Japanese Sooiety Society for the Science Soienoe of Design 文字のフーリエ解析 湊幸衛 1. 目的 文宇を一筆書きで書いたときの筆順をフーリエ展開し, その書体の関数関係を求めようとする ものであって, この論文の主眼点は, 文字読取りとレタ

文 字

の フ ー

リ

エ

解 析

湊 幸 衛

1

． 目　 的 　文 宇を一筆 書きで書い た ときの 筆 順 をフーリエ展 開し，その_書体の _{関数関 係 を求}め よ うとする もの であっ て，こ の 論文の 主眼 点は，文字読取 り とレタ リン グ作製の た めの 基礎的情報を求めよ う と するこ と に あ り， 図 形の不 変 的 特 長が， フーリエ 展 開し た ときの フーリエ 係 数に どの よ う な 形で現 わ れて く る か を 間 題 と する もの であ る。 2 ． 解 析 手段 ノ 　一筆 書 きで書かれ た文字を，運筆順に

X

，

Y

成分に分け， 運筆 時 間 ‘に関す るフ ーリエ 級数を 考えれば， tを助 変 数とする孤立関数とし て，フ ーリエ 級数_に展 開_{できる か ら}，_周期

T

＝ 2π／ω と とっ て， 一般に 　　　　　　　co

　　　

X _（t）一

 

＋

_嵩

｛a・ ・，C・ ・（・lcvt）＋b… i・ （・…t）｝ 　　　　　　　　P　 　　 　 　 　　 　 　 （1） 　 　 　 　co　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 　　 　

　　　

y _（の 一

_穿

_＋ n

￥

1　 ｛av ・C・ ・（n・・t）＋b… i・ （〃・の｝

i

　ただ し

　　

　

… 一

÷

∫

ll

二

、

X

（の… （・ω・_）

dt

　　

　

・，・ 一

争 ∫

：

ll

， ・_（の… （nωt）　

dt

　　　

偏 一

÷

∫

1

∴

X （の… _（・ω’_）dt

　　

　

b

，・　”

i

∫

Zi

’

1

， ・・’_（の… _（n ・・t）dt で表わすこと が で きる。 　（1）を さ ら に ま とめ て， ・ω 一

鮒

_、、） 　 　 　 co 　　　Y （の ＝ Σ： _ツn 　 　 　 n＝o と書けば， 〃 ＝ 0 _{の と き} 　 　 　 一

131

一

　 　x。＝」勉 　 　 　 　 2

　

　Yo一

撃

neFO の とき， π 次 高 調 波の

X

，　

Y

成分は 　 x。＝・

C

。。sin _（n・・t_＋φ 。の

　　　　　　　｝

（・_） 　 or，、＝

C

’ unsill （ntot−1−fSt　n） た だ し 　

C

聞 ＝ 〜／α3册 十

be

．，。 　 Cvn＝ 》 α  η十 ゐ蕩 一

　　

φ一 一・an −1

（

a．enbxn

）

骸

　　

φ・・一・m −1C

際）

・i_？・’ u’・1 で与えら れ，

d

）’，／．n？φy，t は，　

bl

・。，　

bvn

が 正の とき0 ，負の と き π で あ る。 　（3 ）か らtを消 去して_， Xn _{， 」}’_{n だ けに}関_{す る式を作れ ば} ， 　 　

C

．、，、キO，

C

〃，、キ0 の と き，　x・ll，　bl・ll を

　　

t。n　2θ_，i ＿

2C

・ ．　Cvn　c・ ・ （（・・cn 一 φの 　 　 　 C2x，，− cav，し を満 足 する On だけ 直 交 回 転 し， ξ。 ， η。を

　

　

じ

：

〕

一

［

．

：

訟認

：

〕じ

1

〕

と お け ば， sill（tP．。，L−

ilyn

）キ0 の とき 　 　 Anξn2 十B 、nerpn ＝

C2xnC2vn

　sin2（

il

．_t、_t一_φ y7、）　（4） ただ し A ・＝

寺

〔

（・Exn ＋

C2

・un）−

V

（

C2xn

− C2vn）2＋・C・繊 ・c… （

ilxn

−・

P

，・）

〕

B

・＝

｛

lnv

〔

（・  ・

C

  _の・

V

_（C：_・・ n −

C2y

．） S ＋ ・C2xnC2v・c… （φ… φ・・）

〕

となっ て， 楕 円 を表わすか ら， 長 径 を α。， 短 径を β。 とすれば

　　

。 尸 娠

G

’・ si・ （Up，・n 一_φ ・・） 　 　 　 　》ん。

　　

β・一 （恥

c

酵

幾

π一φの で 示すこ とができる。

　

