• 検索結果がありません。

0.Introducci´on UniversidadNacionaldeColombia,Bogot´a Seraf´ınBautistaJanuarioVarela Localizaci´onencamposdeespaciosuniformesseparados

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

シェア "0.Introducci´on UniversidadNacionaldeColombia,Bogot´a Seraf´ınBautistaJanuarioVarela Localizaci´onencamposdeespaciosuniformesseparados"

Copied!
21
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

Volumen 35 (2001), p´aginas 29–49

Localizaci´ on en campos de espacios uniformes separados

Seraf´ın Bautista Januario Varela

Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a

Abstract. In this paper a construction of the localization process for Hausdorff uniform bundles is presented via an existence theorem for uniform bundles due to J. Varela. This construction leads to a universal arrow from a given presheaf P to the functorF assigning to each bundle of Hausdorff uniform spaces the presheaf of all its local sections.

Key words and phrases.Localization, uniform bundles, presheafs.

2000 Mathematics Subject Classification.Primary 55R65. Secondary 18A30.

Resumen. En este art´ıculo se presenta una construcci´on del proceso de locali- zaci´on para campos uniformes saparados utilizando un teorema de existencia de campos uniformes de J. Varela. A partir de esta construcci´on y otros resultados de tipo categ´orico, se obtiene que para cada prehazP de espacios uniformes separados existe una flecha universal de este prehazPal funtorFque en objetos asigna a cada campo de espacios uniformes separados el prehaz se sus secciones locales.

0. Introducci´ on

El mecanismo cl´asico de construcci´on de fibras en haces a partir de prehaces, mediante el c´alculo de l´ımites inductivos en la categor´ıa de conjuntos, tiene una contraparte no discreta en la construcci´on de fibras de campos de espacios uni- formes. Desde la propuesta inicial de J. Dauns y K. H. Hofmann [7], [8] se han

El primer autor agradece la ayuda financiera de laFundaci´on Mazda para el Arte y la Ciencia .

29

(2)

clarificado y precisado considerablemente estos procedimientos, cf. S. Bautista [2] y R. De Castro [5], [6]. Continuando en esta direcci´on en el presente art´ıculo consideramos para efectos de la construcci´on de las fibras, categor´ıas de espa- cios uniformes presentadas esta vez por medio de entornos generales en lugar de recurrir a familias de seudom´etricas como acontece en los trabajos citados.

Esto se logra por medio de caracterizaciones de las aplicaciones uniformemente continuas en t´erminos de los calibres totales (ver [4]) de los espacios dominio y codominio de la aplicaci´on.

1. Campo de espacios uniformes

1.1. Definici´on. Seap:G−→T una funci´on sobreyectiva. Unauniformidad parapes un filtro U sobre G∨G={(u, v)∈G×G:p(u) =p(v)}tal que el filtro generado porU enG×Gsea una estructura uniforme para G.

Referimos a [10] para las definiciones deselecci´on, selecci´on global, selecci´on lo- calysecci´on localparap, deconjunto de selecciones plenoy deU-tubo alrededor de una selecci´on localαparapcon U ∈ U.

1.2. Definici´on. SeanG yT espacios topol´ogicos, p: G−→ T una funci´on sobreyectiva yU una uniformidad parap. A la tripleta (G, p, T) se llamacampo uniformecon respecto aU si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

(i) Para todo u G y todo U ∈ U, existe una secci´on local α tal que u∈U(α).

(ii) La familia de conjuntosU(α), dondeUrecorre un sistema fundamental de entornos apropiadoGyαrecorre las secciones locales parap, forman una base de la topolog´ıa deG.

Por lo tanto, para cadau∈G, un sistema fundamental de vecindades est´a cons- tituido por los U-tubos conU G, que contienen au, alrededor de secciones locales parap.

El espacio T se llama el espacio base del campo. Si se necesita m´as precisi´on se escribe [(G, p, T),U] en vez de (G, p, T). Para cadat∈T,Gt=p−1(t) es la fibra encima de t. El espacio Ges el espacio fibrado. Un campo uniforme es separadosi la uniformidadU es separada. Adem´as,G∨G=S

t∈TGt×Gt. 1.3. Teorema (Existencia de campos uniformes). SeanT espacio topo- l´ogico yp:G−→T una funci´on sobreyectiva. Den´otese porΣun conjunto de selecciones locales parapy porGun sistema fundamental de entornos parap, cerrado para la inversi´on, esto es,U−1GsiU Gy tal que para todoU G y todo (u, v)∈U existenV, W Gpara los cuales (u, v)∈V y V ◦W ⊂U. Hacemos las siguientes suposiciones:

(a) Para todou∈Gy todo U G, existe α∈Σtal que u∈U(α).

(b) Para todo U G y todo (α, β) Σ×Σ, el conjunto {s T : (α(s), β(s))∈U} es abierto enT.

