01=3-(a+2-e)J2, 2=(05D)/2 p0(c)sin=f(1-sinc)(c-uq0) za=zo(a)+rsinposin(cz-), (zo(a)=(1-sin)(c+qo)) zc-zo(c)-czc+o(c)1(1-a-a)=rsinocsin zc-za+/(zc+za)(

Kotterの

方程 式 の理 論 土質 力 学へ の適 用

正 員

山

口

柏

樹*

APPLICATION

OF K.OTTER

EQUATION

TO THE

THEORETICAL

SOIL MECHANICS

By Hakuju Yamaguchi, C.E. Member

Synopsis: A reasonable analysis of earth pressure computation or bearing value estimation is presented by solving the difference forms of generalized Kotter's equations; developing Ohde's method an approximate analysis of earth pressure on a rotating wall around its upper end is

also discussed, and these theories are checked up experimentally. Through these investigations it has been clarified that the usual approximate formulae have fairly good accuracy with re-spect to the pressure intensity, except the passive case, when an angle of internal friction exceeds 40 degrees, and that, on the contrary the pattern of a slip line field obtained by any approximate method is known to be considerably erroneous.

It is added finally the correction method to obtain more accurate Stability numbers than Jaky's values. 要 旨 一 般 的 なKotter方 程 式 の差 分 解 を 主 働, 受 働 の 場 合 に求 め, 壁 面 土 圧 や 支 持 力 の 精 密 な解 析 法 を 論 じた 。 上 端 周 りに 回転 す る壁 上 の 土 圧 をOhdeの 方 法 を 修 正 し近 似 的 に 計算 し, これ ら の結 果 を 実 験 的 に 検 討 した 。 これ に よ り従 来 の 近 似 法 に よる 土圧 評 価 式 は受 働 で 摩 擦 角 の 大 きい 場 合 を 除 い て は 良 い 精 度 を 与 え るが, 塑 性 域 の範 囲 は 明 らか な差 が見 られ る こ とが判 明 した 。 な おJakyの 法 面 解 析 法 の簡 単 な補 正 法 を述 べ, よ りTaylor値 に近 い 安 定 数 を導 く ことが で きた 。 1序 論 粘 着 力 の ない あ るい は それ を含 むKotterの 方 程 式 の 近 似 積 分 を 土質 力 学 の基 本 的 問 題(土 圧, 支 持力, 法 面 安 定)に 適 用 し て議 論 す る ことはOhde1), Jaky2)な どが 試 み て い る が, 差 分 式 を解 い て た り線 を 組 み 立 て る こ と に よ り, 塑 性 場 の状 態 が さ らに合 理 的 に解 析 し得 る。 これ は 多 くの 場合, 過 渡 域 内 のた り線 場 を構 成 す る こ と に 帰 す るが まだ 果 た され てい ない よ うで あ る。 本 文 に 述 べ る ご と く主, 受 働 土 圧 の 過 渡 域 で は 差 分 解 法 が 可 能 で あ る が, 例 え ば壁 が任 意 の変 形 を 行 う時 の背 面 塑 性 場, 法 面 崩 壊 部 の た り線 な どにつ い て の厳 密 な解 は まだ 不 明 で あ る 。 しか し この種 の 問題 に対 して もKotter式 の近 似 適 用 に よ りあ る程 度 の成 果 が 得 られ る し, 従 来 の 方 法 を修 正 して よ り合 理 的 に解 析 す る ことが で き る。 さ て塑 性 場 を定 め る一 般 のKotter式 はtanφ=μ と して (1.1) で(記 号 に つい て は 前 論文3)参 照)あ る。 また は(1.1)の 差 分 式 を 用 い る こ と が で き る。 境 界 条 件 と して は Rankine域 と過 度 域 の境 界(限 界 線)で の ρ が 多 く考 え られ るが 図 一1b)の ごと く表 面 荷 重 を90と して地 表 面 が水 平 で あ る 時 は周 知 の よ うに

(複号順 に主, 受働)

(1.2) ま た 剛 体 壁 と交 差 す るた り線 の交 角 ン は 粗 度 角 を δ とす る と (1.3) 複 号 は 壁 よ り見 る二 た り線 交 角 が π/2午φ な る に応 ず る。 通 常 過 渡 域 問題 は(1.2), (1.3)の 下 に(1.1)を 解 く の で あ る が そ の実 際上 の手 続 き を以 下 の本 文 に示 そ う。 2.主 働 土 圧 の 差 分 解 代 表 的 な場 合 と して δ=φ を考 え る。 こ の時31た り線 群 は壁 面 包 絡 線 と せ ね ば な らぬ4)。過 渡 域 内 のた り線