しか し・

C

・ ・＝O・

Cyn

＝O・ sill（φ・ ・一φ〃・）＝＝O の三つ の揚 合は、 い ずれ も直線を表わすか ら

，

直線の _{長 さ}を α，り

On

をx 軸か らの 傾斜角ときめれ ば，廐＝ 0 と と

っ て，

文 字 の フ ー リ エ _解 析 　 　 　Cxn＝ O の とき，　crn＝ Cvn， θn＝ n ／2 　　　 Cvn＝ 0 の とき ， α，、＝

C

．rn， θπ　＝O 　　　

ilxn

＝ φ 〃 n の と き， απ＝v ／

C2

蹴 十

C

 ，、，θn ＝ tan −S（

Cyn

／

Cxn

）

　　　

dJ

．。n＝吻，、±π の と き，α n＝

VC2

．tn 十

C2y

。 ， θn ＝ − tan−t（

Cyn

／Cxn）

となる。

　

Cxn

，　

Cy

。 は Xn ，　Yn の振 巾を 示すもの で あるが， 文 字 を構 成 するた めの n 次高調波にお け る

強さを表わすか ら， 基 本 波 （C。i＋

Cyt

）に対 する修正 の 度合 を考え れ ば，

　 　 　

Exn

＝　

Cxn

_／（

CXi

_十

Cyi

_）

　　　Evn＝

Cvn

_／（

CXi

_÷

CYi

_）

　 　 　

E

卿 η＝

E

抛 十

E

〃r、

は， 基 本 波に対 する寄 与 率 を示すことになるの で， 文 字 解 折の た めの 目安として

　　　EXvn，　EXn，　Eyn， α n， βn，θn， φゆ 、， （6／　xn 一φyπ）

を考え るこ とに し，（1）で示 さ れ る

X

，

Y

の _{軌 跡}，い い か え れば

rLissajous

の図 形」に対 する 視 覚 的な意味を，図 L 図 2，図 3 に よ っ て説 明 する。 　図

1

は，（

3

）あ るい は （4）を満足 す る 　Cn，　_Y，s の軌跡を定性 的に表わ し た もの であっ て，　 Cn， ッ。の位 相 差 （φx，厂

iPy

・。）に対 応 する軸の 傾 斜の 工合と，　 E ．。n／Eyn の 形 状に与える影 響の 度 合， お よ び軌跡の 運動方向を 示 し た もの で ある。 　図 2は，基 本 波と第2高調波， あるい は周 波 数 比が 1： 2 の場 合 を表わ して お り， 基 本 波， 1：t， yt の_軌跡に対 す る第 2 高調波，　x2，　y， の影 響の度 合 を示 してい る。し か し， 定 性 的に描く ため ， 基 本 波の YL に対 する第2高 調 波の x2 _{を主 体} とし て あ り， 位 相 差 （φq 一 φシ2）の 象限位置を は っ き り指 定 して い る わ けで はない の で，例えば，：el に対 する Y2 に な れ ば π／2 回転した 形 と な り，位相 差の 値に よっ て は， 裏 返し の形に なる場 合 もある。 　図2の _中心にある図 形は，E。t＝0，　 Ev　Li＝0 と とっ た ときの Yi と x2 の軌 跡を示 し たもの で あ っ て， い わ ば周波数比 が 1： 2 の と きの 基 本 図 形ともい う べ _{き もの であり} ， 位 相 差の値によっ て 放物線あるい は 8の _字よ うの形をと る。 　図2の右 側にある図 形は， Ey，；O と し た ま ま，　Em の値を大き く して い っ た ときのもの であっ て，逆に， EXi ＝0 と して EvLコの 値を大き く してい っ たものが， 図2の左 側にある図 形である。 　図に は示 して い ない が，

E

．。t，　

Eyi

，　

E

，et，　Ev2 が か な り有意な値で あっ て，　Ot， 0， が， 図 2の よ う な， 0 ある い は π／2 でない と き は，x 、 と Y2，　yt と x2 の 二 つ の 基本図形を考え， ベ ク トル 的に合 成した もの となるか ら， ど ち らの 組の 方が支配 的である か によっ て， 支配 的な組の方の形 に近い もの と な り， 基本波の θ、 に近い傾 き方 をする ことになる。 　図1， 図2か ら推測さ れ る ように，一般に基 本 波 tVl ま たは Yiに対し，π 次高調波の S・n ま た は t／’，、 との 関係は， − tl_箇の _山と谷をもっ た曲線を円 く輪に し， 横側か ら眺め た ときの ような現わ 　 　 　 　一 133 一

　

t・S，cn −

e

・・＝ ° ° φ… φ・・−9・ °

　

CR・・’・，・一・_”ln−・8uc _{φ… φ} “。一沂 ・ ・

di

。。，

il

，。＝：，6。 ・

卸

／ ， ○

、

＼

、

_○

_，

_／

無

_／

〃 ○

_{、 ＼ 、}

_{○ ， ／}

／

∵

逃

9

贖

憑

勲

　

ヘ_ロ

γ

∴

護

黛

9

娩

賜

騨

織

讌

熱

＋

鞠

∴

騨

盤

ん

鰯

文 字 の フ ー リ エ _{解 析} れ方をするが， 基本波と〃 次高 調 波の位 相 差 （

il

．rt −　ci　iJ　n）， また は （φ、，1 一_{φxn ） に応じて，手前} の 山 と奥の 山が重っ た一本の うねっ た曲線に なる か， あ るい は，＠− 1） 箇の交叉点を も つ _よう に，か ら み あ わせたよ うな形を な し_，位桐 幾 何 学 的に は 示性数n _箇の _{図 形}となる。 し か し，図2 で見た よ うに，

