最適施設配置問題の社会情報学的考察

最適施設配置問題の社会情報学的考察

若 林 信 夫

目 次 1.はじめに

2.

単純化 された最適施設配置

よ り一般的な定式化

4.

施設利用のための利用圏

5.Voronoi

図 と

三角形図

図を求めるソフ トウェア

結語的覚書

1 は じめに

公共施設であれ,民間施設であれ,利用者 と設置者の観点か ら,施設を最適 に配置す ることの問題 は,古代 よ り長 い歴史がある

最近 にな って,オペ レー ションズ ･リサーチや計算幾何学の分野で再 び,脚光を浴 びている｡問題 自体 は,社会的重要性 もさることなが ら,その問題解決面 はコンピュータ処理,あ るいは,情報科学の飛躍的な発展が基礎 にある｡

公共施設,例 えば,公園,学校,病院,郵便局 な どは,｢よい もの｣で,刺 用者 にとって最適 とは,｢ 近 い｣ こと一 に同義で あ り,他方, ごみ処理場や汚水 処理施設 は,一般住民 にとってで きるだけ遠 くにあることを望む｡

民間施設の例 として,店舗, レス トラ ン,配送セ ンターなどは,公共施設 よ りも制約条件が厳 しいので,整数型の線形計画問題 として古 くか ら定式化 され て きた｡

計画者 は,既設の施設を第一の優先度で考え,新設の施設を第二義的に考え る傾向がある｡投票型の最適施設配置や,ゲーム論的な最適施設配置 も考え ら

〔49〕

50

商

討 究 第 46巻 第

号 れ る｡

本稿では,施設の最適配置の基礎的な考察を通 して,問題 に対す る社会情報 学的な分析を行 うことを 目的にす る｡すなわち,管理科学的,情報科学的に問 J 題解決 しよ うとす る

2 単純化 された最適施設配置

公共施設 の 目的 は平面上 の座標位置,Xl

l ,

.

,..

にある需要点 ( 住民)をサー ビスす ることである.一般住民の合意が得 られる ような場所 に,公共施設を配置 しようとす るとき,単純化 して, ｢ 便利 さ｣の 概念 として,距離 ( 近 さ)を考える｡最適性の基準 としては,以下で説明す る 三種鞍がある｡

2. 1 3

種類の最適性基準

望 ま しい公共施設を需要点 までの距離の平方和を最小 にす るよ うにす るに は, どこに配置すべ きであろ うか｡ これは微分の教科書 にある標準的な問題で ある｡ しかし ,なぜ,距離の平方和を最小化 しなければな らないかの理由は存 在 しない｡ これは,む しろ,数学的な便法 による｡

この問題を数学的に解 くことは

n n

f( X)

^{∑ [(}

^{‑1 x‑}

∑ l ‑ 1 x‑Xi 1 2

を最小化す る点 P s q , を見出す ことである｡ ここで,X

x , y) である｡また, f X‑Xi l はXか ら Xi までのユーク リッ ド距離である｡ これを ｢ 平方和問題｣

1

)最適施設配置の数理を考え る上で,重要 な文献 は,以下の

つであろ う｡

岡部篤行 ･鈴木敦夫 , ｢ 最適配置の数理｣( 朝倉書店)

A.

S

&

伊理正夫 ( 監修)･腰塚武志 ( 編集) , ｢ 計算幾何学 と地理情報処理 ( 第

版

｣( 共

立出版)

最適施設配置問題の社会情報学的考察

( P s q , ) と呼ぼう

距離の平方和は数学的に取 り扱いが容易であるが,距離の合計を最小に した 方が直観 にかなっている｡距離の和を最小化 した場合,答えは変わって くるだ ろうかを次に考えてみる｡距離の和を最小化する問題 は,発電所か ら町までの 電線の総延長を最小化 したいとき,あるいは,情報処理セ ンターか ら各利用サ イ トまで構内回線を最小ケーブル長で引き回 したいとき, 自然な問題設定 とな る｡目的関数,

