シャピロ=スティグリッツの"No-Shirking Condition"に関する研究ノート

シャピロ=スティグリッツの"No‑Shirking Condition"に関する研究ノート

著者 河合 宣孝

雑誌名 經濟學論叢

巻 66

号 4

ページ 663‑681

発行年 2015‑03‑20

権利 同志社大學經濟學會

URL http://doi.org/10.14988/00027458

【研究ノート】

シャピロ = スティグリッツの

“No-Shirking Condition”に関する研究ノート

河　合　宣　孝　　

は　じ　め　に

　Shapiro & Stiglitz（以下，S-Sモデル）では，つぎのような諸点に難点がみられる．

まず第1点は，S-Sモデルでは就業者を，怠業するか怠業しないかに分けて，

それぞれの現在価値を勘案して行動するとして，No-Shirking Condition（以下，

NSC）が導出されている．Fuente ⁽²⁰⁰⁰⁾やRomer (2001)では，DPを用いて導 出されている．その際，NSCとつぎの関係式

　　　　a^N L- h=bL （1）　　

を用いて，市場の労働供給関数が示されている．ただし，N^―とLはそれぞれ 市場全体の労働供給量，労働需要量を表わし，aとbはそれぞれ雇用率，離 職率を表わす．本来，その市場の労働供給は，就業者の最適化行動に裏打ち された条件の集計として導出されるべきである．

　第2点は，S-Sモデルでは企業はNSCにしたがって利潤を最大にするよう に雇用を決定する条件は，

＊　本稿作成にあたり，同志社大学経済学部佐藤敦紘助教より，多くの有益なコメントをいただ いた．ここに記して感謝したい．もちろん，ありうべき誤りは，私自身に帰せられる．本稿は，

平成23年度大学院高度化推進特別経費（研究科分）の助成を受けました．

　　　　労働の限界生産性＝賃金

であるが，予め労働者の行動を前提に利潤を最大にするモデルでは，需要独 占になる可能性がある^1）．その可能性を排除するために，企業を監視する労 働当局が存在する必要があろう．

　第3点は，就業者および失業者の期待効用の割引現在価値の総和は，wと fをそれぞれ賃金所得，努力水準とすれば，

　　　　_^w-f_hL w N L+ _u^ - _h

と表わされる^2）．そこで，（1）を考慮すれば，

　　　　^w-f^hL w N L+ _u^ - ^h=aw- +f w_u b Lak （2）　　

と表わされるので，（2）の括弧内はLに依存しない．したがって，その総和を 最大にするような内点解は存在しない．これを回避するためには，何らかの 制約，例えば，失業補償は少なくとも最低賃金水準よりも大きいという制約 を付ける必要があろう．

　以上の諸点を踏まえて，本ノートの目的は，労働当局という存在を前提に，

S-Sモデルを理論的に再検討することにある．そこで，第1節では，怠業して いるか否かの就業者および失業者の各々の期待効用の割引現在価値が，事故 確率の応用として計算され，その結果を用いて，NSCが導出されることが示 される．第2節では，労働当局が怠業しない就業者と怠業している就業者の 各々の期待効用の割引現在価値を努力水準でウエイト付けされた総和を最大 にするように行動すれば，NSCが得られることが示される．その結果を受け て，第3節では，労働当局がNSCを満たす賃金を義務付けるために企業を監 視すれば，企業は労働の限界生産力がその賃金に等しいところまで労働を需 要することが示される．第4節では，労働当局が最低賃金水準を予め設定して，