E

．，。 ，　

Eern

の値が か な り有 意なもの であ れば，基本波か ら n 次 高 調 波まで加え あ わせ た形は基 本 図 形とは か な り異っ た様 相を 呈 して くる。

　

こ の ように， E。 。，　

Eyn

が 大 き くな れば， 図形の修 正 度 も大き くなる か ら，十 分に大き な

E

。’n， EVT， をと る高 調波が文 字の形 を支 配する で あろ うこ と は当然であ る。 こ こ に注意すべ _{きこと は} ，

Exn

， 　_Ev 、 が 互に 直 交してい る とい うことで あっ て，　

E

．。。 系 列で 最大 値 をと る_{高 調}波が ∫ で， Evn 系 列の最 大値を と るもの が ゴで あるとすれば， ．z ’ 1／，　y」 の描く軌跡 が 支 配 的な形を とる であ ろ うこ と は， 十分に予想できる。こ の際， 基 本波 の_描 く軌 跡は， 図形の 平 均 的な動きと，傾 き を 与え， 図形の大き さ を き める第 一の_要因である こ とは間違い ない _。

　

図3は， こ の ような見地か ら，銑 と ：yi の描 く軌 跡を現わ し た もの で あっ て，　i とノの 比 を変 え た と きの_{基 本 図}形を示 し てい る。

3

．実 験 方 法 　3 ．1 実験 対象

　

A 〜

Z

ま で の アル フ ァペ ッ 1・26文 字の そ れ ぞ れ につ い て， 活宇体と筆 記体の 大 文 字， 小文 字， 合わ せ て4種類と り， さら に アラビ ア数 字 10 文字を加え て，合 計 26×4＝ 114 文 字と する。

　

これ らの 文宇を方 眼 紙上 に_{書 き}， 運筆 順に し たがっ て，各 点の座 標（ X，y）を読み と り，解 析の た めの _データとする。 　

3

．2 実験 手 続

　

3 。1 の データ を基に，コ _{ン ピ}ュ ータ（HIPAC 　103） を使っ て， 図形の縦，横の寸 法 が 1に なる よ うに 正規 化 し て か ら，

Tchebycheff

の漸化 式に よ る フ ーリエ解析を行い， 時間軸 t を 助 変数と するフ ＿リエ 鮴 _に展開_し ， デ ー_{タ数の ・／}

₂

_{を最 高とする翩 皺 分}まで _計算し・ X・　

Y

両 成 分の 各 項の _{係 数}を求めて，文 字の _{関 数 化 を 図}る。

　

さ ら に，こ の _{関 数}に よっ て図 形の 再合 成を行い，視 覚 的に計算結 果が 正 し い か ど うかを確 認す るとともに，その_文宇につ い て， 最 低どの位の高 調波成 分ま でが 必要 で _ある か を実験 するため， 曲線印刷を行 う。 即ち，指 定した高調波まで の

X

，Y の値を 運筆 時 間 t に関 する値として_求め， コ ン ピュ ータ の記憶の 中に，描か れ るべ き図 形の 占める面 積に応じ た マ _トリッ クス を作り， どの 位置にあ た るか を

X

，y の値に よっ て決定し，該 当する場 所 の 内 容を 1と定める。そ れ以 外の場 所は非 常に大き な値と して ，_文字の形に応じた数値分けを行い， 計算が終っ た な らば， その マ ト リッ クス の _{内容 を順 序}よ く打 出 すこと に よっ て， 大き な値を入 れ ら れ た場所は， タイ プされず に 文 字の描か れ るべ _き内容の _場所に 1が入っ てい ると き だけ1が打た れて，曲 線 印刷 さ れ，計算結 　 　 　 　一 135　一

表 1 各種 文字の XY 成分における主 要 高 調波の_組合せ 文 字 Nm αx あづ歹

1

A211 −32 −1 a　　29　　1−2　　2−1 A　　19　　2−1　　1−4 a　　2工　　1−2　　2−1 B222 −11 −2 b　12　1−1　（Y有意） B　　25　　1−1　　3−3 ろ　　13　　2−1　　4−2 C　17　1−1 c　 22　1−l C 　16　1−1 c　12　1−1 D 　15　1−1 d201 −22 −1 1）　26　　1−2　　2−1 （i　　19　　1−2　　2−1 E152 −13 −45 −2 e　　15　2−1　1−2 E　　19　2−1　1−2 e　　12　2−1　1−2 F171 −13 −2 （X 有意 ） f　　16　　1−1　　2−3 F　　22　　2−1　　1−2 ／　　18　　2−1　　1−2 G251 −22 −1 9252 −13 −2 G　　30　　2−1　　1−3 9　　19　　2−1　　1−3 H　17　1−3 h　　19　1−2　2−1 H　　22　　2−2　　4−3　　3−1 h　　18　2−1　3−3　5−2 1　　19　4−1　3−2 i　 10 　（X 二 〇 y 有意 ） ／　　15　　1−1　3−2　　2−3 i　11　1−1　2−2　3−3 J　　18　　2−1　　1−2　　3−3 」　　12　　1−1　　2−2　　3−3 」　　24　　1−1　　2−2　3−3 ／　　11　1−1　3−2 文 字 Nma ．v　ix−