72

f

( X

(I‑I

がその最小値に達する点

を求める問題のことを ｢ 距離和問題

u m) と 呼ぼ う ^?)｡ 距離和問題の数学は微分の教科書 には出て こな

む しろ,幾何 学の教科書に出ている｡

問題の別の自然な変形は,消防施設や, ごみ収集施設のような,施設か ら最 も遠 い地域 までの距離をできるだけ小 さくす るよ うな配置を求め ることであ る

この問題を ｢ 最大距離問題

と呼ぼ う ^3)｡

f( X)‑maxiL X ‑X i F

の最小値を与える点

にその解がある

もまた興味深い. 幾何的な特徴 を持 っている｡

最小化すべき距離の関数が,距離の平方和,和,あるいは,最大値のどれを 選択すべきか とは別に,距離の定義それ自身を変更す ることができる｡

Xl‑(x

l

か ら

までの ｢タクシー距離

は,

2)1927

^年の

^{の業績に肖って}

問題｣ とも呼ばれ る

^,

' L

,に再録｡)

3

) この基準 は,弱者優先の社会正義のロールズ ( ㌔.

は,総当た り戦のゲームにおいて,待ち時間を最小 にす る試合順序が作成で きるこ とを最大距離問題の解を通 じて,知 ることができた｡

4)

タクシー距離 は,マ ンハ ッタン距離,矩形距離などと呼ばれることがある.

52

商 学 討 究 第

巻 第

号

JX^l‑x2lt

‑

l y

によって与え られ る

都市の街路 に見 られ るよ うに,横 ( 水平)方向か,たて ( 垂直)方 向にのみ,移動す ることがで きる場合, このよ うに計算で きる｡

距離和 問題

と最大距離 問題

は,ユー ク リッ ド距離が タク シー距離 によ って置 き換え られ るとき,それぞれ,｢タクシー距離和問題｣ と

｢タクシー最大距離問題｣ と呼び,それぞれの解を,

と

と表わそ う

/ ー

次元問題 とその解

X l ,‥. ,

はすべて

事 由上 に位置 してい るとしよ う

その とき,平方和, 距離和,および,最大距離問題 は,それぞれ,

〟

E l xi‑Cf 2 ,

zl

^=l

n

∑ I xt ･‑cl ,

H

^{F e ･ ‖}

および,

max^t･lxi‑ CI

を最小化す るよ うな数値

を求めることである｡

平方和 問題 に対す る解

,は,標準 的な方法 ( 凸関数 ゆえ,微分

に よって

n (1/a)∑xl■‑l i

であるとわか る｡ これ は又,標本

,.‥,Xn の標本平均x ‑と解釈で きる｡

距離和問題 については,最初,次の関係式が成立す ることに注意 しよ う

TZ

f(C)‑‡∑ I‑1xr CI‑x∑ (.<cC‑xi)+ ∑ (I.^{>cx i}‑C)

もしすべての i について,

≠xi であれば,

である｡ ここで,

は, Cの左方 向にある点の個数であ り,

は, Cの右方向にある点の個数であ

最 適施設配 置 問題 の社 会情 報学 的考 察

る｡ もし,

となる点

があるな らば,すなわち,左側 と右側 に等 しい 個数の点があれば,

は

の左側で減少 し,右側で増加す る｡最小点

は,

z で達成 され るだろう

すなわち

,...

の中央値 ( 中位数, メディア ン,Medi

値 は,開区間

のどれかの点で達成 され る｡そ こでは,開区間の任意 の x に対 し

である｡

最大距離問題 に対 しては, m ‑T ni n ( x i ) , M ‑m

) とお こう

その とき,

E T n‑Cローl M ‑cl ≧M 一m が成立す る｡

したが って,m

‑

C

である

等号 は

のとき達成 され るので

‑( T n+M )

である.

