ベクトル束の分裂、Cohen-Macaulay性、Buchsbaum性

(1)

ベクトル束の分裂、

Cohen-Macaulay

性、

Buchsbaum

性

宮崎誓（熊本大学）

東京可換環論セミナー 2020 Zoom Meeting, 5 月 25 日

(2)

Outline

1 Horrocks 判定法、Auslander-Buchsbaum の定理、Castelnuovo-Mumford 正則量

2 _{Horrocks のオリジナルな証明、Walter, Malaspina-Rao の論文}

3 Cohen-Macaulay から Buchsbaum へ, Chang, Goto の構造定理

4 多重射影空間へ

5 文献

(3)

Horrocks 判定法、Auslander-Buchsbaum の定理、Castelnuovo-Mumford 正則量

Horrocks

判定法

Notation k: 代数閉体 S = k[x ,· · · , xn]: k上の多項式環 m = S+= (x0,· · · , xn) Pn_{= Proj S} Remark Pn_{上のベクトル束}_E_{に対して、} S上の有限生成次数S加群M,depth M≥ 1で、E ∼= ˜M を満たすものをとる。 Definition Pn _{上のベクトル束}_{E = ˜}_M_が Hi_∗(Pn,E) = ⊕ℓ_∈ZHi(Pn,E(ℓ)) = Him(M) = 0, 1≤ i ≤ n − 1

(4)

Horrocks

判定法、

Auslander-Buchsbaum

の定理

Theorem (Horrocks 1964) Pn _{上のベクトル束} _E _が ACM 束であれば、E は直線束の直和に同型になる。つまり、 E ∼=⊕OPn(ℓ_i)となる。 Remark Horrocksの定理にはいくつかの証明法がある。 Horrocksのオリジナルな証明次元に関する帰納法(cf. Okonek-Schneider-Spindlerの本) Castelnuovo-Mumford regularityを用いた証明 Auslander-Buchsbaumの定理(cf. Matsumuraの本) Theorem (Auslander-Buchsbaum 1958)

ネーター局所環(R, m, k上の有限生成加群Mがproj dim M <∞であれば、depth M + proj dim M = depth R が成り立つ。

(5)

Horrocks

判定法、

Auslander-Buchsbaum

の定理

Sketch of Proof h = proj dim Mについての帰納法で示す。 h = 0のときは、M が自由加群であり、自明。 h = 1 のときは、極小自由分解0 → Aℓ → Am → M → 0 を用いると、完全列 0→ ExtiA(k, A)ℓ→ ExtiA(k, M)→ Exti +1A (k, A)

ℓ_{→ 0}_を得る。

ゆえに、depth M = depth A− 1となる。

h≥ 2のとき、完全列0→ N → Am_{→ M → 0}_{を取ると、}_{depth N = h}_{− 1}_である。

また、完全列Exti

A(k, A)m → ExtiA(k, M)→ Exti +1A (k, N)→ Ext i +1 A (k, A)

m _{によって、}

depth M = depth N− 1を得る。

Remark (Auslander-BuchsbaumからHorrocksへ)

S 上の有限生成加群 M は Hilbertのシジジー定理よりproj dim M < ∞となるので、

(6)

Horrocks

判定法の良く知られている証明

Sketch of Proof (Okonek-Schneider-Spindlerの証明)

Pn _上の ACMベクトル束E に対してnについての帰納法で示す。 n = 1のときは、Grothendieckの定理。 n≥ 2のときは、超平面H⊂ Pn_{に対して、}_E|H∼ =⊕OH(ℓi)となる。 F = ⊕OPn(ℓ_i)とおく。 ACMの仮定より、完全列

H0(F∨⊗ E) = Hom(F, E) → H0(F∨⊗ E|H) = Hom(F|H,E|H)→ H1(F∨⊗ E(−1)) = 0 が得られるので、写像Φ :F → E を得る。

ところで、detΦ : detF → detE は零点を持たないので、同型となる。

(7)

Castelnuovo-Mumford

正則量

Definition (Mumford) Pn _{上の連接層}_F _が m-regularであるとは、Hi(Pn,F(m − i)) = 0,i ≥ 1のときに言う。 Proposition F がm-regularのとき、次が成り立つ。 (1) Hi(Pn,F(j)) = 0,i≥ 1,i + j≥ m (2) F(m)が大域生成である。すなわち、全射O⊕ Pn→ F が存在する。 Definition

(8)

Horrocks

判定法と

Castelnuovo-Mumford

正則量

Proof (Castelnuovo-Mumford正則量を用いた証明)