(3)

EntoncesGpuede ser provisto de una topolog´ıaT tal que

(1) T tiene una base constituida por los conjuntos de la forma U(α|Q), dondeU G y α|Q es la restricci´on deα∈Σa un conjunto abierto Qcontenido en el dominio deα.

(2) Cadaα∈Σes una secci´on local.

(3) (G, p, T)es un campo uniforme.

Demostraci´on. Ver J. Varela [10]. ¤X

1.4. Observaci´on. En el caso de que (G, p, T) sea un campo uniforme y Σ sea la familia de todas las secciones locales parap, entonces se tienen inmedia- tamente las condiciones (a) y (b) del Teorema 1.3. En efecto, (a) hace parte de la definici´on de campo uniforme y (b) se tiene porque

{s∈T : (α(s), β(s))∈U}=α−1(U(β|Q)) es la imagen rec´ıproca de un abierto.

2. Categor´ıas de campos uniformes

2.1. Definici´on. Sea T un espacio topol´ogico fijo yAla colecci´on de todos los subconjuntos abiertos deT. Se denotar´a conUcampla categor´ıa de campos uniformes tal que

(i) Los objetos son campos uniformes [(G, p, T),U] con espacio baseT. (ii) Los morfismos entre pares de objetos [(G, p, T),U] y [(H, q, T),V] son

funcionesf :G−→Huniformemente continuas (con las uniformidades de los campos) y continuas con las topolog´ıas de G y H tales que q◦f =p.

2.2. Definici´on. La categor´ıa Ucamps es la subcategor´ıa plena de Ucamp que tiene como objetos los campos uniformes separados con espacio baseT y como morfismos los descritos en 2.1.

De ahora en adelante (T,A) denota un espacio topol´ogico y V(t) la base de filtro formada por todas las vecindades abiertas del punto t∈T. Adem´as, A se considera como un preorden con la relaci´on de contenencia.

2.3. Definici´on. Unprehaz de espacios uniformeses un funtor contravariante P definido de A a la categor´ıa U nif de los espacios uniformes y aplicaciones uniformemente continuas tal que

(i) A cada abiertoQdeAle hace corresponder un espacio uniformeP(Q).

(ii) A cada par de abiertos Q, P ∈ A con P Q le hace corresponder una funci´on uniformemente continua fQP : P(Q) −→ P(P) llamada morfismo restricci´on.

(4)

2.4. Observaciones.

(1) Si enAse define la relaci´onQ≤P si y s´olo siP ⊂Q, entonces (A,≤) es un conjunto dirigido. Por lo tanto, el prehaz

¡(P(Q))Q∈A,(fQP)P⊂QQ,P∈A¢

es un sistema directo enU nif.

(2) Si en la Definici´on 2.3 se toma una categor´ıa cualquiera en el lugar de U nif, al funtor contravarianteP se le llamar´a simplemente unprehaz.

2.5. Prehaz de secciones locales. Sea £

(G, p, T), U¤

un campo uniforme.

Denotamos por C el calibre total de (G,U), esto es, la colecci´on de todas las pseudom´etricas finitas uniformemente continuas definidas de G×Gen R. A este campo se le puede asociar el prehaz desecciones localesPp:A −→U nif como sigue:

(i) Para cada Q ∈ A,Pp(Q) = ¡

Pp(Q),UQ

¢, donde Pp(Q) = : α es una secci´on local en (G, p, T) con dominioQ} yUQ es la uniformidad generada por la base{Ud,Qε,p :ε >0, d∈ C}, siendo

Ud,Qε,p ={(α, β)∈ Pp(Q)× Pp(Q) : (∀s∈Q)((α(s), β(s))∈Vdε)}, Vdε={(u, v)∈G×G:d(u, v)< ε}.

(ii) Para cadaQ, P ∈ Acon P⊂Q,fQP :Pp(Q)−→ Pp(P), α7−→α|P es uniformemente continua, dondeα|P denota la restricci´on deαaP. 2.6. Definici´on. Dado un campo uniforme (G, p, T) y un prehazP definido de Aen U nif, P se llama prehaz de secciones locales si para cadaQ ∈ A se tieneP(Q)⊂ Pp(Q). Los morfismos restricci´on son aqu´ı los mismos definidos enPp. Los entornos b´asicos deP(Q) se denotan porUd,Qε en vez deUd,Qε,p. 2.7. Definici´on. Un prehaz P de secciones locales de (G, p, T) es pleno si para cadau∈Gconp(u) =texistenQ∈V(t) yα∈ P(Q) tales queα(t) =u.

N´otese que la plenitud de P en esta definici´on es diferente al concepto de plenitud deP visto como funtor (ver [1]).