1）　荒木（1992）参照．

2）　wuは失業補償を表わす．

失業補償は少なくともこの水準より大きいという条件のもとで，就業者およ び失業者の各々の期待効用の割引現在価値の総和が最大にされる失業補償が，

存在するか否かが検討される．

1　S-Sモデル 1. 1　怠業がない場合

　人は就業しているか，失業しているかのいずれかであるとする．就業して いれば，そのときの就業者の効用関数は，

　　　　U w^ h= -w f （3）　　

であり，失業していれば，

　　　　　U w_{^ h}=w （4）　　

とする．

　いま，怠業しない就業者の期待効用の割引現在価値EV^eは，つぎのように 表わされるとする．

　　　　EV^e w 1 F t w F t e_u ^rtdt

0

=

#

ただし，離職率が一定のbの場合，F(t)は，

　　　　F t^ h= -1 e^-bt

と表わされる^3）ので，（3）式から，

　　　　rEV^e= - +w f b V^ ^u-EV^eh （6）　　

を得る^4）．

3）　補論のA.1を参照．

4）　補論のA.2を参照．

　同様に，失業者の期待効用の割引現在価値EV^uは，つぎのように表され るとする．

　　　　EV^u w_u 1 H t w H t e ^rtdt

0

=

#

ただし，失業者の雇用率が一定のaの場合，H(t)は，

　　　　H t^ h= -1 e^at

と表わされる^5）ので，（7）式から，

　　　　rEV^u=w_u+a EV^ ^e-EV^uh （8）　　

を得る^6）．

1. 2　怠業がある場合

　いま，就業者が怠業していて，それが発見されれば直ちに解雇され，発見 されなければそのまま雇用され続けるか，あるいは離職するとする．そこで，

怠業の発見率をq，離職率をbとすれば，怠業している就業者の期待効用の 割引現在価値EV^sは，つぎのように表されるとする．

　　　　EV^s w1 G t 1 F t w G t_u 1 G t F t e ^rtdt

0

=

#

ただし，怠業者の発見率が一定のdの場合，G(t)は，

　　　　G t_{^ h}= -1 e^-qt

と表わされる^7）ので，（9）式から，

　　　　rEV^s= + +w ^b q Vh^ ^u-EV^sh （10）　　

5）　補論のA.1において，離職率を雇用率に置き換える．

6）　補論のA.4を参照．

7）　補論のA.1において，離職率を発見率に置き換える．

を得る^8）．

1. 3　No-Shirking Condition

　（6）式と（10）式より，怠業しない就業者と怠業している就業者のそれぞれの 期待効用の割引現在価値は，

　　　　EV w r bbV , EV r b q w b q V

e u

s u

= - +f+ = + + + +^ h となる．

　いま，就業者を怠業させないためには，

　　　　EV^e$EV^{s （11）}　　

でなければならない．したがって，

　　　　EV EV w r bbV

r b q w b q V

e s u u 0

f $

- = - ++ - + + + +_{^ h}

（12）　　

と置けば，

　　　　wq$_^r b q+ + _hf+_6^r b b q+ _h^ + -_h b r b q V_^ + + _h@ ^u

　　　　∴w$rV^u+ + +^r b qhqf=w_m （13）　　