Pn _上の_ACM_束_E _{に対して、}_reg_{E = m}_とおく。 E(m)は大域生成なのでφ :O⊕_Pn → E(m)を得る。

E は(m− 1)-regularでなく、ACM束なので、Hn(E(m − n − 1)) ̸= 0となる。

Serreの双対性を用いると、H0₍_E∨₍_{−m)) ̸= 0}_{であり、非零射}_{ψ :}_{E(m) → OP}_n _を得る。

すると、合成写像ψ◦ φは零写像ではないので、分裂する。

したがって、_E は_OPn(−m)を直和因子に持つ。この操作を繰り返す。

(9)

Horrocks のオリジナルな証明、Walter, Malaspina-Rao の論文

Horrocks

の証明

— Walter, Malaspina-Rao

Sketch of Proof (Walter, Malaspina-Rao)

Pn

= Proj S = Proj k[x0,· · · , xn]上のベクトル束E に対して、E = Γ∗E とおく。

S∨-加群E∨ を考える。次数付けは負の方向であるが、E∨ は有限生成であり、射影次元有限である。 E∨∨∨= E∨ であるから、depth E∨ ≥ 2となる。Auslander-Buchsbaumの定理より、完全列 0→ Pn−1∨→ · · · → P0∨→ E∨→ 0 がとれる。ここで、Pi∨_{は次数自由}_S_{加群の双対である。} 双対をとると次数付きS加群の複体 0→ E → P0→ · · · → Pn−1→ 0 が得られる。したがって、_Pn_{上の層としての次の完全列を得る。} 0→ E → P0→ · · · → Pn−1→ 0

(10)

Horrocks

の証明

— Walter, Malaspina-Rao

複体P•: 0→ P0_{→ · · · P}n−1_{→ 0}_対して、_Hi ∗(E) ∼= Hi(P•),1≤ i ≤ n − 1となる。正確に言うと、次が成り立つ。 τ<nRΓ∗E ∼= P• ところで、0→ E → P0_{→ · · · → P}n−1 _{→ 0}_{は極小にとることができ、}_E _{の極小自由分} 解を0→ P−n→ · · · → P−1→ E → 0とすると、これらをつないで複体 P•: 0→ P−n→ · · · → P0→ · · · → Pn−1→ 0 が得られる。このとき、Hi_(P•₎_{は長さ有限の}_S_{加群であり、特に}_Hi_(P•_{) = 0}_,_i _{̸∈ {1, · · · , n − 1}}_である。ただし、ここで得られたP•は極小とは限らないので、若干の注意が必要である。（極小の複体をつないでも極小とは限らない。）これまでの議論をまとめると、Pn _{上のベクトル束}_E _{に対して、次数付き} S加群の有界な複体のなす導来圏D♭(S−Mod)“the derived category of bounded complexes of graded freeS-modules”の対象τ>0τ<nRΓ_∗(E)への対応が定まることになる。

(11)

Horrocks

の証明

— Walter, Malaspina-Rao

さらに、P•から、自由加群_{· · · → · · · → 0 → L}−1_{→ 0 → · · ·} を取り出して、極小な複体Pmin• をつくると、次が成り立つ。 τ>0τ<nRΓ∗(E) ∼= Pmin• Notation Pn _{上のベクトル束の安定同値} “stable equivalence”なカテゴリーをVBとおく。ここで、 Pn_{上のベクトル束}_E ,Fに対して、ある直線束の直和_L,Mがあり、_{E ⊕ L ∼}=F ⊕ Mを満たすとき、安定同値という。また、C• ∈ Ob(D♭(S−Mod))がHi(C•) がすべてS 上有限加群であり、Hi(C•) = 0, 0 < i < nとなる充満部分圏をFinLと書くことにする。

(12)

Horrocks

の証明

— Walter, Malaspina-Rao

Theorem (Horrocks, Walter, Malaspina-Rao)

関手τ>0τ<nRΓ_∗:VB → FinLはカテゴリーの同値を与える。逆関手はSyz : FinL→ VB となる。 Proof (Horrocksの定理の証明) Pn _{上のベクトル束} _E _{の中間次元のコホモロジーが消滅することは、}_τ>0τ<n_RΓ ∗(E) = 0 ということであるので、カテゴリーの同値から、E が直線束の直和であることが言える。 Remark

Malaspina-Rao(ANT, 2015)はこの手法をACM多様体上のACM束の構造定理に応用し

ている。

(Cohen-Macaulay環上のCohen-Macaulay加群）

(13)

