Orlicz space - a generalization of Lebesgue space -

Orlicz

^{空間 〜}

Lebesgue

^{空間の一般化〜}

Orlicz space - a generalization of Lebesgue space -

関数方程式研究室

BV16079

^{横田尚哉 指導教員}

:

^{竹内慎吾 教授}

1

はじめに

Orlicz

空間は

Lebesgue

の

L ^p

空間の自然な拡張である

.

Orlicz

空間を考察していくためには

,

主に関数解析や測度論

の知識が重要になる

.

また

Orlicz

空間にノルムを導入する ことで

Banach

空間となることや

, Lebesgue

の

L ^p

空間 で よく知られている

H¨ older

の不等式を

Orlicz

空間でも扱え ることを述べていく

.

本研究では

Orlicz

空間の定義や様々 な補題を述べるのに

[2]

を

,

また

Orlicz

空間に関する必要な 知識などをまとめるために

[1], [3], [4]

を参考にした

.

2 Young

^関数

定義

1.

関数

Φ : [0, ∞ ) → [0, ∞ ]

は次の形で表されるとき

Young

関数とよばれる

.

Φ(t) =

∫ t 0

φ(s) ds (0 ≤ t < ∞ )

この被積分関数

φ

は

Young

関数

Φ

の左導関数とよばれ

,

次の条件を満たすとする

:

•

^区間

[0, ∞ )

上で定義され

, [0, ∞ ]

に値をもつ非減少 関数

.

• φ(0) = 0,

区間

(0, ∞ )

で左連続

.

ただし

(0, ∞ )

上で

φ ̸≡ 0, φ ̸≡ ∞ .

また

,

この

φ

の左逆関数

ψ

を次のように定義する

. ψ(u) = inf { s > 0 : φ(s) ≥ u } (0 ≤ u < ∞ )

このとき

,

関数

Φ e

を

Φ(t) = e

∫ t 0

ψ(u) du (0 ≤ t < ∞ )

と定義する

.

この

Φ e

はまた

Young

関数となり

, Φ

の 共役

Young

関数とよばれる

.

Young

関数は

, t = 0

の近傍で

Φ(t) = 0

となる場合や

, t

が十分大きいとき

Φ(t) = ∞

となる場合も考えられる

.

3 Orlicz

空間

測度空間

(X, µ)

について

, X =

∪ ∞ j=1

X j , X 1 ⊆ X 2 ⊆

…

⊆ X _j ⊆

^…

, µ(X _j ) < ∞

^{を満足する}

X

の可測部分集 合列

{ X _j : j ≥ 1 }

^{が存在するとき}

, µ

を

σ-

有限な測度

, (X, µ)

を

σ-

有限な測度空間という

.

以下では

X

上で定義された実数の値をとる可測関数を主 として取り扱うこととする

.

定義

2. (X, µ)

を

σ-

有限な測度空間

, Φ

を

Young

関数と し

, ε > 0

とする

. X

上で定義された実数値関数で

,

∫

X

Φ(ε | f (x) | ) dµ < ∞ (1)

となる

f

の全体を

Φ(εL)

で表し

, Orlicz

クラスとよぶ

.

ま た

, Orlicz

空間

L ^Φ (X, µ)

は

,

L ^Φ (X, µ) = ∪

0<ε< ∞

Φ(εL) (2)

によって定義される

.

すなわち

,

関数

f

が

L ^Φ (X, µ)

に属す るとは

, ε > 0

を十分小さくとったとき

, (1)

が成立すること を意味する

.

明らかに

,

Φ(L) ⊂ L ^Φ (X, µ) (3)

が成り立つ

.

ただし

, Φ(L) = Φ(1 L)

である

.

Φ(3L) Φ(2L) Φ(L) L^Φ(X, µ)

図

1 Orlicz

空間

Orlicz

空間の簡単な例を紹介する

.

1 ≤ p < ∞

^とし

, Φ (t) = t ^p (0 ≤ t < ∞ )

と定める

.

この とき

,

定義

2

の

(1)

を用いて計算すると

,

∫

X

Φ(ε | f (x) | ) dµ = ε ^p

∫

X

| f (x) | ^p dµ < ∞

で あ る か ら

, Φ(εL) = L ^Φ (X, µ) = L ^p (X, µ)

と な る

.

つ ま り こ の 場 合

, Orlicz

空 間 は 通 常 の

Lebesgue

空 間

L ^p (X, µ) =

{ f :

∫

X

| f (x) | ^p dµ < ∞ }

となる

.

Orlicz

空 間 で 扱 え る 関 数 の 自 由 性 は 高 く

,

通 常 の

Lebesgue

空間などで取り扱う関数も含め

,

より多くの関

数を取り扱うことが可能である

.

命題

3. Φ

を

Young

関数とするとき

, Orlicz

空間

L ^Φ (X, µ)

は

, Orlicz

クラス

Φ(L)

を含む最小の線形空間となる

.

証明は

, f, g ∈ L ^Φ (X, µ)

に対し

, (2)

より正数

ε 0

を選 び

,

線形空間になることを示す

.

また

, Φ(L)

を含む任意の 線形空間を

M ((3)

より

L ^Φ (X, µ)

もそのひとつ

)

として

L ^Φ (X, µ) ⊂ M

^{となることを示し}

,

最小性を導く

.

4 L-N

ノルム

定義

4. Φ

を

Young

関数とする

. f ∈ L ^Φ (X, µ)

に対して

,

|| f || L

^Φ

(X, µ) = inf {

λ > 0 :

∫

X

Φ ( 1

λ | f (x) | )

dµ ≤ 1 }

と定める

.

