無限級数を用いた Painlev´e 方程式の研究
三重大学大学院
教育学研究科教育科学専攻理数・生活系教育領域
齋藤 千依 2020 年２月12日
目次
1 基礎定理 3
1.1 整型関数 . . . . 3
1.2 整型写像 . . . . 4
1.3 解の存在について . . . . 5
1.4 解析接続 . . . . 9
1.5 解の解析接続. . . . 11
1.6 パラメータと初期値に関する整型性 . . . . 12
1.7 優級数法による解の存在定理の証明 . . . . 12
2 Painlev´e方程式について 16 2.1 代数的微分方程式 . . . . 16
2.2 動く分岐点を持たない方程式 . . . . 17
2.3 Painlev´e方程式 . . . . 20
3 P1(2,1)の非Painlev´e性の証明 22
序文
複素領域で定義されたm階の線形常微分方程式
y(m)+p1(x)y(m−1)+· · ·+pm−1(x)y(1)+pm(x)y= 0 (∗)
（ただしp1(x),· · · , pm(x) はxの有理関数）に対し，この方程式の一次独立な解 φ1(x),· · ·, φm(x)を取
ると，モノドロミー行列，およびストークス係数と呼ばれるものが定義できる．これらの量は，一般に解
y=t(φ1(x),· · ·, φm(x))の特異点の周りでの挙動を表すものなので，(∗)に含まれるパラメータが十分多い
とき，パラメータの一部（これをt1,· · ·, tnとする）を変化させても残りのパラメータ（これをa1,· · · , akと する）をうまく変化させれば，モノドロミー行列，およびストークス係数がパラメータによらない（つまり
t1· · · , tnが変化しても，モノドロミー行列，およびストークス係数が変化しない）ことがある．このような
場合，「線形方程式(∗)はモノドロミー保存変形を許す」という．
線形方程式のモノドロミー保存変形に関する研究は1907年のR.Fuchsの研究[2]から始まる．そして，
R.FuchsとR.Garnierの研究[2],[3]により，モノドロミー保存変形とPainlev´e方程式との関連が明らかにな り，三輪哲二氏の論文[5]により，モノドロミー・データにある条件が付いた場合，モノドロミー保存変形か ら得られる方程式はPainlev´e性（つまり特異点で，その位置が初期条件に依存するものは極しかないという 性質）を持つことが示された．このようなことから，モノドロミー保存変形から得られる方程式は，いつでも Painlev´e性を持つと信じられてきた．しかし，2014年になってB.DobrovinとA.Kapaevの論文[1]により，
下村俊氏が[8]で研究した方程式P1(2,1)： d4y
dx4+ 120 (dy
dx )3
d2y
dx2 −120xdy dx
d2y dx2 −200
3 (dy
dx )2
−40 3 yd2y
dx2 +200 9 x= 0
はPainlev´e性を持たないにも関わらず，線形方程式のモノドロミー保存変形から得られることが示された．
この修士論文では，P1(2,1)がPainlev´e性を持たないことを再確認する．第1章では，解の特異点を考察す るのに必要な無限級数や正則性に関する定理等を記述している．第２章では，Painlev´e性について紹介し，そ れを満たすPainlev´e方程式を求めるためにPainlev´eが使用したα-methodとはどのようなものかについて 述べている．第３章では，P1(2.1)がPainlev´e性を持たないことについてα-methodを用いた証明を行う．
本研究を進めるに当たり，指導教官の川向洋之教授からは多大な助言を受け賜りました．厚く感謝を申し上 げます．
1 基礎定理
本章では，解の特異点を考察するのに必要な無限級数や正則性に関する基礎的な定理等について述べて いる．
1.1 整型関数
《定義 1.1》複素平面Cの開集合Dで定義されたfを考える．Dの点aに対し，Dに含まれる円板|x−a|< r において収束するベキ級数によって
f(x) =
∑∞ k=0
ck(x−a)k (1.1)
と表されるとき，f はx=aにおいて複素解析的であるという．f がDの各点で複素解析的であるとき，f はDにおいて整型または正則であるといわれる．
