である直方体 が，直交座標系

[

問

右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体 が，直交座標系

のそれぞれの軸に

辺をそろえて置かれている。

点を

は直方体の頂点であり，点

は辺の中点とする。

A

B C D

4 2

1 O

x

y z

(1)

ベクトル

AB，−→

AC

と

AD

を成分で表しなさい。

(2)

ベクトル

AB

と向きが同じで大きさが

AB

の

倍のベクトル

を成分で表しなさい。また，ベクトル

−→AC

と向きが逆で大きさが

のベクトル

を成分で表しなさい。

(3)

線分

と 線分

の間の角度を

とするとき，cos(θ) を求めなさい。

(4)

線分

の中点を

とする。点

と点

の間の距離を求めなさい。

(5)

原点

を始点とし，点

を終点とするベクトル

OF

が次の式

−→OF =−→

OB−−→

OC +t (

3−→

OC−2−→

OB )

, −∞< t <∞ (p1.1)

で表される時，点

の集合は

平面上の直線となる。この直線を図示しなさい。

[問1-2]

下図に示すように台形の壁

がある。ただしそれぞれの点の座標は

O : (0,0,0), A : (0,0,4), B : (0,4,2), C : (0,4,0) (p1.2)

であり，xy 平面を地面とする。この壁の後ろの点

に光源を置くと，壁の影

ができた。

(1)

点

と点

の座標を求めなさい。

(2)

線分

と 線分

の間の角度を

とするとき，

cos(θ)

を求めなさい。

A

B

C S

E O

D

[

答

各点の座標は

A: (2,0,1), B: (2,4,0), C: (1,4,0), D: (0,0,1) (p2.1)

となる。

(1) −→

AB = (0,4,−1), −→

AC = (−1,4,−1), −→

AD = (−2,0,0) (p2.2)

(2)

a = 2−→

AB = (0,8,−2), (p2.3)

b = − 1

|−→

AC|

−→AC = 1

√18(1,−4,1) = 1 3√

2(1,−4,1) = ( 1

3√

2,− 4 3√

2, 1 3√

2 )

(p2.4)

(3) cos(θ) =

−→AC·−→

AD

|−→

AC| |−→

AD|

の関係を使う。

−→AC·−→

AD = 2, |−→

AC|=√

18 = 3√

2, |−→

AD|= 2 (p2.5)

なので

cos(θ) = 1 3√

2 (

=

√2 6

)

(p2.6)

となる。

(4) −→

AE = 1 2

−→AC = (−1

2,2,−1 2 )

, −→

DE =−→

AE−−→

AD = (3

2,2,−1 2 )

(p2.7)

より点

と点

の間の距離

DE|

は

|−→

DE|=

√(3 2

)2

+ 4 + (−1

2 )2

=

√13

2 (p2.8)

となる。

(5) −→

OF = (1−t ,4t ,0) (p2.9)

より，点

の座標を

とすると

x= 1−t , y= 4t , z= 0 (p2.10)

となる。この式より直線は右図のようになる。t を消 去した

と

の関係式は

y= 4−4x (p2.11)

となる。

0.5 1 1.5 2

-4 -2 2 4

x y

【注】違う座標系をとってもよい。その場合

や

などのベクトルの成分は違った数字になるが，(3) と

の答えは変わらない。

[

答

(1)

各点の座標より，

−→SA = (2, 0,−2), −→

SB = (2,4, −4) (p3.1)

となる。

SA

と

AD

は同じ向きなので，α を正の実数として

−→AD =α−→

SA = (2α , 0,−2α) (p3.2)

となる。α の値は点

が地面

平面) 上にあるという条件から決める。点

の座標は

−→OD =−→

OA +−→

AD = (2α ,0,4−2α) (p3.3)

なので，点

の

座標が

という条件から

となる。従って点

の座標は

D: (4,0,0) (p3.4)

となる。

同様に

SB

と

AD

は同じ向きなので，β を正の実数として

−→BE =β−→

SB = (2β ,4β ,−4β) (p3.5)

