09基礎分析講習会

実験データを正しく扱うために 

化学同人編集部編

2007 12/20 第1版第1刷発行:   2010/3/1 第4刷（加筆改訂を含む） 前田，山本，加納著

データ解析の意味を理解しないでパソコンで計算して

も意味がない。以下の本でちゃんと勉強しよう？

1 • R. A. Millikan ミリカン 水滴の蒸発  大学院生H. Fletcher 水滴を油滴に 博士論文単名   140の観測のうち49個除外 データ削除 

 油滴実験 Regener がもともとThompsonの実験室(Cambridge Univ.)でお こなっていた。    F. Ehrenhaft 副電荷 との 論争 勝利  • １９２３年ノーベル物理学賞メンデル できすぎていた実 験 助手の庭師がメンデルの理論に合わせるようにカウ ントしたのかもしれない？ • 科学の罠，過失と不正の科学史，アレクサンダー・コーン 著 酒井シヅ＋三浦雅弘訳 工作舎 1990 序論：誤差解析 何のために？ 2

こんな時君ならどうする？

• 明日の朝までにデータを出すように言われた。  （物理的に不可能な状況） • Positiveなデータが出ない場合，今後の＊＊に多大な 影響がある。 • 忙しい指導教員は，途中の過程をほとんど見ず，結果 だけを重要視する。 • 実験については，自分以外に詳しいものがいない。 • データでおかしな点がある？ 捨てるべきか否か？ • 再現性がない。Best dataのみを採用すべきか否か？ 統計的な処理をすべきではないのか？ 身近なことかも？

_有効数字

有効数字その２

5

有効数字その３

6

データ処理: 実践

データの棄却・エラーバー・有効数字：

☞ エクセル

(重み付き）最小二乗法

☞  Gnuplot

真の値がわかっている場合。系統誤差、ランダム誤差も明確に_{定義できる。} J. R. Taylor (林、馬場 訳）計測における誤差解析入門、東京化学同人, 2000. p.101-102図4・1より転載。

明確に定義できる真の値が未知の一般的な測定においては、 系統誤差は明らかでない。 J. R. Taylor (林、馬場 訳）計測における誤差解析入門、東京化学同人, 2000. p.101-102図4・2より転載。

射的を

除くと

9 10 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 6 5 4 3 2 1 data number

データの棄却

0.7 0.33 0.15 _0.19 0.25 0.28

データ番号データ値 Q test 1 0.7 0.67_棄却 2 0.25 3 0.15 0.07_棄却せず 4 0.33 5 0.19 6 0.28 和 1.9 平均 0.317 最大値 0.7 最小値 0.15 データ数 6 Q test 0.56 = ¦0.7-0.33¦ / (0.7-0.15) = ¦0.15-0.19¦ / (0.7-0.15) 13

平均値とエラーバー

データの再現性

日経サイエンス２００９年3月号 pp.92-107 「巨大加速器実験，日米の闘い」より 「CPの破れを９９％の確率で発見 した」というには，中心値がゼロ でなく誤差がその中心値の1/3で なくてはならない。 14

平均値

データ番号 データ値 1 0.25 2 0.15 3 0.33 4 0.19 5 0.28 和 1.2 平均 0.240 最大値 0.33 15

0.240 ?

or

0.24 ?

16

実験回数をこなしてないのに

再現性を評価できるのか？

どこまで手抜きできるのか？

少ない実験回数で正確に

再現性をもとめることができる？

Studentのt分布

17

Studentのt 分布に基づくエラーバーの求め方

平均値

標準偏差

18

表：t

N-1

(z%)

自由度 N-1自由度 N-1 標本数 N標本数 N ttttN-1N-1N-1N-1(z%), z%:(z%), z%:(z%), z%:(z%), z%:信頼度信頼度信頼度信頼度 68.3% 90% 95% 99% 1 2 1.837 6.314 12.706 63.657 2 3 1.321 2.920 4.303 9.925 3 4 1.197 2.353 3.182 5.841 4 5 1.141 2.132 2.776 4.604 5 6 1.110 2.015 2.571 4.032 6 7 1.090 1.943 2.447 3.707 7 8 1.077 1.895 2.365 3.500 8 9 1.066 1.860 2.306 3.355 9 10 1.059 1.833 2.262 3.250

表：

t

N-1

(z%)

tN−1(90%) データ番号データ値 1 0.25 0.0001 2 0.15 0.0081 3 0.33 0.0081 4 0.19 0.0025 5 0.28 0.0016 和 1.2 0.0204 平均 0.240 u2 _{0.0051 2.132} u 0.0714 0.07 ¯x (x1− ¯x)2 (x2− ¯x)2 (x5− ¯x)2 5 � i=1 (xi− ¯x)2 u2 = �N i=1(xi− ¯x)2 N − 1

.