jY

文字 Nmqx 奄づ尠 K112 −13 −44 −3 k　　13　　2−2　　1−3　4−5 K　　21　　2−3　　3−1　　5−4 k　　19　　3−1　2−2　4−4 L161 −12 −23 −3 1　145 −14 −23 −3｛Y 有意 ） 乙　　25　　1−1　2−2 1　　15　2−1　1−2 Pt｛　19　1−3　2−2 m 　　24　1−3　2−2 M 　　28　　1−3　　3−2 ViL　l7　王一3　2−2 N　　20　　1−3　　2−4 n 　16　1−2 N 　　18　　1−2　　3−1 n　　13　1−2　3−1 0 　32　1−1 0 　22　1−1 0　　22　　1−2　2−1 0　　14　2−1　1−・2 P　 12 　1−1 （Y有意） P　 20 　1−22 −3 （Y有 意 ） P　　19　1−2　2−1　3−3 ♪　　13　　1−2　3−1　4−4 （⊇　　26　　2−1　　1−2 q201 −22 一工 3−3

Q

　　26　　2−1　　1−2 q　　17　2−1　1−2 R　　17　2−1　3−2　4−4 r　　10　1−1　2−2　3−3 R　　30　　2−1　1−3　3−2 r　　12　　1−−1　2−3　　3−4 S152 −11 −2 s　10　2−1　1−2 5 　 20　1−1　2−2 （y 有 意 ） s　　王3　　1−1　2−2 T　111 −12 −2 （Y有意） t　 15　4−1　1−4　3−3 つ「_{18 　1}−1　_（Y _有意） 彦　　15　　3−2　4−1　　1−3 U　 24 　1−1 （X 有意） u 　 16　1−2　3−1 U　　18　　1−2　　3−1　　2−3 1e　　13　1−2　4−1 V　191 −1 （X 有 意 ） v₁₃₁ −_{1 （}X_有意） V　　18　1−1　3−2　4−3 v　　12　1−1　3−2 W101 −22 −・1 （X 有意 ） w 121 −22 −1 _（X _{有 意 ）} 叺／　21　1−2　2−3　1−3 τv　16　　1−3　　2−1　　4−2 ×　　16　1−2　3−4　（Y 有意） x₁₀₁ −2 _（Y_有意） X　　21　3−2　　1−1 ：： 101 −2 （Y 有意） Y111 −12 −35 −2 y131 −1 （y有意） 】ピ　　26　2−1　　1−2　　4−3 y　　18　2−1　　4−3　　1−2 Z　21　2−1 z 　 14　2−1 Z　　36　　2一ヱ　3−2 慧　182 −11 −3 （X有 意 ） 2112 −15 −2 3101 −12 −2 4 　 141 −1 （Y 有意） 5122 −11 −2 6162 −1 工一2 7101 −−1 （Y有意） 8　 20　2−1 9162 −11 −2 0　 12　1−1 果が視覚的に 1で 構成され た 図 形とし て 表現され る。 この 間 の コ ン ピュ ー_タへ の _演算指 令は

ApP

。ndi。 に P・ ・gram 　1 と し て讖 され て お り・ 別｝・

E

・v・ ・　

Exn

・　

Ey

・ ・・…

P

… e・・，　

ipx

’，t， （gS… 一φ・・）

を求め る演算指令は program　2 と して記 されてい る。

文 字 の フ ー リ エ _{解 析}

4

． 結 果と考 察 　コ _ン ピ_ュ ー_{タによ る}演算結果_を ， 図4 〜

13

と表 1〜2 に 示す。 　即 ち， 図 4〜13 は 114種 類のそ れ ぞれの文 字につ い て，フ ーリエ 解析し た と きの級数に基き， 上か ら 下へ 順_に，_{と り}得_た最高の _{高調波（表 1参 照）}，

10

_，

5

_，

3

_，

2

，基本波の

6

段階の_高調波分ま で計 算した結 果による曲線印刷を縮／

1

・，整理 し たもの である。 表 2 基 本 波に対す る 高 調波の_寄与率 　 第 2高調波 O　DCloCcOOUcot 20T ゴ4VvbFIP 30　ブ y71SsBH 40fNzLll 50MVwiuTZv 60ErJJYzAPg3Gtn 709nM α

jlxhX2m

80i50RsWg 90　58 （⊇6 θ _（］ex 100 　Eo し「_{∠）qZptt オ}ρ_ノ 110hy ツ ahA 120GBqdn 130WkKa 140HNK 150　tR160 　W170bXk 180190200 　第 3 高調 波 　010cDOCc ゴT 20UC Ω OLsXeooy3bESP789VvxG545 」22 305aBleFZahL ・vFlnOTV6fpxdtzillWJPru 401wrfq4EgYxNg 50teUpHlnGYMi 60A βZNRDR 70　　H！τevb _ツノt 80　A 【n 90100Xk 110　t120KH 130kM 140150 　〃t 　 　 　 − 137一