を得る．すなわち，（13）式がいわゆるNSCである．

　つぎに，失業者の期待効用の割引現在価値EV^uを考慮するために，（6）式 と（8）式より，

　　　　r EV^ ^e-EV^uh= - -w f w_u+b V^ ^u-EV^eh-a V^ ^e-EV^uh

（14）　　

を得る．

　ここで，

8）　補論のA.3を参照．

　　　　EV^e=V^e, EV^u=V^u と置けば，（14）式より，

　　　　V V r a b

w w

e u f u

- = + + - -

を得る．V^eとV^sを求めれば，

　　　　rV w b r a b

w w

r a b r a w bw

e u u

f f f

= - - + +

- - = + + + - +

a k ^{^ h^ h} （15）　　

　　　　rV w a r a b

w w

r a b a w r b w

u u

u u

f f

= + + +

- - = + + - + +

a k ^{^ h ^ h} （16）　　

となる．（11）式に（14）式を代入すれば，

　　　　w rV r b q q r a b a w r b w

r b q

u u

$ + + + f = f+ + f f - + +

+ + +

^ h ^ h ^ h ^ h

より，

　　　　w-f$w^u+ + +^r a bhqf （17）　　

を得る．

　したがって，（17）式のNSCは，怠業しない就業者，怠業している就業者，

失業者の3者の行動を集約した条件を表している．

2　就業者の期待効用の割引現在価値の最大化

　企業側が（13）式のNSCを念頭に利潤最大化行動をとれば，需要独占のケー スとなりうる．このような状況にならないように，NSCを企業側に順守させ るためには，それを監視する機関，たとえば労働当局の存在が不可欠となろ う．また，（13）式の条件を満たすように企業側に賃金設定を要望しなければ ならない労働当局は，その要望に何らかの理論的根拠を有しなければならな い．そのため，労働当局は，怠業しない就業者，怠業している就業者を共に

考慮しながら，行動しなければならない．

　そこで，労働当局は怠業しない就業者と怠業している就業者の各々の期待効 用の割引現在価値を努力水準でウエイト付けされた総和の最大化，すなわち 　　　　Max EV^e 1 EV^s

0 1f + -f

# #f " ^ h ,

となるように行動する^9）とする．

　また，労働当局の想定する効用関数は

　　　　U w_^ ,f_h= -w mf，　　m20 （18）　　

とする^10）．

　そこで，EV^eとEV^sを求めれば，

　　　　EVe w r bbVu

f = - +mf+

^ h ，　　EV r b q

w b q V

s u

= + + + +^ h

（19）　　

となる．

　（19）より，

9）　ここでは，労働当局は就業者が怠業しているか否かは判断できないので，各々の期待効用に 努力水準でウエイト付けされた総和を最大にするように行動すると仮定している．河合・荒木 　 （1993）では，M

eax EV^eのケースが考察された．

10）　（16）式は，つぎのようにして得られる．

　 lは余暇，Lは労働，T―は総時間数を表わすとすれば，効用関数は　 　　　　 U(w,l)=w+m0l=w+m0(T―-L)

