1 Part I (warming up lecture). (,,...) 1.1 ( ) M = G/K :. M,. : : R-space. R-space..

非コンパクト対称空間の

等質部分多様体の幾何学

田丸 博士

(

広島大学大学院理学研究科

)

秋葉原微分幾何セミナー

首都大学東京

(

秋葉原サテライトキャンパス

)

2012/07/14

1

1

はじめに

▼ Part I (warming up lecture) は板書でやった.

◦ 非コンパクト型対称空間の基本事項 (岩澤分解, 放物型部分群, ...)

1.1

目的

(

簡略

)

▼ 目的: ◦ M = G/K : 非コンパクト型対称空間. ◦ M 内の “特徴的な” 等質部分多様体に対して, その “様々な幾何的性質” を調べる. ▼ イメージ: ◦ コンパクト対称空間: R-space は特徴的な部分多様体. ◦ R-space の幾何的な性質は極めて興味深い. ◦ その “非コンパクト版” をやりたい. 2

1.2

目的

(

詳細

)

▼ 目的 (再掲): ◦ M 内の “特徴的な” 等質部分多様体に対して, その “様々な幾何的性質” を調べる. ▼ 特徴的な等質部分多様体: ◦ 放物型部分群の可解部分の軌道 (Part II). ◦ 岩沢分解の可解部分の余次元 1 部分群の軌道 (Part III). ▼ 様々な幾何的な性質: ◦ 外在的な性質: 全測地的, 極小, austere, 弱鏡映.

◦ 内在的な性質: 対称, Einstein, Ricci soliton, 断面曲率.

1.3

道具

▼ 内在的な曲率の計算: ◦ (S, g) : リー群に左不変計量を入れた空間, ◦ (s, h, i) : 対応する内積付きリー代数. ◦「リー代数 = 左不変ベクトル場」により, 2h∇_XY, Zi = h[X, Y], Zi + h[Z, X], Yi + hX, [Z, Y]i. (これを使って Ricci 曲率や断面曲率が計算できる) ▼ 外在的な曲率の計算: ◦ S ⊃ (S0).o : リーマン部分多様体, ◦ s ⊃ s0 : 対応する部分リー代数. ◦ 各法ベクトル ξ ∈ s s0 に対して, 2h A_ξX, Yi = h[ξ, X], Yi + hX, [ξ, Y]i. (これを使って主曲率や平均曲率が計算できる) 4

1.4

基本的な例

(

院生向け演習問題

)

▼ RH3 のリー代数: ◦ g_RH3 = span{A, X₁, X₂}, [A, X₁] = X₁, [ A, X₂] = X₂. ◦ h, i : 上の基底が正規直交になる内積. ▼ 内在的な性質: ◦ 上の空間は Einstein, ◦ 断面曲率 = −1 (一定). ▼ 外在的な性質: ◦ s_θ := span{(cos θ) A + (sin θ)X₁, X₂} : 部分リー代数 (θ ∈ [0, π/2]). ◦ (S0).o は全測地的. ◦ θ , 0 ならば (Sθ).o は極小でない. 5

2

放物型部分群の可解部分の軌道

2.1

準備

-

階別リー代数

▼ 定義: ◦ g = L_k∈Z gk _{が 階別リー代数:⇔ [g}p_{, g}q_{] ⊂ g}p+q _{(∀ p, q).} ▼ 命題: ◦ Λ ) Φ : 単純ルートの部分集合 with Λ \ Φ = {α_i1, . . . , α_ik}, gk _:= L level(α)=k gα, ただし level( P c_iα_i) := c_i1 + · · · + c_ik. ⇒ g = L gk _{は階別リー代数.} ◦ 逆に, 全ての階別リー代数は “本質的に” この方法で得られる. ▼ 練習問題: ◦ sl₃(R) の場合, Λ = {α1, α2} である. ◦ Φ = {α₁}, {α2}, ∅ に対応する階別リー代数を具体的に書け. 6

2.2

準備

-

放物型部分代数

▼ 定義: ◦ g ⊃ q が 放物型部分代数 :⇔ ∃ g = L gk : 階別リー代数 s.t. q = L_k≥0 gk. ▼ 記号: ◦ q_Φ : Φ (⊂ Λ) による階別リー代数から決まる放物型部分リー代数, ◦ q_Φ = m_Φ ⊕ a_Φ ⊕ n_Φ : Langlands 分解, ◦ s_Φ := a_Φ ⊕ n_Φ : 放物型部分リー代数の 可解部分. ▼ やりたいこと: ◦ 軌道 (S_Φ). p の幾何を調べたい. ▼ 注意: ◦ M = G/K は既約とする. ◦ Φ , ∅ とする. (Φ = ∅ のとき, S_Φ = S y M : 推移的) 7