*中央大学助教授, 工学部土木工学部

網 は 図 一1a)に 示 す ごと くで あ るが, まず 基 本 要 素(1)(2)の 構 成 法 を 述 べ る。 図b)は そ の 拡大 図 でOAは 限 界 線 で あつ て地 表 面 が 水平 で な けれ ば一 般 に 曲線 で あ るが, 一 般

に そ の作 図 はMohr内 に よ り容 易 に遂 行 で き る(4.参 照)。 簡 単 のた めOBと κ 軸 は一 致 す る も の とす る と α=π/4+φ/2で あ る。

OCは 頂 点 で 壁 面OWに 接 す るS1線 でACWはS2線 で あ り ン=π/2一φ。粘 着 力 が あ る時 頂 点 は応 力 特 異 点 と な るの でOA 方 向 とOC方 向 に 関 す る ヵ0(こ れ を ヵ0(A), ρ0(C)と 表 わ す)は 一 般 に 異 な る_{。ρ0(C)の 他 に 未 知数 はOC, ACθc(≡ θ とお く),} C研, OW(wと お く), ρ0, ρω で あ る が これ らは 一 般Kotter式 を 差 分 的 に 用 い 各 た り線 素 を 円弧 と仮 定 す る こと に よ り求 め られ る 。 まず 円弧 仮 定 よ り

01=3-(a+2-e)J2,

2=(05D)/2

従 つ て △OCA, △OCWに 関 し正 弦 法 則 を用 い る と (2.1)4) 0の 周 りの微 小 なS2線 素(dS2→O)に つ き(1.1)を 用 い る と

p0(C)sin=f(1-sinc)(C-uq0)

(2.2)

こ こ でC, σ0=0な ら ρ0(C)=ρ0(A)=0(正 常 点)で あ る 。 ρsinφ+C≡ τ と し てOA, OC, CAに つ い て 差 分

式 を 作 る と

zA=zo(A)+rsinposin(cz-), (zo(A)=(1-sin)(C+qo))

zc-zo(C)-Czc+o(C)1(1-a-A)=rsinOCsin

zC-zA+/(zC+zA)(8-a)=rsinACcosu

(2.3)

上 式 よ り τc, τAを 消 去 し(2.1)か らOC, ACを ρ0で 表 わ す と θ を 定 め る 式

{1-(O-c-2)}[{0(A)+ysinp0sin(a-c5)a1-(O-cm

+Tsinpocos(Vu)sin(vm)/cos(c-r)

={1f-(1-a)}[r(A){1+u(8-a-A)(1-/1A)J(1+u2)

+Ysinposin(v-ccos(-vc)fcos

(2.4) が 得 られ る。 (2.3)は 円弧 曲 率 が 小 い 限 り十 分 精 確 で あ るが, 曲 率 が 大 き くな る と(受 働 で は この場 合 で あ る)円 弧 に沿 う 線 積 分 表 示 を用 い れ ば精 度 が 改 善 され る(7.参 照)。 (2.4)を 試 探 的 に解 い て θ を 求 め る と(2.1)よ りた り線 要 素 の 寸 度 が決 り(2.3)の 第 三 式 とCW間 に 関 す る類 似 の差 分 式 か ら順 に ρω が 求 ま る 。(2.4)は τ0(A)を 介 してC, g0も 含む か ら θ は ρ0の 他 にC, g0に よ つ て も変 る が, C, σ0=0で あ る 時 は ρ0に も無 関係 な式 (2.4') と な る 。φ の 二, 三 の値 に つい て(2.4')を 用 い て 数 値 計 算 せ る結 果 は 次 節 に示 そ う。 一 般 の 場 合 は さ らに(3)(4)(5)…… の 順 序 に 差 分 解 を 求 め て 行 くの で あ る が, (3)(4)な ど の作 図 はRiemannの 問 題 に ほ か な らず 線 素 の辺 長 の 幾何 学 的 表示4)を 利 用 すれ ば上 記 と類 同 に処 し得 る。 δ<φ で あれ ば λ の値 に よ つ て 頂 点 に特 異 性 の 現 わ れ る こ とが あ る が 次 節 の近 似 法 一皿 を 利 用 して基 本 要 素 を 定 め れ ば よ く本 節 と方 法 上 本 質 的 な差 は 無 い 。 図-1 α)過 濠承 ヒ 瞭泉 の橘 厳(δ=φ) b)過 凌 域 と り線 の差分解(δ=φ)

