積分を

(

)

•

Z ₁

0

√ 1

x dx

•

Z ₊ ^∞

1

1

x ² dx

•

Z 1

− 1

1 x dx

•

Z ₊ ^∞

xdx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₁

0

√ 1

x dx = lim

ε → +0

Z ₁

ε

√ 1

x dx = lim

ε → +0

2 √ x 1

ε = 2

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₁

0

√ 1

x dx = lim

ε → +0

Z ₁

ε

√ 1

x dx = lim

ε → +0

2 √ x 1

ε = 2

•

Z + ∞

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

Z R

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

− 1 x

^R

1

= 1

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₁

0

√ 1

x dx = lim

ε → +0

Z ₁

ε

√ 1

x dx = lim

ε → +0

2 √ x 1

ε = 2

•

Z + ∞

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

Z R

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

− 1 x

^R

1

= 1

•

Z ₁

− 1

1

x dx = lim

ε ₁ → +0

Z ⁻ ε ₁

− 1

1

x dx + lim

ε ₂ → +0

Z ₁

ε ₂

1

x dx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₁

0

√ 1

x dx = lim

ε → +0

Z ₁

ε

√ 1

x dx = lim

ε → +0

2 √ x 1

ε = 2

•

Z + ∞

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

Z R

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

− 1 x

^R

1

= 1

•

Z ₁

− 1

1

x dx = lim

ε ₁ → +0

Z ⁻ ε ₁

− 1

1

x dx + lim

ε ₂ → +0

Z ₁

ε ₂

1 x dx

= lim

ε ₁ → +0 [log | x | ] ⁻ ₋ ^ε ₁ ¹ + lim

ε ₂ → +0 [log x] ¹ _ε

2 = −∞ + ∞

よってこの広義積分は存在しない。

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₁

0

√ 1

x dx = lim

ε → +0

Z ₁

ε

√ 1

x dx = lim

ε → +0

2 √ x 1

ε = 2

•

Z + ∞

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

Z R

1

1

x ² dx = lim

R → + ∞

− 1 x

^R

1

= 1

•

Z ₁

− 1

1

x dx = lim

ε ₁ → +0

Z ⁻ ε ₁

− 1

1

x dx + lim

ε ₂ → +0

Z ₁

ε ₂

1 x dx

= lim

ε ₁ → +0 [log | x | ] ⁻ ₋ ^ε ₁ ¹ + lim

ε ₂ → +0 [log x] ¹ _ε

2 = −∞ + ∞

よってこの広義積分は存在しない。

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₊ ^∞

−∞

xdx = lim

R ₁ →−∞

Z ₀

R ₁

xdx + lim

R ₂ → + ∞

Z R ₂

0

xdx

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₊ ^∞

−∞

xdx = lim

R ₁ →−∞

Z ₀

R ₁

xdx + lim

R ₂ → + ∞

Z R ₂

0

xdx

= lim

R ₁ →−∞

1 2 x ²

0

R ₁

+ lim

R ₂ → + ∞

1 2 x ²

^R ₁

0

= −∞ + ∞

一変数関数の広義積分 ( _復習 )

[

^]

•

Z ₊ ^∞

−∞

xdx = lim

R ₁ →−∞

Z ₀

R ₁

xdx + lim

R ₂ → + ∞

Z R ₂

0

xdx

= lim

R ₁ →−∞

1 2 x ²

0

R ₁

+ lim

R ₂ → + ∞

1 2 x ²

^R ₁

0

= −∞ + ∞

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

用語

平面内の有限な大きさの領域 で定義された連続関数 が、 内の一点 で に発散していると する。

内の部分領域の列 で、 が

から を除いたものになる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

が、 内の一点 で に発散していると する。

内の部分領域の列 で、 が

から を除いたものになる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

平面内の有限な大きさの領域

D

f (x, y)

D

(x ₀ , y ₀ )

±∞

内の部分領域の列 で、 が

から を除いたものになる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

平面内の有限な大きさの領域

D

f (x, y)

D

(x ₀ , y ₀ )

±∞

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n =1

D n

D

(x ₀ , y ₀ )

D _n

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

平面内の有限な大きさの領域

D

f (x, y)

D

(x ₀ , y ₀ )

±∞

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n =1

D n

D

(x ₀ , y ₀ )

D _n

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

平面内の有限な大きさの領域

D

f (x, y)

D

(x ₀ , y ₀ )

±∞

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n =1

D n

D

(x ₀ , y ₀ )

D _n

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

が同じ値に収束するとき、 その値を

f (x, y)

