第 6 講：確率変数 ( 離散の場合 )

(1)

第

6

^{講：確率変数}

(

^{離散の場合}

)

平成

16

年

11

月

24

日

(2)

確率変数：例１

例

1 (dice tossing)

規則正しいさいころを投げるとき

• X :

出た目の数

⇒

^確率変数

• X

^の性質

:

_確率分布によって定められる

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

P ( X = 1) = 1 / 6 P ( X = 2) = 1 / 6 P ( X = 3) = 1 / 6 P ( X = 4) = 1 / 6 P ( X = 5) = 1 / 6 P ( X = 6) = 1 / 6

(3)

確率変数：例２

例

2 (

患者の到着数

)

一日にある診療所を訪問する患者の人数を考えるとき

• X :

患者の人数

⇒

^確率変数

• X

の確率分布：

1.

取り得る値の確率

P ( X = 0) = p

0

, P ( X = 1) = p

1

, · · · 2.

確率分布になるための条件

⎧⎪

⎨

⎪⎩

p

i

≥ 0 i = 0 , 1 , · · ·

∞

i=0

p

i

= 1

(4)

離散型確率変数・分布

•

^{離散型確率変数}

discrete type random variable

：高々可算個の値を取る

•

^{離散型確率分布}

probability distribution:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

P ( X = x

1

) = p

1

P ( X = x

2

) = p

2

...

ただし、

p

i

≥ 0 ,

∞

i=1

p

i

= 1 ( i = 1 , 2 , · · · )

(5)

期待値と分散

定義

1

離散型確率分布

:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

P ( X = x

1

) = p

1

P ( X = x

2

) = p

2

...

•

^期待値

(

平均

) expectation:

E ( X ) =

∞

i=1

x

i

P ( X = x

i

)

=

^∞

i=1

x

i

p

i

•

^分散

variance:

V ( X ) =

∞

i=1

{x

i

− E ( X ) }

²

P ( X = x

i

)

=

∞

i=1

{x

i

− E ( X ) }

²

p

i

(6)

モーメント母関数

• r

^{次のモーメント}

(

積率

) moment:

E ( X

^r

) =

∞

i=1

x

^r_i

P ( X = x

i

)

•

^{モーメント母関数}

moment generating function:

M

X

( t ) = E ( e

^tX

)

=

∞

i=1

e

^txⁱ

P ( X = x

i

)

定理

1

任意の

r

^に対して

E ( X

^r

) = d

^r

dt

^r

M

X

( t ) |

_t=0 すなわち、

E ( X ) = M

_X

(0) , E ( X

²

) = M

_X

(0) , E ( X

³

) = M

_X

(0) , · · ·

(7)

一様分布

uniform distribution

正の整数

N

^に対し、

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

P ( X = x

1

) = 1 /N P ( X = x

2

) = 1 /N

...

P ( X = x

N

) = 1 /N

•

^期待値

:

E ( X ) = 1 N

N i=1

x

i

•

^分散

:

V ( X ) = 1 N

N

i=1

{x

i

− E ( X ) }

²

一様分布の例

:

正しいさいころを投げる場合

P ( X = i ) = 1 / 6 , i = 1 , · · · , 6

(8)

ベルヌーイ分布

Bernoulli distribution

ある

0 < p < 1

に対し

⎧⎪

⎨

⎪⎩

P ( X = 1) = p P ( X = 0) = 1 − p

•

^期待値

:

E ( X ) = 1 × p + 0 × (1 − p )

= p

•

^分散

:

V ( X ) = (1 − p )

²

× p + (0 − p )

²

× (1 − p )

= p (1 − p )

•

^{積率母関数：}

M ( t ) = p e

^t

+ (1 − p )

(9)

ベルヌーイ分布の例

例

1:

コインを投げる場合

P ( X = 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 / 2

例

2:

癌患者が一年後の生存を観察する場合

P ( X = 1) = P (

生存

) = p P ( X = 0) = P (

死亡

) = 1 − p

(10)

二項分布

binomial distribution

•

^整数

x = 0 , 1 , · · · , n ,

また

p ∈ (0 , 1)

に対して

P ( X = x ) =

_n

C

x

p

^x

(1 − p )

^n−x

= n !

x !( n − x )! p

^x

(1 − p )

^n−x

•

^記号：

X ∼ Bi( n, p )

• M ( t ) = {pe

^t

+ (1 − p ) }

ⁿ

次の恒等式に注意

n

x=0

P ( X = x ) =

n

x=0n

C

x

p

^x

(1 − p )

^n−x

= ( p + (1 − p ))

ⁿ

= 1

(11)

二項分布（つづき）

二項分布

Bi( n , p )

の期待値と分散

:

•

^期待値

: E ( X ) = np

•

^分散

:

V ( X ) = np (1 − p )

期待値についての証明

: E ( X ) =

ⁿ

x=0

x P ( X = x )

=

n

x=0

x n !

x !( n − x )! p

^x

(1 − p )

^n−x

=

n x=1

n ( n − 1)!

