｝ ｝ ｝ ｝ 有理数（分数） 数の種類

―数と座標平面―

数の種類

｝ ^整数 ｝ ^有理数

｝ ^実数

｝ ^複素数

2 2 𝜋

3 0 0.2

1,2,3,… −1

・自然数

・０、負の整数

・分数、小数

・無理数

・虚数

𝑖 2 + 3𝑖

有理数（分数）

• すべての分数は有限の小数または循環す る小数として表される。

1

4 = 0.25 1

6 = 0.166666 ⋯ = 0.1 6 1

7 = 0.142857142857 ⋯ = 0. 14285 7

では、「循環しない小数」は存在するか？

2

2 = 1.41421356 …

1

1 2 45°

45°

3

正六面体

立方体の対角線 1

1 1

3

3 = 1.7320508 …

2

1

3

正三角形

60°

30°

黄金比 Φ ^{1+ 5}

2

1

Φ

Φ − 1 Φ: 1 = 1: Φ − 1

Φ 1

5 = 2.2360679 …

Φ = 1.6180339 …

𝜋

𝜋 =

直径

= 3.14159265 …

1

𝜋

実数

実数（𝐑）＝直線（数直線）

＋

∞

－

∞

大 小

1 𝜋

1 3

－1 2 0

• 実数全体の集合（𝐑）は直線として表される（数直線）。

• 0 （ゼロ）を真ん中に、−∞ （無限大）を左側に、+∞ を右側にとる。

（右側が大、左側が小）

• すべての実数は数直線上の点として表される。

練習問題） 以下の数を大きい順に並べ替えなさい。

6, ²⁰

3 , 3 + 2 2, 2𝜋,

演算

0

引き算＝負の数の足し算＝数直線を左に移動 2 − 3 = −1

−1 2

−3

足し算＝数直線を右に移動 2 + 3 = 5

数直線上の点（数）は演算（変換）とみなすことができる→可換である 例） 2 + 3 = 3 + 2

5 +3

0 2

演算（続き）

掛け算： 足し算の繰り返し 2 × 3 = 0 + 2 + 2 + 2

負の数 −1 のかけ算： 原点を中心として反転（180度回転）

1 × −1 = −1

−1 × −1 = 1

1

−1

× (−1)

0

× (−1)

0 +2

2 × 3

6

絶対値

0

−1 1

−1 = 1 = 1

1 1

• 原点からの距離を絶対値といい、記号

｜｜で表します。たとえば、 3 = 3,

−5 = 5 など。

• 絶対値が 1 の実数は、1 と −1 です。

練習問題） 以下の数の絶対値を求めなさい。

（１） 6 （２） −4 （３） 0

指数

2

× 2

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2

= 2

2 × 2 × 2 = 2

指数 底

指数法則

× → ＋

• 2 × 2 × 2 のように、2 を 3 回掛け合わせた数を 2³ と表し、2 の 3 乗と読 みます。2³ = 8 です。このように同じ数を何回か掛け合わせた数を累乗

（るいじょう）またはべき乗といい、このとき 2 を底（てい）、その右肩 に乗っている数 3 を指数（しすう）といいます。

• 底が同じ２つの累乗の積は、底が同じ累乗で表され、その指数は２つの指 数の和となります（指数法則）。

練習問題） 指数法則を用いて計算しなさい。

（１） 2³ × 2⁴ （２） 2^{5 2} （３）3² × 3³ × 9²

𝑎

× 𝑎

= 𝑎

𝑎

= 𝑎

定数と変数

• 数（整数、実数など）を𝑥, 𝑦, 𝑎などの文字で表すことがあ ります（代数）。このとき文字は、特定の数を表すこと もあれば（定数）、未定の場合もあります（変数）。

文字

𝑥

実数＝直線 0

座標平面

・2つの直交する数直線（それぞ れ 𝒙軸、𝒚軸とよびます）によっ て平面が形成されます。これを座 標平面、𝑥𝑦平面などとよび、𝐑^𝟐 で表します。𝑥軸と𝑦軸の交点を 原点といい、O(Originの頭文字) と表示します。

・座標平面上の任意の点Ｐは 𝒙座 標と 𝒚座標という2つの座標（実 数）を使って表されます。たとえ ば、𝑥座標が 2 、𝑦座標が 1 の点 𝑃 は 𝑃(2,1) と表されます。

練習問題） 以下の点を座標面上に表しなさい。

（１） (1, 3) （２） (−2, 4)

（３） (−3, −1) （４） (2, −2) 1

原点

𝑦

𝑥

O 2

𝑃(2,1)

原点からの距離

• 座標平面上の点 𝑃(𝑎, 𝑏) の原点 O からの距離 r は

𝐫 = 𝒂^𝟐 + 𝒃^𝟐

として求められます

練習問題）

以下の点の原点からの距離を求めなさい。

(1) (1,2) (2) (2,2) (3) (−1,3) (4) (0, −4)