となる。点

の座標は

−→OE =−→

OB +−→

BE = (2β ,4 + 4β ,2−4β) (p3.6)

なので，点

の

座標が

という条件から

2

となる。従って点

の座標は

( 1,6,0

)

(p3.7)

となる。

【注】直線の影がやはり直線になることは以下のように示せる。例えば直線

上の点

は

として

OQ =−→

OA +t−→

AB = (0,4t ,4−2t) (p3.8)

と表わされる。点

の

を点

とすると，上と同様に

を正の実数として

−→QR = γ−→

SQ =γ(2,4t ,−2t−2) (p3.9)

−→OR = −→

OQ +−→

QR = (

2γ ,4t+ 4tγ ,4−2t−2γ(1 +t) )

(p3.10)

となる。点

の

座標が

という条件から

1 +t

が得られる。従って

−→OR =

(2(2−t) 1 +t , 12t

1 +t,0 )

(p3.11)

より点

は直線

上にあることがわかる。

(2) cos(θ) =

−→EC·−→

ED

|−→

EC| |−→

ED|

の関係を使う

EC = (−1,−2,0), −→

ED = (3,−6,0)

より

−→EC·−→

ED = 9, |−→

EC|=√

5 =, |−→

ED|= 3√

5 (p3.12)

なので

cos(θ) =3

5 (p3.13)

となる。

[

問

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方体がある．点

は辺の中点であり，点

は直方体の中央にある．図のように座標 系をとった場合に次の問に答えなさい．

(1)−→

AB×−→

AC

と

EB×−→

EC

を計算しなさい．

(2)−→

CD

にも

CE

にも直交する単位ベクトル

のベクトル) を １つもとめなさい．

(3)

点

を含む平面の方程式を求めなさい.

(4)

線分

を

辺とする平行

面体

の体積を求めな さい.

A

B C

D

4 2

2 E

O

図

A

B C

D

4 2

2 E

O

B B E

B B C

E C E

C E E E E

C C

図

[問2-2]

(1)

図

の点

を含む平面によって，空間は

つの領域に区切られる. 次の

点

で点

と同じ領域に入っている点を全て求めなさい．ただし

の中の数値は点の座標を示す．

(2)

次の

つの点

が同一平面上にあるかどうかを判定しなさい。

(2-1) A:(4,5,1)，B:(0,−1,−1)，C:(1, 1,0)，D:(3,4,1) (2-2) A:(4,2,1)，B:(0,−2,−2)，C:(1, 2,1)，D:(−4,4, 1)

[

答

この座標系について各点の座標は

A : (2,0,0)

，

，

となる．

(1) −→

AB = (−2, 4,1), −→

AC = (0,4,2), −→

EB = (−1,2,0), −→

EC = (1,2,1), (p5.2)

より，以下を得る：

−→AB×−→

AC = (4,4,−8), −→

EB×−→

EC = (2,1,−4). (p5.3)

(2)−→

CD

にも

CE

にも直交するベクトルとしては，例えば

−→CD×−→

CE = (−2,−4,0)×(−1,−2,−1) = (4,−2,0) (p5.4)

がある．

|−→

CD×−→

CE|=√

20 = 2√

5 (p5.5)

より

CD×−→

CE

と同じ向きで大きさが

の単位ベクトルを

とすると

−→CD×−→

CE

|−→

CD×−→

CE| = 1 2√

5 (4,−2,0) = ( 2

√5,− 1

√5,0 )

(p5.6)

となる．

【注】

(− 2

√5, 1

√5,0 )

でも

(3)−→

AB×−→

AC = (4,4, −8)

は点

を含む平面に直交するベクトルとなる. 平面上の任意の点

の座標を

とすると

AP

と

AB×−→

AC

は直交するので

AP·(−→

AB×−→

AC )

= 4 (x−2, y, z)·(1,1,−2) = 4(x+y−2z−2) (p5.7)

が成り立つ．従って平面の方程式は

x+y−2z= 2 (p5.8)

となる.