Cohen-Macaulay から Buchsbaum へ, Chang, Goto の構造定理

Buchsbaum

性

Definition and Proposition

多項式環S = k[x0,· · · , xn]上の次数加群MがBuchsbaum加群であるとは次の同値条件が成り立つときにいう。m = (x0,· · · , xn),dim M = d とする。 (i) 任意の同次巴系y1,· · · , yd,巴系イデアルq = (x1,· · · , xd)に対して、 ℓ(M/qM)− e(q; M)が巴系の取り方によらない。 (ii) 任意の同次巴系y1,· · · , yd,0≤ i ≤ d に対して、 mHjm(M/(y1,· · · , yi)M) = 0, 0≤ j ≤ d − i − 1が成り立つ。 (iii) τ<dRΓm(M)はD♭(S−Mod)において、k-線形空間の複体と同型になる。 Definition Pn _{上のベクトル束}_E _が任意の_r_平面_L(_{⊆ P}n₎_,_{r = 1,}_{· · · , n}_に対して (x0, . . . , xn)Hi_∗(Pn,E|L) = 0, 1≤ i ≤ r − 1 を満たすとき、Buchsbaum束という。

(14)

Chang-Goto

の定理

Theorem (Chang(1990), Goto(1987))

Pn_{上のベクトル束}_E _が

Buchsbuam束であれば、E は微分形式の層の直和に同型になる。

つまり、_{E ∼}=⊕Ωki

Pn(ℓi)となる。

Sketch of Proof (Yoshino)

Pn_{= Proj S}_{上のベクトル束}_E_が_Buchsbaum_{であれば、}_τ>0τ<n_RΓ ∗(E)(∼= τ<n+1RΓm(M)) はk線形空間の複体になる。ここで、M = Γ∗(E)を次数S加群とする。 ∧p_Ω Pnは中間次元のコホモロジーはHp(∧pΩ_Pn) ∼_{= k} のみであるから、τ>0τ<nRΓ_∗(∧pΩ_Pn) はk線形空間の複体となる。カテゴリーの同値から、_Eが直線束の直和因子を除いて、_∧p ΩPn(ℓ)の直和に同型であることがわかる。 Question P3_上の Null-Correlation束や_P4_上の Horrocks-Mumford束の判定法はあるか。

(rank = 2, quasi-Buchsbaum, not Buchsbaum)

(15)

Malaspina-Miyazaki

の方法

Proposition

Pn_{上のベクトル束}_E _が_Hp₍_{E) ̸= 0}_,₁_{≤ p ≤ n − 1}_{を満たすとする。次の条件が成り立て}

ば、E はΩp_Pn を直和因子として持つ。 (a) Hi₍_{E(p − i + 1)) = 0}_for₁_{≤ i ≤ p}_.

(b) Hi(E(p − i − 1)) = 0forp≤ i ≤ n − 1, Proof (a)を用いると、Koszul複体 0→ OPn→ O⊕_Pn(1)→ · · · → O⊕_Pn(p)→ Ωp_P∨n → 0, より、全射φ : H0(E ⊗ Ωp_P∨n)→ Hp(E)が得られる。 (b)を用いると、Koszul複体 0→ OPn(−n − 1) → O_P⊕n(−n) → · · · → O⊕_Pn(−p − 1) → Ωp_Pn→ 0, より、全射ψ : H0₍_E∨_{⊗ Ω}p Pn)→ Hp(E∨(−n − 1))が得られる。.

(16)

Malaspina-Miyazaki

の方法

Proof 次の元をとる。 ∃_f _{∈ H}0 (E ⊗ Ωp∨_Pn)such thatφ(f ) = s(̸= 0) ∈ Hp(E). ∃_s∗_{∈ H}n−p₍_E∨₍_{−n − 1))}_{corresponding to}_s_{∈ H}m₍_E)_. ∃_g_{∈ H}0 (E∨⊗ Ωp_Pn)such thatψ(g ) = s∗(̸= 0) ∈ Hn−p(E∨(−n − 1)).

