完全 3 部グラフ K 3,3,3 の
3−絡み目射影内在性について
岡本美雪
日本工業大学工学部
小林一章氏（東京女子大学）との共同研究
グラフの内在的性質
結び目あるいは 3- 絡み目内在
K 6 ＊ 4 K 6 K 6 ＊ 5 K 5
3- 絡み目あるいは手錠グラフ内在
P 1 ＊ 3 P 2 K 9
但し Piはペテルセンファミリー
3- 絡み目内在
K 10 ※ K 9 は違う !
n- 絡み目内在G(n-1)
結び目内在
K 7 K 3,3,1,1 H Cats(K 5 ) など
絡み目内在K 6 K 4,4 -{e} K 3,3,1 G 7 G 8 G 9 PG
グラフの内在的性質
結び目内在
〜
G の任意の空間グラフ G が 非自明な結び目
を含む .
絡み目内在
G の任意の空間グラフ G が 非分離な、
2- 成分の絡み目 を含む .
〜
ー
ー
結び目射影内在
G の球面への任意の填め込み G から 空間への持ち上げを考えるとき
その中に
非自明な結び目 を含むものが存在する .
絡み目射影内在
G の球面への任意の填め込み G から 空間への持ち上げを考えるとき
その中に
非分離な、2- 成分の絡み目 を含むものが存在する .
グラフの内在的性質
結び目内在
K 7 K 3,3,1,1
絡み目内在K 6 K 4,4 - {e}
K 3,3,1 G 7 G 8 G 9 PG
3- 絡み目内在 K
10
n- 絡み目内在 G(n-1)
手錠グラフ内在 存在しない
結び目射影内在
K
6 K 4,4 - {e} K 3,3,1 G 7
絡み目射影内在K
6 - {e} (K 4,4 - {e}) - {eʼ } K 3,3,1 - {e} G 7 - {e} G 8 - {e}
G 9 - {e}
3- 絡み目射影内在 K
9
n- 絡み目射影内在 ？
手錠グラフ射影内在
K
9 - (K 3,3 ∪ {e}) K 9 - (K 3,2 ∪ {e}) K 8
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 13 は 4- 絡み目射影内在である .
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である . の証明概略 K 12 ＞ K 9
場合 1 場合 2
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である . の証明概略 K 12 ＞ K 9
場合 1 場合 2
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である . の証明概略
場合 1
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である . の証明概略
場合 2
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である .
K 3n は n- 絡み目射影内在である .
完全グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である . K 12 は 4- 絡み目射影内在である . K 3n は n- 絡み目射影内在である .
n-2 個の 3- サイクル
K 3n の球面への任意の埋め込みには、次が含まれることを n に関する帰納法で示す .
の証明概略
完全 3 部グラフの 3- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である . K 3,3,3 は 3- 絡み目射影内在である . K 12 は 4- 絡み目射影内在である .
K 3n は n- 絡み目射影内在である .
完全 3 部グラフの n- 絡み目射影内在性
K 3,3,3 の球面への任意の埋め込みに、次が含まれることを示す .
つぎのような 3 つの K 3,3 ＜ K 3,3,3 を考える .
の証明概略
K 3,3,3 は 3- 絡み目射影内在である .
完全 3 部グラフの n- 絡み目射影内在性
の証明概略
K
3,3,3
は 3- 絡み目射影内在である .さらにもう 1 つの K
3,3
＜ K3,3,3
を考える .完全 3 部グラフの n- 絡み目射影内在性
の証明概略
K
3,3,3
は 3- 絡み目射影内在である .完全 3 部グラフの n- 絡み目射影内在性
の証明概略
K
3,3,3
は 3- 絡み目射影内在である .これはダメ
これはダメ
完全 3 部グラフの n- 絡み目射影内在性
の証明概略
K
3,3,3
は 3- 絡み目射影内在である .最後に 5 つ目の K
3,3
＜ K3,3,3
を考える .これがダメ
完全 3 部グラフの 3- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である . K 3,3,3 は 3- 絡み目射影内在である . K 12 は 4- 絡み目射影内在である .
K 3n は n- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの 4- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である . K 3,3,3 は 3- 絡み目射影内在である .
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である .
K 3n は n- 絡み目射影内在である .
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの 4- 絡み目射影内在性の証明概略
K 4,4,4,1 の球面への任意の埋め込みに、次のいずれかが含まれることを示す .
端の 2 成分に注目する .
K 3,3,3 の球面への任意の埋め込みには、 が含まれる .
K 4,4,4
K 3,3,3
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの 4- 絡み目射影内在性の証明概略
ここで K 3,3 ＜ K 4,4,4,1 を考える .
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの 4- 絡み目射影内在性の証明概略 次のような K 3,3 < K 4,4,4,1 を考える .
場合 1 場合 2 場合 3
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの 4- 絡み目射影内在性の証明概略 次のような K 3,3 < K 4,4,4,1 を考える .
場合 1 場合 2 場合 3
完全 4 部グラフの n- 絡み目射影内在性
K 9 は 3- 絡み目射影内在である . K 3,3,3 は 3- 絡み目射影内在である .
K 4,4,4,1 は 4- 絡み目射影内在である .
K n,n,n,n-3 は n- 絡み目射影内在である .
K 12 は 4- 絡み目射影内在である .
K 3n は n- 絡み目射影内在である .
完全 4 部グラフの n- 絡み目射影内在性