160170180190200 　κ 　 第4高調波 　OOBCcToOCS 10DgcP8 ブoEsUGIVvL Ω7Bq 20defpFux30SZdJLeGVwy459abDHI 厂 wz6ip 30Fg ん nsA2hqrWtVTYyE _〆t，yZamiYx 40　　里lR

j

M こ厂lt_M丿ぐnt_i丶「 　1　’ttt 50　tNpR ゐ 6070 　Ak κ 80　H90 　kloO 　K 　 第 5高 調 波 　O　DoJO

10 α OUCc ‘ Cdg _／1）5Jp58fH 五 〇 XBdFVvlOq1 ・3AIQUvbG7 20MrvxLRyZF 窓 E σ NP び yiP （

2

　WgwY2Gx ： 4aghSuzeerttWDgsy

30　

j

たT _／nN5 ん ノ♪己 〜＞ 61A ，ftBEmt 40　bllk 50　X 五 R 60　HK 7080 　k一 　表 1は 2，で説 明し た E，， 。，Ey ・n 系 列の 二つ の系 列か ら，もっ とも大 きなものの i高 調波とブ 高 調 波の組 合せ を とっ てあ り，順 次， 二 番 臥　三番 目の i一ノを記して あ る。 し た が っ て， 文宇 構 成におい て_， もっ とも支 配 的な高調波が ど うい うもの で あるかが わか る よ うに なっ てい る。 　表

2

は，各 高 調 波に お ける 丑、，“。 が， 基 本 波に対 する比 率 （％ ）で示 さ れてお り， 四捨五 入 し て左 側の値にな る E。yTt をもっ た文字が，図 4’−13 に該 当する図 形 を代 表 する活 字 体， また は 筆記 体で表わ さ れてい る もの であっ て， 文 字 構 成に必要な高調波が，基本 波に対 して どの 位の比 率で効い て _， どの ように分 布 するか を示 し た もの である。 　図 4 〜13 を見ると わ かる よ うに，

H

，　

K

，　

R

，4 を除 けば，大 体，第 3 高 調 波で， お よその形 を ・_{再 現}し てお

P

， 第 10 高調波まで とれ ば， 原 形に比 較 的 忠 実な形に なっ て い る。 こ の 間の 様子 は 表 1でも示され て お り， 示性数と 比較 的よい 対 応 をしてい るの が 見ら れる。 　表 2を見ると，基 本’波を100 とする

E

，cvn は高 調 波が高 次になれ ば なる程， 収 束 し てい く様子 が わか り， 一筆書きで少く と も必要な高 調 波 を辷っ て か ら， あと 三 つ位の高調波が有 意と な っ て あと は殆ど0 に収 束し てい っ て い る。 　 この ような一筆書 きで文字を書い た ときに一番 問 題にな る点は筆順で あ る。 例えば，

4

の 如 き 　 　 　 一 138　一

Nmax lo 5 3 2 1 Nrnax 10 5 3 2 1 　 シ’i 　く「　「 　_．’．a｝k 　．　　、 ，’　 Σ ‘　F． 幽 ． ∫

ξ

》’』； 、 」 二・

養

ttt 　 　、 ！．凵．気

1

∫丶_苧・ し ヨ’

ぴ

／ 　 　 ’ 　 　 F 一   旨−_． 7p 　 　 　 　 　 　 ． ° ・_． ！ ！ 、 ’ 　 　 一 　 　 、 ： ． 　 、 ．_° 「 ’°_−．． 「_．． ．_． 、 　 V、 ’ 、 °

0

一 一 7．₋ 、  〜 ． ． ・ ． ’ ． ∴ O 　 ！ 　 げ 　 丶 詫’ ご 　 、・_．ト ． ． ． P ノ ．_「 　 、 　 　 　 　_． 、 へ 　 　 　 　 卵_゜ ＝_． 「 渉 　 、．_． ， 圏 引 ． 　 　 　 　 μ 冒 ． r 　 　 　 ♂ ▽ 　 八 ． ’ 　 　 　 、 　 　 　 　 　 　 　 　 ’   　一 　 一 ゾ 　 〆 「 ． ・ 　 ノ 〆 　 　   ノ ． ！ 　 幽 、 丶 へ 　 　 　 〆 ／ ° F ー 丶 ｛ 　 ， 　F． ． ． ！ 　 　 　 　 」_° 囲_“’ ． 卜’ ， r 　 　 　 「 ．   弦． ’ 　 　 　 　 甲 　 　 　． 魅 」・． ！ 」 幽 ’ 　 　 　 丶 − h バ y_「． 　 　 　． ノ ゲ 冫

