博 士 （ 工 学 ） 川 崎 文 也
学 位 論 文 題 名
複雑ネットワークのフラクタル性と構造的及び 動的クロスオーノヾー
学位論文内容の要旨
近年、数学、物理学、化学、生物学、経済学、社会学、コンピュータ科学をど様々を学問分野にお いて急速に関心が高まっているトピックスのーつにネットワーク科学がある。インターネット、道 路や航空路線等の交通網、脳内のニューロンのっをがりをど、身の回りにはネットワークが遍在し ている。ネットワークという概念の一般性ゆえ、複雑ネットワークの普遍的性質の解明は自然界や 社会における複雑さの中に潜む統一的な法則性を理解する手掛かりを与える。最近のコンピュータ 技術の急速を発展によって、大規模顔ネットワークの数値解析が可能とをり、実在するネットワー クが有する様々を統計的性質が解明されるようになっている。その結果、多くの複雑ネットワーク がスモールワールド性、スケールフリー性、およびフラクタル性と呼ばれる共通する性質を有する ことが明らかにをった。特に、数学的に相入れをいと考えられるフラクタル性とスモールワールド 性に 関して 、2005年にSong等は、複雑ネットワークのフラクタル性の定義を変更することによっ て、スモールワールド性を有するスケールフリーをネットワークがフラクタル構造を取り得ること を明らかにした。この研究を契機に、複雑ネットワークのフラクタル性に測する研究が非常に活発 化し、現在に至っている。しかしをがら、フラクタル系にはその定義から特徴的長さが存在しない のに対して、スモールワールド性を示す系には系を特徴付けるスケールが必ず存在する。この観点 から考えると、同一のネットワークにおいて特徴的を長さを有する性質と有しをい性質が同時に見 いだされると考えることは極めて不自然である。そのため、スモールワールド性とフラクタル性が 実際にどのように共存するのか、両者の関係を明らかにするためのより詳細で系統的な研究が必要 になる。しかし、現在に至るまでそのようを研究は行われていをい。
本論文は、現実のネットワークや複雑ネットワークの数理モデルの構造を系統的に調ベ、スモー ルワールド性とフラクタル性の関係を明らかにすることを目的としている。研究の結果、スモール ワールド性とフラクタル性が同一スケールで共存することはをい事が明らかとなった。また、現実 のネ ットワ ークの計測において両者が共存しているように見えるのは、スケールの違いにより構 造的クロスオーバーが現れることに起因していることを解明した。さらに、そのクロスオーバーが ネットワーク上のダイナミクスにどのようを影響を与えるかを解明し、今後の複雑ネットワーク研 究に 対する 指針を与 えてい る。本 論文は 全8章で 構成さ れ、各 章の概 要は以 下の通りである。
第1章は緒諭であり、複雑ネットワークにおける構造的性質に関する研究の背景と問題点を概説 す る 。特 に 、 ネ ット ワ ー ク の研 究 の 流 を概 説 し た 上で 、 本 論 文の目 的につ いて説 明する 。 第2章では、複雑ネットワークを特徴付ける様々を量についての説明を行う。ネットワークの種 類や数学的記述方法、さらには次数やクラスター性、ノード間距離といった特徴量が説明される。
ま た 、ネ ッ ト ワーク ・モデ ルの基 本とな るラン ダム・グ ラフの 定義と 性質に ついて 論ずる 。 第3章 では、本論文で扱う3つの複雑ネットワークの基本性質のうち、スモールワールド性とス ケールフリー性について説明する。それらの性質を持っネットワーク・モデルを紹介し、これらの ‑ 530―
性 質 が ど の よう な メ カ ニ ズム に よ っ て 生じ る の か に つい て 説 明 す る 。
第4章で は 、 ユ ー クリ ッ ド 系 で のフ ラ ク タ ル 性 につ い て 説 明 した の ち 、 ク ラス タ ー成 長法 とポッ ク ス ・ カ バ ー リ ン グ 法に 基 づ く 複 雑ネ ッ ト ワ ー クの フ ラ ク タ ル 性に つ い て 説 明を 行 う 。 ま た、 ス ケ ー ル フ リ ー性 を 有 す る フラ ク タ ル ・ ネッ ト ワ ー ク の数 理 モ デルを いく っか紹 介し、 具体的 をフ ラ ク タ ル 解 析 のア ル ゴ リ ズ ムに 関 し て 解 説す る 。 本 章 の最 後 に 、現実 のネ ットワ ークに おいて スモ ー ル ワ ー ル ド 性と フ ラ ク タ ル性 が 共 存 し てい る よ う に 見え る 観 測事実 につ いて言 及し、 計測方 法の 違 い に よ っ て こ の 事 実 を 説 明 す る こ と の 問 題 点 を 指 摘 し た 上 で 、 再 度 本 研 究 の 目 的 を 述 べ る 。 