.

±tN−1√(90%)u N エラーバーのエクセルによる計算 21

0.240 0.07  より正直には

  0.24 0.1

0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 平均値 平均値＋エラーバー 平均値-エラーバー 22

実験って何回しなくてはならない？：

u

はだいたい一定なので

±

√

σ

N

論文等でも，この式でエラーバーを表示している人は結構多い！ これでいいのか？？ やっぱあかんやろ！ エクセルの AVERAGE関数 エクセルのSTDEV.S関数

「老婆心ながら，エラーバーを計算

するには

Studentのｔを使わないと

ダメでっせ！」

と教えてあげましょう。

まあ許せる！ 25

Student(W. S. Gosset)のt分布

26

同じデータであっても信頼度の違いによって

エラーバーの長さは変わる

標本数５

信頼度 68.3% 90% 95% 99%

標本数3

信頼度 68.3% 90% 95% 99%

データに差がある？  同じ試験をA,

B

大学で実施

平均値のみ

score

データに差がある？

信頼度68.3%

score

29

データに差がある？

信頼度99%

score

30

最小二乗法:

重み付き

x y

エラーバーがある場合どうする？

平均値のみでフィット x=8の値を過大評価 エラーバーを考慮して フィット

正しい

怪しいデータ

間違い

エクセル

Gnuplot

4 3 2 1 0 le ng th / m 5 4 3 2 1 0 time / s

?

見た目を 信用して 定規で線を 引く？ 33 4 3 2 1 0 le ng th / m 5 4 3 2 1 0 time / s

ずれ（矢印）の二乗の和が最小になるように

重みがない場合 エクセル （INTERCEPT， SLOPE） や 一般のグラフソフトで 計算可能

数学：実験データを正しくあつかつために

34

A (=x)

B (=y)

1

0.9

2

2.1

3

2.9

4

4.1

8

6

0.70548

0.66027

=SLOPE(B1:B5,A1:A5) =INTERCEPT(B1:B5,A1:A5) 重み（エラーバーのないデータ）を

エクセル

では

☞重み付き最小二乗法はできない→

正しくない

☞誤差の評価がない

エクセルデータ →グラフィックウィザード →散布図を書く →データ点を右クリック →近似曲線の追加 →線形近似

エクセル：簡便法

☞重み付き最小二乗法はできない→正しくない

☞誤差の評価がない

y = 0.7055x + 0.6603 R2 _{= 0.9536} 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 ｘ ｙ

x y

エラーバーがある場合どうする？

平均値のみでフィット x=8の値を過大評価 エラーバーを考慮して フィット

○

37

GNUPLOT

•

フリーソフト （Win, Max, Linux, Unix)

•

13-101, 13-102のPCにインストール済

•

重み付きが可能

•

非線形が可能

38

1.0 0.9 0.3

2.0 2.1 0.3

3.0 2.9 0.3

4.0 4.1 0.3

8.0 6.0 2.0

←ファイルの中身

x, y, δy

N

=5

１．データ（テキストファイル：例えばdata.txt）を用意する ２．フリーソフトGNUPLOTを用意する。       http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/ に，ダウンロードおよび使用法の詳細あり gnuplot tips で検索！

GNUPLOT 補足 Windows版 ☞初期画面は文字化けするので，右クリックで日本語フォ ントを選択すること，また同じく右クリックして***.ini ファイルに変更を記憶させること ☞データファイルはGNUPLOTの実行ファイルがある directoryを探しにいくので、他のdirectoryにデータ ファイルがあるときは，directoryを指定すること ☞_{plot f(x) w lines, data.txt u 1:2:3 w yerrorbar 等のコマ}

ンドは一度入力するとPCが記憶している。カーソル↑(あるいは ↓）で前の入力がでてくるのでそれを適宜書き換えればいい。

41

3．グラフ（エラーバー付きの）を書く  gnuplot

 plot "data.txt" u 1:2:3 w yerrorbar

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 length / m time / s 42 3．平均値だけで最小二乗法をおこなうと，   a=0.1 b=1.0 f(x)=a+b*x

fit f(x) data.txt u 1:2 via a,b 

plot f(x) w lines, "data.txt" u 1:2:3 w yerrorbar

....