ど

0

ド 　 　 ． 、 　 「_{」 　 　 　．} ． 丶_幽． ． ． ゜_「鹽 ， 脚 ・ F ． 　 　 　 ． 、 」 几 　 　 　 　 　_， ガ 　 　 　 　_「 ． 」 「 驢幽．_・， ．_，， ，_． ． ．_∵ 二』 』 ・ ． ， ． 、 、 　 丶 　 　 丶 　． 「 　．t 　x7 ／tit 厂 ． 昌 　 　 − ． 　 　 　 　 「 〜 〆 　 ’ 　 ／ ． ． “ ． ／ レ ー 彊 ．「目 》 ・ ． 〜 ． ← し 償  、

鳶

冖 「 　 　 　 　 　 　 ’ 」 　 　 丶

ノ

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図 形 を書 くとき， 筆 順 を問 題に しな け れ ば，高調波比 が 2 ： 3の とき， 殆 ど原 形に近い形と なる が， 今回の実．験の ような筆順を と る と

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位まで必 要であ り，

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の 如く閉じた形 を一筆 書きで ぐる っ とまわ し て書い た と き と， 先に縦線を引い て か ら右 側の 弧 を描い た と き とで は， 高 調 波 成 分 が 変わっ て く るの が見ら れる。

　

もし も， 筆 記 体の如き手 順で， 活 字体を書 い た場合は・高 調 波 分 を落してい くこと に よっ て， くずれ た形と なっ て， 筆 記体に近い 形になっ てい くの がみ られ る・ しか し・この よ うな場 合に， E ．，P，　

Ev

，、を見る と，活 宇 体の pro丘le と・筆記体の profile とではス ペ _{ク トル 的に高 調 波}一_{つ 分} だけ ずれ てい るこ と が多く，データ不 足の た め のずれ か， ま た は円み を持た せ て画数を少 くする た めの特 別な 示性数を も たせ る た めの _{要 素}が働い てい る もの と考え られ る。

　

次に問 題 となるの は， 活 字 体の よ う な 比較 的 完 結 し た図 形 と・ 筆 記 体の よ うに次の 文 字 を書く た めに続く部分の 処 置で ある_{。 先}に フ ーリエ 解析_{するため には}・図 形 を弧_立関 数_として_扱わ ねば な らない こ とを述べ _{た が，}この よ う な と り方 をする と， 必らず 文 字 を書い た あと の筆 順 が， 文 宇 を書く最 初の起 点につ _{な が} る。 こ の た め，筆記体の よ うに・い くつ かの図形を 左か ら右に・ あ る い は 上 から下に続けて書くときは，こ の _{部 分}の くり か えしを除い て_考える必 要 が あ り， 筆の終 点 が右， あ るい は下にあると き は， 左， ある い は 上 にい _{く軌 跡 を}とり除か ねばなら ない 。_図 4 〜 13は， あ えて筆

1

頂を は っ き り させ る た めに， い わばテ レ ビの ような輝 度 変調 を行っ て，こ の邪魔 な宇に無 関 係な部分の _{消 去 をす}るよ う なこ とは行わなかっ た。

　

こ の よ うなこと を加 味 し て， 図 4〜13 を眺め る とき， 文 字の 高 周 波 分は， 図 形の修正量と考 えられ，基 本 的な図 形は低 周波 分で満 足さ れ，文 字の不変的 特長は図 形の示性 数と非 常に密 接な 関係を有 し て い る こ と が推 察さ れる。

　

ま た， 周波数成 分を表 わすス ペ ク トル が同じよ う な も の につ い て も， 軌 跡の運 動 方 向が右廻 り か 左 廻 りか とい _う区別， ま たは消 去 すべ _{き箇 所}の _指定が ない _{場 合}は， S，　Z， 8， あるい は 5， 6 の ような互 い に区 別 のつ きに くい例 が 見 られ る。 5 ，結 　 論 　文 字の _{筆 順}をフーリエ 解 析 し た結 果_， 筆 順に よっ て き まる基本図形 が 考え られ，こ の概 略 的な 基 本 図形を描く た めの_{必 要}な高調波は図 形の 示性数と密接な関 係を有し てい る。 これ以 外の高調 波は， こ の 基 本 図 形の修正 量 と考え ら れ るため，文字 の不 変 的 特 長はこの 基本図形を描 く ため の 高 調 波にあ り， 最小の エ ネル ギ ー_でも っ と も原形に近い軌 跡を とるもの である。こ の際 位 相 角は 組にな る高 調波の _{位相 角} との_差が重 要で あっ て，比較 的第二 義 的な役 割 をし て お ！，定 数 項は図 形の位置を，基 本 波は図形の _大きさと傾 き を決め る もの で あ る。

　

筆順が 異 なれ ば， 当然高調波 成 分は変 り， 同じ図 形を書くた め に は筆 順の と り方だ けの 関 数 を 必要とするが， 細 部 的 な 変 形であ れば 問 題にな らない。ま た， 必要な高 調波成分が き まっ ても， 　 　 　 　− 144 一