D

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

+ ∞

よってこの場合は、

ある一つの列 に対してのみ計算すれば が求まる。

一般に ならば

上記と同様に、ある一組の列 について計算す

れば が求まる。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

一般に ならば

上記と同様に、ある一組の列 について計算す

れば が求まる。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

•

Z Z

D

| f (x, y) | dxdy < + ∞

が求まる。

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

•

Z Z

D

| f (x, y) | dxdy < + ∞

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x 6 = y

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

dxdy p | x − y |

解答例を 、 を

を満たす領域とすると、

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x 6 = y

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

dxdy p | x − y |

[

^]

D n

0 ≤ x ≤ y − _n ¹ , _n ¹ ≤ y ≤ 1

D _n ^′

_n ¹ ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x − _n ¹

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x 6 = y

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

dxdy p | x − y |

[

^]

D n

0 ≤ x ≤ y − _n ¹ , _n ¹ ≤ y ≤ 1

D _n ^′

_n ¹ ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x − _n ¹

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D Z Z

D ⁿ ∪ D n ^′

dxdy

p | x − y | =

Z ₁

1 n

( Z y − ¹

n

0

√ dx

y − x )

dy+

Z ₁

1 n

( Z x − ¹

n

0

√ dy

x − y )

dx

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x 6 = y

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

dxdy p | x − y |

[

^]

D n

0 ≤ x ≤ y − _n ¹ , _n ¹ ≤ y ≤ 1

D _n ^′

_n ¹ ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x − _n ¹

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D

Z Z dxdy

p | x − y | =

Z ₁

1

( Z y − ¹

n

0

√ dx

y − x )

dy+

Z ₁

1

( Z x − ¹

n

0

√ dy

x − y )

dx

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 < x ² + y ² ≤ 1

次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

log(x ² + y ² )dxdy

を を満たす領域とすると

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 < x ² + y ² ≤ 1

次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

log(x ² + y ² )dxdy

[

^]

D n

1

n ² ≤ x ² + y ² ≤ 1

∞

[

n =1

D n = D

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 < x ² + y ² ≤ 1

次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

log(x ² + y ² )dxdy

[

^]

D n

1

n ² ≤ x ² + y ² ≤ 1

∞

[

n =1

D n = D

Z Z

D ⁿ

log(x ² + y ² )dxdy =

Z _2π

0

( Z ₁

1 n

(log r ² )rdr )

dθ

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 < x ² + y ² ≤ 1

次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

log(x ² + y ² )dxdy

[

^]

D n

1

n ² ≤ x ² + y ² ≤ 1

∞

[

n =1

D n = D

Z Z

D ⁿ

log(x ² + y ² )dxdy =

Z _2π

0

( Z ₁

1 n

(log r ² )rdr )

dθ

( )

多変数の広義積分 ( _{関数の発散} )

[

^]

D

0 < x ² + y ² ≤ 1

次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

log(x ² + y ² )dxdy

[

^]

D n

1

n ² ≤ x ² + y ² ≤ 1

∞

[

n =1

D n = D

Z Z

D ⁿ

log(x ² + y ² )dxdy =

Z _2π

0

( Z ₁

1 n

(log r ² )rdr )

dθ

Z Z

log(x ² +y ² )dxdy = lim π (

− 1 +

1 2

+ 2

1 2

log n

)

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

用語

平面内の無限に広がる領域 で定義された連続関数 を考える。

内の有限な大きさの部分領域の列

で、 となる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

を考える。

内の有限な大きさの部分領域の列

で、 となる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

平面内の無限に広がる領域

D

f (x, y)

内の有限な大きさの部分領域の列

で、 となる 任意の の列に対し、

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

平面内の無限に広がる領域

D

f (x, y)

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n=1

D _n = D

D _n

が同じ値に収束するとき、 その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

平面内の無限に広がる領域

D

f (x, y)

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n=1

D _n = D

D _n

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

その値を の 上での広 義積分とよび

と書く。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

平面内の無限に広がる領域

D

f (x, y)

D

D ₁ ⊆ D ₂ ⊆ D ₃ · · · ⊆ D

S ^∞

n=1

D _n = D

D _n

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

が同じ値に収束するとき、 その値を

f (x, y)

