流体力学II 
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流力2! 1!

専門科目(TG010001)
 


流体力学II 


Fluid Mechanics II�

劉　　浩 太田匡則　

　 レイノルズ数による相似性

(Reynolds Number-based Similarity)

n  粘性流体の特徴を表すレイノルズ数：

　Re=慣性力/粘性力

n  レイノルズ数の相似性：

同じReをもつ流体現象は似た性質を有する

n  無次元化された支配方程式：

Re = (ρ^{U2 / L)L3} (µ^{U / L2)L3 =}

ρ^UL µ ⁼

UL

ν ^,ν = µ ρ

∂^u

∂x + ∂^v

∂y = 0

∂u

∂t + ∂u

∂x u + ∂u

∂y v = − ∂p

∂x + 1

Re (∂²u

∂x² + ∂ ²u

∂y² )

∂v

∂t + ∂v

∂x u + ∂v

∂y v = −∂p

∂y + 1

Re (∂ ²v

∂x ² + ∂²v

∂y² )

流力2! 3!

　　 相似性と無次元化

(Similarity and Nondimensionalization)

n  代表的物理量：

　代表長さ＝L　代表速度＝U　代表時間＝T=L/U

n  無次元化：

(u,v,w) = U(u^*,v^*,w^*), (x,y,z) = L(x^*,y^*,z^*), t=t^*L/U

∂u

∂^{t +}

∂u

∂^{x u +}

∂u

∂^{y v = −} 1 ρ

∂p

∂^{x +}ν(∂ ²u

∂^{x 2 +}

∂²u

∂^{y2 )} U

L/U

∂u^*

∂^{t* +}

U²

L (∂u^*

∂^{x* u}

* + ∂u^*

∂^{y* v}

*) = − 1 ρ^L

∂p

∂^{x* +} ν ^U

L² (∂ ²u^*

∂x^*2 + ∂ ²u^*

∂y^*2 )

∂u^*

∂^{t* +}

∂u^*

∂^{x* u}

* + ∂u^*

∂^{y* v}

* = − ∂p^*

∂^{x* +}

1

UL/ ν ⁽

∂ ²u^*

∂x^*2 + ∂ ²u^*

∂y^*2 ) ⇐ p^* = p ρ^U2L

Re = UL ν

境界層方程式

(Boundary Layer Equation)

n  流体支配方程式：�

n  境界層近似：

　＠物体から離れた所 　＠物体近傍�

流力2! 5!

n  境界層近似：�

　＠境界層は薄い、δ/L=小さい�

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　＠境界層を横切る方向の速度成分v〜δ�

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　＠圧力は境界層内(y方向)で一定�

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　＠粘性項のうち、x方向の２回微分は省略できる

　 境界層近似

(Boundary layer Approximation)

δ ^/l ≈ O(0) → x ∝ l, y ∝δ

v/U ≈ O(0) → v ∝δ ⇒ u∝ l,v ∝δ

∂^p

∂^{y ≈ O(0)}

∂^u

∂^{x /}

∂^u

∂^{y ≈ O(0) →}

∂^2u

∂^{x2 ≈ O(0)}

　 境界層方程式の導出

(Formation of Boundary Layer Equation)

n  境界層方程式とその特徴：　有次元化

(u,v,w) = U(u^*,v^*,w^*), (x,y,z) = L(x^*,y^*,z^*), t=t^*L/U

∂^u*

∂^{x* u}

* + ∂^u*

∂^{y* v}

* = − ∂^p*

∂^{x* +} 1

Re (∂^2u*

∂^{y*2 ) →}

∂^u

∂^{x u +}

∂^u

∂^{y v = −} 1 ρ

∂^p

∂^{x +}ν ∂^2u

∂^y2 p + ρ ^U

2

2 = Const ⇒ dp

dx + ρ^{U dU}

dx = 0

∂^u

∂^{x u+}

∂^u

∂^{y v = U}

dU

dx +ν ∂ ^2u

∂^y2

∂^p

∂^{y = 0}

Re = UL ν

x,u = O(l), y,v = O(δ^{), 1}

Re = O(δ²⁾

流力2! 7!

n  平板に沿う境界層１：�

＠境界層内部速度分布の相似�

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　＠座標変換（写像）：�

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　＠ブラジウスの微分方程式：�

�����

＠境界条件：�

境界層の解析例１

u

U ∝ f(y δ)

