1
2 次元系における量子力学
Made by R. Okamoto (Emeritus Prof., Kyushu Inst. of Tech) Filename=2dim-Quantum-summary20190604.ppt
§ 1 ． 2 次元系における座標、運動量、シュレディンガー方程式と波動関数
§ 2. 2 次元系の自由粒子の波動関数： 2 次元平面波
§ 3. 2 次元の無限量子箱
§ 4. 2 次元系における角運動量演算子と方向量子化
§ 5. 2 次元回転運動のハミルトニアンとエネルギー量子化
§ 1. 座標、運動量、シュレディンガー方程式と波動関数
[ ] [ ] [ ]
ˆ , ˆ ; ˆ ˆ , i
i
ˆ , ˆ ; ˆ ˆ , i
i
ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ 0
x x
y y
y x x y
x x p x p
x
y y p y p
y
x p y p x y p p
= = ∂ =
∂
∂
= = ∂ =
→ = = = =
2 2 2
2 2
ˆ ( , )
2
ˆ ( , ; ) i ( , ; )
ˆ ( , ) ( , ); ( , ; ) ( , ) exp( i / )
H U x y
m x y
H x y t x y t
t
H ψ x y E ψ x y x y t ψ x y Et
∂ ∂
= − ∂ + ∂ +
→ Ψ = ∂ Ψ
∂
→ = Ψ = −
座標演算子、運動量演算子と正準交換関係
ハミルトニアンとシュレディンガー方程式
波動関数の規格化
3
§ 2. 2 次元系の自由粒子の波動関数： 2 次元平面波
( )
( ) ( )
( , ; ) exp i ; /
cos isin
k k
x yx y
x y x y
x y t k x k y t E
k x k y t k x k y t
ω ω
ω ω
Ψ = + − =
= + − + + −
x y
( , k k
x y)
= k 同一位相面 ０
波数ベクトル
§ 3. ２次元の無限量子箱
0 (0 , 0 )
( , )
( )
x a y b
U x y < < < <
= ∞
他2 2 2
2 2
( , ) ( , ) ( , )
2 U x y x y E x y
m x y ψ ψ
− ∂ + ∂ + =
∂ ∂
x y
シュレディンガー方程式
変数分離型の解法
( , ) x y X x Y y ( ) ( )
ψ U x y ( , ) = = V x ( ) + W y ( )
2 2
2
( ) ( ) ( )
2 V x X x E X x
xm x
− ∂ + =
∂
2 2
2
( ) ( ) ( )
2 W y Y y E Y y
ym y
− ∂ + =
∂
量子箱（井戸）ポテンシャル
0
a
b
5
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
, 2 2
, , ( , 1, 2, )
2 2
2 2 .
x y
x x y y x y
n n x y
E n E n n n
ma mb
E n n
ma mb
π π
π π
= = =
→ ≡ +
(a=b)の場合には、二つの量子数の異なる 組み合わせでもエネルギーが
同じになることがある。(縮退、degeneracy)。
( , n n
x y) = (2,1) ↔ ( , n n
x y) = (1, 2)
( , ) ( ) ( );
( ) 2 sin ,
( ) 2 sin
x y x y
x
y
n n n n
x n
y n
x y X x Y y
X x n x
a a
Y y n y
b b
ψ
π π
=
=
=
2 2
2 2
, 2
2 2
1,2 2 2,1
( )
2 5
2
x y
n n x y
E n n
ma
E E
ma π
π
= +
→ = =
§ 4.2 次元系における角運動量演算子と方向量子化
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
z xp y yp x i x y
y x
∂ ∂
≡ − = ∂ − ∂
cos , sin x = r φ y = r φ
波動関数の方向依存性の大きさとしての角運動量
角運動量の大きさは離散的である。
ディラック定数 の整数倍
2 * 1
i
( ) ( )
( ) ( 2 ) 0, 1, 2,
( ) ( ) , ( ) exp(i )
z
z M M
M M
M
M
d M
π
φ
φ φ
φ φ π
φ φ φ δ φ φ
= ∂
∂
Φ = ⋅Φ
Φ = Φ + → = ± ±
Φ Φ = → Φ =
∫
角運動量演算子（の z 成分）
固有値方程式 角度の周期性
規格化
ポテンシャルが， V(x,y)=(1/2)m ω
2（ ｘ
２＋ ｙ
２）のように，ｚ軸のまわりに軸対称な場
合に重要
7
2 次元角運動量の固有関数の例
0
1
1
2
2
( 0) ( ) 1
2
1 1
( 1) ( ) exp( ) [cos sin ]
2 2
1 1
( 1) ( ) exp( ) [cos sin ]
2 2
1 1
( 2) ( ) exp( 2 ) [cos 2 sin 2 ]
2 2
1 1
( 2) ( ) exp( 2 ) [cos 2 sin 2 ]
2 2
M
M i i
M i i
M i i
M i i
φ π
φ φ φ φ
π π
φ φ φ φ
π π
φ φ φ φ
π π
φ φ φ φ
π π
−
−
= Φ =
= Φ = = +
= − Φ = − = −
= Φ = = +
= − Φ = − = −
量子系では対称な軸のまわりの回転は観測されない！
0 2π φ
1/ 2π
0( )φ Φ
0 2π φ
1/ 2π
Real ( )Φ1 φ
§ 5. 回転運動のハミルトニアンとエネルギー量子化
[ ]
( ) 1 exp( ) 2
1 cos( ) sin( ) i
i
M
M
M M
φ φ
π
φ φ
π
Φ =
= +
固有値
固有関数
2 2
| | M 2 E M
= I
0, 1, 2, M = ± ±
2 M = ±
2 ( : )
2
H z I
= I 慣性モーメント
古典物理学における 剛体の運動エネルギー
[ ]
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
1
1 ( ) ,
2
1 ( )
2
( )
2
z
Z j jy j jx
j
K m v m v v r v r
m r m r I m r m r
x p y p I
I
ω ω
ω
ω
=