第5章で は 、 幾 っ かの 現 実 の ネ ット ワ ー ク と ネ ット ワ ー ク ・ モデ ル に 対 し 、ク ラ スタ ー成 長法と ボ ッ ク ス ・ カバ ー リ ン グ 法に 基 づ く 系 統的 を フ ラ ク タル 解 析 を行う 。そ の結果 、スケ ールフ リー 性 を 有 す る ネ ット ワ ー ク で あっ て も 、 一 方の 定 義 で フ ラク タ ル （スモ ール ワール ド）を ネット ワー ク は 、 も う 一 方の 定 義でも フラク タル（ スモ ールワ ールド ）であ ること が判 明した 。この ことか ら、 い か な る 意 味 にお い て も フ ラク タ ル 性 と スモ ー ル ワ ー ルド 性 は 同一ス ケー ルにお いて共 存しを いこ と が 明 ら か と をっ た 。
第6牽 で は 、 第5章 で 明 ら かと な っ た 知 兇と ス モ ー ル ワ ール ド 性 と フ ラク タ ル 性 の 共存 を 示 唆 す る 観 測 事 実 の矛 盾 を 解 消 する た め 、 二 つの 構 造 的 特 徴（ ス モ ールワ ール ド性と フラク タル性 ）が ス ケ ー ル の 違 いに よ っ て ク ロス オ ー バ ー する 描 像 を 提 唱し た 。 この考 え方 をより 明確に するた めに 、 パ ー コ レ ー ショ ン 転 移 点 近傍 の ネ ッ ト ワー ク 構 造 を 詳細 に 調 べた。 その 結果、 相関長 という 系を 特 徴 づ け る 唯 一の 長 さ よ り 短い ス ケ ー ル にお い て 系 は フラ ク タ ル性を 示し 、相関 長より も長い スケ ー ル で は ス モ ール ワ ー ル ド 性を 示 す こ と が明 ら か と な った 。 ま た、ス ケー ルの違 いによ るこの よう な 構 造 的 ク ロ スオ ー バーは 、フラ クタル 性の 定義に 依存せ ず観測 される こと が4l亅明 した。 さら に、こ の 構 造 的 ク ロス オ ー バ ー の振 る 舞 い は 、相 関 長 を 唯 一の 特 徴 的長さ とす るスケ ーリン グ理論 によ り 説 明 で き る こと も 明 ら か とを っ た 。
第7章で は 、 ネ ッ トワ ー ク の 構 造的 ク ロ ス オ ー バー が 、 系 の ダイ ナ ミ ク ス にど の よう を影 響を与 え る か に つ いて 考 察 し た 。具 体 的 に は 、パ ー コ レ ー ショ ン 転 移点近 傍に おける ネット ワーク 上の 拡 散 現 象 の 自 己回 帰 確 率 を マス タ 一 方 程 式を 数 値 的 に 解く こ と で求め 、そ の振舞 いを解 析した 。計 算 さ れ た 自 己 回帰 確 率 の 時 間依 存 性 か ら 、拡 散 に は 特 徴的 時 間 が存在 し、 異常拡 散から 引き延 ばさ れ た 指 数 関 数 型の 拡 散 へ と クロ ス オ ー ′ くー す る こ と が明 ら か にをっ た。 このよ うを動 的クロ スオ ー バ ー は 、 フ ラク タ ル 性 か らス モ ー ル ワ ール ド 性 へ の 構造 的 ク ロスオ ーバ ーに対 応する もので あり 、 ク ロ ス オ ー バー の 様 子 は 相関 長 の 範 鬪 まで 拡 散 が 広 がる 時 間 を唯一 の特 徴的時 間とす るスケ ーリ ン グ 理 論 に よ って 説 明 さ れ るこ と が 明 ら かに を っ た 。 また 、 通 常のフ ラク タル系 の異常 拡散を 特徴 づ け る ス ケ ー リン グ 関 係 式 が、 ス ケ ー ル フリ ー 性 を 有 する フ ラ クタル ・ネ ットワ ←クに おいて も成 立 す る こ と を 、解 析 的 お よ び数 値 的 に 明 らか に し た 。
第8章は 結 論 で あ る。 複 雑 ネ ッ トワ ー ク の フ ラ クタ ル 性 と ス モ了 ル ワ ー ル ド性 の 関係 、フ ラクタ ル 構 造 か ら スモ ー ル ワ ー ルド 構 造 へ の 構造 的 ク ロ ス オー バ ー 、およ び拡 散現象 におけ る動的 なク ロ ス オ ー ′ く ーに 関 して本 研究か ら得ら れた 知見を まとめ る。ま た、本 研究 で得ら れた結 論が複 雑系 一 般 の 理 解 に どの よ う 誼 意 味を 持 つ こ と にを る か に つ いて も 言 及 す る 。