3.主 働 土 圧 の 近 似評 価 の二, 三 の 方法 (1)対 数 螺 旋 に よ る近 似 法 古 くか ら金 属 塑 性 論 の扇 形 塑 性 場 のanalogy と して 用 い られ て来 た が, γ, φ≒0の 場 合 に は 正 しい た り線 を 与 え ぬ こ とは 前 に 論 じた3)。 し か し本 近 似 法 で 求 め た 土 圧 係 数 は 粘 着 力, 表 面 荷 重 に対 して は 正 解 で あ る上, 重 力 に 応 ず る土 圧 係 数 は 主働 は もち ろ ん φ の過 大 で ない 時 は受 働 土 圧 に 対 して も大 き な差 を 生 じな い し, さ ら に対 数 螺旋 に 沿 う積 分 値 は 塑 性 域 に 関す るMo-mentの 釣 合 い を 自動 的 に満 た す ことが 容 易 に 示 され る か ら慣 用解 析 法 と も一 致 す る こと な ど

が 本 近 似 法 の 優 れ た 点 で あ る 。 図 一2a)に つ い てAWを 極0に 対 す る 対 数 螺 旋 ρ=ρ06(o一a)と す る と こ れ

嫁 壁 面 で の 条 件 δ一 φ を 満 足 す る 。(1.1)の 第 二 式 でdS2=ρ0μsecφ6μ(o一a)dθ を 用 い(1.2)を 考 え る と (3.1) 壁 上 で は θ=β と お き, 垂 直 土 圧w=p(β)COSφ は 6w=Kqgo-KcC+KTrpw た だ し

K=cotc[1-(1-sin

q5)e-2i}

(3.2) の ご と くな る。 壁 面 傾 角 β に応 ず る正 解Kσ, K0を 図 一3に 示 した 。粘 着性土 ではcreepに 伴 う時間効果があ るた め理 論 値 こ とにK0は 実 際 上 の適 用 に 当 り慎 重 に考 慮 せ ね ば な る まい(受 働 の場 合 のF0は 壁 面移 動 が 強 制 的 で あ る こ とが 多 い の でK0よ りも妥 当 性 を持 つ と思 わ れ る)。 同 ≒ φ な らばAOま た は そ の延 長 上 に 極 を 定 め る こ と、に よ り, 上 と同 様 に 論ぜ られ るがc, q0=0の 場 合 は Ohde1)も 扱 つ て い るの で省 略 す る 。 この場 合 のK _{9, K6} は 次 項 を 参 照 せ られ た い 。 (2)直 線 平 均近 似 法 本 法 は 主 働 過 渡 域 内 でS2線AWの 平 均 曲 率 が 大 で ない こ とに着 目 し(1.1)内 のdθ/dS2, cosθ 等 をAW 間 の平 均 値 で 置 代 え て 積 分 す る 方 法 で あ る。 図 一2b) で 簡 単 な考 慮 に よ り正 しいAWはOAと π/2一φで 交 差 す るA肌 と壁 面 で レ(δ に応 じ(1.2)よ り 決 る) で 交わ るAW2の 二線 分 に挾 まれ る こと が知 れ るの で 近 似 的 に