𝑥 𝑦

𝑃(𝑎, 𝑏)

𝑎 𝑏

𝑟 O

虚数単位

• すべての実数は、２乗すると 0 または正の数になります。

• ２乗すると −1 になる数の１つを 𝒊 または −1 で表します。これを虚数単 位とよびます。（𝒊^𝟐 = −𝟏)

• −𝑖 ² = −1 ²𝑖² = 1 × −1 = −1 より、２乗すると −1 になる数は、𝑖 と

− 𝑖 の2つあります。

• 2乗すると−𝑎になる数(𝑎 > 0)は、± 𝑎𝑖と表されます。（例） ±2𝑖 ² =

±2 ²𝑖² = 4 × −1 = −4 より、２乗すると−4になる数は±2𝑖 。

• 虚数単位 𝑖 は 𝑖² = −1 となる決まりがある以外は、通常の定数を表す文字 のように扱います。

（例）2𝑖 + 3𝑖 = 5𝑖, 3𝑖 × 4𝑖 = 12 𝑖² = −12 練習問題

（１）２乗すると −9 になる数をすべて挙げなさい。

（２）２乗すると −5 になる数をすべて挙げなさい。

虚数と複素数

・２つの実数 𝑥 と 𝑦 を用いて、𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 と表される数 𝑧 を複素数とい います。このとき、𝑥 のことを実部（𝐑𝐞 で表す）、𝑦 のことを虚部（𝐈𝐦 で表す）といいます。

例） 2 + 3𝑖 の実部は 2, 虚部は 3

・実部が同じで虚部の符号だけが異なる２つの複素数を互いに「複素共 役」または「共役複素数」といいます。

例）1 + 2𝑖 と 1 − 2𝑖

・虚部 𝑦 = 0 の場合、𝑧 は実数になります（実数は複素数の特別な場合

です）。また、𝑦 ≠ 0（𝑦 がゼロに等しくない）の場合を虚数といい、特

に 𝑥 = 0 の場合を純虚数といいます。

注）２つの虚数の大小関係は定義できない 例）1 + 2𝑖 と 2 + 𝑖 など。

練習問題

１．次の複素数の実部と虚部を答えなさい

（１） −3 + 4𝑖 （２） 2𝑖 （３） −1 ２．次の複素数の複素共役を答えなさい

（１） 5 + 2𝑖 （２） −3𝑖 （３） 7

複素数平面（ガウス平面）

O Re

2 + 𝑖

2 1

Im ・複素数全体の集合（𝐂）は座標 平面（𝐑²）と同一視できます。つ まり、１つの複素数は１つの平面

（複素数平面またはガウス平面と いう）上の点として表されます。

・ふつう、複素数の実部を横軸

（実軸）に、虚部を縦軸（虚軸）

にとります。

練習問題

次の複素数をガウス平面上に表しなさい。

（１） 4 − 2𝑖 （２） −3 + 𝑖 （３） 5𝑖 （４） −2

複素数の計算

• 複素数の和 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

• 複素数の積 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖

練習問題

以下の計算をしなさい。

(1) 5 + 𝑖 + (4 + 2𝑖) (2) −3 + 2𝑖 − (1 − 3𝑖) (3) 1 + 𝑖 (1 − 𝑖)

(4) (2 + 3𝑖)(−4 − 𝑖)

𝑖² = −1 とおく 例題） 1 + 3𝑖 + 4 − 5𝑖 = 1 + 4 + 3 − 5 𝑖 = 5 − 2𝑖

2 + 𝑖 3 − 2𝑖 = 6 − (−2) + −4 + 3 𝑖 = 8 − 𝑖

複素数の絶対値

• 複素数𝑧の絶対値 𝑧 は原点

からの距離を表します。

• 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 のとき、 𝒛 = 𝒙^𝟐 + 𝒚^𝟐

• 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 の複素共役 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 を用いて、 |𝒛|^𝟐 = 𝒛𝒛 と表すこともできます。

O

Im

𝑧 = 𝑥² + 𝑦²

練習問題

以下の複素数の絶対値を求めなさい。

(1) 1 + 2𝑖 (2) −4 + 3𝑖 (3) 𝑖

(4) −2

弧度法

• 中心角θ, 半径１の扇型を考えたとき、角θを円弧の長さとして表 す方法を弧度法といいます。（単位はラジアン[rad]（無次元量））

• 180°＝ π rad, 1 rad ~ 57°

θ 1 1

以下の表を埋めなさい

度数法 0° 30° 60° 90° 120° 180° 270° 360°

弧度法 0 π

複素数の偏角

• ある複素数を複素数平面上の点Pとして表したとき、原点OからPへ 向かう線分（ベクトルOPという）と、実軸の正の方向とのなす角 を偏角といいます。

• 偏角 𝜃 は一般に 𝜃 + 2𝑛𝜋（𝑛は整数）と表されます（一般角）が、

通常は 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 などの制限をつけて一意に表します。

例） 𝑖 の偏角 𝜃 は ^𝜋

2, 1 + 𝑖 の偏角 𝜃 は ^𝜋

（ただし、 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とする。） 4

練習問題）以下の複素数の偏角 𝜃 を求 めなさい。ただし、 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 とする。