文 字 の フ ー リ エ _{解 析} これ だ けで は識別で き ない 図 形 があ

P

，こ の時は位相角，もし くは消 去 すべ _{き箇所の指定を必要} と し，こ の指 定があれ ば， 軌跡の運動方向の 指 令はい ら ない。 文 字を構成して い る高 調 波 分 を順次 落 してい く と，文 字が くずれて筆記体の _如く な り，必要な 高 調波分を落して しまうと文 宇と し て読め な く なる。

　

も し も_，筆記 体に近い_形の_{筆 順}で _活字体の 筆 順を きめ るこ と がで きれ ば， 高 調波分を落す こ と に よ っ て筆 記 体の よ うな変形図形 を作る こ と は容易で ある。 Appendix

Program

　l

FOURIER 　

ANAI

．YSIS 　

OF

　

PATTERN

23 3 1011 12 5 15

DIMENSION 　FN（150），　FYA （50），　FYB

（50），FXA （50），　FXB （50） ARRAY 　IA （61，61） PI＝3．工415926536 NU ＝OREADO ，　ND 「r ND エNDT −l TYPE 　3，　ND FORMAT （／／／／5　HDATA （，15．1H ）／） N ＝ND ／2 D＝ NDT READ 　1，　FO READ 　1，_（FNC ［_），1＝ 1，　ND ） BIG 二FO DO 　101 ＝ 1，　ND IF _（BIG −FN （1））1王，10，10 BIG ＝FN _（1） CONTINUE FO ＝ FO ／BIG DO 　I21 ＝ 1 ，　ND FN （1）＝FN （1）／B互G TYPE 　1，　FO ， （FN （正），五 ＝ 1，　ND ） TYPE 　44FORMAT （〃 ） TYPE 　5FQRMAT （18　H_惇FOURIER 　ANALYSIS ／ ／lXIHP 　13× 2HAP 　18× 2HBP 　I6 × 5 HPOWER 　60　X／） Cl ＝COSF （2．＊PI／D） S1 ＝・SINF （2．＊PI／D） CP＝ 1． SP ＝0． IPコ OU2 ＝ 0， 　　 Ui ；0． 　 　 N1 コ ND 20 　UO ＝FN （N　1_）十2．＊CP＊U　1− U2 　 　 U2 ＝Ul 　　 U1 ＝ UO 　 　 N1 ＝N1 − 1 　　 1F （N　1_）21，21，20 21 　AP ＝2．＊（FO 十CP＊U　1− U2 ）／D 　　 BP ； 2． ＊SP ＊U　1／D 　　 POWER ＝SQRTF （AP ↑2十BP ↑2） 　　 IF （IP）30，30， 31 30 　1F （NU ）32，32，33 32　FYAQ ＝ AP 　　 FYBO ＝BP 　 　 GO 　TO 　40 33　FXAO ＝ AP 　　 FXBO ＝BP 　 　 GO 　TQ 　40 31 　工F （NU ）34，34，35 34　FYA （IP）＝AP 　　 FYB （工P_）＝BP 　　 GO　TO　40 35　FXA （IP）＝AP 　　 FXB （［P_）＝ BP 40TYPE 　6，　IP，　AP ，　BP ，　POWER 　6 　FORMAT （15，3E20 ．9） 　　　IF （正P−N_）22，24，24 22　CPD ＝ CP 　　 　SPD 二SP 　　　CP ＝C1 ，，CPD −S1 ＊SPD 　　　SP ＝C1 ＊SPD 十S　1ドCPD 　　 　IP ＝IP十1 　　 　GOTOl5 24 　1F （NU _）26，26，25 一　145　一

26 NU=1 GO TO 23 25 DO 45 K=1, 6 IF

(K-1)

46,46,47 46 Nl==N GO TO 55 47 IF

(K-2)

46,48,49 48 Nl=10 GO TO 55 49 IF

(K-3)

48,50,51 50 Nl==5 GO TO 55 51 IF

_(K-4)

50,52,53 52 N1==3 GO TO 55 53 IF

(K-5)

52,54,56 54 Nl=2 GO TO 55 56 Nl=1 55 TYPE 44, Nl DO 60 I=1, 61 DO 60

J=1,

61 60 IA

(I,J)=rlOO

DO 65L=1, 101 Y=FYAOf2. X==FXAOf2. W=2.*PI.FLOATF(L-l)11oo. DO 70 M=1, N1 T=FLOATF(M) .W

Y=:Y+FYA(M) .COSF(T) ÷FYB(M) .SINF

(T)

70 X=X-l-FXA(M) .COSF(T) +FXB(M) *SINF

(T)

Y=Y . 50. X=X * 50, L=56-XFIXF(Y)

J:::XFIXF

(X)+5

65 IA

_(I,J)

I==1 DO 75I==1,61 75 TYPE43,

(IA(L

J),J=1, 61) 45 CONTINUE 43 FORMAT

(61I1)

44 FORMAT

(//1f,I3,f/)

STOP END Pregram

2

LETTER

ANALYSIS DIMENSION AC5,2),B(5, 2),C(5,2), PHI(5,2),CXY(5) PI=3.141592653 100 DO 10

J=1,

2

10 READ 2,

(A

CI,

J),B

(I,

J),I=1,

5) TYPE3

DO 20 I=1,5

DO 25 J==1,2 ANGLE=O.

