7 原子核 の殻 模型 (Shell model of nuclei)

7 原子核 の殻 模型 (Shell model of nuclei)

重い 原子核 に 対 する Schr¨ odinger 方 程式 ( 例 えば A = 200 体問題 ) は 解 けないので、平 均 場 近似 を 使 う。

平 均 ポテンシャルの概念： 原子核中 の 1 個 の 核子 に着 目 すると、そ の 核子 が 他 の A − 1 個 の 核子 との 相互作 用のため、 位 置 ~ r に 依存 する次の「平 均 ポテンシャル」を 感 じている：

U (~ r) =

A−1

X

i=1

Z

d ³ r _i V (~ r − ~ r _i ) P _i (~ r _i ) (7.1) ただし、 V は 核力 、 P _i (~ r _i ) は 核子 i を 位 置 ~ r _i で 見出 す 確率 である。

U(r)= Σ

A-1

i r V(r-r )

r

核 力 の 到 達 距 離 は 原 子 核 の 大 きさのスケールで 短 い ( 短 距 離 の 力 ) ので、ここで delta 関 数 で 近似 する： V (~ r − ~ r _i ) → −kδ ⁽³⁾ (~ r − ~ r _i ).

ただし、 k > 0 は 定数 である。 従って、

U (~ r) ' −k

A−1

X

i=1

P _i (~ r) = −kρ _A−1 (~ r) ' −kρ _A (~ r) (7.2)

となる。ただし、 ρ _A−1 (r ) は、 質量 数 A − 1 の 原子核中 の 核子密 度

分 布であり、 A が 大 きいときに ρ _A−1 (r ) ' ρ _A (r) が成り立つ。 電子

散乱 の 実験 データから、その 密 度 分 布 ρ _A (r) は Fermi 型 関 数 である

ことが 分 かっている ( 第 3 章に 参照 ）ので、 平 均 ポテンシャルは次

の “Woods-Saxon” 型 ポテンシャル (U _WS ) となる：

U (r) = U _WS (r) = −U ₀ 1 + e ^(r−R)/a U ₀ ' 50MeV, R = 1.1 A ^1/3 fm

この Woods-Saxon 型 ポテンシャルを 使 って、 核子一個 々の Schr¨ odinger 方 程式を 解 けばよい。 それは 数値 計算で 可 能だが、 式で 表 せない

ので、ここで Woods-Saxon 型 ポテンシャルを 更 に調 和振動子 ポテンシャル (harmonic oscillator potential U _HO (r)) で 近似 する ¹ ：

U _HO (r) = −V ₀ + 1

2 M ω ² r ²

ただし、 図 のように r = R ( 原子核 の 半 径) のところで U _HO (r) がゼ ロとなるように ω の 値 を 決定 する：

U _HO (r = R) = 0 ⇒ 1

2 M ω ² R ² = V ₀ ω =

r 2V ₀

M R ² ⇒ ~ ω = s

2V ₀ ( ~ c) ² (M c ² )R ²

= s

2 × 50 × (197) ²

940 × (1.1 × A ^1/3 ) ² MeV = 58 A ^−1/3 MeV ( それは経 験的 な 値 ~ ω = 41A ^−1/3 MeV よりも少し 大 きい。 )

1M は核子の質量で、ω と古典力学の「バネ定数」(k)との関係はω=p k/M.

原子核 についての Schr¨ odinger 方 程式は、 平 均 場 近似 の範 囲 で次の ようになる：

A

X

i=1

H _i (~ r _i )

!

Ψ (~ r ₁ , ~ r ₂ , . . . , ~ r _A ) = E Ψ (~ r ₁ , ~ r ₂ , . . . , ~ r _A ) (7.3) ただし、 核子 i についての１粒 子 ハミルトニアンは

H _i (~ r _i ) = p ² _i

2M + M ω ²

2 r _i ² − V ₀ (7.4)

ここで 波動 関 数 Ψ (~ r ₁ , ~ r ₂ , . . . , ~ r _A ) は次の積で 書 けることを 仮定 する

（ 「 変数分類 」の 方法 ） ：

Ψ (~ r ₁ , ~ r ₂ , . . . , ~ r _A ) = ψ ₁ (~ r ₁ ) · ψ ₂ (~ r ₂ ) · . . . ψ _A (~ r _A )