《定義 1.2》n個の変数y1, y2,· · ·, ynのベキ級数
∑
k1,···,kn≧0
ck1···kn(y1−b1)k1· · ·(yn−bn)kn (1.2) について絶対収束するような Cn の点(y1, y2,· · ·, yn)の集合の内部∆ を(1.2)の収束域という．また，
∆̸=ϕのとき，(1.2)を収束ベキ級数，∆ =ϕのとき，(1.2)を発散ベキ級数という．
《定義 1.3》収束ベキ級数 (1.2)に対して，|y1−b1| < R1,· · · ,|yn−bn| < Rn においては絶対収束し，
|y1−b1|> R1,· · ·,|yn−bn|> Rnにおいては絶対収束しないような(R1,· · ·, Rn)を(1.2)の一組の関連収 束半径という．ここでは0< Rj ≦∞である．関連収束半径は一組とは限らず，一般には無数組存在する．
【命題 1.1】0< Rj <∞(j = 1,· · ·, n)のとき，(R1,· · ·, Rn)が(1.2)の関連収束半径であるための必要か つ十分条件は
lim
k1+···+kn→∞sup(|ck1···kn|Rk11· · ·Rknn)1/(k1+···+kn)= 1 が成り立つことである．
収束ベキ級数はその収束域において広義一様収束する．したがって，
f(y1,· · · , yn) = ∑
k1,···,kn≧0
ck1···kn(y1−b1)k1· · ·(yn−bn)kn (1.3) とおくと，f は右辺の収束域∆において連続な複素数値関数である．
【命題 1.2】f は∆において各変数yjについて偏微分可能であって，偏導関数 ∂f
∂yj は(1.2)をyjについて 項別に微分して得られるベキ級数によって
∂f
∂yj
= ∑
k1,···,kn≧0
kjck1···kn(y1−b1)k1· · ·(yj−bj)kj−1· · ·(yn−bn)kn (1.4) と表される．(1.4)の右辺のベキ級数の収束域を∆jとすると，∆j⊃∆が成り立つ．
《定義 1.4》Cnの開集合Dで定義された複素数値関数f を考える．Dの点(b1,· · · , bn)に対して，Dに含 まれる多重円板|y1−b1|< r1,· · · ,|yn−bn|< rnがとれて，fはこの多重円板において絶対収束するベキ級 数(1.2)によって(1.3)と表されるとき，f は(b1,· · ·, bn)において複素解析的という．fがDの各点におい て複素解析的であるとき，f はDにおいて整型であるという．(1.2)をf の点(b1,· · ·, bn)におけるTaylor 展開という．
【定理 1.1】f がDで整型であるための必要十分な条件は，f がDにおいて連続かつ各変数について偏微分 可能なことである．
この定理において，f がDで連続であるという条件を取り去ることができることが知られている．
【定理 1.2】f がDで整型であるための必要十分な条件は，f が各変数について偏微分可能なことである．
【定理 1.3】Dにおいて整型な関数は何回でも偏微分可能であって，それらの偏導関数はすべてDにおいて 整型である．
《定義 1.5》Cnの集合Eに対して，f がEを含むある開集合Dにおいて整型であるとき，f はEにおいて 整型であるという．Eが1点(b1,· · ·, bn)のみからなるときには，f は点(b1,· · ·, bn)において整型であると いう．
1.2 整型写像
Cn の点(y1· · ·, yn),(b1,· · ·, bn)などを対応する太文字y,bなどで表す．Cnの点y = (y1,· · ·, yn)， z= (b1,· · · , bn)と複素数λに対して，和y+zとスカラー倍λyを
y+z= (y1+z1,· · ·, yn+zn)， λy= (λy1,· · · , λyn)
によって定義する．この演算によって，Cnはn次元複素ベクトル空間になる．よって，Cnの元をベクトル ということもある．Cnの点y= (y1,· · ·, yn)に対して，その長さ|y|を
|y|= max(|y1|,· · · ,|yn|) によって定義する．
【命題 1.3】対応y7→ |y|はCnからRへの写像であって，次の性質をもつ．
(1) |y|≧0; |y|= 0 ⇐⇒ y=0 (0= (0,· · ·,0)), (2) |λy|=|λ||y|,
(3) |y+z|≦|y|+|z|.