(4)

平行

面体の体積は

¯¯¯−→

ED·(−→

EB×−→

EC)¯¯¯=|(−1, −2,1)·(2,1,−4)|=| −8|= 8 (p5.9)

となる．

[

答

(1) −→

AD = (−2,0,2), −→

AF = (6,1,4), −→

AG = (−3,14,5), −→

AH = (−8,−7,−7), (p6.1)

より

−→AD·(−→

AB×−→

AC )

=−24, −→

AF·(−→

AB×−→

AC )

=−4, (p6.2)

−→AG·(−→

AB×−→

AC )

= 4, −→

AH·(−→

AB×−→

AC )

=−4 (p6.3)

となる．これより点

が平面に対して

AB×−→

AC

と同じ側，点

が逆側の領域に属することがわ かる．

【注】点

の座標を式

の右辺に代入して，その値の正負から判断してもよい．

f(x, y, z) =x+y−2z−2 (p6.4)

とすると

f(0,0,2) =−6, f(8,1,4) =−1, f(−1,14,5) = 1, f(−6,−7,−7) =−1 (p6.5)

より，点

と同じ領域に属するのは点

と

であることがわかる。

(2)

b=−→

AB

，

AC, d=−→

AD (p6.6)

としたとき，

b=αc+β d (p6.7)

となる

が存在すれば

はベクトル

と

が張る平面上にあり，4 点

は同一平面上に 乗っている。このとき，外積

は

にも

にも直交するので，b とも直交する。従って，

b·(c×d) = 0

となる。従って，b

を計算して，その値が

かどうかを調べればよい。

(2-1)

b= (−4,−6,−2), c= (−3,−4,−1), d= (−1,−1,0) (p6.8)

より

c×d= (−1,1, −1), b·(c×d) = 0 (p6.9)

なので，4 点

は同一平面上にある。

(2-2)

b= (−4,−4,−3), c= (−3,0,0), d= (−8,2,0) (p6.10)

より

c×d= (0,0,−6), b·(c×d) = 18 (p6.11)

なので，4 点

は同一平面上にはない。

[

問

(1) 3

つの力

と

が物体に働いてつりあっている。F

を求めよう．

一番大きさの小さい力はどれ？

(2)

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方 体がある．点

は辺の中点であり，点

は直方体の 中央にある．

図のように座標系をとった場合に次の問に答えなさい．

(2-1)

点

から 点

に向かう単位ベクトル

，点

から 点

に向かう単位ベクトル

，点

から 点

に向か う単位ベクトル

，および点

から 点

に向かう単 位ベクトル

，をそれぞれ求めなさい．(単位ベクトル を成分で表しなさい．)

(2-2)

点

にある物体に，点

に向かって大きさ

5 N

の力

が働いているとき，F

を成分で表しなさい．

(2-3)

点

にある物体を点

に向かって大きさ

の力

で引っ張る．さらに点

に向けて大きさ

5 N

の 力

で，点

にむけて大きさ

5 N

の力

で，点

にむけて大きさ

の力

で引っ張る．力がつ りあって物体が静止する場合に

と

を求めなさい．

A

B C D

4 2

2 E

O

図

[

問

(1)

図

の点

と点

を通る直線上を滑らかに動く物体を考える．この物体と点

を糸で結び，点

に向けて大きさ

の力で引っ張る．また大きさ

5 N

の力で点

に向けて引っ張る．さらに点

に向けて大きさ

√3

2 N

の力で引っ張る．この物体が点

で静止するとき，f

を求めなさい．

(2)

図

の点

を通る平面上を滑らかに動く物体を考える．この物体と点

を糸で結び，点

A

に向けて大きさ

の力で引っ張る．また点

に向けて大きさ

の力で引っ張る．さらに 点

に向けて大きさ

6 N

の力で引っ張る．この物体が点

で静止するとき，f

と

を求めなさい．

[

答

(1)