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学位論文審査の要旨 主査 副査
副査 副査
教授 教授 教授 准教授
矢久保考 丹田 郷 原 一 根 本 幸
学 位 論 文 題 名
介 聡 寿
児 （ 理 学 研 究 院 物 理学 部 門 ）
複雑ネットワークのフラクタル性と構造的及び 動的クロスオーノヾー
近 年 、 数 学、 物 理 学 、 化 学、 生 物 学 、 経済 学 、 社 会 学、 コ ン ピ ュ ータ 科 学 を ど様々 を学問 分野に お いて 急 速 に 関 心が 高 ま っ て いる ト ピ ッ ク スの ー つ に ネ ッ トワ ー ク 科 学 があ る 。ネ ットワ ークと い う 概念 の 一 般 性 ゆえ 、 複 雑 ネ ット ワ ー ク の 普遍 的 性 質 の 解 明は 自 然 界 や 社会 に おけ る複雑 さの中 に 潜 む統 一 的 な 法 則性 を 理 解 す る手 掛 か り を 与え る 。 複 雑 ネ ット ワ ー ク に 対す る 最近 の精力 的を研 究 の 結果 、 多 く の 複雑 ネ ッ ト ワ ーク が ス モ ー ルワ ー ル ド 性 、 スケ ― ル フ リ ー性 、 およ びフラ クタル 性 と 呼ば れ る 共 通 する 性 質 を 有 する こ と が 明 らか に な っ た 。 特に 、 数 学 的 に相 入 れな いと考 えられ る フ ラ ク タ ル 性 と ス モ ー ル ワ ー ル ド 性 に関 し て 、2005年 にSong等 は 、複 雑 ネ ッ ト ワー ク の フ ラ ク タ ル 性の 定 義 を 変 更す る こ と に よっ て 、 ス モ ール ワ ー ル ド 性 を有 す る ス ケ ール フ リー なネッ トワー ク が フラ ク タ ル 構 造を 取 り 得 る こと を 明 ら か にし た 。 し か し をが ら 、 フ ラ クタ ル 系に はその 定義か ら 特 徴的 艮 さ が 存 在し な い の に 対し て 、 ス モ ール ワ ー ル ド 性 を示 す 系 に は 系を 特 徴付 けるス ケール が 必 ず存 在 す る 。 この 観 点 か ら 考え る と 、 同 一の ネ ッ ト ワ ー クに お い て 特 徴的 を 長さ を有す る性質 と 有 しを い 性 質 が 同時 に 見 い だ され る と 考 え るこ と は 極 め て 不自 然 で あ る 。そ の ため 、スモ ールワ ー ル ド性 と フ ラ ク タル 性 が 実 際 にど の よ う に 共存 す る の か 、 両者 の 関 係 を 明ら か にす るため のより 詳 細 で 系 統 的 を 研 究 が 必 要 に を る 。 し か し 、 現 在 に 至 る ま で そ の よ う を 研 究 は 行わ れ て い な い。
本 論 文 で 申 請 者 は 、 現 災 の ネ ッ トワ ー ク や 複 雑ネ ッ ト ワ ー クの 数 理 モ デ ル の構 造 を 系 統 的に 調 ベ 、ス モ ー ル ワ ール ド 性 と フ ラク タ ル 性 の 関係 を 明 ら か に した 。 ま た 、 現実 の ネッ トワー クの計 測 に おい て 両 者 が 共存 し て い る よう に 見 え る のは 、 ス ケ ー ル の違 い に よ り 構造 的 クロ スオー バーが 現 れ るこ と に 起 因 して い る こ と を解 明 し た 。 さら に 、 そ の ク ロス オ ー バ ー がネ ッ トワ ーク上 のダイ ナ ミ クス に ど の よ うな 影 響 を 与 える か を 解 明 し、 今 後 の 複 雑 ネッ ト ワ ー ク 研究 に 対す る指針 を与え て い る。
本 研 究 の結 果 、 以 下 のこ と が 明 ら かと な っ た 。(1)ス モ ー ルワ ー ル ド 性 とフ ラ ク タ ル 性が 同 一 ス ケ ー ル で 共 存す る こ と は をい 。(2)これ ら ニ つ の 構造 的 特 徴 は 、異 を る ス ケ ー ルに お い て は 共存 し 得 る。(3)パー コ レ ー シ ョン 転 移 点 近 傍 にお け る 構 造 的ク 口ス オー′ ヾー は相関 長によ ってス ケール さ れる 。(5)構 造 的 ク ロ スオ ー バ ー は 拡 散現 象 に お い て動 的ク ロスオ ー′ ヾーと をって 現れる 。(6） 動 的ク ロ ス オ ー バー は 相 関 時 間の み に よ っ てス ケ ー ル さ れ る。