68=(BA+ew)I2=3/4+Yj2-a12-/8

(3.3) 図-2 c)対 数 螺 線近似 b)直 線 平均近似 _{C)円 新 近似} 図-3

と して(1.1)を 積 分 す れ ば

Cc/2+i9-37r/4

(3.4) さ らに ρw=OW÷(OW0+OW2)/2と す る と (3.5) で あ る の でw=ρ{sin2+COS2(v+φ)}/COSφ を 考 え る と (3.6) が得 られ る 。 このKg, K0は 正 解 を 与 え る。 (3)円 弧 近 似 法 AWを 円弧 で近 似せ しめ て も そ の精 度 は(1), (2)と ほ ぼ 同 じで あ る。 本 近 似 法 は δ≒ φ の場 合 の差 分解 に 瀞 け る基 本 領 域 の作 図に も利 用 で き る上 δ<0に 対 して も適 用 が 容 易 で あ る 。0<δ くφ に対 して は 図 一2c)か ら (3.7) で あ る の で(1.1)を 円弧 積 分 す るか, 差 分 的 に 解 くか, あ るい は前 項 の ごと き平 均 的 近 似 法 を 用 い る か して各 土 圧 係 数 が得 られ る 。 4.各 方 法 によ る主 働 土 圧係 数 値 の 比 較 差 分精 密 解 と各 種 近似 解 の相 違 の要 点 はKTと た り線 の形 状 寸 度 に あ るか ら後者 の尺 度 と して ρw/ρ0を採今 て 比 較 し よ う。 ただ し簡 単 のた め 地 表 面 は 水 平 と し β=π/2と す る 。結 果 は 表 一1に 示 さ れ る 。 この 表 に よる と近 似解 は多 少 小 さ なKγ を与 え るが 差 分 解 と の 差 は余 りな く, φが 大 き くな る と よ り精 度 が よ くな る こ とが 見 られ る。 これ は φ が 増 す につ れ 過 渡 域 の幅 が狭 くな る た め近 似た り線 長 が 短 くて 済 む こ とに よ る もの と思 わ れ るがCoulomb値 の精 度 の よい の は驚 く程 で あ る(詳 細 は省 くが 他 の 場 合 δ≒ φ, β≒ π/2, f≒0 に も云 え る)。他 方 ρω/ρ0の差 分解 と近 似 解 の差 はKTに 比 べ て 一 般 に 大 きい か ら実 験 検 討 の手 段 と して 利用 し 得 る(6.参 照)。 な お φ=δ-30に 対 す るKarman5)の 得 たKTは0.27で あ り安 蔵 教 授6)の 換 算 値 は0.262 で あ る こ とを 付 言 す る。 近 似 法 に よ るKザ の精 度 が 案 外 よい の は, 限界 線 上 の ρ0が与 え られ た近 似 た り線 の終 点Wに 関 す る ρωが 真 の値 に 比 べ て 小 さ くな る が 同 時 に幸 い 応 力 の近 似 値 そ の もの も小 さ くな る ので 係 数K了 に 入 つ て 来 る誤差 が相 殺 され る こ とに 起 因 す る。 正 しい た り線 につ き求 めた 応 力 は 限 界 線 に 囲 まれ た塑 性 域 の剛 体 的 釣 合 い 式 を 当然 満 足 す るは ず で あ る が近 似 た り線 に お い て は この よ うな こと は期 待 し得 ぬ 。例 え ば対 数 螺 旋 解(3.1)を 考 え るにMoment式 は 満足 す る が 併 進 釣 合 い 条 件 は満 され ない 。 水 平, 鉛 直 方 向 の 釣 合 式 か ら形 式上Kを 求 め る こ とは 可能 で あ りこれ をKη Kvrと す る と φ=δ=30の 時K=0.275 K3=0.3980と な る。Kは 表 一1のKT(Kの 意)に 近 い がK3 は60%も 過 大 な 値 を示 す 。 これ は ρ/ρ0が 対 数 螺 旋 の 場 合 は過 小 な る こ とに 因す る の で あ る。 なおK0, K4に つ い て は 回 転, 併 進 か ら求 めた 三 つ の値 は 安 全 に 一致 す る ことが 確 め られ る。 表-1

実 際 力 の 釣 合 い を 考 慮 して 回 転 に よ り求 め た 土 圧 係 数 を修 正 す る具 体 例 は後 節(7.)で 論 ず る こ と とす る。 前 二 節 で 地 表 面 を 水 平 の 場 合 に 限 つ た が, これ が 傾 い て い て も差 分 法 の適 用 上 制 限 は 生 じ ない 。 た だ2.の よ う に 簡 単 な解 析 的 記 述 が な され ぬ だ け で あ る。 こ の時 限 界 線OAはMohr円 を 利 用 す る こ とに よ り曲 線

(qo+Ty)cosi[sini-sincsin(i+2)]=ccosc[sin2+2sinicos(i+x)]