3

つの問題に対す る解 は,すべて統計学でよ く知 られている

sq ,は,デー タ集合の平均,

は,中央値,

は,中間範囲

n ‑3

の場合には, もしも,

x1‑‑

i

a

であるな らば

s q ,( 標本平均)は ,

,

u m ( 中央値)は, a,

, ( 中間 範 囲) は,

で あ る｡点 が x 軸上 にあ るとき,

お よび,

Qmax

である

2. 3 2

次元の場合の解

距離の平方和問題の解 は,偏微分を考え ると,各座標の平均値

^{‑, y l であ}

り , ｢セ ン トロイ ド｣ と呼ばれ る｡

距離和問題の解 は,フェルマー(

･シュタイクー(

｢ 与え られた鋭角三角形

内に

点

を とり,

か ら各頂点

,

,

にいたる距離の和を最小 にせよ｡ ｣

の解である｡

54

商 学 討 究 第

巻 第 1号

3

点が鋭角三角形を作 るとき

度を仰 ぐ内部の点が解である｡鈍角三角 形な らば鈍角の頂点に一致す る ⁵⁾⁰

上述 した ものは,標本点が 3個の場合であり, 4個以上になると幾何的な解 法は困難になる

作図 して容易に確かめ られるように,解 も一意には定まらな

い｡

解析的には,f( X)‑ ∑写 ‑ 1 l X ‑X l l を最小化す る問題であるか ら,

0 となる点p‑X ‑ があれば,

1 p‑X i

7 =l l p‑X z ･ E

を満たさなければな らない｡ これは,

次元の中央値

と解釈 できる｡

最後 に,最大距離問題の解を特長付けよう

点 f X . ,

,‥.

の集合を

で表わ し,f( X)‑m

l とす る｡

もし

‑ r ,であれば,その時,すべての tについて, I X

≦ r であ り,特定の iについて等号が成立す る｡ したが って,

は,

に中心を置 く半径 r の円の内部又は周辺 にあるO このよ うな円を,

の ｢ 最小スバニ ング円｣ といい,一意に定まる

Pmax

を求めるには,

つのケ‑スを考え る｡第一 は, Sを含む円の直径の 反 対 側 に,

点X壬とX,が あ る とき, r‑ l X i ‑X,E /2 , か っ,

( X

+Xj )/2 であるO

第 2は,上のよ うな 2点が見 出せないとき,最小 スバニ ング円上 に 3点が

あって, これ ら

点を含む弧が

度以上である｡ したが って, これ ら

点を

フェルマー ･シュタイナー点を求める幾何学的な方法は

種類ある｡罪‑ は,任意

の三角形の各辺. の上 に,正三角形を外側 に作 ると,対頂の線分の長 さが等 しく,

点で交わる｡第

は, トリチェリの作図法で,任意の三角形の

辺を選び,その辺

を 1辺 とす る正三角形を外側に作 る｡外側の頂点 と,任意の三角形の残 りの頂点 と

を結ぶ線分 と外側正三角形の外接円の交点が求めるフェルマー ･シュタイナー点 と

なる｡

最適施設配置問題 の社会情報学的考察

頂点 とす る三角形 は,鋭角三角形で あ り,

は,外接 円の中心 ( 外心)で 三角形の内部 にある｡

例題 と して,需要者 が,

点 の位 置,Xl ‑ (

,

),

,

,

X^{3‑ (}

1

0)にいるとき,公共施設を どこに置いた らよいかを,上記の 3 つ の基準 によ り,求めてみると以下のよ うになる6

図 1.

つの異 なる基準 に対応 した最適配置

さまざまな配置が得 られ るが, この ことは,施設配置が,立案者の価値判断 によって どのよ うにで も決 まることを見 る,社会計画論の絶好 の教材 となる｡

6)B.Eisenberg andS.Khabbaz

,

TnaticsJozL,rnal,Vol.22,no.4 (1992),pp.278‑289.参照O

56

_{商 学 討 究 第}

巻 第

号

なお,上記の問題の拡張 として,以下の ことが考え られる｡

1.上の問題は,公共施設を 1個求める問題であるが,複数個の施設を求め るように一般化すること｡ これは,次節以降で述べる｡

2.

タク. シー距離を採用 したとき,最適配置を求めことも同様に,可能であ る｡

3.

直線 ( ユークリッ ド)距離 とタクシー距離を混在 した場合の計算 も今後 の課題である｡

4

.点 と点の間の距離ではな く,点 と直線の距離を もとに直線の最適配置を 求めること｡ (これについては計算幾何学の文献に詳 しい

ここで,点 と直線の距離の公式は,

DE(p

i

V^一∑∴

示

である

ここで,点 は

t

, .‥

,i

, ...

