[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅰ １ ]
, , ; , ,
a b c x y zはすべての正の数を表すとき，次の不等式を証明せよ。
(1) (b c c )( a a b)( )≧8abc
(2) xyz≧(y z x z)( x y x)( y z)
(1) 相加・相乗平均の関係式より
a b ≧2 ab，b c ≧2 bc，ca≧2 ca
が成り立つ。等号成立はそれぞれ ab b, c c, a のとき。
これらを辺々かけて (a b b c c )( )( a)≧8abc …① を得る。
等号成立は a b c のとき。
(2)
(ⅰ) y z x 0 かつ z x y 0 かつ x y z 0 のとき
1 ( )
a 2 y z x ， 1
( )
b 2 z x y ， 1
( )
c 2 x y z とおくと，
0
a かつ b0 かつ c0 であり a b z b c, x c, a y であるから
①に代入して xyz≧(y z x z)( x y x)( y z) を得る。
(ⅱ) y z x z, x y x, y z のうち1つが0以下になるとき 仮に y z x≦0 であるとすると
2 ( ) 2 0
z x y z y z x ≧ z
2 ( ) 2 0
x y z x y z x ≧ x
なので
(y z x z)( x y x)( y z)≦0
となる。xyz0であるので，このとき xyz≧(y z x z)( x y x)( y z) は成り立つ。
他の2つが0以下の場合も同様である。
(ⅱ)の考察より，y z x z, x y x, y z のうちの2つ，3つが0以下になることはない。
(ⅰ)，(ⅱ)より題意は示された。
[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅰ ２ ]
Aは甲地を出発して一定の速さで乙地へ向かい，同時にBは乙地を出発して一定の速さで甲地に向 かった。AはBと出会ってから2時間30分後に乙地に到着し，BはAと出会ってから1時間36分後 に甲地に到着した。A B, の時速を求めよ。ただし，甲乙両地間の距離は18kmとする。
Aの速度を時速xkm，Bの速度を時速ykmとする。
AとBが出会うまでの時間は 18 xy Aが乙地に着くまでの時間は 18
x Bが甲地に着くまでの時間は 18 y
2時間30分は 150 5
60 2 時間，1時間36分は 96 8
60 5 時間であるから
条件より
18 18 5
2
18 18 8
5 x x y y x y
…① となる。
①の2式を辺々かけて 2 1 1 1 1
18 4
x x y y x y
⇔ 81 1
( ) ( )
y x
x x y y x y
よって (xy)2 81 であり，x y 0 なので x y 9
このとき①より x4, y5 となる。
したがって Aは時速4km，Bは時速5km
[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅰ ３ ]
放物線y2 4xとただ1点を共有し，円 x2y2 1 と1点または2点を共有する直線 ymxhの
傾きの範囲を求めよ。
2 4
y x …①
2 2
1 x y …②
ymxh …③
①と③が1点だけを共有するのは (ⅰ) 接するとき (ⅱ) m0のとき のいずれかである。
(ⅰ) のとき，m0 であり，①と③が接することから
xの方程式 (mxh)2 4x ⇔ m x2 2(2hm4)xh2 0 は重解をもつ。
したがって (hm2)2m h2 2 0 より 1 h m
このとき③は 1 y mx
m …③´ となり，②と連立して
2
2 1
1 x mx
m
⇔
2 2
2
(1 m x) 2x 1 1 0
m …④
②と③が1点または2点を共有するのは，④が 2 2 12
1 (1 m ) 1 0
m
≧ を満たすとき。
よって m4m21≧0 であり，m2≧0 から 2 1 5 m 2
≧
したがって 1 5 1 5
2 , 2
m m
≦ ≦ となる。
逆にこのとき，③´は①に接し，②と1点または2点を共有する。
(ⅱ)のとき，1≦ ≦h 1 ならば③は①と1点を共有し，②と2点で交わるか接する。
以上より，mの条件は 1 5 1 5
0, ,
2 2
m m m
≦ ≦
x y
O
x2+y3=1
y2=4x
[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅱ １ ]
0 a 1
b のとき，次の条件を満たす数列{ }xn の一般項を求めよ。
1 1 ( ) 0
n n n
ax bx a b x 0 1
0
( 1), 0, n 1
n
n ax bx x
≧
1 1 ( ) 0
n n n
ax bx a b x ⇔ b x( n1xn)a x( nxn1) であり，
0
b より n 1 n a ( n n 1)
x x x x
b
2
1 2
( n n )
a x x
b
( 1 0) a n
x x b
となる。
0 1 0
ax bx
より 1 a 0
x x
b から 1 0 0
n
n n
a a
x x x x
b b
1 0
a n a b b x
n≧1 のとき
1
0 0
1
1
n k n
k
a a
x x x
b b
1
0 0
0
1
n k
k
a a
x x
b b
0 0
1 1
1 a n
a b
x x
b a
b
0
a n
b x
これは n0 のときも成り立っている。
さらに，
0 n 1