これを

f

の

Luxemburg-Nakano

ノルム

(

略 して

L-N

ノルム

)

とよばれる

.

L-N

ノルムは実際にノルムの条件を満たすことが証明で

きる

. L-N

ノルムを導入することで

,

次の定理が成り立つ

.

定理

5. Φ

を

Young

関数とするとき

, Orlicz

空間

L ^Φ (X, µ)

は

L-N

ノルム

|| · || L

^Φ

(X,µ)

に関して完備となり

, Banach

空 間となる

.

証明は

,

測度の性質と

Fatou

の補題等を用いて導く

.

さらに

,

この

L-N

ノルムを用いて

, Orlicz

空間の例をも う

1

つ命題として述べる

.

命題

6. Young

関数

Φ

を

Φ(t) = t (0 ≤ t < ∞ )

とする

.

こ の

Φ

によって定められる

Orlicz

空間は

Lebesgue

の可積 分空間

L ¹ (X, µ)

である

.

また

,

その共役

Young

関数

Φ e

は

Φ = e {

0 (0 ≤ t ≤ 1)

∞ (1 < t < ∞ )

となり

,

次の等式が成立する

.

L ^{Φ e} (X, µ) = L ^∞ (X, µ), || f || _L

Φe

(X,µ) = || f || L

^∞

(X,µ)

ここで

|| f || L

∞

(X,µ)

は

|| f || L

^∞

(X,µ) = inf { λ > 0 : µ { x ∈ X : | f(x) | > λ } = 0 }

により定義される

.

証明は

, L-N

ノルムや

|| · || L

^∞

(X,µ)

の定義を用いて導く

.

また

, L-N

ノルムとは別の

Orlicz

ノルムとよばれるもの

があり

,

この

2

つのノルムは同値になる

.

定義

7. (X, µ)

を

σ-

有限な測度空間とする

. Φ

を

Young

関数

, Φ e

をその共役

Young

関数とする

. X

上で定義された 可測関数

f ∈ L ^Φ (X, µ)

が次の式をみたすとき

, Orlicz

ノ ルム

|| · || Φ (X, µ)

とよぶ

.

|| f || Φ(X,µ) = sup {∫

X

| f (x)g(x) | dµ :

∫

X

Φ ( e | g(x) | ) dµ ≤ 1 }

5 H¨ older

の不等式

命題

8. ( L ^p (X, µ)

での

H¨ older

の不等式

) 1 ≤ p < ∞ , 1

p + 1

p ^′ = 1

とする

.

ただし

, p = 1

の場合に は

, p ^′ = ∞

^とする

.

このとき

, Lebesgue

空間の

L ^p (X, µ)

における

H¨ older

の不等式は次の不等式で与えられる

.

∫

X

f (x)g(x) dµ

≤ || f || L

^p

|| g || L

^p′

f ∈ L ^p , g ∈ L ^p

^′

(4) Orlicz

空間

L ^Φ (X, µ)

の関数に対して

H¨ older

型の不等 式を考察すると

, L ^p (X, µ)

での

H¨ older

の不等式と似た

, Orlicz

空間における

H¨ older

の不等式を導くことができる

.

定理

9. ( Orlicz

空間での

H¨ older

の不等式

)

Φ

を

Young

関数

, Φ e

を

Φ

の共役

Young

関数とするとき

, ∫

X

f (x) g(x) dµ

≤ 2 || f || L

^Φ

(X,µ) || g || _L

Φ^e

(X,µ)

が全ての

f ∈ L ^Φ (X, µ), g ∈ L ^{Φ e} (X, µ)

に対して成立する

. Φ(t) = 1

p t ^p (1 < p < ∞ )

とする

.

このとき

,

その共役

Young

関数は

Φ(t) = e 1

p ^′ t ^p

^′

(

ただし

, 1 p + 1

p ^′ = 1 )

とな る

.

ここで

, L-N

ノルムを考え

Orlicz

空間における

H¨ older

の不等式を計算すると

,

∫

X

f (x)g(x) dµ ≤ 2

( 1 p

)

¹_p

( 1 p ^′

)

_p′¹

|| f || L

^p

|| g || L

^p′

となる

.

ここで

,

右辺の係数部分に着目する

. p = 2

のとき

, Schwarz

の不等式

((4)

で

p = 2

としたもの

)

を導くことが できるが

, p ̸ = 2

のとき

,

係数部分が

1

より大きくなり

(4)

よりも弱い評価になってしまう

.

このように

L-N

ノルムと

Lebesgue

の

L ^p

ノルムとの間にある定数倍のズレのため

に

,

最適な

H¨ older

の不等式が得られない場合があることに

注意する

.

6

まとめ

Orlicz

空間は実際に

Lebesgue

の

L ^p

空間の拡張になっ

ている

.

さらに

, Orlicz

空間にノルムを導入することで

,

Banach

空間になることや

Orlicz

空間に対する

H¨ older

の 不等式を導ける

. L-N

ノルムと

Orlicz

ノルムの同値性の 研究を進められなかったのが非常に心残りであるが

, Orlicz

空間に関する数多くの補題の研究を進めることができた

.

参考文献

[1]

折原明夫

,

測度と積分

,

裳華房

, 1997.

[2]

北廣男

,

オーリッチ空間とその応用

,

岩波書店

, 2009.

[3]

小谷眞一

,

測度と確率

,

岩波書店

, 2005.

[4]

樋口禎一

,

芹澤久光

,

神保敏弥

,

関数解析学の基礎

·

^基 本

,

牧野書店

, 2001.