本 論 文 は 全8章 で 構 成 さ れ 、 各 章の 概 要 は 以 下の 通 り で あ る。 第1章 は 緒論 で あ り 、 複雑 ネ ッ ト ワ ー ク の 構 造的 性 質 に 関 する 研 究 の 背 景 と問 題 点 を 概 説し て い る 。 第2章 で は 、 複雑 ネ ッ ト ワ ーク
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を 特 徴 付 け る 様 々 を量 に つ い て の説 明 を 行 っ てい る 。 第3章で は 、 本 論 文 で扱 う3つ の 複雑 ネ ッ ト ワ ー クの 基 本 性 質 のう ち 、 ス モ ー ルワ ー ル ド 性 とス ケ ー ル フ リー 性 に つ い て説 明 し てい る。第4章 で は 、ユ ー ク リ ッ ド系 で の フ ラ ク タル 性 に つ い て説 明 し た の ち、ク ラスタ ー成長 法と ボック ス・カ バ ー リン グ 法 に 基 づく 複 雑 ネ ッ ト ワー ク の フ ラ クタ ル 性 に つ いて 説 明 を 行 って い る 。第5章 では、
幾 っ か の 現 実 の ネ ット ワ ー ク と ネッ ト ワ ー ク ・モ デ ル に 対 し 、ク ラ ス タ ー 成長 法 と ポ ッ クス ・ カ バ ー リ ン グ 法 に 基 づく 系 統 的 を フラ ク タ ル 解 析を 行 っ て い る 。第6章 で は 、第5章 で 明 らか と な っ た 知 見と ス モ ー ル ワー ル ド 性 と フ ラク タ ル 性 の 共存 を 示 唆 す る観測 事実の 矛盾を 解消 するた め、二 つ の 構造 的 特 徴 （ スモ ー ル ワ ー ル ド性 と フ ラ ク タル 性 ） が ス ケール の違い によっ てク ロスオ ーバー す る 描 像 を 提 唱 し てい る 。 こ の 考え 方 を よ り 明確 に す る た め に、 パ ー コ レ ーシ ョ ン 転 移 点近 傍 の ネ ッ トワ ー ク 構 造 を詳 細 に 調 べ て いる 。 第7章 では 、 ネ ッ ト ワー ク の 構 造 的ク ロ ス オ ーバー が、系 の ダ イナ ミ ク ス に どの よ う を 影 響 を与 え る か に つい て 考 察 し ている 。具体 的には 、パ ーコレ ーショ ン 転 移点 近 傍 に お ける ネ ッ ト ワ ー ク上 の 拡 散 現 象の 自 己 回 帰 確率を マスタ ー方程 式を 数値的 に解く こ と で求 め 、 そ の 振舞 い を 解 析 し てい る 。 第8章は 結 論 で あ り、 複 雑 ネ ッ トワ ー ク の フラク タル性 と ス モ ー ル ワ ー ル ド性 の 関 係 、 フラ ク タ ル 構 造か ら ス モ ー ル ワー ル ド 構 造 への 構 造 的 ク ロス オ ー
′ ヾ ー、 お よ び 拡散 現象に おけ る動的 をクロ スオー バー に関し て本研 究から 得られ た知 見をま とめて い る 。
これ を 要 す る に著 者 は 、 多 くの 複 雑 ネ ッ トワ ー ク が 示 す ニつ の基本 的性 質、す なわち フラク タル 性 と スモ ー ル ワ ー ルド 性 の 関 係 を 解明 し 、 ス ケ ール の 相 違 に よる構 造的ク ロスオ ーバ ー、さ らには ダ イ ナミ ク ス に お ける 動 的 ク ロ ス オー バ ー の 可 能性 を 理 論 的 に示し た。こ れらの 研究 の成果 は、複 雑 ネ ット ワ ー ク に 対す る 新 知 見 を 与え る の み な らず 、 ネ ッ ト ワーク の新奇 機能の 創出 やデザ インに 対 し て 重 要 極 役 割 を果 た す も の であ り 、 応 用 物理 学 に 対 し て 貢献 す る と こ ろ大 を る も の があ る 。 よ っ て 、 著 者 は 、 北 海 道 大 学 博 士 （ 工 学 ） の 学 位 を 授 与 さ れ る 資 格 あ る も の と 認 め る 。
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