2=26-b-7r/2

(4.1) で 与 え られ る。 こ こでiは 表 面 傾 角(昇 り勾 配 を 正 に と る), yは 限界 線 よ り地 表 面 まで の鉛 直 距 離 を 表 わ す 。 5.上 端 周 り回 転 壁 に対 す る 土 圧 本 問 題 に 初 め てKotter式 を 用 い て論 じた のはOhde1)で あ る 。彼 は観 察 に よ りた り線 が ほ ぼ 地 表 面 と直 交 し 壁 下 端 を 通 る 円弧 に 近 い 事 を 認 め て 解 析 し合 土 圧, 着力 点, 土 圧 分 布 の推 定 等 を 行 つ た が, こ の方 法 に よ る とた り線 が 十分 塑 性 域 の発 達せ る 下端 で δ に 応 じた 角 レで 壁面 と 交 差 す る こと がで き ない 。 また 筆者 の実 験 に よ る と回 転初 期 で は 写 真 一3に 見 る ご と く λ0(図 一4参 照)が0で な い 。 回 転 が 進 む につ れ λ0は λ0+よ り λ0一に段 々減 少 し て 行 く が この λ0土は簡 単 に は決 め られ ない 。 こ こで は 一応 次 の ご と く推 定 す る 。 回 転 開始 時 で は上 端 拘 束 のた め 水 平 方 向(も し くは それ に 近 い方 向)が 大 き い 主応 力 の方 向 で あ る が, 回転 の進 む につ れ Archが で き初 め 壁 が 十 分 粗 で あれ ばArch軸 線 と壁 との なす 角 は ほ ぼ π/2-φ の程 度 で あ ろ う。図 一4a)に 示 す ごと く この 経 過 に伴 つ てS2線 と鉛 直 線 の なす 角 は 大 体(π/2∼ π/2-φ)-(π/4-φ/2)の 範 囲 に あ る と思 わ れ るが, 実 際 に は この 申 間 の 状 態 に あ る も の と み て次 の平 均 値 で 与 え られ る もの と考 え よ う。 2+-o0 _(5.1) この 値 はわ れ わ れ の実 測 値 と も比 較 的 近 い し, δ=0で あつ て も背 面 の土 が 流 出 し去 らぬ 限 りは 近 似 的 に 本 式 で 推 定 し て も大 き な差 は無 い と思 わ れ る。 図 一4b)の 記 号 に 従 いた り線 を =ao+n-(3a0+2n-m)2+(2as+n-m)r3

=xJh,

=y/h, tan20=n,

tanv=m

(5.1)

と お く と上, 下 端 の角 条 件 は 満 た され る。(1.1)でc, σ0=0と し, θ の代 りに λ(-φ-θ)を 用 い て積 分 す る と p=rhe2(eZ+hcoo(5A)d た だ し

v =Arctan[n-2(3a0+2n-m)72+3(2a

_0-m+n)2]

(5.2) た り線 に 働 く ρ の合 力 のx, y成 分 お よび 点0に 関 す るMomentは (5.3) た り土 塊 に働 く重 力 の 合 成 値 と点0に 関 す るMomentは

W=rh2fedn

MG=-f2d

(5.4)

以上 の諸 量に よつ て剛体平衡式を作 る と

Xp+Ecos=0, Yp+W-Esin8=0Mp+MG-Eehcos=0 _(5.5) 第 一, 二 式 よ り Xpsin8+Ypcoso+Wcos8=0 _(5.6) これ は σ0の み を 含 む か ら00を 定 め る式 とな る。 実 際 に はobを _{適 当 に仮 定 して(5.2), (5 .3)を 数値 積分 し} て 丁 度(5.6)が 満足 され る よ うに試 算 を繰 り返 す 。 α0が 判 明す れ ば(5.5)よ り θ, Eが 知 られ る_{。 土 圧 分 布 を} 推 定 す る に は ay=b1+b2a2+b33 _(5.7) と し て 下 端 で はw(η-1)=ρ(η=1)×{sin2+cos2(v+φ)}/cosφ で あ る こ と と 釣 合 式 図-4