2.8. Definici´on. En la categor´ıaP rehde los prehaces de espacios uniformes con respecto aAse tiene que

(i) Los objetos son prehaces de espacios uniformes,P :A −→U nif. (ii) Los morfismos entre dos prehacesP,P0:A −→U nif son aplicaciones

naturales φ: P−→P˙ 0, esto es, para cada Q ∈ A, existe un morfismo φQ:P(Q)−→ P0(Q) enU nif y estos morfismos son compatibles con las restricciones, es decir, siQ, P ∈ AconP ⊂Q, el diagrama siguiente conmuta.

(5)

P(Q) −−−−→ PφQ 0(Q)

fQP

 y

 yfQP P(P) −−−−→ PφP 0(P)

2.9. Teorema. La correspondencia F : Ucamp −→P reh que asigna a cada campo uniforme(G, p, T)el prehaz Pp de sus secciones locales y a cada mor- fismo de campo uniforme f : [(G, p, T),U] −→[(H, q, T),V] le asigna la apli- caci´on natural F(f) = φ : Pp−→P˙ q dada por F(f)Q = φQ : Pp(Q) −→

Pq(Q), α7−→f◦α, para cadaQ∈ A, es un funtor covariante.

Demostraci´on. SeanCG yCH los calibres totales de (G,U) y (H,V) respecti- vamente. Dado quef es uniformemente continua si y s´olo si existe una ´unica aplicaci´on ` : CH −→ CG, d 7−→ d` tal que d(f(u), f(v)) = d`(u, v), para u, v G (ver [3]), entonces dado Ud,Qε,q tenemos que (φQ ×φQ)−1¡

Ud,Qε,q¢

= {(α, β)∈ Pp(Q)× Pp(Q) : (f◦α, f◦β)∈Ud,Qε,q}={(α, β)∈ Pp(Q)× Pp(Q) : (∀s Q)¡

(α(s), β(s)) Vdε`¢

} = Udε,p`,Q, por lo tanto φQ es uniformemente continua.

Cada φ es una transformaci´on natural puesto que si α ∈ Pp(Q) entonces f◦α∈ Pq(Q) ya quef es continua. El diagrama

Pp(Q) −−−−→ PφQ q(Q)

fQP

 y

 yfQP Pp(P) −−−−→ PφP q(P)

conmuta, en efecto, sean Q, P ∈ A con P Q. Para α ∈ Pp(Q) se tiene (fQP◦φQ)(α) =fQP(f◦α) = (f◦α)|P =f◦α|P =φP(α|P) =φP(fQP(α)) = (φP◦fQP)(α).

Seanf : (G, p, T)−→(H, q, T) y g : (H, q, T)−→(L, r, T) dos morfismos en Ucamp. Veamos queF(g◦f) =F(g)◦F(f). DadoQ∈ A y α∈ Pp(Q) se tiene queF(g◦f)Q(α) = (g◦f)◦α=g◦(f◦α) =F(g)Q(f◦α) =F(g)Q(F(f)Q(α)) = (F(g)Q◦F(f)Q)(α).

Sea 1G : (G, p, T)−→ (G, p, T) la aplicaci´on id´entica. Entonces dado Q∈ A y α ∈ Pp(Q) se tiene, F(1G)Q(α) = 1G ◦α = α= 1Pp(Q)(α), por lo tanto F(1G) = 1Pp. ¤X

2.10. Corolario. Si se considera la subcategor´ıa Ucamps deUcamp, la co- rrespondenciaF :Ucamps−→P rehdefinida como en el Teorema 2.9 tambi´en es un funtor.

2.11. Proposici´on. Sean[(G, p, T),U]un campo uniforme,Csu calibre total, P un prehaz de secciones locales,t∈T y Q∈V(t). Siα, β∈ P(Q), entonces para cadaε >0y cadad∈ C las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) (α(t), β(t))∈Vdε.

(6)

(ii) (∃SV(t)conS⊂Q)¡

(α|S, β|S)∈Ud,Sε ¢

, dondeα|S es la restricci´on deαa S yβ|S es la restricci´on deβ a S.

Demostraci´on. Seant∈T, Q∈V(t). Como (G, p, T) es un campo uniforme, {Vdε : ε > 0, d ∈ C} es una base de U y si α, β son secciones locales con dominioQ, entonces paraVdεtenemos queP ={s∈T : (α(s), β(s))∈Vdε}es un abierto enT. Sea S =Q∩P V(t). Si (α(t), β(t))∈Vdε, entonces (∀s S)¡

(α|S(s), β|S(s)) Vdε¢

, luego (∃S V(t) con S ⊂Q)¡

(α|S, β|S) Ud,Sε ¢ . La rec´ıproca es inmediata. ¤X

3. El proceso de localizaci´ on

A partir de un prehaz enU nifs vamos a construir un campo de espacios uni- formes por el proceso de localizaci´on. Este proceso consiste en definir las fibras del campo como col´ımites de sistemas directos de espacios uniformes separa- dos determinados por el prehaz dado cf. [3], aprovechando que las vecindades abiertas de un punto t T es un conjunto dirigido. En esta construcci´on se tratan uniformidades en t´erminos de entornos generales, caracterizando las aplicaciones uniformemente continuas por medio de los calibres totales.