すなわち，| · |はCnの一つのノルムである．
集合AからCnへの写像を与えることは，AからCへのn個の写像の列(φ1,· · ·, φn)を与えることであ
る．写像(φ1,· · ·, φn)も対応する太文字φで表す．
《定義 1.6》Cmの領域∆からCnへの写像f = (f1,· · · , fn)は，f1,· · ·, fnがすべて∆で整型のとき，∆ において整型であるという．
f1,· · ·, fnの点a= (a1,· · ·, am)におけるTaylor展開を fj(x1,· · ·, xm) =∑
ck1···kmj(x1−a1)k1· · ·(xm−am)km (j= 1,· · ·, n) とする．各(k1,· · ·, km)に対して，
ck1,···,km = (ck1,···,km1,· · ·, ck1,···,kmn)∈Cn とおくと，
f(x) =∑
ck1···km(x1−a1)k1· · ·(xm−am)km と表せる．
∂f
∂xj
= (∂f1
∂xj
,· · · ,∂fn
∂xj
) ,
∫
L
f(x1,· · · , xm)dxi= (∫
L
f1(x1,· · ·, xm)dxi,· · ·,
∫
L
fn(x1,· · ·, xm)dxi )
などの記法も使われる．
【命題 1.4】不等式
∫
L
f(x1,· · · , xm)dxi
≦
∫
L
|f(x1,· · ·, xm)||dxi| が成り立つ．
【命題 1.5】∆はCmの領域，DはCnの領域で，y=f(x)は∆からCnへの整型写像，z=g(y)はD で整型な関数で，∆のf による像f(∆)がDに含まれていれば，f とgとの合成写像
(g◦f)(x) =g(f1(x),· · ·, fn(x)) が∆において定義されて∆において整型である．また，公式
∂(g◦f)
∂xi =
∑n j=1
∂g
∂yj
∂fj
∂xi (i= 1,· · ·, m) が成り立つ．
【定理 1.4】Cmの領域∆ :|x1−a1|< r1,· · · ,|xm−am|< rmからCnへの整型写像f = (f1,· · · , fn)に 対して，偏導関数∂fj
∂xi がすべて∆において有界ならば，正の定数Lがとれて，f は∆において
|f(x)−f(x′)|≦L|x−x′| (x,x′∈∆) (1.5) を満たす．
1.3 解の存在について
微分方程式
dy
dx =f(x,y) (1.6)
を考える．ここでx∈ C，y = (y1,· · · , yn)∈ Cn で，f = (f1,· · ·, fn)はCn+1の領域において整型と する．
【命題 1.6】y=φ(x)はx=aで整型かつ初期条件
y(a) =b (1.7)
を満たす(1.6)の解とする．φ(x)がCの領域Dにおいて整型(a∈Dとする)，任意のx∈Dに対しf が (x,φ(x))で整型ならば，φ(x)は
φ(x) =b+
∫ x a
f(ξ,φ(ξ))dξ (x∈D) (1.8) を満たす．逆に，(1.8)を満たすφ(x)はDで整型で初期条件(1.7)を満たす(1.6)の解である．
【定理 1.5】f はCn+1の領域
D:|x−a|< r, |y−b|< ρ において整型かつ有界
|f(x,y)|≦M