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = 0.660274 +/- 0.3896 (59%)

b = 0.705479 +/- 0.08985 (12.74%) correlation matrix of the fit parameters:

a b a 1.000 b -0.830 1.000 平均値だけで最小二乗法 → これは間違い！(エクセルと同じ結果) 切片 = 0.7 +/- 0.4 傾き = 0.70 +/- 0.09 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 length / m time / s

3．エラーバーを考慮して最小二乗法   c=0.1

d=1.0 g(x)=c+d*x

fit g(x) data.txt u 1:2:3 via c,d 

plot "data.txt" u 1:2:3 w yerrorbar, g(x) w lines

....

Final set of parameters Asymptotic Standard Error

======================= ========================== c = 0.00937158 +/- 0.2434 (2598%)

d = 0.991877 +/- 0.08707 (8.779%) correlation matrix of the fit parameters:

c d c 1.000 d -0.905 1.000

☞

○

45 エラーバーを考慮した(誤差の多いデータは信用しない。） 最小二乗法 切片 = 0.0 +/- 0.2 傾き = 0.99 +/- 0.09 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 length / m time / s よりFairな評価→

○

46

非線形最小二乗法（重みつき）

 例：エラーバー付きのデータを

f

(x)=a+bx

2

でフット

f(x)=a exp(-bx

2

_{) でフット}

Gnuplot

例：磁化率：磁場の大きさの

二乗に磁化率は比例

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 グラフ（エラーバー付きの）を書く  gnuplot  plot "sqr.txt" u 1:2:3 w yerrorbar 切片が必要なければ a=1.0 g(x)=a*x

fit g(x) "data.txt" u 1:2:3 via a でいい！

エラーバーを考慮して最小二乗法   a=10.0

b=10.0 f(x)=a+b*x*x

fit f(x) sqr.txt u 1:2:3 via a,b 

plot "sqr.txt" u 1:2:3 w yerrorbar, f(x) w lines

....

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = -0.0138224 +/- 0.02681 (194%)

b = 1.07406 +/- 0.05247 (4.885%) correlation matrix of the fit parameters:

a b a 1.000 b -0.718 1.000

☞

○

49 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f

(x) = -0.01 0.03

+ (1.07 0.05) x

○

2 50

注意

•

非線形最小二乗法の場合はパラメータの初期値に

注意！！ 初期値a,bを変えてフィットしよう。

有効数字

平均値 105.42 m エラーバー 0.2345 m

→ 105.4 0.2 m  

有効桁４桁

平均値 105.4236 m エラーバー 0.023 m

→ 105.42 0.02 m  

有効桁5桁

平均値 105.423 m エラーバー 2.3 m

→ 105 2 m

有効桁3桁

再度確認！

・計算で求められた誤差（例えばstudentのt分布）は，原則一桁に丸める！ ・有効数字・有効桁は，その誤差で決定される。 ・測定値の操作（加減乗除やその他の演算）による有効数字・有効桁の変化は  誤差伝播の式から定量的に評価できる。 切片が必要なければ a=1.0 f(x)=a*x*x fit f(x) "sqr.txt" u 1:2:3 via a でいい！

誤差伝播

（ごさでんぱ）

53

x

_{± δx, y ± δy}

q = q(x, y) = x + y

x = 10_{± 2 g} y = 20 ± 3 g q = x + y = 30 g δq = �� ∂q ∂x �2 (δx)2₊ � ∂q ∂y �2 (δy)2 = �22+ 32= 3.60.. � 4 g ：ネタ ：シャリ 54 日本人成年男性の平均身長の推移 縄文時代   156㎝ 弥生時代初期 156㎝ 弥生時代末期 160.5㎝ 古墳時代   160.5㎝ 14世紀    157㎝ 16世紀    157㎝ 18世紀    155.5㎝ 1901年    157cm（一説では155cm） 2000年   170.8 cm