( x − 1)!( n − x )! pp

^x−1

(1 − p )

^n−x

= np ( p + (1 − p ))

ⁿ⁻¹

= np

(12)

二項分布の例

1.

コインを

n

^{回投げる場合}

:

表の出る回数

X ∼ Bi( n, 1 / 2)

2. n

人の癌患者がいる。全ての患者の生存する確率

p

^である。

一年後の生存者数

X ∼ Bi( n, p )

(13)

ポアソン分布

Poisson distribution

•

^整数

x = 0 , 1 , 2 , · · ·

^に対して

P ( X = x ) = e

^−θ

θ

^x

x ! , x = 0 , 1 , 2 , · · ·

ただし、

θ > 0

•

^記号：

X ∼ Po( θ )

• M ( t ) = e

^θ(e^t⁻¹⁾

次の展開式

e

^θ

= 1 + θ 1! + θ

²

2! + · · · =

^∞

x=0

θ

^x

x !

より^∞_x=0

P ( X = x ) = 1

が得られる

(14)

ポアソン分布

(

つづき

)

ポアソン分布

Po( θ )

に対して

•

^期待値

: E ( X ) = θ

•

^分散

: V ( X ) = θ

期待値の証明：

E ( X ) =

∞

x=0

x · e

^−θ

θ

^x

x !

=

^∞

x=1

e

^−θ

θ

^x−1

( x − 1)! · θ

= θ

∞

y=0

e

^−θ

θ

^y

y !

= θ

(15)

ポアソン分布の導出

大量の観測における珍しい現象の起きる回数

X

^{が近似的に} ポアソン分布に従う。

• n :

観測の数

• p :

現象の起きる確率

• X :

現象の起きる回数

X ∼ Bi( n , p )

•

^期待値

θ = np

^{が一定のとき}

P ( X = x ) ≈ e

^−θ

θ

^x

x !

(16)

ポアソン分布の導出

(

つづき

)

p = θ/n

に注意して、二項確率の極限を計算する

P ( X = x ) = n !

x !( n − x )! p

^x

(1 − p )

^n−x

= ( n − x + 1)( n − x + 2) · · · n

x ! p

^x

(1 − p )

^n−x

= ( n − x + 1)( n − x + 2) · · · n

x ! n

^x

θ

^x

(1 − p )

^n−x

n→∞

−→ θ

^x

x ! (1 − p )

^n−x

n→∞

−→ e

^−θ

θ

^x

x !

すなわち

n→∞

lim P ( X = x ) = e

^−θ

θ

^x

x ! , x = 0 , 1 , 2 , · · ·

(17)

ポアソン分布の例

次の確率変数の分布をポアソン分布で近似できる

1.

ある都市の１日における交通事故数

2.

世界中１日の

SARS

（重症急性呼吸器症候群）感染者数

3. BSE (

牛海綿状脳症

)

に感染する牛の数

(18)

超幾何分布

hypergeometric distribution

•

^赤玉

r

^個

,

白玉

w

^個

•

^計

N = r + w

^{個の玉から}

n

^{個を同時に取り出す}

•

その中に含まれる赤玉の数を

X

^とすると

P ( X = x ) =

^r

C

x

·

w

C

n−x

N

C

n

ただし、

max(0 , n − w ) ≤ x ≤ min( n, r )

•

^平均：

E ( X ) = n r N

•

^分散：

V ( X ) = n r ( N − r )( N − n )

N

²

( N − 1)

(19)

幾何分布

geometric distribution

•

^{表のでる確率}

: p

•

^{裏のでる確率}

: 1 − p

•

最初に表がでるまでコインを投げ続ける。投げた回数を

X

^とすると

P ( X = x ) = (1 − p )

^x−1

p , x = 1 , 2 , · · ·

•

^平均：

E ( X ) = 1 /p

•

^分散：

V ( X ) = (1 − p ) /p

²

• M ( t ) = p/ [1 − (1 − p ) e

^t

]

(20)

負の二項分布

negative binomial distribution

•

^{表のでる確率}

: p

•

^{裏のでる確率}

: 1 − p

• n

回目の表がでるまでコインを投げ続ける。裏の出た回数を

X

^とすると

P ( X = x ) =

_n+x−1

C

x

p

ⁿ

(1 − p )

^x

, x = 0 , 1 , 2 , · · ·

•

^平均：

E ( X ) = n 1 − p p

•

^分散：

V ( X ) = n 1 − p

p

²

= p

⁻¹

E ( X )

• M ( t ) = p

ⁿ

[1 − (1 − p ) e

^t

]

⁻ⁿ

(21)

負の二項分布の例

•

開発中の新しい薬を患者に投与して、死亡にいたる確率を

p

^とする

• n

人の死亡が観測されるまで、薬の投与を続ける

•

^{生き延びた患者数}

X

は負の二項分布に従う。