この問題を解答する場合チェックを付ける． Two dice are rolled

基礎数理および情報基礎の30問のうちから24問を選んで解答してください．以下の各問題に対して，そ の問題を解答する場合は最初の枠にチェック(4)を入れた上で，正しい答えを選び，その記号(A–E)を次 の枠の中に書いてください．

Q1. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

Two dice are rolled. Find the probability of getting two numbers whose sum is not 8.

2つのサイコロを投げたとき,和が8とならない確率を計算せよ.

(A) less than or equal to 0.4

(B) more than 0.4 and less than or equal to 0.6 (C) more than 0.6 and less than or equal to 0.8 (D) more than 0.8

(E) None of these

Q2. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

What is the coefficient ofx⁴y⁴in (2x−y)⁸? 多項式(2x−y)⁸におけるx⁴y⁴の係数は何か．

(A) 16 (B)−70 (C) 1020 (D) 1120 (E) None of these

For a non-negative integeri, a sequence of setsS_i is defined by

S0={1,3}, Si =Si−1∪ {(n+ 1) mod 5|n∈Si−1} fori≥1.

Which of the following relations is correct? Here, we write “nmodm” for the remainder ofndivided by m.

非負整数iに対して，集合列Siを次の様に定義する．

S0={1,3}, Si =Si−1∪ {(n+ 1) mod 5|n∈Si−1} fori≥1.

次のうち正しいものを選べ．ただし，nをmで割った余りを“nmodm”と書く．

(A)S₁={2,4}(B) 0∈/S₂ (C)S₂⊂S₁ (D)S₃=S₂ (E) None of these

Q5. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

Letx= 20 log₂128. What is the sum of the digits ofx?

x= 20 log₂128とする．xの値の各桁の数字の和を求めよ．

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) None of these

Let tr(A) denote the trace of a square matrix A. Let ∥·∥ denote the Euclidean norm of a vector. For arbitrary three-dimensional vectors x= [x1, x2, x3]^⊤ and y= [y1, y2, y3]^⊤, choose the correct equation expressing tr(xy^⊤).

正方行列A のトレースをtr(A)，ベクトルのユークリッドノルムを∥·∥で表すとする．任意の3次元ベク トルx= [x₁, x₂, x₃]^⊤およびy= [y₁, y₂, y₃]^⊤に対して，トレースtr(xy^⊤)を表す式として，次のうちから 正しいものを一つ選べ．

(A) tr(xy^⊤) =∥x∥ ∥y∥ (B) tr(xy^⊤) =∥x∥²∥y∥² (C) tr(xy^⊤) =x^⊤y (D) tr(xy^⊤) = (x^⊤y)² (E) None of these

Q7. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

LetX₁, X₂, . . . , X_n denote independent and identically distributed random variables that have the vari- ance σ², and X = (X1+X2+· · ·+Xn)/n. Denote the variance of X by V(X). Which equation is correct?

X1, X2, . . . , Xn は分散σ²の同一分布に独立に従う確率変数であり、X = (X1+X2+· · ·+Xn)/nとする。

また、V(X)はX の分散を表すとする。このとき、次の等式から正しいものを選べ。

(A)V(X) =nσ² (B)V(X) =σ²/n (C)V(X) =σ²/√

n (D)V(X) =σ² (E) None of these

LetA, B andC be three sets. The setA−B is defined by {x|x∈Aandx /∈B}. Choose the one that isnotcorrect.

A, B, Cを集合とする．差集合A−Bを{x|x∈Aかつx /∈B}で定義する．正しくないものを選択せよ．

(A)A⊆B ⇐⇒ A−B=∅ (B)A∪B=B ⇐⇒ A∩B=A (C)A−B= (A∪C)−(B∪C) (D)A−B = (A∪B)−B (E)A∩B⊆A⊆A∪B

Q9. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

Choose the negation of the following proposition. We write∨,∧, and¬for disjunction, conjunction, and negation respectively.

次の命題の否定を選択せよ．ただし，論理和，論理積，否定のために記号∨,∧,¬をそれぞれ用いる．

∀x.∀y.[(x≥1)∧(y≥1)→ ∃z.(x+y≥z)]

(A)∃x.∃y.[(x≥1)∧(y≥1)→ ∀z.(x+y < z)]

(B)∃x.∃y.[(x <1)∨(y <1)→ ∀z.(x+y < z)]

(C)∃x.∃y.[(x <1)∧(y <1)∧ ∀z.(x+y < z)]

(D)∃x.∃y.[(x≥1)∧(y≥1)∧ ∀z.(x+y < z)]

(E) None of these

Suppose that a random variableX follows the uniform distributionU[0,1] on the interval [0,1]. What distribution does the random variableY = 1−X follow? Choose the correct distribution.

確率変数X は区間[0,1]上の一様分布U[0,1]に従うものとする。このとき、確率変数Y = 1−X はどの ような分布に従うか。正しい分布を選べ。

(A)U[0,1] (B)U[−1,0] (C)U[1,2] (D)U[−1,1] (E) None of these

Q11. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

What is the last digit of 3¹⁰⁰−2¹⁰⁰? 3¹⁰⁰−2¹⁰⁰の1の位の数字は何か?

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

Q12. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

A biased coin is tossed twice. The probability of tossing a head is 0.6 and the probability of tossing a tail is 0.4. What is the conditional probability of two tails, given that the coin shows a tail at least once.

偏ったコインを2回投げる．このコインは表が出る確率が0.6，裏が出る確率が0.4である．裏が少なくと も1回出るという条件のもとで，2回裏が出る確率はどれか？

(A) 1/4 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 1/2 (E) None of these

Letx= 4 log₂2 + 4 log₂4 + 4 log₂8 + 4 log₂16 +· · ·+ 4 log₂1024. What is the sum of the digits ofx?

x= 4 log₂2 + 4 log₂4 + 4 log₂8 + 4 log₂16 +· · ·+ 4 log₂1024とする．xの値の各桁の数字の和を求めよ．

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) None of these

Q14. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

LetA be the formula (X∧Y)∨(¬X ∧ ¬Y), where we write ∨, ∧, and ¬ for disjunction, conjunction, and negation respectively. Choose a formulaB such thatv(A) =v(B) for any assignmentv.

論理式Aを(X∧Y)∨(¬X∧ ¬Y)とする．ここで，任意の付値vに対してv(A) =v(B)となる論理式B を選択せよ．ただし，論理和，論理積，否定のために記号∨, ∧,¬をそれぞれ用いる．

(A) (X∧ ¬Y)∨(¬X∧Y) (B) (X∨ ¬Y)∧(¬X∨Y) (C) (X∨Y)∧(¬X∨ ¬Y) (D)¬(X∧ ¬Y)∨ ¬(¬X∧Y) (E) None of these

Q15. Tick to answer this question. この問題を解答する場合チェックを付ける．

Forx=

√7 +√

√ 13

7 + 13 , which of the following relations holds?

x=

√7 +√

√ 13

7 + 13 に対して成立する関係式を選べ．