hrlowd=h(bi/2+b2/3+b/4)=-Xp

h2rarnd=h2(b/3+b2/4+b/5)=-ehXp

(5.8) と か ら6p, b2, b3を 解 け ば よ い 。 δ=0に 対 し数 値 計 算 の結 果 を 表 一2に 示 した 。Ohdeの 値 は φ÷31に つ き行 つ た もの で あ る。 本 法 との 比 較 に 関 して は 次 節 に 述 べ る。 6.実 験 結 果 と考 察 前 述 の解 析 結 果 を検 討 す るた め鋼 製 土 圧 測 定 箱(高 さ350× 幅220× 長 さ750mm)を 製 作 した(写 真 一1)。 内 部 に はBall Bearing付 き 回転 軸 で 支 え られ 上 下 端 周 りの回 転 で き るDuralumin製 隔 壁 を 設 置 し, これ に接 し て上 下 に摺 動 可 能, か つ 前 後 に 微 動 し得 る二 個 の 力 計(容 量50kg)を 配 して全 土 圧 と そ の着 力 点 を 求 め る。 設 計 また は 工 作 上 の欠 陥 に よ り下 端 周 りの 回 転 に 対 して は上 部 転が り部 の摩 擦 が 大 き く出 た た め 力 の測 定 は 上 端 周 りの場 合 に 限 る のを 余 儀 な くされ た 。 用 い た 試 料 は粒 径 が0.45∼1.1mmに あ る乾 燥 砂 をゆ る詰 め の 状 態 に し た も ので 内部 摩 擦 角 は34。, 密 度 は 1.324gr/cm3で あ る 。 写 真 一2は 隔 壁 に 砂 を 糊 付 け(δ=φ)し て 下端 周 りに 回 転せ し めた 時 のた り線 の 状 況 を 示 す が, ρw/ρ0の実 測 値 平 均 は1.601で あ る。 表 一1の 与 え る差 分 値 は φ一34に 対 し内挿 に よ り1.531, また 近 似 解 で は1.399で 測 定 値 との 差 は 前 者 で4.4%, 後 者 で16%あ る。 5.の 条 件 に 従 う実 験 に お け るた り線 の 一例 は 写 真 一3に 示 す ご と くで, θ, Eの 実 測 値 を 図一5, 6に 示 した 。 合 力 は φ=34に 対 す る下 端 周 り回 転 時 のRankine土 圧X0に 対 す る比 で 表わ して あ る 。 表 一2で 知 る ご と く 本 法 に よ る もOhdeに よ る も土 圧 係 数 の 値 は 余 り差 は な い が θ の 方 は 両 方 法 間 に相 当 な差 が あ り本 法 の方 が 実 測 値 に 近 い 値 を 示 し てい る。 土 圧 は 静 止 土 圧(係 数 値 は0.40∼0.45)か ら回 転 と共 に急 激 に低 下 しRankine土 圧 値 の 付 近 か らゆ るや か に 減 少 す る。 これ は λ の 減 少 に よる もの と思 わ れ る(表 一2参 照)。 土 圧 の測 定 値 は計 算 値 よ り10%程 小 さい が これ は 壁 周 の 摩擦 力 と φ の 誤 差 に よる ので あ ろ う。 図 一7に φ一30, 40に 対 す るた り線 の 計 算 値 を λ0に 応 じて 示 しa), φ=34に 対 す る 内挿 計 算 値 と実 測 値 平 均 を 同b)に 示 した 。 な おc)に 推 定 土 圧 分 布 を 画 い て あ るが これ は 側 方 支 持 の 矢板 土 圧 の実 測 結 果 と定 性 的 に 一 致 す る と見 られ る 。 な お この実 験 的 傾 向 はTerzaghi7)の 行 つ た 結 果 と ほ 黛一 致 し てい る。 7.受 働 土 圧 の 解 析 と 支持 力問 題 の 応 用 受 働 土 圧 に 対 す る過 渡 域 解 析 は 主働 の 場 合 と大差 な い 。δ=φ の一 般 受 働 圧 力 を 計 算 して お け ば 壁 休 をKurdj-umoff土 襖 に置 き代 え る こ とに よ りPrandtlの 支 持 力 問 題 が 容 易 に 扱 え る 。 図 一8a)で2と 異 な るの はSfの 取 り方 が逆 で あ る こ と と, た り線 曲 率 が 大 きい た め に 線 型差 分 解 の代 りに(1.1)を 円弧 積 分 した もの を用 い ね

表-2

写 真-1装 置 全 景 写 真-2下 端 周 り回 転 時 の た り線(δ=φ) 写 真-3上 端 周 り回 転 時 の ま=り線(δ=0)

ば な らぬ 点 で あ る。 (2, 4)に 対 応 す る が=θ0を 定 め る式 は た だ し w-2-a-2, A=I2+b+a (7.1) 図-5 図-6 図-7 α)こ ゾ脈 計 鼻笹 (上端 周リ回転) b)実測 ζの 叱較_{-計 算イ直} -突測 頃 c)土 圧 分 布 -上 端 周 リ回 転 時 -下 端ろ周サ 回 転 嘘 図-8 O)受 働 過俊 域 の差分解 b)同 玄庁数 虫案旋 角早