であり,直線 ( 超 平面)は,

+bd X

である｡

3

よ り一般的な定式化

施設の配置の計画立案者は,何 らかの評価基準を設定 した上で,その目的に 照 らした最適解を求める｡公共施設の建設の場合,何 もないところに新設する ことはほとんどな く,多 くは既存の施設 とのか らみにおいて,新設することが 多 い｡

このような観点を取 り入れて,問題を数理計画問題 に定式化 しよう

既存の施設 iと新設予定の施設 j があって,それぞれ, 座標位置

y f ) , ( aj , b J ) を もつ とす る｡任意の 2点に対す る距離尺度 として,タクシー距

7)

例 え ば,

,

Proximation and Related Topics

, J

Discreteand CompzLtationalGeoTnetr

) ′

161

.

最適施設配置問題の社会情報学的考察 ⁵⁷ 離を用いる｡

d

^{z ･ , P , I) ‑l}

^{‑ a j I +F y}

^{‑b j I}

新規予定の施設 は,

n個あるもの とす る

,…

.既存の施設 は, n 個ある ( i ‑ 1

, ‥. ,a) .多数の顧客 ( 既存の施設)をサー ビスす るため に,新施設の場所を決めたいが,その目的関数 は,新施設 と既存施設の間の距 離の合計を最小にす ることであるとす る｡ しか し,既存施設 は既得権益を もつ ので,加重値を導入す るO加重値 w t ･ は,既得施設のサー ビス需要の相対的割 合 とす る｡問題 は,次の型の数理計画問題 になる

Minimizef‑^{∑T‑1∑7‑1Zi,Mid(Xi,P,)}

subjectto

m

∑ z ij主 1

,(

, .‥ ,a)

i^‑I

ここで,既存施設 i は, どれかの新施設 j kよりサー ビスされ るので,上記 の制約条件がついている｡すべての zt . , は,

又 は

である｡

問題 は,前節の

に属す るが,幾何 的な方法で解 くことは不可能で,数 理計画 ソフ ト (コンピュータ)によ らざるを得ない｡

最近,有力な解法 として注 目されているのは,内点法 ( 内部経路法) と焼 き なま し法 (シ ミュレーテ ッ ド･アニー リング法)である｡詳細 については,数 理計画法 の標準 的 なテキス トの新版 や

のニ ュース グル ープ

op‑search

の議論 に譲 る｡

8)

大山達雄 , ｢ 最適化モデル分析 (日科技連)

は,種々の型の最適配置モデル を提示 している｡

｢ 負の｣施設の配置分析の比較については

parisonofFourModelsforDispersingFacilities,Infor,Vol.29,no.2 (199

1

がある｡

58

商 学 討 究 第

巻 第

号

4.

施設利用のための利用圏

施設配置の問題 は,施設の計画立案者や設置者の観点 と,利用者の観点 とは 異なった見方をす る｡利用者 は,既存の施設を所与 として,で きるだけ効率的 な利用方法を考え,しか る後 に, 施設の置かれている状況を改善 しようとす る｡

利用者が施設を効率的に利用 しよ うとす る場合,利用圏,あるいは,経済活 動圏を構成す ることがで きる｡商業活動な らば,商圏である｡

施設Pi の利用圏 とは,利用者 にとって,Pi の方が他の施設 P , . よ りもある評 価の下で,た とえば,距離的に近いとか,便利であるとか,価値が大 きい等の 理 由で選ばれ る点か らなる領域の ことである｡

ここでは,評価 として,距離の最小化を踏襲す る｡

ある利用者が,現在 いる地点を Cとして,利用す る施設をPi ,その距離を

)とす ると, 他 の施設 よ りも近 い とい う条件 は

,

,

≠i と書 けるか ら,

v l

‑ i cF d( C, Pt

,

,j

となる領域を定めることがで きる｡

v

i は,Pt の

ポロノイ)領域 といい,すべての点 についての図 を

図 といい,次節で詳 しく述べ る｡

す べ て の施 設 は, 同質 で はな く,差 別化 され て い るので,重 み付 きの

領域,重み付 き

図を考えるはうがより一般的である｡

重み付 き

領域の定義式 は,以下のようになる

vi

‑(

(

(

ここでの解釈 は, 可園の店があって,それぞれは品ぞろえや価格 に他の店 と は差別化を している

消費者 は,その店 までの距離 と価格要素を考慮 して店を 訪れ るとす る｡

b

) は, i店で商品を買 う場合,単価

tと間接

コス トがかか ることを表わ している

亡は,距離当 りの コス トを表わす｡

最適施設配置問題 の社会情報学 的考察

5 Vor onoi 図と DeJ aunay 三角形図

本節では,前節で紹介 した

図についてより厳密な解説を行 う

平面における

点 x

d( x, y) で表わす.