ここでoff ∈ Hom(Ωp_Pn,E)andg∈ Hom(E, Ωp_Pn)とみなし、次の可換図式を考える。

f ⊗ g ∈ H0(E ⊗ Ω_Pp∨n)⊗ H0(E∨⊗ Ω p Pn) → H0(OPn) ↓ ↓ s⊗ s∗ ∈ Hp₍_{E) ⊗ H}n−p₍_E∨₍_{−n − 1))} _{→ H}n₍_OP n(−n − 1)), すると、自然な写像H0(E ⊗ Ωp_P∨n)⊗ H 0 (E∨⊗ Ωp_Pn)→ H 0 (OPn)は同型g◦ f を与える。したがって、E.はΩp_Pn を直和因子として持つ。東京可換環論セミナー 2020 Zoom Meeting, 5 月 25 日 16

(17)

Chang-Goto

の構造定理のシジジーの手法による別証明

Sketch of Proof 多項式環S = k[x0,· · · , xn]上の次数加群E = Γ∗(E)はdim E = n + 1,depth E ≥ 2である。ここで、Koszul複体K_•= K_•((x0,· · · , xn); S )と次数加群Eの極小入射分解I•をとる。 2重複体C•• = HomR(K•, I•)からフィルター付けを考え、スペクトル系列 {Ep,qr }を構成する。このとき、次のスペクトル系列が得られる。 Ep,q₁ = Hp((x0,· · · , xn); H∗q(E)) ⇒ Hp+q= Hp+q((x0,· · · , xn); E ) Buchsbaum環の理論より、自然な写像 Hq= Hq((y0,· · · , yd); E )→ E0,q1 = H q m(E ), 0≤ q ≤ n は全射である。さらに、drp,q: Ep,qr → Erp+r ,q−r+1はq≤ n,r ≥ 1のとき零写像となる。

(18)

Chang-Goto

の構造定理のシジジーの手法による別証明

Sketch of Proof Malaspina-Miyazakiの方法を念頭におきながら、上記のスペクトル系列の類似をつくる。 0→ E → E⊕(1)→ · · · → E⊕(p)→ E ⊗ Ωp_P∨n → 0 は完全列である。そこで、M•= (K•)≤p: 0→ S → S(1)⊕→ · · · S(p)⊕→ 0 およびE の極小入射分解I•に対して、2重複体C••= M•⊗ I•を取る。フィルター付けからスペクトル系列{Ep,q r }を構成すると次のようになる。 Ep,q1 = H q ∗(E), Hp+q= H0(E ⊗ ΩpPn∨) ここで、drp,q: Ep,qr → Erp+r ,q−r+1はq≤ n,r≥ 1のとき零写像となるから、全射 (i) φ : H0₍_{E ⊗ Ω}p∨ Pn)→ Hp(E) (ii) ψ : H0(E∨⊗ Ωp_Pn)→ Hn−p(E∨(−n − 1)) を得る。 Malaspina-Miyazakiの方法に従ってChang-Gotoの定理は証明される。東京可換環論セミナー 2020 Zoom Meeting, 5 月 25 日 18

(19)

多重射影空間へ

多重射影空間上の

Castelnuovo-Mumford regularity

Definition X =Pm_{× P}n _{上の連接層}_F _{が次を満たすとき、}_F _が _{0-regular であると言う。} Hi(X ,F(j1, j2)) = 0, i≥ 1, j1+ j2=−i, −m ≤ j1≤ 0, −n ≤ j2≤ 0 F が(m1, m2)-regular とはF(m1, m2)が 0-regular のときにいう。 Proposition X =Pm_{× P}n _{上の連接層}_F _が_{0-regular であるとする。} (1) Pm _{の一般の位置にある超平面}_H_{⊂ P}m _{に対して、}_F| H×Pn は H× Pn_(∼₌_Pm−1_{× P}n₎_において_{0-regular である。} (2) 任意のm1≥ 0,m2≥ 0に対してF(m1, m2)は0-regular である。 (3) Fは大域生成である。

(20)

多重射影空間上の

Castelnuovo-Mumford regularity

Remark X =Pm_{× P}n _{上のベクトル束}_E_で任意の_(ℓ 1, ℓ2)∈ Z × Zに対して、Hi(X ,E ⊗ OX(ℓ1, ℓ2)) = 0,1≤ i ≤ m + n − 1を満たすものは存在しない。 Proof

E(t, t)が 0-regular となる最小のt をとり、_{F = E(t, t)}とおく。

条件を満たすとすれば、Hm+n_{(X ,}_{F(−m − 1, −n − 1)) ̸= 0}_{となり、Serre 双対性} を用いると、H0₍_F∨₎_{̸= 0}_{となり、零でない写像}_{φ :}_{F → O} X が得られる。一方、_Fは大域生成であるから、全射ψ :O⊕→ F を得る。 φ◦ψは零でない写像であるので、_OX はF の直和因子になることがわかる。ところが、Hm_{(X ,}_O X(−m − 1, 0)) ̸= 0であるから、E の仮定に矛盾することになる。東京可換環論セミナー 2020 Zoom Meeting, 5 月 25 日 20