3.1. La construcci´on del campo.

Sea (T,A) un espacio topol´ogico y P :A −→U nifsun prehaz enU nifs, esto

es, ³¡

P(Q)¢

Q∈A , ¡ fQP

¢P⊂Q

Q,P∈A

´ .

1. Para cadat∈T consid´erese el prehaz

³¡P(Q)¢

Q∈V(t), ¡ fQP

¢P⊂Q

Q,P∈V(t)

´ ,

donde cadaP(Q) = (XQ,UQ) es un espacio uniforme separado yCQdenota su calibre total (ver [3]).

2. Sea ¡Gct, ¡

TQt :P(Q)−→Gct

¢

Q∈V(t)

¢

el col´ımite de este prehaz, tal como fue constru´ıdo en [3]: en esta construcci´on tenemos que la funci´onfQP :XQ−→XP es uniformemente continua si y s´olo si existe una funci´on`QP :CP −→ CQ, dP 7−→(dP)`QP tal que

dP

¡fQP(xQ), fQP(yQ

= (dP)`QP(xQ, yQ); ∀xQ, yQ ∈XQ, dondeQ, P V(t) conP ⊂Q.

(7)

En

Zt= [

Q∈V(t)

XQ

se considera la colecci´on de entornos subb´asicos Bt={Wdεt :ε >0, dt∈ Ct} donde Ct =←−

limCQ es el l´ımite proyectivo del sistemaCQ con las aplicaciones

`QP;Q, P V(t), P ⊂Q, esto es, Ct={dt= (dQ)Q∈V(t) Y

Q∈V(t)

CQ: (πPt(dt))`QP =πQt(dt)

para cada Q, P V(t) conP ⊂Q}

y

Wdεt ={(xQ, yP)∈Zt×Zt : (∃SV(t) conS⊂Q∩P)

¡(fQS(xQ), fP S(yP))∈Vπεt S(dt)

¢}.

Se define sobreZt la relaci´on de equivalenciaxQRtyP si y s´olo si (∀dt∈ Ct)(∀ε >0)¡

(xQ, yP)∈Wdεt¢ y se tomaGct=Zt/Rt.

Se considera la funci´on can´onica

φt:Zt−→Gct, xQ 7−→xQ y la colecci´on de entornos subb´asicos

{(φt×φt)(Wdεt) : Wdεt ∈ Bt} que genera una uniformidad separadaUbt enGct.

Los morfismos que forman el cono del col´ımite se definen as´ı : paraQ∈V(t), TQt:XQ−→Gct, xQ7−→xQ.

Resulta que otra forma para escribir aGctes la siguiente Gct={TQt(xQ) : xQ∈XQ, Q∈V(t)}.

(8)

3. Sea

Gb= [

t∈T

Gct={TQt(xQ) : t∈T, xQ∈XQ, Q∈ V(t)}

y definamos

b

p:Gb−→T, TQt(xQ)7−→t.

Es inmediato quebpest´a bien definida y es sobre.

4. EnGbse define la siguiente colecci´on de entornos sub´asicos:

W={Wdε= [

t∈T

t×φt)(Wdεt) : d= (dt)t∈T ∈C, ε >0}, donde

t×φt)(Wdεt) ={(TQt(xQ),TPt(yP))∈Gct×Gct : (∃S V(t) conS⊂Q∩P)

¡(fQS(xQ), fP S(yP))∈Vπεt S(dt)

¢}

y

C={d= (dt)t∈T Y

t∈T

Ct : (∀S∈ A)(∀s, t∈S)(πsSs(d)) =πtSt(d)))}.

Las funcionesπSs yπSt son las proyecciones deCsyCtenCS respectivamente.

Tomamos el sistema fundamental de entornos Wccomo la base generada por W, cuyos entornos son de la forma:

Wε=

\n k=1

Wdεk=

\n k=1

¡ [

t∈T

t×φtWdεkt¢¢

= [

t∈T

¡\n

k=1

t×φtWdεkt¢¢

.

5. El sistemaWces cerrado para la inversi´on, en efecto, dado¡ Tn

k=1Wdεk¢

∈Wc se tiene,

¡\n

k=1

Wdεk¢−1

= [

t∈T

¡\n

k=1

t×φt

Wdεkt¢¢−1

= [

t∈T

¡\n

k=1

t×φtWdεkt¢¢

=

\n

k=1

Wdεk.

