電場とガウスの法則
電磁気学その１ーＢ
工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可 加藤潔
電気力線
• Ｆａｒ ａｄｙ 電場の様子と水の流れの相似性
• 流れ … 保存則 → 基礎法則としての
ガウスの法則
E S
ガウスの法則
電場
電場の源 電荷 電気現象の
基本量
←関係→
任意の電荷分布において
「袋」の表面を横切 る電気力線の量
「袋」の内部の電荷から 生じる電気力線の量
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電気力線の量
「電気力線の量」
→ナイーブには
E S
ES
電気力線の量：精密化
• 電場ベクトルの向き
• 電場が場所により変化するとき
→基本パターン（ｐ．１８）
E
E
n∑ E n ∆ S ∆ S E
nES
工学院大学の学生のみ利用可：印刷不可：再配布不可 (C)加藤潔 2001
点電荷からの電気力線の量
半径ｒの球面
kq r r
k q
ES = 2 × 4 π 2 = 4 π
電気力 幾何学
4 0
1
= πε
k
真空誘電率
ε 0
ES = q
一定！
ガウスの法則（まとめ）
任意の閉曲面
Ｓについて ∑ ∆ = ∑
ε 0
S q E n
S
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電束密度
E D = ε 0
∑
∑ D n ∆ S = q
力線を表現する場
注意
• ここではクーロンの法則から出発して、ガ ウスの法則を導いた。
• しかし、逆の議論でガウスの法則からクー ロンの法則を導くこともできる。
• ガウスの法則がより基本的である。
• Maxwell の方程式の４つの柱の１つである。
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ガウスの法則の応用
使い道＝電場と電荷の関係を与える
選択？ ポイント
•
電場の分布の様子を把握する•
電場はベクトル的に合成される どんなＳでも成立するが計算の難計算の難 易度易度はＳの選択 により変わる
任意の閉曲面Ｓについて成り立つ
∑ ∆ = ∑
ε
0S q
E
n応用（ １） 平面一様分布
電荷面密度σ 横から見たところ
ベクトルとして電場を合成
E
E
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応用（ １） 平面一様分布
E
A 面Ｓとして筒状
の面をとる ∑ ∆ = ∑
ε
0S q E
n0
0 ε
σ A EA
EA + + =
2
0ε
= σ
∴ E
E E
n=
E E
n=
= 0
E
n応用（ ２） ２平面一様分布
σ 2 σ 1
考え方は前と同様
E d E c
E u
E u = E d = σ + σ E c = − ε
σ σ ε
1 2
0
1 2
2 , 2 0
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応用（ ２） ２平面一様分布
特に、等量で正負に帯電しているとき、つまり
の場合は平行平板コンデンサーの場合と同じである。
このとき、 （次回使う
)
E u = E d = 0 E c =
0
, σ
ε
σ 1 = σ σ , 2 = − σ
応用（ ３） 直線一様分布
方針はいつもと同じ。
場の様子をイメージする。
適切な閉曲面を使ってガウ スの法則を適用する。
電荷の線密度σ
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応用（ ３） 直線一様分布
半径Ｒ高さｈの円柱面をＳとする