(21)

多重射影空間でのベクトル束の分裂判定法

Theorem X = Pm _{× P}n _{上のベクトル束} _E _{について、任意の} _ℓ 1, ℓ2 ∈ Z に対して、 Hi_{(X ,}_E(ℓ1_{, ℓ} 2)) = 0, i̸= 0, m, n, m + nが成立しているとする。ある整数 c∈ Z, 0≤ c ≤ |m − n|が存在して、任意の整数ℓ1, ℓ2∈ Zに対して、次が成り立つとする。 (1) ℓ2≤ ℓ1+ c のときHm(X ,E(ℓ1, ℓ2)) = 0 (2) ℓ2≥ ℓ1− |m − n| + c のときHn_{(X ,}_{E(ℓ1, ℓ2}_{)) = 0} すると、_E は _O_X, OX(−1, 0), · · · , OX(−m, 0), OX(0,−1), · · · , OX(0,−n) を OX(t, t)で捩ったベクトル束の直和になる。 Remark m = n = 1の場合は、P3の２次超曲面Q(∼=P1×P1)の ACM 束がOQ,OQ(−1, 0), OQ(0,−1)の捩れの直和に同型になる、ということである。一般の２次超曲面の場合は Kn¨orrer の結果により、構造層もしくはスピノル束の捩れの直和に同型になることがわかる。

(22)

多重射影空間でのベクトル束の分裂判定法

Sketch of Proof

任意の(ℓ1, ℓ2) ∈ Z × Z, −m ≤ ℓ1 ≤ 0, −n ≤ ℓ2 ≤ 0と任意のt ∈ Z に対して、 Hm(X ,E(ℓ1+ t, ℓ2+ t)) = Hn(X ,E(ℓ1+ t, ℓ2+ t)) = 0とする。

この場合は、_{E(t, t)}が0-regularとなる最小のtを取りHm+n_{(X ,}_{E(−m−1+t, −n−1+t)) ̸=}

0とすると、これまでと同じ議論により、OX がE(t, t)の直和因子になる。上記の範囲でHm(X ,E((j1, j2))̸= 0またはHn(X ,E((j1, j2))̸= 0 となる(j1, j2)が存在する場合を考えればよい。 Hm(X ,E((j1, j2))̸= 0でℓ2− ℓ1< j2− j1 を満たすℓ1,ℓ2に対してHm(X ,E((ℓ1, ℓ2)) = 0 を満たす(j1, j2)∈ Z × Zを取る。ここで、F = E(j1, j2)とおく。j2− j1≥ c + 1に注意する。 Hm(F(1, 0)) = Hm−1(F(2, 0)) = · · · = H1(F(n, 0)) = 0となる。ここで、注意するのが、 n < mのとき、Hn(F(m − n + 1, 0) = 0となることである。実際、j2− j1− (m − n + 1) ≥ c + 1 − |m − n| − 1 = c − |m − n|の範囲では、Hn(E(j1+ m− n + 1, j2)) = 0である。東京可換環論セミナー 2020 Zoom Meeting, 5 月 25 日 22

(23)

多重射影空間でのベクトル束の分裂判定法

Sketch of Proof Koszul複体からできる完全列 0→ F → F(1, 0)⊕→ · · · → F(m, 0)⊕→ F(m + 1, 0) → 0 を用いると、全射φ : H0₍_{F(m + 1, 0)) → H}m₍_F)_を得る。また、全射ψ : H0(F∨(−m − 1, 0)) → Hn(F∨(−m − 1, −n − 1))を得る。これまでの議論と同様に、 f ∈ Hom(OX(−m − 1, 0), F) ∼= H0(F(m + 1, 0)), g∈ Hom(F, OX(−m − 1, 0)) ∼= H0(F∨(−n − 1, 0)) に可換図式を用いると H0₍_{F(m + 1, 0)) ⊗ H}0₍_F∨₍_{−m − 1, 0)) →} _H0₍_OX₎ ↓ ↓ Hm(F) ⊗ Hn(F∨(−m − 1, −n − 1)) → Hm+n(OX(−m − 1, −n − 1)), を用いると、g◦ f は同型になり、写像f により、OX(−m − 1, 0)はFの直和因子となる。

(24)