Adem´as, dados

\n k=1

Wdεk∈Wc y (TQs(xQ),TPs(yP))

\n k=1

Wdεk,

(9)

entonces para cadak= 1,2, ..., nse tiene

(TQs(xQ),TPs(yP))s×φsWdεks¢

,

y en consecuencia para cadak = 1,2, ..., n existe Sk V(s) conSk ⊂Q∩P tal que

(fQSk(xQ), fP Sk(yP))∈Vπεs Sk(dks),

luego para cadak= 1,2, ..., nexisteSkV(s) con Sk⊂Q∩P y δk =1

2

¡ε−πSsk(dks)(fQSk(xQ), fP Sk(yP))¢ tal que

(fQSk(xQ), fP Sk(yP))∈Vπε−δs k Sk(dks).

Seaδ= min{δ1, δ2, ..., δn}. Entonces para cadak= 1,2, ..., nexisteSk V(s) conSk⊂Q∩P tal que (fQSk(xQ), fP Sk(yP))∈Vπε−δs

Sk(dks), entonces para cadak= 1,2, ..., n, (TQs(xQ),TPs(yP))s×φs

Wdε−δks ¢ . Se sigue que,

(TQs(xQ),TPs(yP))

\n

k=1

s×φsWdε−δks ¢

. En consecuencia,

(TQs(xQ),TPs(yP))

\n

k=1

Wdε−δ

k . Por lo tanto, existen

\n k=1

Wdδk ∈Wcy

\n k=1

Wdε−δ

k ∈Wc

para los cuales

(TQs(xQ),TPs(yP))

\n k=1

Wdε−δ

k y

\n k=1

Wdε−δ

k

\n k=1

Wdδk

\n k=1

Wdεk.

6. Se define la familia Σ de selecciones locales para pb as´ı : para cada Q A, xQ∈XQ

c

xQ:Q−→G, tb 7−→ TQt(xQ).

Sis=t∈Q y xQ ∈XQ tenemos que c

xQ(t) =TQt(xQ) =TQs(xQ) =xcQ(s),

(10)

lo cual demuestra quexcQ est´a bien definida.

7. SobreGb puede ser definida una topolog´ıa de tal manera que (i) CadaxcQ Σ es continua.

(ii) (G,b p, Tb ) es un campo uniforme.

En efecto, seg´un el teorema de existencia de campos uniformes 1.3 para concluir (i) y (ii) basta verificar las condiciones (a) y (b) all´ı requeridas como hip´otesis.

(a) Dado TQt(xQ)∈Gct⊂Gb y Wε ∈WcexistexcQ Σ con xcQ(t) =TQt(xQ) tal que

TQt(xQ)∈Wε(xcQ) ={TPs(yP)∈Gb : ¡

TPs(yP), xcQ(s)¢

∈Wε} puesto quexcQ(bp(TQs(xQ))) =xcQ(s).

(b) DadoWε=Tn

k=1Wdεk∈Wc y ¡ c xQ,ycP

¢Σ×Σ el conjunto {s∈T : (xcQ(s),ycP(s))∈Wε}

es abierto enT. En efecto, como

{s∈T : (xcQ(s),ycP(s))

\n k=1

Wdεk}=

\n k=1

{s∈T : (xcQ(s),ycP(s))∈Wdεk}, basta demostrar que para todoWdε∈ W y ¡

c xQ,ycP

¢Σ×Σ el conjunto A={s∈T : (xcQ(s),ycP(s))∈Wdε}

es un abierto enT. Consideremos

c

xQ:Q−→G, tb 7−→ TQt(xQ) c

yP :P −→G, tb 7−→ TPt(yP).

Si Q∩P =∅, entoncesA=∅∈ A. En el casoQ∩P 6=∅, tomemost∈Ay demostremos que existeS∈V(t) tal queS⊂A.

Como (TQt(xQ),TPt(yP))t×φtWdεt¢

entonces (∃SV(t) conS⊂Q∩P

(fQS(xQ), fP S(yP))∈Vπεt S(dt)

¢.

Dados∈S, entoncesS V(s) y comoπSt(dt) =πsS(ds), entonces (fQS(xQ), fP S(yP))∈Vπεs

S(ds).Por lo tanto, (TQs(xQ),TPs(yP))s×φs

Wdεs¢

[

t∈T

t×φtWdεt¢

=Wdε, luegos∈Ay por endeS⊂A.

(11)

4. Resultados de tipo categ´ orico

En esta ´ultima secci´on trataremos problemas de car´acter categ´orico a saber:

(1) Bajo qu´e condiciones un campo uniforme dado es igual a un campo uniforme construido por localizaci´on.

(2) Determinar si el campo construido por localizaci´on tiene alguna pro- piedad universal.

El problema (1) se resuelve en 4.5: la localizaci´on de prehaces de secciones locales, uniformes y plenos, genera los campos uniformes separados.