また各要素長 の幾何学 的関係 は

(7.2) 網 目が確 定 す れ ば, 4CWを 径 て 円弧 積 分 を繰 り返 しpwが 得 られ るの で 受 働 土 圧 係 数(F)が 求 め られ る 。 帯 状 基 礎 で 底 面 粗 度 角 δ'が φに 等 しけ れ ぽ λ= π/2と して 受働 土 圧 と載 荷 重 の 釣 合 か ら 支 持 力 係 数 (N)は

N1=-gunc(-wCosecGL-4)

(7, 3) 主 働 の場 合 と 同様AWを 対 数 螺 旋 で 近 似 せ しめ て 受 働 土 圧(FL)や 支 持力 個 係数(ML)を 求 め る こ と が で き る。 こ こで得 られ たFLC, Ffは 厳 密 値 で あ る (図一9)。 これ はMoment釣 合 式 に よ る も の と恒 等 で あ る が, 4.で 触 れた よ うに(R)(T)(K)の鉛 直 方 向 の力 の 釣 合 式 か らも これ ら係 数 を形 式 的 に求 め る こ とが で き る。 この よ うに求 め た支 持 力 係 数NVはMoment 式 に よる もの の 約 二倍 を示 す 。 これ はAWに 沿 う ρ の積 分 値 の 過 大, 換 言す れ ば た り線 が対 数 螺旋 の 仮 定 で は深 き に 過 ぎ るた め で あつ て, 塑 性 範 囲 を1/γ7 に縮 少 す れ ば 二 つ の 釣 合 式 は ほ ぼ 一 致 し正 しい 値 に 近 い もの を 示 す こ とが 推 論 で き る。 これ に よ る修 正 支 持 力NLrは(1/γ7)N>lr÷0.7Nlrと な る。

次 の 表 一4でNVはMeyerhof8)の 求 め た もの, NVはTerzaghiの 値 で あ り, 1, 8は 図一8b)でOD =1, 0M=Bと 表 わ され る長 さ, rM, rlはMeyerhof, 対 数 螺 旋 に よ る値 で あ る。 表 一3に よ る とCoulomb 値 は 著 る し く過 大 なFrを 与 え るがFLrは 差 分 解 と相 当 よ く合 致 す る。 これ はNTに つ い て も φ<45の 範 囲 で は 同傾 向 で あ る が ρ0/ρω また は1/Bに 関 して は差 分 解 と他 の解 の 問 に小 さ な φに対 して も 明 らか な 差 が見 ら れ る こと は主 働 の 時 と同様 で あ る 。 Meyerhofの 実 験 に よる と φ=46の 砂 につ い てrの 実 測 値 は4.12で あつ た 。 他 方 表 よ りrM÷8.2r÷5.4 で あ る の で この 点 差 分 解 の 方 が 良 い 一 致 を 示 して い る。 図-9

表-3鉛

直壁の受働土圧係数とた り尺度表

表-4支

持力係数 とた り線尺度

8. 法 面 安 定 問題 へ の 適 用 法 尻 崩 壊 を対 象 とす る が, 法面 付 近 の応 力 状 態 は 全 域 塑 性 よ りも弾塑 性応 力 状態 に近 い こ とがGeratineの 模 型 実 験 で知 られ る 。 法 尻 の 局 部 塑 性 化領 域 と表 面近 傍 の 引張 りきれ つ 部 よ り発 す る進行 性破 壊 も加 わ り法面 のた り線 を 理 論 的 に決 め る こ とは な か な か 困 難 で あ る。Jaky2)は 円 形 た り線 を仮 定 してKotter式 を 積分 し法 面 に 生 ず る引 張 力 と圧 着 力 の 総 和 を 零 と お く こ とに よつ て安 定 数 を 導 い た がTay-lor9)のFriction Circle法 に よる よ りも小 さ く危 険 側 に 出 る こ とが 指 摘 され て い る。 法 面 に 現 わ れ る表 面 力 は 抵 抗Momentを 生 ず る よ うに 働 くか ら これ は 当然 で あ る 。 本 論 文 で は 円弧 の代 りに 対 数 螺 旋 を 考 えて(図 一10)Jakyと 同 様 に 計算 す る(細 部 の計 算 は 省 略 す る)安 定 数 の最 終 式 は た だ し