59

5. 1

距離の定義

2

点の距離の一般的な定義 としては,第

節でみたような,ユークリッ ド距 離,タクシー距離を考えるのが普通であるが,ここでは, 一般座標における ｢ミ

ンコフスキー距離｣を導入 し,特殊ケースを誘導す る｡ ミン' 37スキ‑距離 と は,

Tl

dL

p ( p

j lF p ] 1/p

I‑^‑1

で表 される｡ ここで

, ‥.

,‥.

n ) と

x, 1

j 2 , …

n ) はそれぞれ,p と

のデカル ト座標である｡ pは,ベキ乗の次数であ り,その取 りうる範囲は,

‑とする｡

β‑ 1

な らば,

n

d

L l (

である｡ これは,タクシー距離,マ ン‑ ツタン距離,矩形距離 と呼ばれるもの である

β‑ 2

な らば,

dL

l (

‑ ∫ i ∑ n

^{1 ( x}

である｡ これは,ユークリッ ド距離にはかな らない｡

p

‑‑な らば,

dL

(

n

l )

であ り, 最大距離, 優越距離 と呼ばれ る｡ ( 極限操作 (ロピタルの定理)を使 っ

60

_{商 学 討 究 第}

_{巻 第 1号}

て,得 られ る｡)

xl‑ x2

平面 にこれ らを図示す ると下図が得 られる｡

￡2

3

p= 1 2 C()

0

図

1,

,

,‑に対応する ミシコフスキー距離 の等高線

以上 は,距離の数学的な概念であるが,社会学,心理学では, ｢ 心理距離｣

がある｡実験上,指数型,対数型,ベキ乗型の組み合わせが考え られる｡登山 や,スポーツの距離では, S字型距離がよ くあてはま りそ うである｡

5. 2 Voronoi

図 とその構成法

x‑ (x

l

,…

を平面上の nl 国の互 いに異な る点 の集合 とす るO 領域,

R(xi)‑fxLxeR2

,d(

, ･ ⁾

を母点xi の

領域 とい う.

つの

領域が共有す る辺を

Ⅴ｡ronoi

辺,

つ以上の

領域の境界が共有す る点を

点 と

最適施設配置問題 の社会情報学 的考察

い う

図 とは, この よ うに して定 ま る平面 の

領域,

辺,

点に分割 した全体の図をい

Voronoi

図 という名前は,数学者

‑1908)

に由来す る｡彼 は

年 に

次形式論について

篇の論文 をフランス語で書 き,それが後世,先駆的業績 と評価されているが,

次形式 が平行多面体の頂点を母点 とする分割 とみな し解析可能であることを示 したこ

とによる 9) 0

Voronoi

図の作図法を述べよう

3

点,Xl ,

,X

が与え られた とす る｡

点 の

図 は,線分 X

,

X

,X

X l の垂直

等分線を作図すればよい｡

点 は, Xl ,

,X

を通 る外接円の中心,すなわち,外心にはかな らない｡

4

点以上の

図は,どのようになるか｡ この作図法 としては,逐次 添加法が実用上( 処理速度, 構造の単純 さ) , もっとも優れているといわれる｡

この方法は,既に

点の

図が作 られているので これを基 に

点を追 加 して更新 していくものである｡いわば, ｢ブー トス トラップ｣法である｡

今,図

のように,Xl ,

, X

か ら

図が作 られていて,新た に,X

が添加 されたとする｡X

と一番近いX

( X

とX

は同一の

領域に属する)との垂直

等分線を引き,

辺 との交点の一つを

l と するo

l の属する別の

領域の母点XlとX

の垂直

等分線を引き,

辺 との交点の一つを

とする｡

の属する別の

領域の母 点

とX｡ の

辺 との交点をY

とすると,Y

は最初の

辺へ の交点

l の別の交点に一致す る｡よって,

l

の三角形の内部が,

の

領域で,

図が再構成された ( 図

｡

9)Voronoi,G.,Nouvellesapplicationsdesparam昌trescontinusalath60‑

riedesformesquadratiques

,

PremierM6moire:Surquelquespropri6t6sdesformesquadratiques positivesparfaites

,J.