δ(x)∝ x/ Re_x, Re_x = Ux/ν

x' = x,η = y Re_x / x f (η) = Ψ Re_x /Ux → Ψ :StreamFunction

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u = ∂Ψ

∂y = Udf

dη , v =−∂Ψ

∂x =−∂Ψ

∂x' −∂η

∂x

∂f

∂η = 1 2

U

Re_x (η df

dη − f )

∂u

∂^{x u+}

∂u

∂^{y v = U} dU

dx +ν ∂²u

∂^{y2 ⇒}

d³ f dη^{3 +}

f 2

d ² f

dη^{2 = 0} Non− slip:η = 0 → f = 0, f_η = 0 Outside:η >>1→ f_η = 1

n  平板に沿う境界層２：�

　＠ブラジウスの微分方程式の解� 　　数値積分解は実験値とよく合致� 　　展開近似：�

�

　　壁面摩擦抵抗係数：�

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　＠例題6.3: U=20m/s, x=30cmのとき、境界層と壁面せん断応力

を求めなさい。

境界層の解析例１

f_ηη = 0.332 → τ_w = µ∂u/∂y

τ_w = µ Re_xUf_ηη / x = 0.332ρU² / Re_x C_f = τ_w/(0.5ρU²) = 0.664 / Re_x

Re_x = Ux/ν = 3.9x10⁵

δ = 5.48x / Re_x = 2.63mm,τ_w = 0.332ρU² / Re_x = 248g/ ms² u/U = C₀ + C₁η + C₂η² ⇒ δ = 5.48x / Re_x

流力2! 9!

n  円柱と球のまわりの境界層１：� 　＠円柱まわりの境界層：�

　　平板境界層近似を適用�

���

�

　＠円柱まわりの境界層の微分方程式：曲線座標系� 　　一般座標系における境界層方程式と同型�

境界層の解析例２

Δp/ Δy = ρU² / a

⇒ Δp = ρU²δ /a → 0,Whenδ <<1

∂^u

∂^{x u+}

∂^u

∂^{y v = U}

dU

dx +ν ∂ ^2u

∂^y2

∂^p

∂^{y = 0}

n  円柱と球のまわりの境界層２：� 　＠円柱まわりの境界層方程式の解：� 　　外縁でポテンシャル流れ�

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　　円柱表面で境界層方程式�

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　＠流れの剥離：�

境界層は上流側で薄く、下流側で厚く�

　　角度＝108.8（実験では80）になると、� 　　剥離が発生

境界層の解析例２

U(x) = Usin(x

a) = 2U₀(x

a)− 2U₀ 1 3!(x

a)³ +...

f (η, x

a) = f₁(η, x

a)+ f₃(η, x

a)³ + ...⇒ f_i(i =1,3, 5...) u

U(x) ⇔ y a

Ua

ν ,φ(0 → π)

u = 0,∂u

∂y < 0

流力2! 11!

n  円柱と球のまわりの境界層：� 　＠球まわりの境界層方程式の解：� 　　外縁でポテンシャル流れ�

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　　円柱表面で境界層方程式�

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　�

＠流れの剥離と伴流：�

境界層は上流側で薄く、下流側で厚く�

　 角度＝109.6（実験では84）になると、� 　剥離が発生�

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境界層の解析例３

U(φ) = 3U sin(φ

2) = 6U₀(φ

2)− 6U₀ 1 3!(φ

2)³ + ...

f (η, φ

2) = f₁(η, φ

2)+ f₃(η,φ

2)³ + ...⇒ f_i(i =1,3, 5...) u

U(x) ⇔ y a

Ua

ν ,φ(0 → π)

u = 0,∂u

∂y < 0

n  境界層、剥離、後流：� 　＠ポテンシャル流れでは� 　　エネルギー保存により� 　　前後縁では圧力対称、� 　　剥離無し�

�

　＠粘性があると、摩擦による� 　　エネルギー損失が生じ�

　　後縁付近では逆流が発生� 　�

　　� � �

　＠剥離点：�

境界層に伴う剥離

u = 0,∂u

∂y < 0 p + ρ

2U² = C → µ d²u

dy² = dp dx

流力2! 13!

n  境界層、剥離、後流：�

　＠理想流体では抗力はゼロ：� 　　ダランベールのパラドックス�

�����

　＠解決方法：粘性を考慮する� 　　１）境界層近似解�

　　２）ナビエーストークス方程式の数値解�

境界層に伴う剥離