2.3

作用の性質

▼ 定理 (Berndt - D´ıaz-Ramos - T., 2010): ◦ SΦ y M : polar. (i.e. Σ : 完備連結部分多様体 s.t. 全ての軌道と直交して交わる) (∵) Σ := (M_Φ).o とすれば良い. (この Σ は全測地的) ここで qΦ = mΦ ⊕ aΦ ⊕ nΦ : Langlands 分解.  ▼ 定理 (久保 - T., preprint): ◦ SΦ y M の全ての軌道は合同. ▼ よって: ◦ 軌道 (SΦ). p は “isoparametric”. ◦ 軌道の幾何を調べるには, (S_Φ).o だけ調べれば十分. 8

2.4

外在的な性質

(1/5):

全測地性・極小性

▼ 定理 (T., 2011): ◦ (SΦ).o は常に極小, しかし全測地的でない. (∵) T_o((S_Φ).o) = s_Φ = a_Φ ⊕ n_Φ だった. 第二基本形式を計算すると h( A, A) = 0 for A ∈ aΦ, h(X_α, X_α) = (1/2)[σ(X_α), X_α]_{a aΦ} for X_α ∈ g_α ⊂ n_Φ. これは一般に 0 でないので, 全測地的でない. 平均曲率ベクトル (= tr(h)) が 0 になることは, Weyl 群の作用とか使って示す.  ▼ 注: ◦ 先ほどの共役性から, 全ての軌道 (S_Φ). p は極小. 9

2.5

外在的な性質

(2/5): austere

性

▼ 定義: ◦ austere :⇔ ∀ξ : 法ベクトル, Aξ の固有値全体は −1 倍で不変. ▼ 命題 (井川, personal communication; 宇都宮, 2010/03 修士論文): ◦ SL_n(R)/SO(n) ⊃ (S_Φ).o に対して次が成り立つ: n 型 austere 性 3 (2, 1) yes 4 (3, 1) no (2, 2), (2, 1, 1), (1, 2, 1) yes 5 (4, 1), (3, 2), (3, 1, 1) no (1, 3, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1) yes ▼ 観察 (上の表の中で): ◦ austere ⇔ ブロックの大きさが全て 2 以下, or, 左右対称. 10

2.6

外在的な性質

(3/5):

弱鏡映性

▼ 定義: ◦ M ⊃ N : 弱鏡映 :⇔ ∀ p ∈ N, ∀ξ ∈ ν_p(N), ∃σ ∈ Isom(M) : σ(p) = p, σ(M) = M, (dσ)p(ξ) = −ξ. ▼ 命題 (井川 - 酒井 - 田崎, 2009): ◦ 弱鏡映 ⇒ austere. ▼ 例: ◦ SL₃(R)/SO(3) ⊃ (S_(2,1)).o は弱鏡映. (∵) M_Φ  SL₂(R) ⊃ SO(2) は (S_(2,1)).o を保つ. SO(2) は o を固定し, 法空間に −1 で作用. よって弱鏡映. (実は, SO(2)S(2,1) の作用は余等質性 1) ((S_(2,1)).o はその特異軌道)  11

2.7

外在的な性質

(4/5):

弱鏡映性

▼ 補題: ◦ m_Φ = k_Φ ⊕ b_Φ : Cartan 分解とすると, k_Φ ⊕ s_Φ は部分リー代数, (KΦSΦ).o = (SΦ).o. (感覚: R y R3 の軌道は, 円柱の芯とも思える) ▼ アイデア: ◦ M = G/K = S だが, これを M = Q_Φ/K_Φ と思う. ◦ すると T_oM = b_Φ ⊕ s_Φ. ▼ 補題: ◦ KΦSΦ y M の o での slice 表現は, KΦ y bΦ (これは s-表現). 12

2.8

外在的な性質

(5/5):