Deuxi8meMemoire:Recherchessurlespara1161108dresprlmitifs

,

62

_{商 学 討}

第

巻 第

号

V ( X l )

図

図の作成

Voronoi

領域 は, 通常,多角形 とな るので

多角形 と呼ぶ｡いま,

多角形 の隣接関係 について注 目しよ う

例えば,公共施設 x に出掛 けて行 ったが,たまたま,事情があって,利用で きなか った とす る｡その′ / とき には, x の周辺を見渡 して,一番便利のよい ( 近 い)所を探すであろうo x の 利用圏に隣接す るすべての利用圏が候補であることは間違 いないが, どれが最 適であろ うか｡ 方と隣接す る

領域 の母点を次 々に結んでい くと,辛 直線が得 られ るが,すべての領域 について同様の操作を続 けると,三角形図が 得 られ る｡ ( 退化が起 こらない と仮定 して い る｡) これが,Del

三角形 図あ るいは,Del

三角形分割図 と呼ばれ る｡

Delaunay

三角形 図 は, ロシアの数学者

(ドローネ と読 む｡Del

とも書 く｡ )の

年の ｢ 空 白円｣に関す る論文 に由来す る

0

Voronoi

点で は, 少な くとも

本の

辺が集 まることと

三角形 は,

つの

領域 の母点 を結んでで きた ものであることか らそ れぞれの

三角形 には,一つずつ

点が対応 している｡

10)Surlasph占resvide,Izv.Akad.NaukSSSR,OtdelenieMateTnaticheskiii EstestueTmyhaNauh7 (1934),793‑800.

最適施設配置問題 の社会情報学 的考察

点か ら

つの母点 までの距離が等 しいことか ら

点 を中 心 として

三角形の

つの頂点を通 る外接円を措 くことがで きる｡

外接 円 は,他 に頂 点 が釆 な い とい う意 味で,空 白円 とい う

その とき,

点は,

三角形の外心である｡

逆に,

三角形図の隣接関係を見 ると,それは

辺 にはか ならない｡ このことか ら,

図 と

三角形図は,双対 ( そ う つい)関係 にあるとい う

この関係か ら,

三角形図は,

図を基 に作 り出せ,

図は,

三角形図か ら構成 されるので ある｡

実際的な応用 として,小樽市街にある

個の郵便局の所在 と,それ らの

図,

三角形図を求めたので,以下に示す｡ これは,利用 者の利用圏や,適正な配置かどうかを知 る上で,有効な社会的情報 となる

図

:小樽市街 に実在す る郵便局の配置 ( 次図参照)

ll)

若林ゼ ミナールの学生であった田中 麻友 さんの計算に負 う所が大 きい｡

商 学 討 究 第

巻 第

号

図

小棒市街の郵便局 を母点 とするポ ロノイ図

図

ドローネ三角形図

最適施設配置問題 の社会情報学 的考察

6 Voronoi

図を求めるソフ トウェア

Voronoi

図を作成す るコンピュータプログラムには,い くつかの ものが知 られている｡イ ンターネ ッ ト上の

を実行 し,Vor

を探せば,

1.Voronoi.tar.Z40929Apri1301993

2.new‑version‑convex‑hull‑Delaunay‑Voronoi2294May261994

が 国内サイ トで見つか る

また,Del

で探せば,Mat

で実行で きる

や,

4.Delaunay.SUN

が見つか る｡さ らに,外国まで,範囲を広げると,相当数の公開されたソフ ト ウェアが様 々な分野に応用 されて存在す ることがわか る

｡

以下では,上記以外の

つを紹介す る｡

第一 は,杉原 ･伊理 プログラム

である｡ これは,Fort

ラム2,300 行で提供 され,Sun . 7‑クステー ションで コンパイル,実行 して使

う

ユーザーは,母点の座標 さえ入力すれば,算法の詳細を知 らな くて も,杏 易に,Voronoi 図や

三角形分解図を得 ることがで きる｡算法の詳 細を知れば,Fort

実際,ユーザーイ ンタフェースが貧弱であるので,プログラムを読んで使い易 くしなければな らなか った｡ しか し,数値計算の精度,頑健性 に定評がある｡

第 2は,qhu日と呼ばれ る, C言語で書かれた,登録商標付 きのフ リーソフ トの凸包 プログラムである

12)netscapehttp://opentext.uunet.ca:8080/

を実行 し

をサーチ すると,

̀̀voronoi"‑375hitsin158pages

と

か所に

件が表示され,そこか ら関連情報を得る ( サーフィンする)こと ができる｡

年

月

日現在)