それを (7.3) 式に 代入 すると、 それぞれの１粒 子波動 関 数 は次の

Schr¨ odinger 方 程式を 満 たせばよい：

p ² _i

2M + M ω ²

2 r _i ² − V ₀

ψ _i (~ r _i ) = ε _i ψ _i (~ r _i ) (7.5) ただし、 原子核 の 全 エネルギー E は、１粒 子 のエネルギー ε _i の 和 となる：

E = ε ₁ + ε ₂ + · · · + ε _A

結局 、３次 元 調 和振動子 ポテンシャルに 対 する１粒 子 の Schr¨ odinger 方 程式 (7.5) を 解 けばよい。

この 問題 を１次 元 の Schr¨ odinger 方 程式に帰着できる (⇒ 講 義「量 子力学 I 」に 参照 ) 。なぜならば、 １粒 子 のハミルトニアン (7.4) を 次のように 書 けるからである ² ：

H = p ²

2M + M ω ²

2 r ² = 1

2M p ² _x + p ² _y + p ² _z

+ M ω ²

2 x ² + y ² + z ²

= H _x + H _y + H _z

2定数V₀ は1粒子のエネルギー固有値のシフト(→−V₀)だけ及ぼし、波動関数に影響しないから以下の式で は省略する。

従って、 １粒 子 の Schr¨ odinger 方 程式

H ψ(x, y, z) = ε ψ(x, y, z)

の 波動 関 数 は次の積で 書 ける (⇒ 変数分類 の 方法 ):

ψ(x, y, z) = X (x) · Y (y) · Z (z)

ただし、 関 数 X (x), Y (y), Z (z) はそれぞれ x, y, z 方向 についての１ 次 元 調 和振動子 の Schr¨ odinger 方 程式を 満 たす：

H _x X (x) = ε ₁ X (x) H _y Y (y) = ε ₂ Y (y) H _z Z (z) = ε ₃ Z (z)

３次 元 調 和振動子 のエネルギー ε は１次 元 調 和振動子 のエネルギ ーの 和 である：

ε = ε ₁ + ε ₂ + ε ₃

１次 元 の調 和振動子 の 波動 関 数 と 固有値 は 講 義「量 子力学 I 」で 勉 強した： 例 えば x 方向 について、

X (x) ≡ φ _n (x) = N _n e ⁻

2 2~

H _n (

r M ω

~ x)

ε ₁ ≡ ε _1n = ~ ω( 1

2 + n)

但 し、 n = 0, 1, 2, . . . で、 波 動 関 数 は Gauss 関 数 と 多項 式 H _n (x) (Hermite 多項 式 ) の積である。 n は 偶数 のときに H _n (x) が 偶 のベキ のみ、 n は 奇数 のときに 奇 のベキのみをもつ。 例 えば、

H ₀ (x) = 1 , H ₁ (x) = 2x , H ₂ (x) = 4x ² − 1 , H ₃ (x) = 8x ³ − 12x . . .

即 ち、 n = 偶数 のときの 波動 関 数 のパリティーが P = +1, n = 奇

数 のときの 波動 関 数 のパリティーが P = −1. 従って、 φ _n (x) のパ

リティーは P = (−1) ⁿ である。

結局 、 ３次 元 の調 和振動子 の 波動 関 数 と 固有値 が次のようになる：

ψ _n

_n

_n

(x, y, z) = φ _n

(x)φ _n

(y)φ _n

(z) ε _n = ~ ω( 3

2 + n)

n = n ₁ + n ₂ + n ₃ = 0, 1, 2, · · · : principal quantum number この 波動 関 数 のパリティーは P = (−1) ⁿ

(−1) ⁿ

(−1) ⁿ

= (−1) ⁿ であ る。

波動 関 数 （状 態 ）が (n ₁ , n ₂ , n ₃ ) に 依存 するが、 エネルギーが 主 量 子数 n = n ₁ + n ₂ + n ₃ のみに 依存 する。

「縮重度」 (degeneracy) とは、 同 じエネルギーをもつ状 態 の 数 で 定 義されている。 従って、 エネルギー 順 と縮重度は次のようになる

3 ：

kd“x

total

ここ、 (n ₁ n ₂ n ₃ ) は 状 態 φ _n

(x)φ _n

(y)φ _n

(z) を 表 している。 この 図 は、 最初 の３つの「殻」を示している。 即 ち、 原子核 の殻構 造 は 自 然 に 現 れた。 満杯 の殻のみをもつ 原子核 は特 別安定 である。