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 分布 身長 57 58 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 分布 身長 トーテムポール

低

低

高

高

和の分布

小針アキ宏 確率・統計入門  岩波書店 1973

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 分布 身長

正規分布

（ガウシャン）

平均値：和

幅：広がる

61 q = x − y δq = ��_∂q ∂x �2 (δx)2₊ � ∂q ∂y �2 (δy)2 = �(δx)2_{+ (δy)}2 ゼロに戻す？ 続けて行う？ 62

x

_{± δx, y ± δy, ....}

q = q(x, y, ...)

65 66

c, !

− log

10

�

I

I

0

�

= �cl

T

_≡

I

I

0

A

≡ − log

10

T

Transmission: 透過度 Absorbance: 吸光度 Fig. http://en.wikipedia.org/wiki/Beer-Lambert_law

Fig. Harris, Quantitative Chemical Analysis

これでいいのか？？ Transmission: Absorbance: − log10 �_I I0 � = �cl T ≡ _II 0 A ≡ − log10T

実測しているのは，

T

であり

A

はその桁であると考えてよい。

アレニウスプロット，pH など多くの例がある。 A T T*100 / % 2 0.01 1 1 0.1 10 0.5 0.316 31.6 0.1 0.794 79.4 0.0 1.0 100

測定誤差

T ± "T

が，

A

やcの見積もりに

どのように

きいてくるのか？

c, !

F = −dc/c dT dc c = dA A = dT T ln T

δc

δT

!"

A

=0.2-0.8の濃度範囲で測るべし。

69 A !A T !T 2 0.14 0.010 0.0032 0.8 0.0090 0.158 0.0033 0.4 0.0063 0.398 0.0053 0.2 0.0053 0.631 0.0073 0.1 0.0051 0.794 0.0093 0.05 0.0043 0.891 0.0087 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 log 10 (!" / " ) 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 A total

cell position impresion dark current noise photocurrent shot noise source flicker noise

70

•

!

=10

4

_mol

-1

_dm

3

_cm

-1

•

l

= 1 cm

•

A

=0.05 - 2.0 に５点か６点対応するc

で，0.005 mM, 0.01 mM, 0.02 mM,

0.05 mM, 0.1 mM, 0.2 mM

４%のずれ

線形最小二乗法

（それぞれの濃度で１回測定） y切片も原点を通るし，それぞれの点も直線にほぼ乗って Final set of parameters Asymptotic Standard Error

=================   ==================== A0 = -0.00857591 +/- 0.005375

バラツキの大きい離れたdataに引っ張られる ＋ 

対数変換で重みが変わった

73 非線形最小二乗法テキストデータ transm_n=10_errorbar.txt 0.0002000 0.0087497 0.0000800 0.1574397 0.0000400 0.3970158 0.0000200 0.6299365 0.0000100 0.7948097 0.0000050 0.8922046 gnuplot plot "transm_n=10_errorbar.txt" f(x)=b*10.0**(-a*x) a=100. b=1.1

fit f(x) "transm_n=10_errorbar.txt" via a,b

plot "transm_n=10_errorbar.txt", f(x)

Final set of parameters Asymptotic Standard Error

======================= ========================== a = 10053.3 +/- 14.88 (0.148%)

b = 1.00161 +/- 0.0006201 (0.06191%)

74

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ================= ===================== ε = 10053.3 +/- 14.88 I(0)/I0 = 1.00161 +/- 0.0006201   