弱鏡映性

▼ 命題 (十分条件): ◦ MΦ/KΦ が内部型 (i.e. 点対称が KΦ の元) ⇒ (SΦ).o は弱鏡映. (∵) 仮定より, ∃g ∈ K_Φ : g = −id on b_Φ. さらに, g.o = o, g(S_Φ) = S_Φ だから.  ▼ 系: ◦ SLn(R)/SO(n) で, ブロックの大きさが全て 2 以下 ⇒ (S_Φ).o は弱鏡映. (∵) M_Φ/K_Φ  (SL₂(R)/SO(2))k は内部型だから.  ▼ コメント: ◦ SLn(R)/SO(n) で, SΦ の型が左右対称 (+α) ⇒ SL_n(R) の Cartan 対合 (outer) を使って示せるかも... 13

2.9

内在的な性質

(1/3): Einstein

性

▼ 定理 (T., 2008, 2011): ◦ (SΦ).o は常に Einstein. ▼ 証明に関するコメント: ◦ ricS_Φ を直接計算して証明するのは非常に困難. (n_Φ の step 数が増えると計算が大変なことになる) ◦ 代わりに, 次を示す: ricSΦ = ricS| s_Φ×s_Φ. ◦ S は対称空間なので, 特に Einstein. よって従う. ▼ 補足: ◦ これは [森, 2002] の結果の拡張. (g が複素, a_Φ が 1 次元, n_Φ が 2-step の場合をやっていた)

◦ 坂根先生: 「K¨ahler C-space の dual を作りたかった」

◦ ということで, (S_Φ).o は “R-space の dual”？

2.10

内在的な性質

(2/3):

対称性

▼ 命題: ◦ n_Φ が可換 ⇒ (SΦ).o は実双曲空間と等長的. (∵) この場合は sΦ が “実双曲空間のリー代数” だから.  ▼ 例: ◦ SLn(R)/SO(n) の場合, (k, l) 型ならば nΦ は可換. ◦ 次が成立: n_Φ が可換 ⇔ G/QΦ が対称 R 空間. ▼ 問題: ◦ (SΦ).o の中で対称空間になるものを分類せよ. (上のものに限るか？) ◦ G. Calvaruso: 平行部分多様体になるものの分類は？ 15

2.11

内在的な性質

(3/3):

断面曲率

▼ 観察: ◦ (SΦ).o は, 全測地的な RH2 を含む. ◦ よって断面曲率が負の方向は必ずある. ▼ 問題: ◦ (SΦ).o で, 断面曲率が常に負 (or 非正) となるものが, n_Φ が可換の場合以外にあるか？ ▼ コメント: ◦ 普通に計算したら非常に大変. ((S_Φ).o が対称空間になるものを先に調べてから, が妥当) ◦ 多分, (S_Φ).o = (K_ΦS_Φ).o = (K_ΦS_Φ)/K_Φ と思った方が良い... 16

2.12

S

_Φ

-

軌道のまとめ

▼ (S_Φ).o の外在的性質: ◦ 全測地的ではない, ◦ 常に極小, ◦ 時々 austere, ◦ 弱鏡映なものもある. ▼ (S_Φ).o の内在的性質: ◦ 常に Einstein, ◦ まれに対称空間 (というか定曲率), ◦ 負曲率 or 非正曲率かどうかは, よく分かっていない. ◦ K¨ahler, 複素, symplectic, ... なども, 許容するかどうか不明. 17

3

岩沢分解の可解部分の余次元

1

部分群の軌道

3.1

岩澤分解の可解部分

▼ 記号: ◦ M = G/K : 非コンパクト型対称空間, ◦ g = k ⊕ a ⊕ n : 岩澤分解, ◦ s := a ⊕ n : 岩澤分解の可解部分. (ルート系 ∆ = ∆(g, a) を用いて書くと n := ⊕α>0gα) ▼ 観察: ◦ S ⊃ S0 : 余次元 1 部分リー群 ⇒ S0 y S  M = G/K : 余等質性 1, 特異軌道なし ⇒ 全ての軌道 (S0). p は M = G/K 内の等質超曲面. ◦ 注: コンパクトだとこういうことは起きない. 18