　 と表わせる．ただし，m0は余暇を効用に直す所得の限界効用を表わす．

　 　いま，hを労働時間，fを努力水準として，労働Lを 　　　　 L=fh

　 と表わせば，上述の効用関数は 　　　　 U(w,l)=w-m0fh+m0T―

　 となる．効用関数の第3項を一定の値とみなし，

　　　　 U(w,f)=w-mf，　　m=m0h 　 と表すことができる．

Max EV EV Max w r bbV

r b q w b q V

1 1

e s u u

0 1f + -f =0 1 f - +mf+ + -f + +

+ +

# #f " ^ h , # #f ( c m ^ h< ^ h F2

Max EV EV Max

r b

w bV

r b q w b q V

1 1

e s u u

0 1 f + -f =0 1 f mf f

+

- + + -

+ + + +

# #f " ^ h , # #f ( c m ^ h< ^ h F2

と表わされるので，

W EV EV w r bbV

r b q w b q V

1 1

e s u u

f f f mf f

= + - = - ++ + - + +

^ h c m ^ h< + +^ h F

W EV EV w r bbV

r b q w b q V

1 1

e s u u

f f f mf f

= + - = - ++ + - + +

^ h c m ^ h< + +^ h F _（20）　　

と置く．

　Wを最大する条件を求めるために，（20）式をfで微分すれば，

　　　　dWdf =EV^e-EV^s-far b+m k （21）　　

　　　　 d d W

r b2 0

2

2 1

f

=- +m ^（22）　　

となる．

　そこで，f=0でWを最大にする条件は 　　　　dWd EV^e 0 EV^s#0

f = _{^ h}- _（23）　　

となるが，（23）より，

　　　　EV^e_{^ h}0 #EV^s を得るので，不適である．

　つぎに，f=1でWを最大にする条件^11）は，　　

　　　　dWd

r b

w bV

r b q w b q V

2 ^u 0

u

f $

= - +m+ - + + + +_{^ h}

（24）　　

となる．（24）式より，

11）　0^1f11でWが最大となる場合，怠業する労働者を排除できない．

　　　　wq$^r b q+ + h2m+6^r b b q+ h^ + -h b r b q V^ + + h@ ^u を変形すれば，

　　　　w rVu r b q 2q w r b q 2q

$ + + +_{^ h} m= u+ + +_{^ h} m _（25）　　

を得る．

　ここで，（25）式の右辺は（13）式より，

　　　　w r b q 2q w r b q q w

u+ + +_{^ hc} m_m$ u+ + +_{^ h}f = m

でなければならない．したがって，

　　　　m$12f _（26）　　

を得る．

　とくに，（26）式において，

　　　　m=12f _（27）　　

のとき，S-SモデルのNSCと一致する．

3　労働市場

　代表的企業は，労働当局によって提示される賃金w($w_m)を所与として，

利潤最大化行動をとるとすれば，S-Sモデルと同様，

　　　　労働の限界生産力＝F Ll^ h=w$w_m （28）　　

である．

　したがって，第 1 図より，労働当局が怠業する就業者を完全に排除できる と想定する条件は，

　　　　F L w w r b q 2q

u m

= ⁾= + + +

l^ h ^ h （29）　　

であるから，最適な労働量L⁾が決定される．それを

　　　　L⁾=L w_{^ hu} （30）　　

とおけば，

　　　　dwdL

F L 1 0

u

= 1

)

m^ h) （31）　　

である

4　経済全体の厚生

　また，労働当局はつぎのような就業者および失業者の期待効用の割引現在 価値の総和すなわち，　

第 1 図 w LD

w)

wm

L⁾ L

第 2 図

　　　　Z=_^w-mf_hL w N L+ _u^ - _h （32）　　

を最大にするように失業補償w_uを決定するとする．ただし，失業補償は少 なくとも最低賃金水準wminより大きい，すなわち，

　　　　w_u$w_min （33）　　

とする．

　（29）式と（30）式を考慮すれば，（32）式は 　　　　Z r b 2q L w w N

u u

m m

= + +; _{^ h} E _{^ h}+ （34）　　

と書き改められる．（34）式の右辺の第1項は，

　　　　（34）式の右辺の第1項 r b 2q L w

m m u

= + +; ^ h E ^ h

より，中括弧内はw_uに依存しないから，第 2 図に示されているような右下 Z

Z

N

w)u

wu

w_min

r b 2q L w m+ +^ h m ^ uh

; E

がりの曲線で表わされる．

　また，（34）式の右辺の第2項は，

　　　　^（34）式の右辺の第2項=Nw_u

より，傾きN^―の直線で表わされる．^（34）式の右辺の第1項と第2項とを合成 して得られた曲線が，第2図で示されている曲線ZZである．曲線ZZは最 小値w⁾_uをとり，その点では，

　　　　;m+ +^r bh2qmEL wl^ _u⁾h+N=0 （35）　　

が成り立つ．ただし，

　　　　;m+ +^r bh2qmEL wm^ _uh20 （36）　　

である．

　したがって，Zを最大にするような失業補償w_uが，

　　　　w_u⁾$w_u$w_min （37）　　

ならば，Zはw_u=wminで最大となる．

しかし，失業補償w_uが，

　　　　w_u$w_min2w_u⁾ （38）　　

ならば，Zの最大値は存在しない．

お　わ　り　に

　本ノートでは，S-Sモデルを理論的に再検討してきた．その結果，第1節では，

怠業しているか否かのそれぞれの就業者および失業者のそれぞれの期待効用 が事故確率の応用として計算され，その結果を用いて，NSCが導出されるこ とが示された．第2節では，労働当局が怠業しない就業者と怠業している就