3核子のスピン向きは２通りがあるので、純粋の調和振動子の縮重度を２倍にした。n= 3の場合は各自で状態 を記入して、縮重度(20)を確認しないさい。

原子核 の魔 法数 (magic number): 特 別安定 な 原子 核 の 陽 子 の 数 (Z ) および 中性子 の 数 (N ). 例 えば 中性子 の 数 (N ) が魔 法数 である 場 合 は、 その 原子核 から１ 個 の 中性子 を抜け 出 すために必 要 なエ ネルギーは、 隣 りのアイソトープ ( 中性子 の 数 は N + 1) の場 合 よ りも非常に 大 きい。

殻 模型 では、「魔 法数 」をもつ 原子核 は、 完全 につまった 核子 の殻 をもつ。 従って、 上 の調 和振動子 の計算では、「魔 法数 」は次のよ うになる：

Z or N = 2, 8, 20, 40, 70, . . .

しかし、 実験 で 観測 された魔 法数 （特 別安定 な 原子核 の 陽子 の 数 および 中性子 の 数 ) は

Z or N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 である。

この魔 法数 を殻 模型 で説 明 するために、 調 和振動子 ポテンシャル だけでなく、 更 に次の「スピン・ 軌道 ポテンシャル」 (spin-orbit potential) を 加 える必 要性 がある：

V <sub>`s</sub> = −α ~ ` · ~ s

ここは α > 0 は 定 数 、 ~ `, ~ s は１ 粒 子 の 軌道角 運動 量 とスピン 演 算 子 である。 結局 、 V <sub>`s</sub> を調 和振動子 のハミルトニアンに 加 えて、

Schr¨ odinger 方 程式を 解 き 直 すことになる。

そのための 準備 として、まず調 和振動子 の 固有 状 態 (ψ _n

_n

_n

(x, y, z)) を n ₁ , n ₂ , n ₃ でなく、 軌道角運動 量 ` ~ (` = 0, 1, 2, . . . ) で 現 すことに する。そのために、 次のことを 思 い 出 す：

1. 軌道角運動 量の 大 きさは ` ~ のときに、状 態 の縮重度は 2(2`+1)

である。なぜならば、 軌道角運動 量 ` ~ の 向 きは 2l + 1 通 りが

あり、 更 にスピンの 向 きは２ 通 りがあるので、 合 計 2(2` + 1) 個

の状 態 は 皆同 じエネルギーをもつ。

2. 軌道角運動 量 ` ~ の 波動 関 数 のパリティーは (−1) <sup>`</sup> である。

それを 使 って、 ３次 元 の調 和振動子 のエネルギー 順位 と縮重度は 次のようになることが 推測 できる ⁴ 。

kd“x

total

この 表 は、それぞれの殻 (n = 0, 1, 2, . . . ) に 含 まれている 軌道角運 動 量の状 態 を 表 している。 例 えば、 1 p とは、 n = 1, ` = 1 ~ の状 態 を 表 している。

以上 は調 和振動子 ポテンシャル (U _HO ) についての 理 論だったが、

もっと 現実的 な Woods-Saxon ポテンシャル (U _WS ) を 使 う場 合 はエ ネルギー 順位 は次のように 変 わってくる (p.2 の 図 に 参照 )：

• r が小さいときに |U _WS | < |U _HO | で、 逆 に r が 大 きいときに

|U _WS | > |U _HO | である。 即 ち、 U _WS を 使 うと、 原子 核 の 中 心 (r = 0) に 近 い 軌道 のエネルギーが 上 がり、 原子核 の 中 心から 遠 い 軌道 のエネルギーが 下 がってくる。

• 軌道角運動 量が 高 いときに、 遠 心 力 の影響で 軌道 の 半 径が 大 きくなる。従って、 U _WS を 使 うと、 軌道角運動 量が 大 きい 軌道 のエネルギーが 下 がってくる。