非線形最小二乗法

（それぞれの濃度で１回測定） 0.5%のずれ

非線形の回帰では１回の測定でもＯＫ! 何故？

T

_{± δT → A ± δA}

x = ey log10x = y log10e ln x = y ln e = y log10x = ln x log10e − log10T ≡ A − log10(T ± δT ) = − log10T (1± δT T ) = − log10T − log10(1 ± δT T ) = A ± δA ±δA = − log10(1 ± δT T ) = −(log10e) ln(1± δT T ) (2) if δT � T −δA = −(log10e) ln 2 +δA = −(log10e) ln 0→ +∞ (1) if δT/T << 1 δA = −(log10e) δT T

plot "transm_n=10_errorbar.txt" u 1:2:3 w yerrorbars f(x)=b*10.0**(-a*x)

a=100. b=1.1

fit f(x) "transm_n=10_errorbar.txt" using 1:2:3 via a,b plot "transm_n=10_errorbar.txt" u 1:2:3 w yerrorbars Final set of parameters Asymptotic Standard Error ================= ========================== a = 10068.2 +/- 37.99 b = 1.00223 +/- 0.002481

10回測定してエラーバーを求め、重みつき非線形・

線形最小自乗法を適用

c / M T ±δT 0.0002000 0.0087497 0.0011396 0.0000800 0.1574397 0.0026827 0.0000400 0.3970158 0.0030795 0.0000200 0.6299365 0.0037533 0.0000100 0.7948097 0.0064360 0.0000050 0.8922046 0.0068624 77

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ================= ========================= ε = 10068.2 +/- 37.99 I(0)/I0 = 1.00223 +/- 0.002481 0.7%のずれ

10回測定してエラーバーを求め、重みつき非線形・

線形最小自乗法を適用

c / M T ±δT 0.0002000 0.0087497 0.0011396 0.0000800 0.1574397 0.0026827 0.0000400 0.3970158 0.0030795 0.0000200 0.6299365 0.0037533 0.0000100 0.7948097 0.0064360 0.0000050 0.8922046 0.0068624 78

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ================= ==================== A0 = -0.000916286 +/- 0.00115 ε = 10067.3 +/- 40.86 0.7%のずれ

10回測定してエラーバーを求め、重みつき非線形・

線形最小自乗法を適用

c / M A ± A       0.0002000 2.0676047 0.0554057 0.0000800 0.8030527 0.0073399 0.0000400 0.4012273 0.0033740 0.0000200 0.2007239 0.0025856 0.0000100 0.0997749 0.0035086 0.0000050 0.0495699 0.0033376

「老婆心ながら，

重み付きの（非線形）最小二乗法でないと，

なんぼ正確な実験を繰り返しても，

最後の解析で１０％もの誤差がでることが

ありまっせ！」

と教えてあげましょう。

x

i

w

i N = � i wi �x� = � iwixi � iwi = � iwixi N σ2 = � iwi(xi− �x�)2 N = � iwix2i N − �x� 2

f

(x)

1 = � +∞ −∞ dxf (x) �x� = � +∞ −∞ dxxf (x) σ2 = � +∞ −∞ dx(x− �x�)2f (x) = � +∞ −∞ dxx2f (x)− �x�2

σ

<x>

81 筒井康隆 パチンコ必勝原理 (初出「科学朝日」昭和三十七年六月号)

測定は不可避のばらつきを伴う。

何回か測定して平均をとる。

再現性も同時に確認。エラーバー

分野ではベストデータのみも多いので要注意！

SPM画像

誰も再現できないのはノウハウの違い？

82

N

=1

パチンコ と 酔歩(random walk)

N

=2

パチンコ と 酔歩(random walk)

N

=3

パチンコ と 酔歩(random walk)

85

N

=4

N

=5

パチンコ と 酔歩(random walk)

86

p

q (= 1-p)

N回の試行で，r 回左にいけば -rΔ+(N-r)Δ= (N-2r)Δ にいることになる。

Δ

BN,p(r) = N ! r!(N − r)!p r_qN−r ₌ NCrprqN−r

左

右右

左

右

左左

右

左

右右

左左左

右

:

N! = 15!

左左左左左左左左

右右右右右右右

: r!=8! (N-r)!=7!