D

Z Z

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

+ ∞

よってこの場合は、

ある一つの列 に対してのみ計算すれば が求まる。

一般に ならば

上記と同様に、ある一組の列 について計算す

れば が求まる。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

一般に ならば

上記と同様に、ある一組の列 について計算す

れば が求まる。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

•

Z Z

D

| f (x, y) | dxdy < + ∞

が求まる。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

• f (x, y) ≥ 0

D

{ D n }

n lim →∞

Z Z

D ⁿ

f (x, y)dxdy

は

+ ∞

ある一つの列

{ D n }

Z Z

D

f (x, y)dxdy

•

Z Z

D

| f (x, y) | dxdy < + ∞

上記と同様に、ある一組の列

{ D n }

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

0 ≤ x, 0 ≤ y

(

)

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy

すると

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

0 ≤ x, 0 ≤ y

(

)

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy

[

^]

D _n

0 ≤ x, 0 ≤ y, x ² + y ² ≤ n ²

∞

[

n =1

D _n = D

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

0 ≤ x, 0 ≤ y

(

)

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy

[

^]

D _n

0 ≤ x, 0 ≤ y, x ² + y ² ≤ n ²

∞

[

n =1

D _n = D Z Z

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z ^π

2 Z n

e ^{− r 2} rdr

dθ

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

0 ≤ x, 0 ≤ y

(

)

このとき、次の積分が存在するならば、その値を求めよ。

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy

[

^]

D _n

0 ≤ x, 0 ≤ y, x ² + y ² ≤ n ²

∞

[

n =1

D _n = D Z Z

D ⁿ

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z ^π

2

0

Z n

0

e ^{− r 2} rdr

dθ

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

に対し

例題より なので

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

[

^]

D _n ^′

0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

D

∞

[

n=1

D _n ^′ = D

例題より なので

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

[

^]

D _n ^′

0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

D

∞

[

n=1

D _n ^′ = D Z Z

D n ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z n

0

e ^{− x 2} dx

Z n

0

e ^{− y 2} dy

例題より なので

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

[

^]

D _n ^′

0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

D

∞

[

n=1

D _n ^′ = D Z Z

D n ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z n

0

e ^{− x 2} dx

Z n

0

e ^{− y 2} dy

∴

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy = lim

n →∞

Z Z

D ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx 2

例題より なので

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

[

^]

D _n ^′

0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

D

∞

[

n=1

D _n ^′ = D Z Z

D n ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z n

0

e ^{− x 2} dx

Z n

0

e ^{− y 2} dy

Z Z

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy = lim

Z Z

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z ^∞

e ^{− x 2} dx

2

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

次の広義積分を求めよ：

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx

[

^]

D _n ^′

0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

D

∞

[

n=1

D _n ^′ = D Z Z

D n ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z n

0

e ^{− x 2} dx

Z n

0

e ^{− y 2} dy

∴

Z Z

D

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy = lim

n →∞

Z Z

D ^′

e ^{− ( x 2 + y 2 )} dxdy =

Z ^∞

0

e ^{− x 2} dx 2

√

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

を で定まる領域、 を で

定まる領域とすると、 このとき

よって、この積分は存在しない。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

よって、この積分は存在しない。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

Z Z

( D ∪ D ^′ )

| x ² − y ² |

(x ² + y ² ) ² dxdy =

Z Z

D ⁿ

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy+

Z Z

D n ^′

− x ² + y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

Z Z

( D ⁿ ∪ D _n ^′ )

| x ² − y ² |

(x ² + y ² ) ² dxdy =

Z Z

D ⁿ

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy+

Z Z

D n ^′

− x ² + y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy Z n Z x

x ² − y ²

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

Z Z

( D ∪ D ^′ )

| x ² − y ² |

(x ² + y ² ) ² dxdy =

Z Z

D ⁿ

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy+

Z Z

D n ^′

− x ² + y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

Z Z

( D ⁿ ∪ D _n ^′ )

| x ² − y ² |

(x ² + y ² ) ² dxdy =

Z Z

D ⁿ

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy+

Z Z

D n ^′

− x ² + y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy Z n Z x

x ² − y ²

1 ₁

よって、この積分は存在しない。

多変数の広義積分 ( _{無限に広がる領域} )

[

^]

D

1 ≤ x, 1 ≤ y

Z Z

D

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy

[

^]

D n

0 ≤ y ≤ x ≤ n

D _n ^′

0 ≤ x ≤ y ≤ n

S ^∞

n =1

(D n ∪ D _n ^′ ) = D .

Z Z

( D ∪ D ^′ )

| x ² − y ² |

(x ² + y ² ) ² dxdy =

Z Z

D ⁿ

x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy+

Z Z

D n ^′

− x ² + y ²

(x ² + y ² ) ² dxdy