n
x
と 0 ba 1 より
0 0
0
1 1
n
n
x a x
b a
b
から x0 1 ab
よって 1
n n
a a
x b b
となる。
[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅱ ２ ]
nを正の整数とするとき，次の極限値を求めよ。 1 1 lim
n n
n x a
x a x a x a na
1 2 2 1
( )( )
n n n n n n
x a x a x ax a xa であるから 1 xn an n 1
x a x a na
1 (xn 1 axn 2 an 2x an 1) nan 1
x a
1 1 2 1 2 1 1 1
1 (xn an ) (axn an ) (an x an ) (an an ) x a
1 1 2 2
2
n n n n
x a x a n x a
a a
x a x a x a
ここで， ( ) ( )
lim ´( )
x a
f x f a
f a
x a
なので
1 1
lim
n n
n x a
x a x a x a na
2 2 2
(n 1)an (n 2)an an
1 2
1 n n
k
a k
( 1) 2
2 n n an
[ 東京工業大学 1959 年 解析Ⅱ ３ ]
点A(0, 1)を通る直線が放物線yx2と第一象限の二点P Q, で交わっている。P Q, のx座標を それぞれp q p, ( q)，原点Oを端点とする放物線の弧OQと二つの線分OA AQ, とで囲まれた部
分の面積をS1，放物線の弧PQと線分PQとで囲まれた部分の面積をS2とする。このとき，S1 S2
ならば， 1
3 p q 3 であることを示せ。
(0, 1)
A を通る傾きmの直線は ymx1 とおける。
この直線と放物線 yx2 が第1象限の異なる2点で交わるのは m2 のときである。
まず，S1 S2となるときの p q, の値を求める。
このとき， 2
0p{x (mx1)}dx0
となるから
3 2
1 0
3 2
p m p p
0 p より
2 2 6 3 m p
p
となる。
直線
2 2 6 3 1
y p x
p
と yx2 を連立すると
2
2 2 6
3 1
x p x
p
⇔ 3px22(p2 3)x3p0 …①
①の2解をp q, とおく。
解と係数の関係より
2( 2 3) 3 p q p
p
，pq1
これから 3p23pq2p2 6 より p2 3 0
p であるから p 3， 1
q 3 となる。p 3 のとき 4
m 3 である。
次に，S1 S2のときを考えると，このとき 2 4
m 3 であり，
1 2
S S のときよりもPのx座標は小さく，Qのx座標は大きくなるので p 3， 1
q 3 となる。
したがって 1
3 p q 3 となる。
x y
O
y=x2
y=mx-1
q p
P
Q
S1
S2
[ 東京工業大学 1959 年 幾何 １ ]
直線y2x0に関して，円x2y26x2y 6 0と対称な円の中心の座標を求めよ。
2 2
6 2 6 0
x y x y ⇔ (x3)2(y1)2 16 より，円の中心は A(3, 1) Aと :y2x0 に関して対称な点をB( ,X Y)とおく。
とABが垂直であることから 1
( 2) 1 3
Y X
より X 2Y 1 …①
ABの中点が上にあることから 1 3
2 0
2 2
Y X
より 2X Y 7 …②
①，②より 13 9
5 , 5
X Y
よって求める円の中心の座標は 13 9 5 , 5
[ 東京工業大学 1959 年 幾何 ２ ]
平面上に線分ABが与えられている。その中点をMとするとき，MPB MAP90 である
ような点Pの軌跡を求めよ。
△APBの外接円と直線PMとの交点をQとする。
BPM MAQ であり，
条件 MPB MAP90 より
PAQ90 である。
したがって，PQはこの外接円の直径であり，
中心はPQの中点である。
(ⅰ) Mが外接円の中心と一致するとき
MP AM＝（一定）となるので，
PはABを直径とする円周上を動く。
(ⅱ) Mが外接円の中心と一致しないとき
PM AB となるので，PはABを直径とする円の周上にある。
ただし，PがMと一致する場合を除く。
P
A B
Q M
P
A B
Q M
P
A B
Q M
[ 東京工業大学 1959 年 数学Ⅰ幾何 ３ ]
おのおのの内角の二等分線が正方形をつくるような四辺形は，実はどんな四辺形であるか。
四辺形をABCDとし，Aの二等分線とBの二等分線の交点をP， 同様に他の2つの角の二等分線の交点を図のようにQ R S, , とする。
Q 90 であり， 180 1 1
2 A 2 D
Q より A D 180
よって AB//CD となる。
同様にして AD//BC もわかることから，
四辺形ABCDは平行四辺形となる。
次に， , , 2 , 0
a b 2
AB AD B とおくと
| |
PQ AQ AP ，AQbsin ，APasin であるから PQ |b a| sin となる。
同様にして PS |b a| cos もわかる。
条件より PQ PS なので |b a | sin |b a| cos ⇔ |b a | (sincos ) 0
したがって b a 0 …① または sin cos 0 …②
①のとき，ab となるが，このときP Q R S, , , は一致するので正方形はできない。
②のとき，
4
となり，四辺形ABCDは長方形となる。
したがって，題意を満たす四辺形は「正方形ではない長方形」である。
A
B C
D
P Q
R S