業者の各々の期待効用の割引現在価値を努力水準でウエイト付けされた総和 を最大にするように行動すれば，NSCが得られることが示された．とくに，

（27）式が成り立てば，S-SモデルのNSCと一致した．第3節では，労働当局 がNSCを満たす賃金を義務付けるために企業を監視すれば，企業は労働の限 界生産力がその賃金に等しいところまで労働を需要することが示された．そ の結果より，第4節では，労働当局が最低賃金水準を予め設定して，失業補 償は少なくともこの水準より大きいという制約のもとで，就業者および失業 者の期待効用の割引現在価値の総和を最大にするような失業補償が(37)式を 満たせば，その総和が最大となる．しかし（38）式であれば，その総和は最低 賃金水準では最大とならない．実際に（38）のような経済の場合，労働当局が 失業補償を最低賃金水準に設定しても，その最低賃金水準の引き上げへの要 求は，日常化するであろう．

補　　論 A. 1　離職率

　ランダム変数Xを就業者が離職する時点とする．就業者が時点0から時点 tまでに離職する確率は，確率密度関数をf(x)とすれば，

　　　　F t ^tf x dx

0

^h=

#

で表わされる．

　つぎに，時点tまでは離職しなかったという条件のもとで，区間(t, t+dt) で離職する条件付き確率は，

P t X t dt ,

P X t P t X t dt X t

P X t P t X t dt

# #

$

# # $

$

# #

+ = +

= +

" " "

"

"

, , ,

, ,

P t X t dt ,

P X t P t X t dt X t

P X t P t X t dt

# #

$

# # $

$

# #

+ = +

= +

" " "

"

"

, , ,

, ,

F t F t dt F t

= 1- + -

^ ^ ^

h h h

（A.1）　　

で表わされる．

　ここで，

　　　　b t dt^ h =P t" #X#t dt+ , （A.2）　　

と置いて，dt→0とすれば，

　　　　b t F t F t

=1-

^h l^^hh

（A.3）　　

を得る．

　（A.3）より，積分すれば，

　　　　 ln1 F t b x dx

t

- 6- ^h@=

#

となる．なお，積分定数はF(0)=0より，ゼロである．

　したがって，（A.4）より，

　　　　F t_^h= -1 e^{-#0tb x dx]g （A.5）}　　

と書き改められるから，

　　　　f t^h=b t e^h ^{-#0tb x dx] g} （A.6）　　

となる．

　いま，b(t)=b＝定数であれば，

　　　　f t_{^ h}=be^-bt となる．

A. 2　怠業しない就業者の期待効用の割引現在価値

　EV^eを怠業しない就業者の期待効用の割引現在価値とすれば，

（A.7）　　

と表わされる．

　ただし，

　　　　V w e dt r

u w

u rt u

0

=

#

である．あるいは（A.7）は，

　　　　rEV^e= - +w f b V^ ^u-EV^eh （A.9）　　

とも表わされる．

A. 3　怠業する就業者の期待効用の割引現在価値 　怠業者が一定のqで発見されるとすれば，その確率は 　　　　G t_{^ h}= -1 e^-qt

で表わされる．

EV w F t w F t e dt

w e w e e dt

w e dt w e e dt

w er b w er

r b e

r b

w w

r r b r b

w

r w

r bb r b

w bV

1

1

1 1

e

u rt

bt

u bt rt

r b t

u rt r b t

r b t u

rt r b t

u

u

u 0

0

0 0

0 0

f

f

f

f f

f f

= - - +

= - + -

= - + -

= - - + + - + +

= +- + - +

= +- + +

= - ++

3

3

3 3

3 3

-

- - -

- + - - +

- + - - +

^ ^ ^ ^

^ ^

^ ^

^

a a

] ]

] ]

h hh h

h h

h h

h

k k

g g

g g

6 7

; ;