El problema (2) se resuelve en 4.7: para cada prehaz P :A −→U nifs, existe una flecha universal (ver [9]), proporcionada por el proceso de localizaci´on, de P aF, dondeF es el funtor dado en 2.10.

4.1. Lema. En el proceso de localizaci´on 3.1, si xQ ∈ P(Q), P Q y Q, P ∈ Aentonces xcQ|P =fQP\(xQ).

Demostraci´on. Seat∈P. Como c

xQ|P(t) =TQt(xQ), fQP\(xQ)(t) =TPt(fQP(xQ))

yxQRtfQP(xQ) pues para todoε >0 y tododt∈ CtexisteS=P ⊂Q∩P tal

que ¡

fQP(xQ), fP P(fQP(xQ))¢

fQP(xQ), fQP(xQ

∈Vπεt P(dt), se sigue queTQt(xQ) =TPt(fQP(xQ)). ¤X

4.2. Teorema. Si P : A −→ U nifs es un prehaz y (G,b bp, T) es el campo obtenido por localizaci´on, entonces se puede construir un prehaz se secciones localesPb (para cadaQ∈ A, P(Q)b ⊂ Ppb(Q) )de tal manera que

(i) El prehazPb es pleno.

(ii) Existe un morfismo de prehacesϕ:P−→˙ Pb.

Demostraci´on. Se definePb : A −→U nifs de la siguiente manera: para cada Q∈ A, P(Q) =b {xcQ :xQ ∈ P(Q)} ⊂ Pbp(Q) es dotado de la uniformidad que tiene por base los entornos

Ud,Qε ={(xcQ,ycQ)∈Pb(Q)×Pb(Q) : (∀s∈Q)¡

(cxQ(s),ycQ(s))s×φs)(Wπεs(d)

}, dondeε >0 y d∈C⊂Q

t∈TCt, cf. 3.1.

ParaQ, P ∈ AconP ⊂Qse definePb(P ⊂Q) =fQP :Pb(Q)−→P(Pb ), donde fQP(cxQ) =xcQ|P.

(12)

Esta definici´on tiene sentido porque sixcQ ∈P(Q), entoncesb xQ∈ P(Q), luego fQP(xQ)∈ P(P) y por lo tantoxcQ|P =fQP\(xQ)∈Pb(P).

Adem´as, fQP es uniformemente continua, pues dado Ud,Pε entorno b´asico de Pb(P) existeUd,Qε entorno b´asico dePb(Q) tal que

(fQP ×fQP)−1(Ud,Pε ) ={(xcQ,ycQ)∈P(Q)b ×Pb(Q) : (xcQ|P,ycQ|P)∈Ud,Pε }= {(xcQ,ycQ)∈Pb(Q)×Pb(Q) : (∀s∈P

(cxQ|P(s),ycQ|P(s))s×φs)(Wπεs(d)¢ }

⊃ {(xcQ,ycQ)∈P(Q)b ×Pb(Q) : (∀s∈Q)¡

(cxQ(s),ycQ(s))s×φs)(Wπεs(d)¢ }

=Ud,Qε .

(i) Veamos quePb es pleno: sea TQt(xQ)∈Gct⊂Gb con p(Tb Qt(xQ)) = t, donde xQ∈ P(Q) y Q∈V(t). Entonces existenQ∈V(t) y xcQ ∈Pb(Q) tales que

c

xQ(t) =TQt(xQ).

(ii) Para cadaQ∈ Adefinimos

ϕQ:P(Q)−→Pb(Q), xQ 7−→ϕQ(xQ) =xcQ,

La aplicaci´onϕQ es uniformemente continua porque dadoUd,Qε entorno b´asico dePb(Q) existes∈QyVπεQs(d)) entorno b´asico deP(Q) con s∈Qtal que (ϕQ×ϕQ)−1(Ud,Qε ) ={(xQ, yQ)∈ P(Q)× P(Q) : (cxQ,ycQ)∈Ud,Qε }= {(xQ, yQ)∈ P(Q)× P(Q) : (∀s∈Q)¡

s×φs)(xQ, yQ)s×φs)(Wπεs(d)}

⊃ {(xQ, yQ)∈ P(Q)× P(Q) : (∀s∈Q)¡

(xQ, yQ)∈Wπεs(d)¢ }

={(xQ, yQ)∈ P(Q)× P(Q) : (∀s∈Q)¡

(xQ, yQ)∈VπεQs(d))¢ }

={(xQ, yQ)∈ P(Q)× P(Q) : (xQ, yQ)∈VπεQs(d))}=VπεQs(d)). La pen´ultima igualdad se tiene para cadas∈Qpor la definici´on deC.