13)Sugihara,K.andlri

,

, 東京大学工学部計数工学科

14)rtpgeom.umn.edu

( または

ができる｡

66

_{商 学 討 究 第}

_{巻 第}

_号

現在,

版であ り,米国 ミネソタ大学の ジオメ トリ ･セ ンターが提供 している

凸包の計算,

三角形,

図を

次 元以上 まで,最 も高速に計算す る｡グラフ出力まで行 うので,多数のオプショ

ンを持つ大 きなパ ッケー ジで奉るo

と呼ばれ る

lのための入力を 生成す るツール も備えている｡

出力 として,

用の入力データを生成す ることができることも 特徴である｡

qhul

lの使用法を簡単に示す と以下のようである｡

使用法 :

入力 ( 標準入力) :次元,点の個数,点の座標 主なオプション :

d Delaunay

三角形

V Voronoi

図

三角形図か ら)

結果の検証

主な出力オプション ( デフォル トでは,要約情報を表示する｡):

f すべての場面を印刷す る｡

G Geomview

出力

1 (Voronoi

の中心)各々の面に接続する頂点

出力

p (Voronoi

の中心)点の座標

第

は,数式処理言語 として名高い,

の

利用であ る｡周知のように,

は,数値計算,数式処理,グラフィックス 処理,マルチメディア機能を統一的な環境の下においているが,第

0 版より,

̀とい う

が提供 され た｡ユーザーは,

くく

名 ( す なわ ち,

̀ P

名 ( す なわ ち,

最適施設配置問題 の社会情報学 的考察

Comput at i onal Geom et r y) ̀ によ り,直接読 み込んで,以下 の

個 の シン ボル名のい くつかを,実行 させ る｡

1.DelaunyTriangulation 2.VoronoiDiagram

3.ConvexHull

4.NearestNeighbor

5.TriangularSurfacePlot 6.PlanarGraphPlot

7.DiagramPlot‑

8.DelaunayTriangulationQ 9.LabelPoints

10.Ray

ll.AllPoints

‑12.Hull

13.TrimPoints

関数

Hx l , y l) ,( x

,y

) ,‥. ,i xn,ynH ] は,辛 面の多数の点の

図を作成す る｡結果 は,

つの リス トによって表わ され る

図の頂点の座標 リス トと,頂点 の隣接 リス トである｡関数 の引数 に, さ らに

や

lを加えることによって,

図をよ り効 率よ く計算す ることがで きる｡

Mathematica

を用いて

図を求めるには,オ ンライ ンマニ ュアル ともいうべ きパ ッケージの中身を読むのがよい｡パ ッケージには,

題なども 詳 しく盛 り込んである

15)

この点に関しては,平成

年度特定研究経費

｢ 数式処理言語

を利 用 した数理モデルの解析

の

) )に基き

b上で実施 した｡

記して感謝 したい｡

68

_{商 学 討 究 第}

_{巻 第}

_号

7

結語的覚書

最適施設配置の問題 は,古 くて新 しい問題である｡また,応用範囲 も広 く, 単に,地理的な施設配置にとどま らない｡社会的な人員配置や ロケーション問 題であるところの雇用の調整,組織の編成の問題 などにも考え方 には共通の要 素がある

最適施設配置 は, 本稿のよ うな数学的な処理や, 情報科学的な処理 によって, 解を提案で きるが,その実施 は,政策者の決断にゆだね られ る｡社会情報アプ

ローチとしては,データの収集,処理,整理を適切 に行い,問題の枠組みを設

定 し,定式化 し,問題の解を得 るなどして政策者の価値判断を助 けるために情

報を提供す ることにある

そのさい, どのような ｢ 仮定｣が設定 されているか

注意す る必要がある