(1) 1 (2) −1 (3) −1 + 3𝑖 (4) 1 − 𝑖

O

Im

𝜃

tan 𝜃= ^𝑦

𝑥

𝑥 + 𝑦𝑖

P

複素数の極形式

• 複素数 𝑧 を実部 𝑥 と虚部 𝑦 とに分けて表す表し方（𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖）を 直交形式といいます。

• 𝑧 を絶対値 𝑟 = |𝑧|と偏角 𝜃 を用いて𝑧 = 𝒓𝒆^𝒊𝜽と表すこともできます。

この表し方を極形式といいます。

• 𝑒 = 2.718281828 ⋯ はネイピア数とよばれる無理数（超越数）です。

Im

1 Re 3

直交形式 𝑧 = 1 + 3𝑖

O

Im

Re

極形式 𝑧 = 2𝑒^𝜋3𝑖

O

𝑟 = 𝑧 = 2

𝜃 = 𝜋

3 (60°)

練習問題

次の複素数を極形式で表しなさい。ただし、0 ≤ 𝜃 < 2𝜋とすること。

(1) 1 + 𝑖 (2) − 3 + 𝑖 (3) −𝑖 (4) −1

オイラーの公式

• 複素数平面上において、原点からの距離が 1 の点の集合は円 となります。

• 極形式と直交形式の関係を示したのが、オイラーの公式 𝑒^𝑖𝜃 = cos𝜃 + 𝑖sin𝜃 です。

Im

𝑒^𝑖𝜃 = cos𝜃 + 𝑖sin𝜃

1 𝑖

−1

−𝑖 O

𝜃 Re

複素数と回転

・ある複素数に 𝑖 をかけ るという演算は、複素数 平面上の 90 度の回転に相 当します。

・たとえば、1 から始め て、順々に 𝑖 を掛けると いう操作を繰り返すと、

1 → 𝑖 → −1 ⟶ −𝑖 ⟶ 1 となり、4 回の操作で元 に戻ることがわかります。

練習問題

複素数 1 + 𝑖 に順々に 𝑖 をかけて、もとの数に戻ることを示しなさい。

また、それぞれの数のガウス平面上の位置を示しなさい。

O

× 𝑖

Re Im

× 𝑖

× 𝑖 × 𝑖

1 𝑖

−1

−𝑖

数の生成

• 円周上の一点に切れ込みを入れ、そこに観察者が入る。

• 観察（視線）の方向が虚軸、円周（接線）方向が実軸となる。

• 実軸と虚軸の等化（回転）→オイラーの公式

http://newton2013.web.fc2.com/

「物質世界とイデア」(MyISBN-デザインエッグ社）

円周上の１カ所を 切る

切った場所に自分

（観察者）を入れる

点（虚数単位）

＋直線（実数）

接線 観察

観察者

練習問題解答

• 実数 ²⁰

3 , 2𝜋, 6, 3 + 2 2

• 絶対値 （１）6 （２）4 （３）0

• 指数（１） 2⁷ （２）2¹⁰ （３）3⁹

• 原点からの距離 （１） 5 （２）2 2 （３） 10 （４）4

• 虚数単位 （１） 3𝑖, −3𝑖 （２） 5𝑖, − 5𝑖

• 虚数と複素数 １（１） 実部 −3, 虚部 4 （２）実部 0, 虚部 2

（３） 実部 −1, 虚部 0

２（１） 5 − 2𝑖 （２） 3𝑖 （３） 7

• 複素数の計算 (1) 9 + 3𝑖 (2) −4 + 5𝑖 (3) 2 (4) −5 − 14𝑖

• 複素数の絶対値(1) 5 (2) 5 (3) 1 (4) 2

• 複素数の偏角(1) 0 (2) 𝜋 (3) ^2𝜋

3 (4) ^7𝜋

4

• 複素数の極形式 (1) 2𝑒

𝜋

4𝑖 (2) 2𝑒

5𝜋

6 𝑖 (3) 𝑒

3𝜋

2 𝑖 (4) 𝑒^𝜋𝑖

• 複素数と回転 1 + 𝑖 → −1 + 𝑖 → −1 − 𝑖 → 1 − 𝑖 → 1 + 𝑖

Re Im

−1 + 3𝑖

120°=²

3𝜋 O

P

H 3

1 2

60° 30°

Re Im

− 3 − 𝑖

210°=⁷

6𝜋 O

P

H 3

1 2

60°

30°