3.2

余次元

1

部分リー代数

▼ 定理 (Berndt - T., 2003): ◦ ξ ∈ a または ξ ∈ gα (α : 単純ルート), |ξ| = 1 ⇒ s_ξ := s Rξ は s の部分リー代数 (codim = 1) ⇒ Sξ y M = G/K : 余等質性 1, 特異軌道なし. ◦ 逆に, 余等質性 1 作用, 特異軌道なし ⇒ 上の方法で全て得られる. ▼ 注意: ◦ ξ, ξ0 ∈ g_α ⇒ Sξ と Sξ0 は共役. ◦ r = rank(M) ⇒ 上記の ξ の取り方は RPr−1 ∪ {1, . . . , r}. (正確に言うと Dynkin 図形の自己同型分だけ減る) ◦ rank(M) = 1 ⇒ 上記の作用は 2 個. 19

3.3

準備

▼ 命題 (Berndt - T., 2003; 久保 - T., preprint): ◦ ξ ∈ a ⇒ 全ての Sξ-軌道は合同. ▼ 命題 (Berndt - T., 2003): ◦ ξ ∈ g_α (α : 単純) ⇒ ∃θ ∈ (0, π/2] : (Sξ). p  (Sξ,θ).o, ただしここで, s_ξ,θ := s span{(cos θ)H_α + (sin θ)ξ}. 20

3.4

外在的な性質

(1/5):

全測地性

▼ RHn の場合: ◦ ∆ = {±α}, Λ = {α}. ◦ ξ ∈ a ⇒ Sξ = N, 軌道はホロ球面. ◦ ξ ∈ g_α ⇒ (Sξ).o は全測地的 RHn−1. ▼ 命題: ◦ M ⊃ (Sξ). p が全測地的 ⇔ 上記の RHn ⊃ RHn−1 のみ. (∵) 全測地的な超曲面を持つのは RHn だけだから.  21

3.5

外在的な性質

(2/5):

極小性

▼ 結論: ◦ (Sξ). p の極小性は完全に分かってる. ▼ 命題 (Berndt - T., 2003): ◦ ξ ∈ g_α のとき: 原点軌道 (S_ξ).o のみ極小. ◦ ξ ∈ a のとき: (S_ξ).o が極小 ⇔ hξ, 全ルートベクトルの和 i = 0. (∵) 平均曲率を直接計算. 一般でやるにはルートの言葉が必要.  ▼ 注意: ◦ ξ ∈ a, (Sξ).o が極小 ⇒ 全ての (Sξ). p が極小. (合同性より. この場合 “極小葉層” になる.) 22

3.6

外在的な性質

(3/5): austere

性

▼ 定義: ◦ austere :⇔ ∀ξ ∈ s s0, A_ξ の固有値全体は −1 倍で不変. ▼ 命題 (Berndt - T., 2003): ◦ (復習: ξ ∈ gα のとき, (Sξ).o は唯一の極小軌道) ◦ ξ ∈ g_α のとき, (S_ξ).o は常に austere. ▼ 命題 (井川; 間下, personal communications): ◦ ξ ∈ a のとき, (S_ξ).o が austere になるものもある. ◦ 極小だけど austere でない例もある. ▼ コメント: ◦ 各 ξ ∈ a に対して, (S_ξ).o の austere 性のチェックは容易. ◦ 問題は ξ の取り方が無限にあること. 23

3.7

外在的な性質

(4/5):

弱鏡映性

▼ 復習 (ラフ): ◦ 弱鏡映 :⇔ 任意の法ベクトルが −1 倍できる. ◦ 弱鏡映 ⇒ austere. ▼ 命題: ◦ ξ ∈ g_α のとき, (S_ξ).o は常に弱鏡映. (∵) g = L gk : Λ ⊃ ∅ から決まる階別リー代数とする. (このとき q∅ = L k≥0 g k_{, g}1 ₌ L α∈Λ gα)

θ : g → g を次で定義: θ|even = id, θ|odd = −id.

• θ ∈ Aut(g) (∵ 階別リー代数の定義より), • θ(s) = s (∵ s = a ⊕ n = a ⊕ L_k>0 gk _より), • ∃σ : S → S : (dσ)e = θ|s (∵ S は単連結より), • ξ ∈ g1_{, θ(ξ) = −ξ, θ(s} ξ) = sξ. よって, この σ が条件をみたす.  24

3.8

外在的な性質

(5/5):

弱鏡映性

▼ 命題 (井川, personal communications): ◦ ξ ∈ a のとき, もし ∃σ ∈ Aut(DD) : σ(ξ) = −ξ ⇒ (Sξ).o は弱鏡映. (∵) σ を与える Isom(M) ( Aut(g)) の元を使えば良い.  ▼ 例: ◦ M が A_r-型のとき, Aut( D D) = Z2. ◦ 1 , σ ∈ Aut(DD) ⇒ σ の (−1)-固有空間は,

1 (if r = 2, 3), 2 (if r = 4, 5), 3 (if r = 6, 7), ...