F3=−F1−F2= (

0,−2,−3 )

(p8.1)

(2)

この座標系について各点の座標は

(2-1)

−→EA = (

1,−2,−1 )

, −→

EB =

(−1,2,0 )

, −→

EC = (

0,2,1 )

, −→

ED =

(−1, −2,1 )

, (p8.2)

となる。点

から点

に向かう単位ベクトル

，u

，u

はそれぞれ

uA =

−→EA

|−→

EA| = 1

√6 (

1,−2,−1 )

, uB =

−→EB

|−→

EB| = 1

√5

(−1,2,0 )

, (p8.3)

uC =

−→EC

|−→

EC| = 1

√5 (

0,2,1 )

, uD=

−→ED

|−→

ED| = 1

√6

(−1,−2,1 )

(p8.4)

となる．

(2-2)

FB =√ 5uB =

(−1,2,0 )

(p8.5) (2-3)

点

から点

に向かう力をそれぞれ

，F

，F

，および

とすると

FA = fAuA= f_A

√6 (

1,−2,−1 )

, FB=√ 5uB=

(−1, 2,0 )

, (p8.6)

FC = √ 5uC=

( 0,2,1

)

, FD=fD uD= fD

√6

(−1,−2,1 )

(p8.7)

となる．

力のつりあいの条件

FA+FB+FC+FD=







f_A√−f_D 6 −1 4−2^fA√^+fD 6

1−^fA√−₆^fD





=









 0 0 0











(p8.8)

より，f

，f

，f

についての連立方程式

6 −1 = 0 (p8.9)

4−2fA+fD

√6 = 0 (p8.10)

1−f_A−f_D

√6 = 0 (p8.11)

が得られる．((p8.9) とp8.11) は同じ方程式となる．) これより

6

2 , f_D=

√6

2 (p8.12)

となる．

[

答

(1) u_A

，u

，u

を

の

で求めた，点

から点

に向かう単位ベクトルとすると，この物 体に糸を通して働く力

は

F =fA uA+√ 5 uB+

√3 2 uD=

(fA

√6 −3

2,−2fA

√6+ 1,−fA

√6 +1 2 )

(p9.1)

となる．F が物体の動ける方向，

OE = (1,2, 1)

と直交していればよいので，次の条件

OE =−4f_A

√6 + 1 (p9.2)

より

fA=

√6

4 (p9.3)

となる．

(2) uA

，u

，u

を

の

で求めた，点

から点

に向かう単位ベクトルとすると，この物 体に糸を通して働く力

は

F =f_A u_A+f_C u_C+√ 6u_D=

(f_A

√6 −1,−2f_A

√6 + 2f_C

√5 −2,−f_A

√6+ f_C

√5+ 1 )

(p9.4)

となる．物体は点

を通る平面上のみを動けるので，F がこの平面と直交していれば物体は 静止したまま動かない．つまり，F が平面と直交するベクトル

−→OB×−→

OE = (0,4,1)×(1,2,1) = (2,1, −4) (p9.5)

と同じ向き，あるいは逆向きであればよい．この条件は

0= (−→

OB×−→

OE

)×F =

(−9f_A

√6 + 9f_C

√5−7,−2f_A

√6−2f_C

√5+ 2, −5f_A

√6+ 4f_C

√5 −3 )

(p9.6)

と書ける．これより

と

についての連立方程式

9 f_A

√6−9 f_C

√5 =−7 (p9.7)

2 √fA

6+ 2 √fC

5 = 2 (p9.8)

5 fA

√6−4 fC

√5 =−3 (p9.9)

が得られる．(上の

式の中で，独立な方程式は

つ．

√6

と

√5

の連立方程式と考えた方が見やすい かも．) これを解いて

fA=

√6

9 , fC= 8

√5

9 (p9.10)

となる．

【注】

が平面内の独立な

つのベクトル

OB，−→

OE

と直交するという条件

OB =−9 fA

√6+ 9 fC

√5 −7, 0 =F ·−→

OE =−4 fA

√6 + 5 fC

√6 −4 (p9.11)