二項分布

パチンコ と 酔歩(random walk)

�r� = N � r=0 rBN,p(r) = N � r=0 NCrprqN−rr = N p σ_r2 = �r − �r��2 = �r2_{� − �r�}2 = Npq

r

は分布をもつ。

( N回の試行で，r 回左にいく )

平均:

分散：

(p + q)N ₌ N � r=0 NCrprqN−r pd dp(p + q) N _{= pN(p + q)}N−1₌ N � r=0 NCrrprqN−r pdpN (p + q)N−1 _{= pN + N(N − 1)p}2₌ N � NCrr2prqN−r N � r=0 BN,p(r) = N � r=0 NCrprqN−r= (p + q)N= 1

0.3 0.2 0.1 0.0 Pro ba bi lit y -100 -50 0 50 100 N - 2r N = 4 N = 10 N = 100 N回の試行（衝突）で 玉がいる位置 p=1/2, Δ=1とした �N − 2r�∆ = (N − 2�r�)∆ = N(1 − 2p)∆ = 0 (p = 1/2) �(N − 2r)∆ − �(N − 2r)∆��2 = �(N − 2r)2 � − �(N − 2r)∆�2 = [N2 − 4N�r� + 4�r2 � −N2_{(1 − 2p)}2_]∆2 = [N2 − 4N2_{p + 4(N pq + N}2_p2₎ −N2_{(1 − 4p + 4p}2_)]∆2 = 4Npq∆2 = N∆2 _{(p = 1/2)}

平均

分散

89

lim

N

_→+∞

1) t = r/N (Law of large numbers)

2) r : Np = λ = const (Poisson distribution)

3) t = r− �r� σr (Gauss distribution) 90

lim

N

_→+∞

�_Nr� = �r�_N = p �_Nr −�r�_N�2 _{= �}r2� N2 − �r�2 N2 = pN + N (N− 1)p2 N2 − N2_p2 N2 = pq N t = r/N PN(t) = dr dtBN,p(r) = NBN,p(tN) 25 20 15 10 5 0 pro bab ili ty 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 t N = 4 N = 10 N = 100 N = 1000 大数の法則

law of large numbers

lim

N

_→+∞

中心極限定理

t = r− �r� σr = r√− Np N pq FN(t) = dr dtBN,p(r) = � N pqBN,p(r) lim N→+∞FN(t) = G0,1(t) Gµ,σ(x) ≡ 1 √_2πσexp[−(x − µ)2_/(2σ2_)]

ガウス分布

(正規分布)

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 FN ( t ) -4 -2 0 2 4 t N = 4 N = 10 N = 100 N = 1000 G_0,1(t)

Gµ,σ = 1 √ 2πσe −(x−µ)2_2σ2

平均: μ

分散：σ2

93

lim

N

_→+∞

Poisson 分布

N p = λ = const. BN,p→ Pλ(r) = λr_e−λ r! 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 pro bab ili ty 8 6 4 2 0 r N = 4 Poisson : N = 4 N = 10 Poisson N=10 N =100 Poisson: N=100 λ = Np = 1 94

Poisson distribution and rare events

!t

t = N ∆t

1 2 3 N-1 N

The probability that an event occurs in !t is equal to "!t, where " is the rate of the event. The probability that the events occur r times between

t = 0 and t = t is given by binomial distribution

Pλ(r) = N ! r!(N− r)!(λ∆t) r_{(1 − λ∆t)}N−r = N ! r!(N− r)! �_{λN ∆t} N �r� 1 −λN ∆t_N � N−r = (λt)r r! N (N− 1)...(N − r + 1) Nr (1 − λt/N)−r(1 − λt/N)−(N/λt)(−λt) = (λt)r r! 1(1 − 1 N)(1 − 2 N)...(1 − r− 1 N ) � �� � �1 (1 − λt/N)−r � �� � �1 [(1 −λt N) −N λt � �� � �e ]−λt (λt)r

→Poisson distribution

•

平均値

•

ばらつき（不偏分散 u）はあまり実験

回数で変わらない。

実験回数をこなしてないのに

再現性を評価できるのか？

どこまで手抜きできるのか？

少ない実験回数で正確に

再現性をもとめることができる？

Studentのt分布

97

166.4 ± 37.5 → 170 ± 40

data1 data2 data3 data4 data5 合計 175 73.96 170 12.96 182 243.36 155 129.96 150 268.96 832 729.2 2.776 166.4 13.501852 37.48114

例：N = 5, 95%信頼区間

(xi - <x>)2 xi <x> u = [#i(xi - <x>)2 / (N-1)]1/2

t

N-1

(

95%

)u/#N

98