しかし、 それらの 効果 を 入 れても 原子核 の魔 法数 は説 明 できない

（次の 表 に 参照 。 ）

4この表とp.5の表では、各nのとき同じ縮重度、同じパリティーになることを自分で確認して下さい。

total

原子核 の魔 法 を説 明 するために、 更 に スピン・ 軌道 ポテンシャル (spin-orbit potential) を 加 える：

H = p ~ ²

2M + U _WS (r) + V _{`s</sub> V <sub>`s} = −α ~ ` · ~ s (α > 0)

先 ず、 以前勉 強した 角運動 量について復習する：

• ~ ` = 軌道角運動 量の 演 算 子

~ ` <sup>2</sup> の 固有値 は ~ <sup>2</sup> `(` + 1) (` = 0, 1, 2, . . . )

• ~ s = スピンの 演 算 子

~ s ² の 固有値 は ~ ² s(s + 1) (s = ¹ ₂ )

• 従って、 全角運動 量の 演 算 子 は、

~j = ~ ` + ~ s

~j ² の 固 有 値 は ~ ² j(j + 1) となるが、 ~ ` と ~ s は 平 行 のときに

j = ` + s で、 反 平 行 のときに j = ` − s である。

従って、 V _ls の 固有値 (eigenvalue) を次のように計算できる：

V <sub>`s</sub> = −α~ ` · ~ s = − α 2

~j ² − ~ ` ² − ~ s ² ⇒

eigenvalue = − ~ ² α

2 (j (j + 1) − `(` + 1) − s(s + 1))

• 平 行 (j = ` + ¹ ₂ ) の場 合 は 固有値 は次のようになる：

− ~ ² α 2

(` + 1

2 )(` + 3

2 ) − `(` + 1) − 3 4

= − ~ ² α

2 ` < 0

• 反 平 行 (j = ` − ¹ ₂ ) の場 合 は 固有値 は次のようになる：

− ~ ² α 2

(` − 1

2 )(` + 1

2 ) − `(` + 1) − 3 4

= ~ ² α

2 (` + 1) > 0

即 ち、 j = ` + <sup>1</sup> <sub>2</sub> の 軌道 のエネルギーが、 j = ` − ¹ ₂ よりも 低 くなる。

この spin-orbit splitting は、 ` と 共 に 大 きくなる。

例 えば、 状 態 1p ( 即 ち n = 1, ` = 1) および 3f ( 即 ち n = 3, ` = 3) の 場 合 、 V _`s の影響のため次の spin-orbit splitting が生じる：

l = 1

j=l-1/2=1/2

j=l+1/2=3/2

l = 3

j=l-1/2=5/2

j=l+1/2=7/2

そのために、エネルギー 順位 は次のように 変 わってくる：

• 軌道角運動 量 ` = 0, 1, 2 の場 合 は V <sub>`s</sub> の影響が小さく、 基本的 以前 と 同 じ結 果 (U _{W S} を 使 った結 果 ）となる。 従って、 最初 の ３つの魔 法数 2, 8, 20 は 変 わらない。

• 軌 道 角 運動 量 ` = 3 の 場 合 、 j = ` + ¹ ₂ = 7/2 の 軌 道 (f _7/2 )

が 大 きく 下 がって、 独 立な「殻」を 成す。 j = 7/2 の 場 合 は

j _z = −7/2, −5/2, · · · + 7/2 という 2j + 1 = 8 個 の状 態 があるの

で、 Pauli の 排他 律に従ってそこで 8 個 の 陽子 （もしくは 中性

子 ）が 入 れる ⇒ 魔 法数 28 = 20 + 8 は説 明 できる。

• その後 、 元 々の殻で 軌道角運動 量が 高 い 軌道 はいつも 大 きく 下 がって、 下 の殻に 埋 め 込 まれる。そのために、 魔 法数 50, 82, 126 も説 明 できる。

「魔 法数 」の 対 応関 係 ：

U

2 8 20 40 70

U

+ V

2 8 20 28 = 20+8 50=40+10 82=70+12

次のページでは 1 粒 子 のエネルギー 順位 を示す。 左 の 列 は調 和振動

子 ポテンシャルの場 合 、 真ん 中 の 列 は Woods-Saxon 型 ポテンシャ

ルの場 合 、 最 後に Woods-Saxon 型 ポテンシャルにスピン・ 軌道 ポ

テンシャルに 加 えた場 合 を示す。 右 の 列 の 数値 は、 その状 態 まで

全部 つめたときの 核子 の 数 である。