Para ver que ϕes una transformaci´on natural se establece la conmutatividad del diagrama siguiente

P(Q) −−−−→ϕQ Pb(Q)

fQP

 y

 yfQP P(P) −−−−→ϕP Pb(P) SeanQ, P ∈ AconP ⊂QyxQ ∈ P(Q), entonces

fQPQ(xQ)) =fQP(xcQ) =xcQ|P =fQP\(xQ) =ϕP(fQP(xQ)). ¤X

(13)

4.3. Definici´on. Sea £

(G, p, T), U¤

un campo uniforme y P un prehaz de secciones locales. Se dice que P es uniforme si para cada cono inductivo

¡(H,V),Q : P(Q) −→ H)Q∈A

¢ existe `GH : CH −→ CG, dH 7−→ (dH)`GH, independiente deQ, dondeCG yCH son los calibres totales deU yV respecti- vamente, tal que

Q×σQ)−1(VdεH)⊃U(dεH)

`GH,Q=

©(α, β)∈ P(Q)× P(Q) : (∀s∈Q)¡

(α(s), β(s))∈V(dεH)

`GH

¢ª.

4.4. Definici´on. Sean£

(G, p, T),U¤ y£

(H, q, T),V¤

campos uniformes,P un prehaz se secciones locales en (G, p, T) y P0 un prehaz de secciones locales en (H, q, T). Si denotamos por CG y CH los calibres de U y V respectivamente, un morfismo ϕ :P−→P˙ 0 de prehaces se dice que esuniforme si existe `GH : CH−→ CG tal que para todoQ∈ Ase cumple que

Q×ϕQ)−1(UdεH,Q)⊃U(dεH)

`GH,Q. 4.5. Teorema. Si £

(G, p, T),U¤

es un campo uniforme separado y P es un prehaz uniforme y pleno de secciones locales en (G, p, T), entonces el campo uniforme(G,b p, Tb )obtenido por localizaci´on es precisamente(G, p, T).

Demostraci´on. Sea CG el calibre total deU. Para cada t ∈T se considera el sistema directo ³

(P(Q))Q∈V(t), (fQP)P⊂QQ,P∈V(t)

´

enU nifs

Veamos que el col´ımite de este sistema directo es el cono

¡Gt,Qt :P(Q)−→Gt)Q∈V(t)

¢

dondeGt=p−1(t) es la fibra encima detyσtQ(α) =α(t). En efecto, comoQt ×σQt)(UdεG,Q) ={(σQt(α), σtQ(β))∈Gt×Gt: (α, β)∈UdεG,Q}

={(α(t), β(t))∈Gt×Gt: (α, β)∈UdεG,Q}

={(α(t), β(t))∈Gt×Gt: (∀s∈Q)¡

(α(s), β(s))∈VdεG¢ }

⊂ {(α(t), β(t))∈Gt×Gt: (α(t), β(t))∈VdεG}

=VdεG(Gt×Gt), entoncesσtQ es un morfismo deU nifs.

(14)

Por otro lado, siQ, P V(t) conP ⊂Qentonces fQP

P(Q) −→ P(P) σQt & . σtP

Gct

conmuta, en efecto, paraα∈ P(Q) tenemos que

tP◦fQP)(α) =σPt(fQP(α)) =σPt(α|P) =α|P(t) =α(t) =σQt(α).

Sea ahora ³

(Ht,Vt),(θQt :P(Q)−→Ht)Q∈V(t)

´

otro cono inductivo. Demostremos que existe un ´unico morfismo ϕt:Gt⊂G−→Ht, α(t)7−→θtQ(α)

tal que para todoQ∈V(t),θtQ=σQt ◦ϕt. ComoP es pleno, dadou∈Gtcon p(u) =texisten Q∈V(t) y α∈ P(Q) tales queα(t) =u, en consecuenciaϕt

est´a definida en todoGt.

La aplicaci´onϕtest´a bien definida: sup´ongase queα(t) =β(t) con α∈ P(Q), β ∈ P(P) y Q, P V(t). Si CHt denota el calibre total de la uniformidad separada deHt; entonces, por serP uniforme, existe`t:CHt −→ CG tal que

tQ×θtQ)−1(VdεHt)⊃U(dε

Ht)`t,Q; ∀Q∈V(t).

Dadosε >0 ydHt ∈ CHt existeS V(t) conS⊂Q∩P tal que si (α|S, β|S) U(dε

Ht)`t,S entonces¡

θSt(α|S), θtS(β|S

tS×θtS)(U(dε

Ht)`t,S)⊂Vdε

Ht. Puesto queθQt(α) =α(t) =α|S(t) =θSt(α|S) yθtP(β) =θtS(β|S) entonces (θtQ(α), θtP(β)) Vdε

Ht para todo ε > 0 y todo dHt ∈ CHt. Pero (Ht,Vt) es separado, entoncesθtQ(α) =θPt(β).