@ A

E E

#

#

# #

　そこで，EV^sを怠業する就業者の期待効用の割引現在価値とすれば，

EV w G t F t w G t G t F t e dt

w e e e dt w e e e e dt

w e dt w e e dt

w er b q w er

r b q e

r b qw w r r b q

r b qw r w

r b q b q

r b q w b q V

1 1 1

1 1

1 1

s u rt

qt bt rt

u qt qt bt rt

r b q t

u rt r b q t

r b q t u

rt r b q t

u

u

u 0

0 0

0 0

0 0

= - - + + -

= + - + -

= + -

= -

+ + + - + + +

= + + + - + +

= + + +

+ + +

= + + + +

3

3 3

3 3

3 3

-

- - - - - - -

- + + - - + +

- + + - - + +

^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^

^

c

c

^

] ]

] ]

hh hh h hh h

h h

h

m

m h

g g

g g

6 6

< <

@

@

F F

" ,

#

# #

# #

（A.10）　　

と表わされる．あるいは（A.10）は

　　　　rEV^s= + +w _^b q Vh^ ^u-EV^sh （A.11）　　

とも表わされる．

A. 4　失業者の期待効用の割引現在価値

　失業者が一定のaで雇用されるとすれば，その確率は 　　　　H t_{^ h}= -1 e^-at

で表わされる．

　そこで，EV^uを失業者の期待効用の割引現在価値とすれば,

　　　　 （A.12）　　

と表わされる．ただし，

　　　　Ve w e rtdt wr

0

f f

=

#

である．あるいは（A.12）は，

　　　　rEV^u=w_u+a V^ ^e-EV^uh （A.14）　　

とも表わされる．

【参考文献】

Bénassy, Jean-Pascal (2011) Macroeconomic Theory, Oxford University Press.

Fuente de la, Angel (2000) Mathematical Methods and Models for Economists, Cambridge University Press.

EV w H t w H t e dt

w e w e e dt

w e dt w e e dt

w er a w er

r b e

r a

w w r r a

r a w

r w

r aa

r a w aV

1

1

1 1

u

u rt

u at at rt

u r a t rt r a t

u

r a t rt r a t

u

u

u e

0

0

0 0

0 0

f

f

f

f

f f

= - + -

= + - -

= + - -

= - + + - - + +

= + + - - +

= + + - +

= + +

3

3

3 3

3 3

-

- - -

- + - - +

- + - - +

^

^ ^ ^

^ ^

^ ^

^

^ a

`

] ]

] ]

hh h h

h h

h h

h

h k

j

g g

g g

6 6

; ;

@

@

E E

#

#

# #

Romer, David (2001) Advanced Macroeconomics (Second Edition), McGraw-HILL Companies.

Shapiro, C. and J. E. Stiglitz (1984) “Equilibrium Unemployment as a Worker Discipline Device,” American Economic Review, Vol. 74, No. 3, pp. 433―444.

荒木利枝（1992）「不完全情報下における最低努力水準と非自発的失業の存在」『京都学 園大学経済学部論集』第2巻第2号，97―110頁.

河合宣孝・荒木利枝（1993）「就業意欲と非自発的失業の存在」『経済学論叢』（同志社大学）

第44巻第4号，21―35頁.

（かわい　のぶたか・同志社大学経済学部教授）

The Doshisha University Economic Review, Vol. 66 No. 4 Abstract

Nobutaka KAWAI, A Note on the No-Shirking Condition of Shapiro and Stiglitz 　　In this note, we reinterpret theoretically the Shapiro and Stiglitz model using the assumption that a labor bureau (LB) exists. If the LB chooses to maximize the sum of the weighting given to the level of effort of the discounted value of expected utilities of employed non-shirking and shirking workers, we get the No- Shirking Condition. In addition, we investigate the unemployment benefits that maximize the sum of the discounted value of expected utilities of employed and unemployed workers when the LB assigns a minimum wage level in advance.