20=r/2-i

a=7r/4+cbf2

(8.1) これ に 対 し前 記 抵 抗Momentが な い と した 時 の修 正安 定 数 を求 め る と (8.2) と な る 。 円弧 に 関 す るJakyの 値(C/γH)rに 同 様 の 補 正 を 行 う と (8.3) これ ら補 正 に よつ てJakyの 安 定 数 また は(8.1)が 修 正 され, Taylor値(C/7H)Tに 近 付 くの が 見 られ る。 Bishop10)に よれ ば改 良 され た 分 割 法 は よ り経 済 的 な断 面 を 設 計 し得 る とい うが, γ, φ, Cな どが 不 均 一 で あ る 法 面 に 対 し てはBishop法 が 最 も推 奨 し得 る も の と思 わ れ る。 均一 土 質 に対 して そ の安 定 数 表 示 を 導 く と (8.4) で あ る。 こ こ に πnHは π, 目分 割 帯 の た り面 上 の 高 さ, anは そ の線 素 の勾 配 角 で あ る。(C/γH)β は(C/7H)T よ りや や 小 い 値 を 与 え るが そ の差 は 一 般 に 小 さ く1∼2%程 度 で あ る よ うで あ る。 9.結 論 本 論 文 で 解 析 実 験 した 結 果Kotter式 の 差 分 解 に よ り得 られ た塑 性 場 の力 学 的 性 質 は 理 想 的 な 摩擦 性 塑 性 材料 に 対 して は 十 分 な適 応 性 の あ る こ とが 認 め られ, また近 似 的 に応 用 す る こ とに よ り複 雑 な 問題 に も相 当 適 用 し得 る こ とが 判 明 した 。 土 圧 に 限 れ ば周 知 の ご と くCoulomb公 式 は主 働 時 には 各 種 の条 件 に対 し簡 易 に 良好 な値 を 与 え るが 主 受 働 を 通 じて は 対 数 螺旋 の誤 差 の方 が平 均 的 に小 さい 。 これ らの 値 と差 分 解 との差 は受 働 時 に お い て φ>45程 度 か ら大 き くな り, 支 持 力 係 数 に お い て は φ>40位 か ら差 が 現 わ れ る。 しか しい ず れ の場 合 もた り線 の 形 に つ い ては 近 似 解 と差 分 解 の 聞 に は 相 当 の ズ レを生 じて くる こと が結 論 され る。 本 論文 は摩 擦 性塑 性材 料 の理 論 的研 究 の一 部 で あ る が東 京 大 学 教 授 最 上 博 士 の 御 懇 篤 な 御 指 導 を 頂 い た こ とを 付 記 し深 く謝 意 を表 し度 い 。 図-10

表-5各

方法によ る安定数 の値

参

考

文 献

1) J. Ohde: "Zur Theorie des Erddruckes unter besonderer Berucksichtigung der Erddruckverteilung." Die Bautech-nik(1938)

2) J. Jaky: "Stability of Earth Slopes ." Proc. 1st. I. C. S. M. Vol. II(1936) 3) 山 口 柏 樹:"拡 張 せ るKotterの 方 程 式 に 関 す る 二, 三 の 考 察", 土 木 学 会 論 文 集 第60号(1959) 4) 山 ロ 柏 樹:"摩 擦 性 塑 性 体 の た り線 の 幾 何 学", 土 木 学 会 論 文 集 第61号(1959)

5) v. Karman: Uber elastische Grenzzustande," Proc. 2nd C. A. M. (1926) 6) 安 蔵 義 之 輔:"土 圧 理 論", 九 大 工 単 部 量 報(1931)

7) K. Terzaghi: "A Fundamental Fallacy in Earth Pressure Computations." Boston Soc. of Civil Engr. (1940) 8) G.G. Meyerhof: "An Investigation of the Bearing Capacity of Shallow Footings on the dry Sand." _{Proc . I.C.S. M}

.F.E. Vol.I (1948)

9) D.W. Taylor: "Stability of Earth Slopes." Boston Soc, of Civil Engr. (1937)

10) A.W. Bishop: "The Use of Slip Circle in the Stability Analysis of Slopes." Geotechnique _{Vol .5 (1955)}