La aplicaci´onϕtes uniformemente continua: sean ε >0, dHt ∈ CHt. Veamos que,

t×ϕt)(V(dε

Ht)`t)⊂VdεHt. En efecto, sea (ϕt×ϕt)(α(t), β(t)) t×ϕt)(V(dε

Ht)`t) con (α(t), β(t)) V(dε

Ht)`t, donde α∈ P(Q), β ∈ P(P) y Q, P V(t). Por la Proposici´on 2.11 existeS∈V(t) conS⊂Q∩P tal que (α|S, β|S)∈U(dε

Ht)`t,S, esto implica que

¡θtS(α|S), θSt(β|S

St ×θSt)(U(dε

Ht)`t,S)⊂Vdε

Ht, por lo tanto, (ϕt×ϕt)(α(t), β(t)) =¡

θQt(α), θtP(β)¢

θtS(α|S), θSt(β|S

∈VdεHt,

(15)

con lo cual se demuestra la contenencia anunciada.

Como para cadat∈T,Gct=p−1(t) =Gtentonces

G=Gb=Qt(α) :t∈T, α∈ P(Q), Q∈V(t)}, se sigue que

b

p(σQt(α)) =t=p(α(t)) =p(σQt(α)), entoncespb=p.

DadoQ∈ A yα∈ P(Q), para cadat∈Qtenemos α(t) =b σtQ(α) =α(t), por lo tanto la familia de selecciones Σ con dominio Q definidas en el Numeral 6 de la Secci´on 3.1 coincide conP(Q).

Para finalizar la demostraci´on veamos que los entornos sobre cada fibra Gct

determinados por el calibre deU son los mismos descritos en el Numeral 5 de 3.1; en efecto, por la Proposici´on 2.11, tenemos que

{(α(t), β(t))∈Gt×Gt: (∃SV(t) conS⊂Q∩P

(α|S, β|S)∈UdεG,S¢ }

={(α(t), β(t))∈Gt×Gt:dG(α(t), β(t))< ε}=VdεG(Gt×Gt) con lo cual se termina la prueba. ¤X

4.6. Teorema. Sean[(G, p, T),U] y[(H, q, T),V]campos uniformes, P yP0 prehaces de secciones locales de los campos (G, p, T) y (H, q, T) respectiva- mente. Si V es separada y P es pleno, entonces un morfismo uniforme de prehacesϕ:P−→P˙ 0 determina un morfismo de camposF :G−→H.

Demostraci´on. SeanCG, CH los calibres totales de las uniformidadesU y V respectivamente.

Los entornos

UdεG,Q={(α, β)∈ P(Q)× P(Q) : (∀s∈Q)¡

(α(s), β(s))∈VdεG¢ } y

UdεH,Q={(µ, ω)∈ P0(Q)× P0(Q) : (∀s∈Q)¡

(µ(s), ω(s))∈VdεH¢ }, dondedG∈ CG,dH∈ CH yε >0, forman una base deP(Q) yP0(Q) respecti- vamente.

Comoϕ:P−→P˙ 0 es un morfismo uniforme de prehaces entonces existe `GH : CH−→ CG tal que para cada Q∈ A

Q×ϕQ)−1(UdεH,Q)⊃U(dεH)

`GH,Q, donde

ϕQ:P(Q)−→ P0(Q), α7−→ϕQ(α).

参照

関連したドキュメント

los sitios que enlazan a la p´ agina A no influyen uniformemente; depende del n´ umero de v´ınculos salientes que ellas posean: a m´ as v´ınculos salientes de una p´ agina

El resultado de este ejercicio establece que el dise˜ no final de muestra en cua- tro estratos y tres etapas para la estimaci´ on de la tasa de favoritismo electoral en Colombia en

Diomedes B´ arcenas por sus valiosos comentarios al revisar una versi´ on preliminar de este trabajo; (c) al Comit´ e Organizador de las XI-Jornadas de Matem´ aticas realizadas en

Graph Theory 26 (1997), 211–215, zeigte, dass die Graphen mit chromatischer Zahl k nicht nur alle einen k-konstruierbaren Teilgraphen haben (wie im Satz von Haj´ os), sondern

MEZCLAS DE TANQUE: Este producto se puede mezclar en tanque con los siguientes productos para tratar balastos, arcenes, tratamiento local, terrenos desprovistos de vegetación

Cuando realice aplicaciones de rocío dirigido a pequeña escala, utilice una solución de 5 a 10 por ciento de este producto para el control total o parcial de malezas anuales,

Indicaciones para: aceite mineral blanco (petróleo) Valoración de toxicidad acuática:. Existe una alta probabilidad de que el producto no sea nocivo para los

PARA RELLENAR EL ENVASE DE ROUNDUP ® MÁXIMO CONTROL 365 LISTO PARA USAR: Este concentrado se puede usar para rellenar el envase vacío de Roundup® Máximo control 365 listo para