から

と

を求めてもよい．

.[

問

x

軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる長さ

の棒が

平 面内に置かれている．回転軸は棒の一端

から

から

の位置にある．また，点

は点

と点

の中点である。図

のように 棒が

軸から

だけ傾いているとき，点

に力

(

0,2,−4 )

を，点

に力

(

0,−1,1 )

を, 加えた．

(1)

力

がこの棒に及ぼす，原点の回りの力のモーメント

を求めな さい．

(2)

力

がこの棒に及ぼす，原点の回りの力のモーメント

を求めな さい．

(3)

この棒に力

と

を加えた場合，この棒は

軸のまわりに，時計 回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止した ままかを答えなさい．

(4)

さらに，点

に力

0,0, Fz

)

を加えて，棒を回転軸のまわり に回転しないようにした．F

を求めなさい．

θ A

L B C

z

y

ᤨ⸘࿁ࠅ

෻ᤨ⸘࿁ࠅ

O

図

[問4-2]

x

軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる長さ

の棒が

平面内に置かれている．回転軸は棒の一

端

から

から

は点

と点

の中点である。図

のように棒

が

軸から

だけ傾いているとする．

(1)

点

に力

0,0, Fz

)

を加え，点

に力

0,2,−4 )

を加えると，原点の回りの力のモーメン トが

となった．F

を求めなさい．

次に，力

と力

を点

と

に加えたまま，棒の角度を

から少し変化させて

とした．

このとき，棒は

軸のまわりに，時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止した ままかを答えなさい．棒を，少し反時計回りに回転させる場合

と，少し時計回りに回転させる場合

のそれぞれについて答えなさい．

ただし，|

の場合には以下の近似式が成り立つ：

sin (π

6 +δθ

) ≈ sin (π

6 )

+ cos (π

6 )

δθ=1 +δθ√ 3

2 , (p10.1)

cos (π

6 +δθ

) ≈ cos (π

6 )−sin

(π 6 )

δθ=

√3−δθ

2 . (p10.2)

(2)

点

に力

0,0, F_z )

を加え，点

に力

0, −1,1 )

を加えると，原点の回りの力のモーメ ントが

となった．F

を求めなさい．

次に，力

と力

を点

と

に加えたまま，棒の角度を

から少し変化させて

とし

た．このとき，棒は

軸のまわりに，時計回りに回り始めるか，反時計回りに回り始めるか，あるいは静止

したままかを答えなさい．棒を，少し反時計回りに回転させる場合

と，少し時計回りに回転させる

場合

のそれぞれについて答えなさい．

[

答

(1)r_B= 2L 3

(

0 cos(θ),sin(θ) )

なので

3 (

0 cos(θ), sin(θ) )×(

0,2,−4 )

=−2L 3

(

4 cos(θ) + 2 sin(θ),0,0 )

=

(−L 2 + 4√ 3 3 ,0,0

)

(p11.1)

となる．

(2)rC=L 3 (

0 cos(θ),sin(θ) )

なので

3 (

0 cos(θ),sin(θ) )×(

0,−1,1 )

= L 3 (

cos(θ) + sin(θ), 0,0 )

= (

L 1 +√ 3 6 ,0,0

)

(p11.2)

となる．

(3)

力

と力

が働く場合の原点の回りの力のモーメント

は

(−L 3 + 7√ 3 6 ,0, 0

)

(p11.3)

となる．N は

軸の負の向きを向いているので，棒は

軸の回りに 時計回り に回転を始める．

(4)

力

による力のモーメント

は

0 −cos(θ),−sin(θ) )

なので

3 (

0 cos(θ),sin(θ) )×(

0,0, Fz

)

=−L 3 (

Fzcos(θ),0,0 )

=

(−LFz

√3 6 ,0,0

)

(p11.4)

となる．物体が回転しないのは

となる場合なので

F_z=−( 7 +√

3 )

(p11.5)

となる．