とする．そのとき，x=aで整型かつ初期条件(1.7)を満たす解はただ一つ存在して，φ(x)は領域 D:|x−a|< s= min
( r, ρ
M )
において整型である．
証明 任意の0< r′< r,0< ρ′ < ρに対して，
D′:|x−a|< s′= min (
r′, ρ′ M
)
において整型で，(1.7)を満たす(1.6)の解が存在することを示す．
そのためには，D′において整型な関数φ(x)で，不等式
|φ(x)−b|≦ρ′ (1.9)
と(1.8)を満たす関数の存在をいえばよい．偏導関数 ∂fj
∂yk
はすべてのDにおいて整型であるから，領域 D′:|x−a|< r′, |y−b|< ρ′
において有界である．したがって，定理1.4により，f はD′において
|f(x,y)−f(x,z)|≦L′|y−z| (1.10) を満たす．
逐次近似法によって解の存在をいう．まず第0次近似関数φ0を
φ0(x) =b (1.11)
とおき，次に第ν次近似関数φν を
φν(x) =b+
∫ x a
f(ξ,φν−1(ξ))dξ (1.12)
によって定義する．右辺の積分はaからxへの線分に沿って行うことにする．近似関数はすべてD′において 整型で
|φν(x)−b|≦ρ′
を満たすことを帰納法によって示す．
φ0については明らかである．φν−1が満たしていると仮定する．このとき，f(x,φν−1(x))はD′において 定義され整型，したがって，φνもD′において整型である．(1.12)により，
|φν(x)−b|≦
∫ x a
|f(ξ,φν−1(ξ))||dξ|
|f(x,y)|≦M とs′≦ ρ′
M から，D′において
|φν(x)−b|≦M|x−a|≦ρ′ が得られる．
次に関数列φ0,φ1,· · · がD′において一様収束することを示す．ν≧1のとき，
φν(x) =φ0+ (φ1(x)−φ0(x)) +· · ·+ (φν(x)−φν−1(x)) より，級数
∑∞ ν=1
(φν(x)−φν−1(x)) (1.13)
がD′において一様収束することを示せばよい．すべてのν≧1に対して，
|φν(x)−φν−1(x)|≦M L′ν−1|x−a|ν
ν! (1.14)
が成り立つことを帰納法によって示す．ν= 1のとき，(1.11)，(1.12)より
|φ1(x)−φ0|≦ ∫ x
a
f(ξ,b)dξ
≦M|x−a| である．次に，
|φν−1(x)−φν−2(x)|≦M L′ν−2|x−a|ν−1
(ν−1)! (1.15)
と仮定して，(1.14)が成り立つことを示す．φνの定義より φν(x)−φν−1(x) =
∫ x a
(f(ξ,φν−1(ξ))−f(ξ,φν−2(ξ)))dξ よって
|φν(x)−φν−1(x)|≦
∫ x a
|f(ξ,φν−1(ξ))−f(ξ,φν−2(ξ))||dξ| これと(1.10)から，
|φν(x)−φν−1(x)|≦L′
∫ x a
|φν−1(ξ)−φν−2(ξ)||dξ| が成り立つ．ここに(1.15)を代入すると
|φν(x)−φν−1(x)|≦L′
∫ x a
M L′ν−2|x−a|ν−1 (ν−1)! |dξ| が成り立ち，右辺を計算すると(1.14)が得られる．
級数 ∑∞
ν=1
M L′ν−1|x−a|ν ν! =M
L′
∑∞ ν=1
(L′|x−a|)ν ν!