⇒ r ≥ 4 なら弱鏡映な (S_ξ).o が連続的に存在.

3.9

内在的な性質

(1/5):

対称性

▼ 例: ◦ M = RHn ⇒ ◦ ξ ∈ a のとき, Sξ = N, (Sξ).o はホロ球面でこれは平坦. ◦ ξ ∈ g_α のとき, (S_ξ).o = RHn−1. ▼ 例: ◦ M = SL3(R)/SO(3) ⇒ ∃ξ ∈ a : (Sξ).o = CH2. (∵) n は 3 次元 Heisenberng リー代数だった.  ▼ コメント: ◦ (Sξ).o が対称空間なのは, 上のような “偶発的” なものに限りそう. ◦ Einstein は, 実はある. (次頁) 26

3.10

内在的な性質

(2/5): Einstein

性

▼ 命題:

◦ ξ ∈ a, hξ, 全てのルートベクトルの和 i = 0 (i.e. (Sξ).o は極小)

⇒ (Sξ).o は Einstein.

(∵) Heber (1998) の一般論 (“rank reduction”) より. 

▼ 系:

◦ rank(M) > 1 ⇒ ∃ 等質 Einstein 超曲面.

▼ 注意:

◦ CHn _{だと @ Einstein 超曲面.}

3.11

内在的な性質

(3/5): Ricci soliton

▼ 定義:

◦ (M, g) が Ricci soliton

:⇔ ∃c ∈ R, ∃X ∈ X(M) : Ricg = cg + LXg.

◦ (G, h, i) (リー群 + 左不変計量) が 代数的 Ricci soliton

:⇔ ∃c ∈ R, ∃ D ∈ Der(g) : Ric_h,i = ch, i + D.

▼ 定理 (Lauret, 2011):

◦ 代数的 Ricci soliton ⇒ Ricci soliton.

◦ 単連結完全可解リー群上の左不変 Ricci soliton ⇒ 代数的 Ricci soliton. ▼ 補足: ◦ 可解リー代数が 完全可解:⇔ ad_X の固有値が全て実数. ◦ 我々の sξ は全て完全可解. 28

3.12

内在的な性質

(4/5): Ricci soliton

▼ 予想:

◦ ξ ∈ a ⇒ (Sξ).o : Ricci soliton.

([Lauret, 2011] の構造定理を使えば check できるはず...) ▼ ということで: ◦ ξ ∈ g_α のとき (S_ξ). p はいつ Ricci soliton？ ▼ 定理 (橋永 - 久保 - T., in preparation) ◦ M = CHn _{のとき, (S} ξ). p が Ricci soliton ⇔ • n > 2 ならホロ球面. • n = 2 ならホロ球面 or “ξ ∈ g_α and p = o”. ▼ この結果から予想されること: ◦ 一般の M だと, ルート系の型や重複度に依存しそう... 29

3.13

内在的な性質

(5/5):

断面曲率

▼ 問題: ◦ (Sξ). p で, 断面曲率が常に負 (or 非正) のものがあるか？ (M = RHn だと答えは簡単) ▼ 定理 (濱田 - 星川 - T., to appear): ◦ M = CHn_{, ξ ∈ g} α ⇒ (Sξ).o は負曲率 (よって o に十分近い p に対しても (S_ξ). p は負曲率). ▼ 他に考えられる問題: ◦ 次は成立: M が Hermite 対称空間 ⇒ ∃ 概接触構造 on (S_ξ). p. ◦ 例: CHn 内のホロ球面は, Heisenberg 群で, これは佐々木空間形. ◦ 問題: 他に佐々木多様体になるものがあるだろうか？ 30

3.14

S

_ξ

-

軌道のまとめ

▼ (S_ξ). p の外在的性質: ◦ ほとんどは全測地的でない (例外: RHn 内のもの), ◦ 極小なものは結構ある, ◦ 時々 austere, ◦ 弱鏡映なものもある. ▼ (S_ξ).o の内在的性質: ◦ ほとんどは対称空間でない (散発的な例外はあり), ◦ 時々 Einstein, ◦ Ricci soliton の例も供給, ◦ 断面曲率とか, 他の幾何構造とか, 手付かずの問題多数. 31