C

_(I,

J)=S9RTF(A(I,

J)

T

2+B

(I,

J)

T

2)

IF

_(B

(I,

J))21,22,26,

22 IF

(A

(I,

J))23,24,24

23 PHI

(1,

J)=-PI12.

GO TO 25 24 PHI

(I,

J)=PI!2.

GO TO 25

21 ANGLE=PI

26 U1010==A

(I.

J),iB

(I,

J)

GO TO SUBROUTINE 1000

PHI

(I,

J)=ACTAN+ANGLE

25 CONTINUE

CXY

(I)=C

(I,

1)+C

(1,

2)

IPXY==CXY

(I)

,100.

ICXY

(1)

IPX=C

(1,

2) .100.

ICXY

(1)

IPY=C

(I,

1) *100,

/CXY

(1)

ANGLE=PHI(I, 2)-PHI(I, 1)

Dl=2. .C(I, 1)*C(I,2) .COSF

(ANGLE)

D2=C

(I,

2)

T2-C

(I,

1)

T2

U 1010=D 11D 2. GO TO SUBROUTINE 1000 THETA=:ACTAN12. IF

(ABSF(THETA)-PI)

40,41, 41 41 IF

(THETA)

42,43,43 43 THETA=THETA-PI GO TO 40 42 THETA]=THETA+PI 40 IF

_(COSF

_(ANGLE))

50,51,51 50 IF

_(THETA)

52,53,53, 51 IF

_(THETA)

53,52,52, 53 THETA=THETA-PIf2. 52 D=S9RTF(D1T2+D2t2) AB=C(I, 1)

T2+C

(I,

2)

T2

IF

(C(I,

1)) 55,56,55 56 RX=C(I,2) - ₁₄₆

-sc

4o7-v=geM

RY=O. THETA =O. GO TO 59 55 IF

_(C(I,

2)) 57,58,57 58 RX=C(I, 1) RY= O, THETA=PI12. GO TO 59

57 R==ABSF

(C(I,

1) .C(I, 2).SINF(A

NGLE))

RX=RIS9RTF

(ABSF(AB-D)

12.)

RY=RfSQRTF

(ABSF(AB+D)

12.)

59 THETA=THETA .180.

IPI

PHI(I,2) =:PHI(I, 2) _*180.

IPI

ANGLE=ANGLE *180.

IPI

20 TYPE6, IPXY, IPX, IPY, RX, RY, THE

TA, PHI

_(I,

2),ANGLE

GO TO 100

1000 SUBROUTINE

F1010F

_(U

1010)=, 9999999848+U 1010 .

(-O.

3333307335+U 1010 *

(l999261946+U

1010.

(-O.

1420364522+U1010 *

CI064093781+UIOIO

*

(-O.0750430402+U

1010 *

(0426916449+U

1010*

(-O.O160687131+U

1010 .

(.O028849912)))))

)))

IF

_(ABSF

(U

1010)-1.) 7101,7101,7102 7101 ACTAN =U 1010_*F 1010 F

(U

1010

T

2) GO TO 7103 7102 UIOII=1.

_IU

1010

ACTAN==

(1.5707963268

*ABSF

(U1010)-F

1010F

(U

1011

T

2)

)

. U 1011 7103ACCOT=1.5707963268-ACTAN RETURN 6FORMAT

(3I5,

2F7. 3,3F7. 1) 3 FORMAT

(61)

STOPEND

-147-An

Application

of

Fourier

Analyses

on the

Shapes

of

Letters

and

Numbers

by

Sachie

Minato

To findbasicfactors

for

the recogn{tion and letteringof alpha-numerlcal characters

(alphabet

and numbers), Fourieranalyses were applied on theorthogonal components

(X

andYcomponents)

involvedinthe drawingmetion to reprocluce some samples of letteringas linefigures.

Relativecontributions of harmonicsin the X and Y components were examined by the following

ways: 1) Harmonics ln each of the X and Y Fourier serles were eliminated one by one in the

order of the{r frequencies,and 2) the cornpositions of thus reduced functionswere reproduced as

typecl llnes cQmposed of 1 with the aid of Cornputer HIPAC 103, ancl 3)these reproductions of characters were visllally evaluated. The results of these anaiyses showecl that the reprocluctions of characters become graduallyworse as the number of harmonics usecl forreproduction decreases,

butthe basicfeatureof the character isalways kepta$ faras the firstthree harmonlcs,which

have usually largearnp!itudes, are remalned, except that H, K and R need fourto six harmonics.

In this sense, the invariant featureof an alpha-numerical character depends upon these sma!l number of harrnoniccombinations.

From the founding that some alpha-numerical characters, such as S,Z and 8,haveatmost the

same harmonlc combinations as the essential' factorto lceeptheir basicfeatures,the phase differences

betweenthe X and Y compenent series were considered as the second important factor for the cliscrirninatton among such characters.

Itisalso foundthat the _part,where the drawing lineof an alpha-numerical character is

dis-continued, will be thethird important factorfordiscrirninationamong the characters.