はD′において一様収束するから，級数(1.13)もD′において一様収束する．よって，関数列φ0,φ1,· · · は D′において一様収束する．
φ0(x),φ1(x),· · · の極限関数をφ(x)とすると，φ(x)はD′において整型で(1.9)を満たしている．φν(x)
の定義
φν(x) =b+
∫ x a
f(ξ,φν−1(ξ))dξ
において，ν→ ∞とすれば，{φν(x)}の一様収束性から{f(x,φν(x))}の一様収束性がいえることから，
φ(x) =b+
∫ x a
f(ξ,φ(ξ))dξ
が得られる．φ(x)が求める解である．
次に，D′において整型で初期条件(1.7)を満たす解がただ1つであることを示す．そのために，D′におい て整型で(1.7)を満たすφ(x),ψ(x)が，十分小さいr0>0に対して，|x−a|< r0において
φ(x) =ψ(x) が成り立つことを示せばよい．
r0を0< r0< s′, L′r0<1を満たすようにとり，
m= sup{|φ(x)−ψ(x)|||x−a|< r0} とおく．φ(x),ψ(x)は
φ(x) =b+
∫ x a
f(ξ,φ(ξ))dξ, ψ(x) =b+
∫ x a
f(ξ,ψ(ξ))dξ
を満たすから，
φ(x)−ψ(x) =
∫ x a
(f(ξ,φ(ξ))−f(ξ,ψ(ξ)))dξ よって
|φ(x)−ψ(x)|≦
∫ x a
|f(ξ,φ(ξ))−f(ξ,ψ(ξ))||dξ| (1.10)から
|φ(x)−ψ(x)|≦L′
∫ x a
|φ(ξ)−ψ(ξ)||dξ|
|ξ−a|< r0において
|φ(ξ)−ψ(ξ)|≦m であるから，|x−a|< r0において
|φ(x)−ψ(x)|≦L′mr0
よって
m≦L′mr0
が成り立つ．L′r0<1からm= 0となるので，|x−a|< r0においてφ(x) =ψ(x)といえ，一意性が示せた．
r′→r, ρ′→ρのとき
s′= min (
r′, ρ′ M
)
−→s= min (
r, ρ M
)
であることに注意すれば，求める解はDで整型であることがわかる．
系 f(x,y)はCn+1の領域E において整型とする．そのとき任意の(a,b)∈E に対し，x=aで整型で初
期条件(1.7)を満たす解がただ一つ存在する．
n階微分方程式
y(n)=f(x, y, y′,· · ·, y(n−1)) (1.16) に対し，
y1=y, y2=y′, · · ·, yn=y(n−1) とおくと，(1.16)は微分方程式系
y1′ =y2
· · · yn′−1=yn
yn′ =f(x, y1,· · ·, yn) に移る．この方程式に定理1.5の系を適用すると，次の定理が得られる．
【定理 1.6】f(x, y1,· · ·, yn)は点(a, b1,· · · , bn)において整型とする．そのとき，x=aで整型かつ初期条件 y(a) =b1, y′(a) =b2, · · ·, y(n−1)(a) =bn
を満たす(1.16)の解がただ一つ存在する．
n階微分方程式(1.16)が線形である場合，P1(x),· · ·, Pn(x)を有理関数として，次のような形に置くこと ができる．
dny
dxn +P1(x)dn−1y
dxn−1 +· · ·+Pn−1(x)dy
dx +Pn(x)y = 0 (1.17)
《定義 1.7》すべてのPj(x)(j= 1,· · ·, n)がx=aで正則であるとき，x=aは微分方程式(1.17)の正則点 であるという．
【命題 1.7】x=aが正則点であるならば，(1.17)はx=aで正則なn個の独立な解を持つ．
【定理 1.7】微分方程式
dyj dx =
∑n k=1
pjk(x)yk+qj(x) (j = 1,· · ·, n) (1.18)
を考える．pjk(x)，qj(x)はすべて|x−a|< rにおいて整型とする．そのとき，任意のb∈ Cnに対して，
x=aで整型かつ初期条件(1.7)を満たす(1.18)の解はただ一つ存在して，|x−a|< rにおいて整型である．
1.4 解析接続
【定理 1.8】D, D0はCnの領域でD0⊂Dとする．f, g:D→CはDで整型で，f(y) =g(y)(y∈D0)が 成り立つとする．そのとき，fとgとはDで恒等的に等しい．