多重射影空間でのベクトル束の分裂判定法

Sketch of Proof したがって、_E は_OX(−j1− m − 1, −j2)を直和因子として持つ。 1≤ j2− j1≤ mであるので−j2− (−j1− m − 1) = 1, · · · , mを取りうる。ゆえにE はOX(−1 + t, t), · · · , OX(−m + t, t)型の直線束を直和因子として取る。 Theorem (Malaspina-Miyazaki) Pm_{× P}n_{上のベクトル束}_E _が整数₁_{≤ p ≤ m − 1}_,₁_{≤ q ≤ n − 1}_に対して_Hp+q₍_{E) ̸= 0} を満たすとする。さらに、次の条件を満たせば. E はΩp_Pm⊠ Ω q Pn を直和因子として持つ。 (a) Hi(E(a, b)) = 0for1≤ i ≤ p + q,0≤ a ≤ p,0≤ b ≤ qwithi + a + b = p + q + 1. (b) Hi₍_{E(a, b)) = 0} _for_{p + q}_{≤ i ≤ m + n − 1}_,_p_{− m ≤ a ≤ 0}_,_q_{− n ≤ b ≤ 0}_with

i + a + b = p + q− 1,

Question

X =Pm× Pn上のベクトル束_E がΩp_Pm(s)⊠ Ωq_Pn(t)の直和に同型になるための必要十分

条件は何か。

(25)

多重射影空間におけるいくつかの結果

Proposition

P2_{× P}2_{上の既約なベクトル束}_E _{が次の条件を満たすとする。} (1) H2₍_{E) ̸= 0}

(2) H1(E(1, 1)) = H2(E(0, 1)) = H2(E(1, 0)) = H2(E(−1, 0)) = H1(E(0, −1)) = H3(E(−1, −1)) = 0 このとき、_{E ∼}= Ω_P2⊠ Ω_P2 となる。 Proposition P2_{× P}2_{上のベクトル束}_{E = Ω} P2⊠ Ω_P2(ℓ)に対して、次が成り立つ。 (1) E が ACM 束である。⇔ ℓ = 1, −1 (2) E が Buchsbaum 束である。⇔ −3 ≤ ℓ ≤ 3 (3) E が quasi-Buchsbaum 束である。⇔ −4 ≤ ℓ ≤ 4

(26)

文献

References

宮崎誓, On Horrocks-type Criteria for Vector Bundles, 研究集会「射影多様体の幾何とその周辺」, 高知大学 (2019 年 11 月）

M. Auslander and D. Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann. Math. 68(1958), 625–657.

E. Ballico and F. Malaspina, Regularity and cohomological splitting conditions for vector bundles on multiprojective spaces, J. Algebra 345 (2011), 137 – 149.

M. C. Chang, Characterization of arithmetically Buchsbaum subschemes of codimension 2 inPn_{, J. Diﬀerential Geom. 31 (1990), 323–341.}

L. Costa and R. M. Mir´o-Roig, Cohomological characterization of vector bundles on multiprojective spaces, J. Algebra 294 (2005), 73–96.

S. Goto, Maximal Buchsbaum modules over regular local rings and a structure theorem for generalized Cohen-Macaulay modules, ASPM 11(1987), 39–64. G. Horrocks, Vector bundles on the punctual spectrum of a ring,

Proc. London Math. Soc. 14 (1964), 689 – 713.

H. Kn¨orrer, Cohen-Macaulay modules on hypersurface singularities I, Invent. Math. 88(1987), 153 – 164.

(27)

文献

References

F. Malaspina and C. Miyazaki, Cohomological property of vector bundles on biprojective spaces, Ric. mat. 67(2018), 963–968.

F. Malaspina and A. P. Rao, Horrocks correspondence on arithmetically Cohen-Macaulay varieties, Algebra Number Theory 9(2015), 981–1003. C. Miyazaki, Graded Buchsbaum algebras and Segre products, Tokyo J. Math. 12(1989), 1–20.

C. Miyazaki, A cohomological criterion for splitting of vector bundles on multiprojective space, Proc. Amer. Math. Soc. 143 (2015), 1435–1440. C. Miyazaki, Buchsbaum criterion of Segre products of vector bundles on multiprojective space, J. Algebra 467 (2016), 47–57.

C. Okonek, M. Schneider and H. Spindler, Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Math. 3 Birkh¨auser, 1980.

C. H. Walter, Pfaﬃan subschemes, J. Algebraic Geom. 5(1996), 671–704. Y. Yoshino, Maximal Buchsbaum modules of finite projective dimension, J. Algebra 159(1993), 240–264.