電磁気学 C
Electromagnetics C
山田 博仁
点電荷による電磁波の放射
7/17 講義分
点電荷の運動方程
ここでは、電子のような点電荷によって放射される電磁波のエネルギーを求める。
式
点電荷 e の電荷密度は、
) 1 ( ))
( (
) ,
( t e 3 t
e x x z
) 2 ( )
( ))
( (
)
(t e ' 3 ' z t d3x' e t
Vx x z
p
で表される。ここで、 z(t) は、点電荷の軌道関数である。
で与えられ、従ってその時間微分はそれぞれ、
) 3 ( )
( )
( ),
( )
(
t ez t p t ez t
p
これを、先週導出した以下の式 (37) に代入する。
( )
(37)) 6
( 0 t0 2
t c
P p
このとき、電気双極子モーメントは、
z(t)
+e点電荷 軌道
ラモーアの公
点電荷から放射される単位時間当たりの電磁波エネルギーは、
式
) 4 ( ))
( 6 (
)) ( 6 (
)
( 0 2
2 2 0
0
0 t
c t e
t c
P p z
で与えられる。ここで t0 は、
) 5 ) (
( 0
0
c t t
t x z
の解として決められる点電荷からの発信時刻
式 (4) より、電磁波は、点電荷が加速された時に放射されることが分かる。
) 6 ( ))
( 6 (
)
( 0 2
2 0
0 t
c t e
P z
この式は、点電荷の単位加速時間当たりの放射エネルギーを与えると解釈 することができる。この式をラモーア (Larmor) の公式という。
ただし、式 (4), (5) が成立するのは、点電荷の速度が光速に比べて十分小さい時 このとき、観測点での時刻 t と点電荷の時刻 t0 とはほぼ同一と見なせるので、
点電荷からの放射エネルギ
いま、質量 m, 電荷 +e の点電荷が、
ー
) 7 ( )
( )
( 02
t m t mz z
の運動方程式に従って、角振動数 0 で単振動をしているとする。
式 (7) の解は、
) 8 ( sin
)
(t z0 0t
z
と書くことができる。このとき式 (6) は、
) 9 ( )
( 6 sin
)
( 04 02 2 0 0
2 0
0 z t
c t e
P
となる。そこで、この単振動の 1 周期 T = 2 /0 当たりの平均値を求めると、
) 10 12 (
) (
2 sin 6
/ 0
2 0
2 0 4 3 0 0 2 0
0 0 0 2
2 0 4 0 2
0
z
c dt e
t c z
P e
を得る。これは、点電荷の単位加速時間当たりの平均放射エネルギー
ラザフォード原子模型の
ラザフォードが 1911 年に提唱した原子模型は、
寿命
中心に正電荷をもつ重い原子核があり、その周り を負の電荷を有する軽い電子が回っているという もの。
+e
電子 -e 原子核
ラザフォードの水素原子の模型
ところが、原子核の周りを回転している電子は、
加速度運動をしているから、それに伴い電磁波が 放射される。
すると、回転している電子の運動エネルギーは次 第に減少し、電子は原子核に向かって落ち込んで いくはず。
即ち、古典物理学の法則に従えば、ラザフォード の原子は不安定で、ある一定の寿命で消滅するは ずである。
以下では、古典物理学の法則に基づき、水素原子の寿命を計算してみる。
今簡単のために、電子は陽子とのクーロン力によってのみ引かれて、原 子核の周りを回っているものとする。
ラザフォード原子模型の
このとき、質量 m, 電荷 – e の電子の回転半
寿命
径を r, その速さを v, 回転の角速度を と する。
+e
電子 -e 陽子
ラザフォードの水素原子の模型
m r v
すると、この電子の動径方向の運動方程式は、
) 11 4 (
1
2 2
0
2
r mr e
また、電子のエネルギー W は、
) 12 4 (
1 2
1 2
0
2
r mv e
W
で表される。ここで v = r の関係に注意して、式 (11) を式 (12) に代入すると、
) 13 8 (
1 2
0
r W e
を得る。
ラザフォード原子模型の 寿命
) 14 4 (
) 6 6 (
2
2 0
2 3
0 2 2
3 0 2
mr
e c
e c
e
加加加
で与えられる。従って、単位時間当りに電子の失うエネルギーは、
) 15 4 (
6
2
2 0
2 3
0 2
mr
e c
e dt
dW
によって与えられる。式 (15) の左辺に式 (13) を代入すると、
) 16 1 (
) 4
( 3 2 1
8 0 3 2 4
6 2
0 2
r m
c e dt
dr r
e
となる。
そこで、はじめの時刻 t = 0 における電子の回転半径が a であったとし、
それが原子核に落ち込んでしまうまでの時間を とすると、式 (16) を積分 することにより、
一方、単位時間に電子が放射する電磁波のエネルギーは、式 (6) と式 (11) より、
ラザフォード原子模型の 寿命
) 17 4 (
4
3 2 0 2
0 2 3
2
0
e a r dr
c m
dt
を得る。これから、
) 18 ) (
4 / ( 4 1
2 0 2
3 3 2
e
a c
m
が得られる。
これに電子の電荷の大きさ e = 1.602×10-19 C, その質量 m = 9.11×10-31 kg および原子半径 a = 5.29×10-11 m の数値を代入すると、およそ
) 19 ( 10
~ 11 s
となる。
従って、原子は約 10 ps という非常に短い時間で潰れてしまうことになり、
この矛盾から、ボーアの原子模型、さらには量子力学が誕生することとな る。
レポート問題の解 説
TM モード Hx = Hz = 0
x
y
z E
(HHy)
(Ex) Ey = Ez= 0 自由空間での電磁波
導波管内での電磁波
E E
Ez Ex
x
y z
H H (Hy)
TE モード H
H Hz Hx
x
y
z E
E (Ey)
レポート問題の解 説
/a
/a
0
2
1
2m2 + n2 = 2
2
m2 + n2 = 1
2
m2 + n2 = 4
単 一 モー ド条 件 TE モードの分散特性
カットオフ領域
つまり、 >2a の電磁波は
TE モードとして本導波管を 伝搬することはできない
